CC BY
25
ОБ ОБТЕКАНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ОГРАНИЧЕННОГО ИЗВЕСТНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ, ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА К.В. Мануйлов, Л.П. Ильина
Из уравнений Эйлера, описывающих качение тяжелого твердого тела по плоскости, получены уравнения Эйлера, описывающие обтекание тела, ограниченного поверхностью S реальной (вязкой) сжимаемой жидкостью, посредством построения субстанциональных производных от составляющих линейной скорости жидкости.
Качение по неподвижной плоскости Pflx тяжелого твердого тела, ограниченного известной алгебраической поверхностью
SN(x^,z) = 0, (1)
в каждый момент времени соприкасающейся с этой плоскостью в точке p, является зеркально эквивалентным движению по некоторой кривой L, лежащей на поверхности (1) точкиp соприкосновения плоскости P(t) с неподвижной поверхностью (1).
Из теории функций комплексной переменной следует, что при качении по плоскости Pflx поверхности (1) она будет переходить в себя так, как если бы движения принадлежащих ей точек (лежащих на ней точек), равно как и точек трехмерного пространства были бы определены группой дробно-линейных преобразований, действующих на комплексную переменную z, заданную на плоскости C1, совпадающей с плоскостью Pflx (см.[1]).
Если мы теперь примем поверхность (1) за абсолютную в некоторой проективной геометрии [2, 3] и потребуем ее неподвижности, то определим этим самым движения точек по ней и движения точек в пространстве, ее объемлющем, как вращения относительно двух систем осей, из коих первые суть оси касательные к эволютным поверхностям поверхности (1), а вторые суть оси, полярные первым относительно этой поверхности (см.[2, 3]). Этим самым движения частиц жидкости по поверхности (1), вызванные движением в последней твердого тела, ограниченного сказанной поверхностью, определены как вращения относительно непрерывного семейства осей, касательных к эволютным поверхностям поверхности (1) (см. рис.1).
Рис.1 Оси, относительно которых вращается жидкость
В то же самое время качение тяжелого твердого тела, ограниченного известной алгебраической поверхностью (1), по плоскости Рцх определено решениями дифферен-
циальных уравнений Эйлера, описывающих движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки, происходящее под действием системы внешних сил, заставляющих центр тяжести тела и нуль-центр вращающих сил (центр вращения) двигаться по подобным пространственным кривым. Эти уравнения при условии, что угловые скорости ш , определены относительно движущихся осей, имеют вид (см. [4])
3
4 А~I = (а] - Ак ]~ к + 2 Р1 (~]0а'к - ~к0а] ) , (2)
,]к=1
где Лг- суть моменты инерции, являющиеся периодическими функциями времени; ¥г -периодически изменяющиеся во времени составляющие момента внешних сил, заставляющие твердое тело катиться по плоскости; х,о = хю(^) - периодически изменяющиеся во времени расстояния центра тяжести тела от центра вращения; угловые скорости ш , и направляющие косинусы а] определены тригонометрическими функциями алгебраической кривой рода 2, имеющими вид
~ 9/9,-(иьи2,КЬК2,к3) с 9,(иь^КьК2,к3) (3) ю/ =-= С-, (3)
99(и1, и2, к 2, к3) 9(и1, ^ К 2, к3)
где / = 1,2,3,
а .. = 9 кт9 кт (иЬ и2, КЬ К 2, К 3) = а $кт (иЬ ^ КЬ К 2, к3) (4)
4 99(иьи2,К1,К2,К3) 4 9(иьи2,К1,К2,К3) ' где ] = к = 1,2,3; т = 4,5,6 (см.[4, 5]).
Из переменных, входящих в тэта-функции, и, суть линейные функции времени, а к, - квадратичные, определенные начальными условиями задачи Коши для уравнений (2).
Исходя из общей теории движения твердого тела относительно неподвижной точки, составляющие линейной скорости точек поверхности тела имеют вид
иУ = х] ^)юк - хк О)ю ], (5)
где х, суть координаты точки на поверхности (1). Составляющие же линейной скорости движения точки р по неподвижной поверхности (1) тела выражаются через главные радиусы кривизны поверхности и угловые скорости, с которыми тело вращается относительно системы трех взаимно перпендикулярных осей у,, пересекающихся в точке с1, лежащей на одной из эволютных поверхностей тела, в виде (см.[6], ср.[7])
и У1 = ?
со 2
V ? У
= 2
и У2 = 1
и У3
= -1(7?! со 2 + ^со 22 )
(6)
где Я1 и Я2 суть радиусы кривизны поверхности (1) в точкер (см. рис. 2),а ш, суть решения уравнений Эйлера, которые описывают качение тяжелого твердого тела по плоскости, вращающегося около нуль-центра инерции вращающих сил, движущегося по одной из эволютных поверхностей поверхности (1) (см. [6]).
Составляющие линейной скорости (6) являются сложными функциями времени и координат точки р на поверхности (1), поведение которых определено законами изменения радиусов кривизны Я1, Я2 и угловых скоростей ш,, представляющих собой нечетные тригонометрические функции алгебраической кривой рода 2, определенные равенством (3).
Для построения уравнений Эйлера, описывающих движение реальной жидкости (вообще некоторой сплошной среды), обтекающей твердое тело, ограниченное поверхностью (1), правые части которых определяют силы сопротивления жидкости (сплошной среды) в явном виде, нам необходимо и достаточно построить субстанциональные производные от составляющих линейной скорости движения этих частиц и у, по сказанной поверхности. Эти уравнения имеют следующий вид (ср. [4]):
3 Г Я дК2 Р дК1 Л
ди
У1 дг
+
I-
. лдХ; дг ] _1 ]
дг
■©2 + Я
~ я2__
©2 + а 2©1©3
Я1
Г 3
хк0а] - хк0а1к
дс2
I _1
С2 I^дк,
О,к,
©
2 +1
]к _1
2
Iа
_шп_1
д 2и У1 шпО/к) п п дишдип
- (7)(1)
2 I ашп(,]к)
]к_1 ^+ I
дг ^
Гди У1 + ди У1 Л
V
ди1
. , дх,- дг ] _1 ]
ди
и2рГ-дЦл >,£Кл,дК2] 1
2 J I ди1 ди2 дк, дк,
1 Г з я Л
- II д±в(к1
С1 Ц_1 дк, ' ^
дЯ1
дг
3
©1 +
Р1а1©2©3 р (~к0аI] - ~к0а 1к
I _1
)-
3 Г ди
2 V а У 2
^ ¿^ ишп(]к) ]к _1
©1 + I
,]к _1
ди У_ Л
2
Iа
шп _1
д 2 и У 2
шп( ,к ) ди ди
Сти упСти п
ди
+ ■
УУ 2
1
ди
2
Е (иЬ и2 )-I
_1
ди У 2 ди У 2 дК1] дк 2 ] Л ди1 ' ди2 ' дк, ' дк,
ди У ^
дг
уъ 1 _ дР(Х1, x2, хз) ©3 + р(х1, х2, х3 )азСо 1с52 -
, дх, дг
]_1 ]
дг
-IК
хк0а1] хк0а1к I
Ы
2Iашn(]k )
)) II
' Сз ^ дк
Гди, ди, Л
ок
© 3 +
3 2
I Iа,
д2«
Уз
'шп(1к) ди. ди„
]к_1
_+__У
У ди1 ди2 J
Е ( и2 )-IF
ди У ди У дК дК, Л
Уз Уз
2 ]
ди1 ' ди2 ' дк, ' дк,
_ Р© 12 + Р © 22 +
3
г
^((©612 + я,©22 )й,
¿х.
]_1
дх^
(7)(2)
(7)(3)
А] - Ак
где а, _-, ашп(,]к) суть функции времени, определенные свойствами сплошной
среды, к, , , = 1,2,3, суть модули, выражающиеся через начальные условия для уравнений Эйлера (2) (см. [4]), К] суть полные абелевы интегралы I рода ранга два (см. [4]).
Правые части уравнений (7)(1), (7)(2), (7)(3) определяют силы сопротивления реальной (вязкой, сжимаемой) сплошной среды движущемуся в ней твердому телу. Их выражения содержат, кроме слагаемых, входящих в правые части уравнений Эйлера-Стокса, описывающих движение несжимаемой жидкости (см. [8]), апериодические функции, определяющие необратимые изменения движения жидкости, вызванной ее
сжимаемостью и вязкостью. Все величины, входящие в правые части уравнений (7)(1), (7)(2), (7)(3), являются известными функциями времени.
Рис. 2. Главные радиусы кривизны поверхности, ограничивающей тело,
катящееся по плоскости
Чтобы уравнения Эйлера, описывающие движение жидкости, вызванное в ней движением твердого тела, ограниченного поверхностью (1), и представляющее собой вращение жидкости относительно осей, касающихся эволютных поверхностей поверхности (1), давали бы точное и наглядное представление о движении частиц жидкости, а именно были бы определены как их вращения относительно двух систем движущихся осей, необходимо и достаточно построить полные субстанциональные производные от составляющих линейной скорости точки p (6), выразив предварительно входящие в них угловые скорости через углы Эйлера у, 0, ф
~ dy . . . d0
Ш1 = —1- sin 0 sin ф +—cos ф dt dt
~ dy . . d0 .
ш 2 = —1- sin 0 cos ф--sin ф
dt dt
~ dy гл dф
Ш3 = —^ cos 0 + —L dt dt
определенные формулами
(8)
ф = arctg
с \ a13
a23
у = arctg
a 31 a 32
0 = arccos(a 33),
(9)
где a j
(4)).
0 j (j+3)0 j (j+3) (u1, u 2, Kb K 2, K 3) 00(иь и 2, K1, к 2, к 3)
, j,j = 1,2,3, - направляющие косинусы (см.
Аналогичным образом необходимо выразить через углы Эйлера (9) угловые скорости, входящие в выражения составляющих линейных скоростей движения жидкости, вызванного в ней движением твердого тела, ограниченного поверхностью (1), и определяющие вращение жидкости относительно осей, полярных осям, касающихся эволютных поверхностей поверхности (1) [1, 2].
Отметим, что при построении гидродинамических уравнений Эйлера в результате дифференцирования угловых скоростей, выраженных через углы Эйлера (8), мы получим аналитическое описание движения жидкости, представленное вращениями относительно систем движущихся осей, причем, вращения относительно этих осей будут описываться выражениями, подобными правой части уравнения движения маятника в сопротивляющейся среде [9]. Именно такими вращениями жидкости, происходящими относительно упомянутых двух систем осей, определено строение трехмерного пограничного слоя, наблюдавшееся авторами работы [10].
Литература
1. Курант Р. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Л-М.: ГТТИ. 1934. С. 128-155.
2. Котельников А.П. Проективная геометрия векторов. Казань, Типо-Литография Императорского университета. 1899.
3. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.-Л., ОНТИ, 1936. С.128-142.
4. Мануйлов К.В., Курбатов А.А. Решение уравнений Эйлера, описывающих движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки в общем случае. // Научно-технический вестник СПбГИТМО (ТУ). 2003. № 9. С. 131-139.
5. Krause M. Die Transformation der Hyperelliptischen Functionen erster Ordnung. Leipzig, Teubner, 1886.
6. Мануйлов К.В., Ильина Л.П., Панферов А.А. Качение тяжелого твердого тела, ограниченного известной алгебраической поверхностью, по плоскости и обтекание этого тела потоком жидкости. / Материалы IV Окуневских чтений. СПб, СПб БГТУ (в печ.)
7. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М-Л.: ОНТИ. 1937. С.19.
8. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. С.452.
9. Мануйлов К.В. Точное аналитическое описание колебаний маятника в сопротивляющейся среде (настоящий сборник).
10. Christopher J. Chesnakas, Roger L. Simpson. Detailed Investigation of the Three-Dimensional Separation About a 6:1 Prolate Spheroid. // AIAA Journal. June 1997. V.35. № 6. P. 990-999.
