CC BY
10
УДК 531.36+517.926.4 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4 МБС 70Е18, 70Е40, 70Е50, 70F25
О существовании лиувиллевых решений в задаче о качении динамически симметричного шара по сфере*
А. С. Кулешов, В. А. Катасонова
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Российская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, 1
Для цитирования: Кулешов А. С., Катасонова В. А. О существовании лиувиллевых решений в задаче о качении динамически симметричного шара по сфере // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4. С. 670-677. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.413
Рассматривается задача о качении без проскальзывания динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной сфере. Предполагается, что силы, приложенные к твердому телу, имеют равнодействующую, приложенную к центру масс О тела, направленную к центру О опорной сферы и зависящую только от расстояния между точками О и О. В этом случае решение задачи сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно компоненты угловой скорости тела в проекции на его ось динамической симметрии. С помощью алгоритма Ковачича доказано существование лиувиллевых решений в задаче о качении по сфере неоднородного динамически симметричного шара.
Ключевые слова: динамически симметричный шар, качение по сфере, алгоритм Кова-чича, лиувиллевы решения.
1. Введение. Общая постановка задачи о качении тела вращения по сфере. Задача о качении без скольжения динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной поверхности является одной из классических задач механики неголономных систем. В 1897 году С.А.Чаплыгин в работе [1] установил, что в случае качения тяжелого тела вращения по горизонтальной плоскости решение соответствующей задачи сводится к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно компоненты угловой скорости тела в проекции на его ось симметрии. В 1910 году П. В. Воронец в работе [2] показал, что рассуждения С. А. Чаплыгина без изменений переносятся на случай качения тела вращения по поверхности сферы, если приложенные к твердому телу силы имеют равнодействующую, приложенную к центру масс О тела, направленную к центру О опорной сферы и зависящую только от расстояния между точками О и О. В этом случае задача также сводится к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Следуя работе П. В. Воронца [2], докажем этот факт. Введем четыре системы координат (в скобках указаны единичные векторы осей):
Ож1 у\х\ (ех, еу, ех) —неподвижная система координат с началом в центре опорной сферы;
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 16-01-00338 и № 17-01-00123). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018
Охуг (в1, в2, ез) — система координат, жестко связанная с движущимся твердым телом; ее начало выбрано в центре масс О движущегося тела, а оси направлены по главным осям инерции;
Рп'ои (еи, еу, еп) —подвижная система координат с началом в точке контакта Р тела с опорной сферой и осями, направленными по касательным к координатным линиям и по нормали к поверхности тела;
Рп1У1Н1 (еи1, еУ1, еП1) — подвижная система координат, оси которой направлены по касательным к координатным линиям и по нормали к опорной сфере.
Положение точки контакта Р на поверхности 5 тела определяется радиусом-вектором
р = Орр = х (и, V) е1 + у (и, V) е2 + г (и, V) ез,
где и и V —гауссовы криволинейные координаты точки Р на поверхности Коэффициенты первых двух квадратичных форм поверхности 5 катящегося тела обозначим Е, Г, О и Ь, М, N соответственно. Будем считать, что координатные линии на поверхности совпадают с ее линиями кривизны, поэтому Г = 0, М = 0.
Сферическая поверхность 51 радиуса Я1, по которой движется твердое тело, задается уравнениями
р1
оР
Х1еж + У1еу + Х1ех = Д1 Бт и1 сов Vleж + Д1 Бт и1 Бт Vley + Д1 сов и1е2,
где и1 и V! —гауссовы криволинейные координаты точки Р на сфере 51. Для единичных базисных векторов еи, еу, еп и еи1, еУ1, еП1 имеем следующие формулы:
1 др л/Ё ди'
Д1 ди1'
1 др 1
еи X е*)
др1
(1)
Д1 Бт и1 дv1
еи,1 ^
Взаимная ориентация систем координат Охуг и Ригои определяется при помощи матрицы направляющих косинусов, задаваемых таблицей
X У х
и С11 С12 С1з
V С21 С22 С23
п С31 С32 Сзз
причем коэффициенты е^^ являются функциями только переменных и и V ив явном виде записываются следующим образом:
е11
1 дх
С12
VЁди'
е1з
1 дх _
ГЁ ди
1
ез1
ду дг ди дv
дг ду ди дv
е21 =
1 дх
С22 =
]_ду
дги'
С23 =
1 дх_
/О дги'
ез2 =
-/Ёё
дг дх ди дго
дх дг ди дго
езз
1 / дх ду ду дх
\jECi V ^ ^
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4
е
е
е
и
V
п
е
е
е
V1
п1
1
Следуя Воронцу [2], будем определять положение тела гауссовыми координатами u, v, ui, vi и углом в между осями Pu и Pv\. Предположим, что тело катится по опорной сфере без проскальзывания. Это условие приводит к тому, что на систему накладываются две неголономные связи, имеющие вид
R\úi = — Veú sin в + VGv cos в, R\v\ sin mi = Veú cos в + VGv sin в. (2)
Пусть векторы скорости w центра масс G и угловой скорости ш тела задаются в системе координат Gxyz компонентами wi, w2, W3 и wi, Ш2, шз соответственно. Из условия того, что точка касания P тела находится в мгновенном покое, получим формулы, связывающие компоненты векторов w и ш:
w1 + ш2z - шзу = 0, w2 + Ш3Х - wiz = 0, w3 + wiy - ш2х = 0, (3)
а для компонент wi, w2, шз вектора ш справедливы следующие формулы: wi = ciirV + 02iaU + c3in, W2 = ci2tV + C22&U + С32П, W3 = ci3tv + C23VU + С33П, (4)
N 1 \ r~ ÍL 1 \ r-
■ 1 (dE . dG. . .
-в H---= —— U - -—V - Vi eos Mi.
2 y/EG \dv du
(5)
Формулы (4)—(5) могут быть получены, если представить вектор угловой скорости ш тела как сумму трех векторов угловых скоростей:
Ш = П + П2 + ПЭ,
где П1 —угловая скорость тела относительно системы координат Ри'п; П2 —угловая скорость системы координат Ри'п относительно системы Ри1'1П1; Пэ —угловая скорость системы координат Ри1'1П1 относительно неподвижной системы Ож1 У1Х1. Более подробно об этом можно прочитать в [3, стр. 125-126]. Заметим, что выражения т и а в формулах (5) будут функциями только переменных и и V.
Будем предполагать, что силы, действующие на твердое тело, имеют потенциал и потенциальная энергия V зависит лишь от координат и и V точки касания Р. Такой случай будет иметь место, например, когда приложенные к твердому телу силы имеют равнодействующую, приложенную к центру масс О тела, направленную к центру О сферы и зависящую только от расстояния точек О и О друг от друга. Итак, пусть V = V (и, у).
Пусть © = © (и, V, и, V, п) — кинетическая энергия системы, вычисленная с учетом неголономных связей (2) и соотношений (3), (4). Она вычисляется по стандартной формуле
2© (й, V, и, V, п) = т (и>2 + + + А^2 + А2ш2 + Аэ^Э,
где т — масса движущегося тела, а А1, А2 и А3 — его главные центральные моменты инерции. Данное выражение можно переписать следующим образом:
2© (и, V, и, V, п) = Кээп2 + 2 (К1эй + К2э') п + Кцй2 + 2К12йV + К22''2, (6)
т = —
n
причем на основании формул (3)—(5) можно сделать вывод, что коэффициенты Кзаявляются функциями переменных и и V. Если мы обозначим через р и е расстояния от центра масс О тела до точки касания Р и до касательной плоскости к поверхности 5 в точке Р,
р
222 х + у + г , е = хез1 + уез2 + гезз,
то мы можем записать уравнения движения тела в таком виде (см. [2]): (I {дв\ дв 1 \ дв у/Ё 15© др 2
М • дУ
<1 (д©
А \ дV
дв
дv
(ЬЫ 1 \ дв . VС 19© др
К\)дпи К\ а дйП
ЕО
тр-^-п2-\-
+теу/ЕС (^ - -!- ] пй -
\Е Е1 ) с^
¿(дв\_ л/С 13©. л/Ё1де. (др. др \ Ш-ЫЕ..
<И \дп) К\ а дй К\ т ду ^ у ди ду ) л/ЕС
(7)
Присоединяя к этим уравнениям последнее из уравнений (5), а также уравнения связей (2), получим систему шести уравнений, из которой определяются все неизвестные и, V, п, в, и1, Vl как функции времени.
Предположим теперь, что твердое тело, катящееся по сфере, является телом вращения, то есть его моменты инерции А1 и А2 относительно осей Ох и Оу равны между собой (А1 = А2), а поверхность 5, ограничивающая твердое тело, является поверхностью вращения вокруг оси Ог:
= / (и)сов V, у = / (и)вш V, г = д (и) .
(8)
В этом случае кинетическая энергия тела, вычисляемая по формуле (6), в явном виде запишется следующим образом:
2© (и, V, и, V, п) = Кии2 + K22ии2 + К33П2 + 2K2зVп,
/ п" -С — {"п' 1
К11 = (А1 + М12 + шд2)(Г2+д'2) 1 9 1 19
К22
Кзз
К2з
ХГ2 + 9'2Г Д1/
м__А2
А,!'2+Агд'2 + т(дГ -¡д'У Г2+д'2
А19>2+А3Г2 + таГ + дд>)2 Г2+д<2
т (д/' - ¡д') (//' + дд') - (Аз - А1) /'д' ( д'
Г2 + д'2 \^1'2 + д'2
Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4
х
2
Здесь штрихом обозначена производная по и. Очевидно, что все коэффициенты Kij будут функциями только переменной и. Справедливы также следующие соотношения:
дв - о др - о ду - О
dv ' dv ' dv В этом случае два последних уравнения системы (7) дают
(К23П + K22V) = {с\п + kiv) й, ^ (К33П + K23V) = (с2П + k2v) и, (9)
где коэффициенты K22, K23, K33, ci, С2, ki, k2 являются функциями только переменной и. Кроме того, в выражениях (4) для компонент угловой скорости wi, W2 и W3 будем иметь С23 = 0, откуда следует, что
1 С33
V =-юз--п, (1UJ
ci3T С13Г
причем коэффициенты при переменных W3 и n также будут функциями только переменной и. Переходя в уравнениях (9) к новой независимой переменной и, приведем эти уравнения к виду
K22 d,W3 ( K22C3A dn
--j--h К 23--~г = din + siw3,
ci3т d,v, \ C13T J аи
(11)
K23 dw3 Í K23C3A dn
--:--h K33--— = d2n + s2w3,
ci3т аи \ ci3T J аи
где di, si, d2, S2 —функции, зависящие от и. Таким образом, решение задачи сводится к интегрированию системы двух линейных уравнений первого порядка (11) относительно компонент угловой скорости n и W3. Из этой системы может быть получено одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно проекции W3 угловой скорости тела на его ось симметрии. В дальнейшем можно поставить задачу отыскания лиувиллевых решений соответствующего дифференциального уравнения при помощи алгоритма Ковачича [4].
2. Движение динамически симметричного шара. Проиллюстрируем все сказанное выше на примере задачи о качении по сфере неоднородного динамически симметричного шара, центр масс которого не совпадает с геометрическим центром. Пусть R — радиус шара, a — расстояние от центра масс шара до геометрического центра вдоль оси симметрии. Тогда формулы (8) принимают вид
x = R sin и cos v, y = R sin и sin v, z = R cos и + a.
Система двух линейных уравнений относительно компонент угловой скорости n и W3 имеет вид
dn dw3
— =ain + a2w3, —— = 6in + 62w3, dn d,v,
a 1 = —
mR2 ((A3 — Ai) Rcos и + A3a) sin 1
a2
AiA3 + Ai mR2 sin2 и + A3m (R cos и + a)2 j Ri (Ri + R) ((A3 + mR2) (A3 — Ai) — A3ma2) sin и
^AiA3 + AimR2 sin2 и + A3m (R cos и + a)2 j Ri
674 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4
mR3A1 sin u
b i =
b2
^A1A3 + A1mR2 sin2 u + A3m (Rcos u + a)2 j R1 mR (R1 + R) ((A3 — A1) Rcosu + A3a) sinu
^A1A3 + A1mR2 sin2 u + A3m (Rcos u + a)2 j R1 Уравнение второго порядка относительно имеет вид
= (12)
¿1 = —
du2 du
2mR2 (A3 — A1) sin2 u cos u+ (3 — cos2 u) mRaA3+A3 (A1 + mR2 + ma?) cos A1A3+A1mR2 sin2 u+A3m (R cos u + a)2j sin u
mR2 (R2 — R2) (A3 — A1)sin2 u
d2
^A1A3 + A1mR2 sin2 u + A3m (Rcos u + a)2) R2
Заметим, что при выполнении условия Ri = R (то есть когда радиус шара равен радиусу опорной сферы) уравнение (12) допускает частное решение
Ш3 = = const.
Сделаем в уравнении (12) замену независимой переменной по формуле cos u = x. Тогда уравнение (12) перепишется в виде
dLX d>X
3 (2x — xi — X2)
(R2 — R2)
— 777-77-7 j
2(х — х1) (х — х2 )' (х — х1) (х — х2) Е2
Здесь <1, <2 —рациональные функции переменной х, а х1 и х2 —корни уравнения
А1А3 + А1тЕ2 (1 - х2) + тА3 (Ех + а)2 = 0.
При помощи замены переменных
у = со3 exp Q J di (ж) dx^j
уравнение (13) приводится к виду
d2y (1 d (¿1) ¿1 , , „ . .
- 1 К ' +~T~d2 )y = S(x)y, (14)
5 (x)
dx2 \2 dx 4 R2 + 8R2 3 R2 + 8R2
8RI(xí - x2) {x - Xí) 16(x-xi)2 8ñf (xi - ж2) (x-ж2) 16(ж-ж2)2'
Уравнение (14) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с рациональными коэффициентами. Воспользуемся алгоритмом Ковачича [4]
u
3
для нахождения лиувиллевых решений этого уравнения. Непосредственное применение алгоритма Ковачича к уравнению (14) позволяет установить следующие результаты.
Теорема 1. Уравнение (14) имеет лиувиллево решение вида
у = ехр ш (х) ¿х
где ш (х) —рациональная функция, при выполнении условия Я/Я1 = N/2, где N -натуральное число.
Например, при К/К\ = 1/2 общее решение уравнения (13) имеет вид
01 , 02
= . +
л/Ж — Х\ л/ж — Х-2
При Д/Д1 = 3/2 общее решение уравнения (13) имеет вид
01 (4х — Х1 — 3x2) С2 (4х — 3x1 — Х2) ^з = -,--1--, -•
х — х2 х — х1
Теорема 2. В общем случае дифференциальное уравнение (14) имеет лиувил-лево решение вида
y = exp (^ j ш (x) d^j ,
где ш (х) — алгебраическая функция степени 2.
Общее решение уравнения (13) при произвольных значениях параметров имеет
вид
2Д ___ 2Д
ш _ С1 (л/ж - Ж1 + л/ж - ж2)К1 ^ С2 (л/ж - Ж1 + л/ж - ж2) Д1 \!(ж — Ж1) (ж — Ж2) \/(х ~ х\) (х ~ х2)
Заметим, что при выполнении условий теоремы 1 степень выражений, заключенных в формуле (15) в скобки, оказывается целой. Это лишний раз доказывает, что при выполнении условий теоремы 1 решение уравнения (13) имеет более простой вид, чем в самом общем случае.
Таким образом, мы доказали, что все решения уравнения (13) являются лиувил-левыми. Тем самым установлено, что задача о качении динамически симметричного шара по сфере под действием сил с потенциалом V = V (и) интегрируется в лиувиллевых функциях.
Литература
1. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. 9. Вып. 1. С. 10-16.
2. Воронец П. В. К задаче о движении твердого тела, катящегося без скольжения по данной поверхности под действием данных сил // Киевские Университетские Известия. 1910. Т. 50. Вып. 10. С. 101-111.
3. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.
4. Kovacic J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations // Journal of Symbolic Computation. 1986. Vol. 2. P. 3-43.
Статья поступила в редакцию 10 апреля 2018 г.; рекомендована в печать 2 июля 2018 г.
Контактная информация:
Кулешов Александр Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доц.; kuleshov@mech.math.msu.su Катасонова Вера Александровна — студент; vera.katasonova@icloud.com
Existence of liouvillian solutions in the problem of motion of a dynamically symmetric ball on a perfectly rough sphere
A. S. Kuleshov, V. A. Katasonova
Lomonosov Moscow State University, Leninskie Gory, 1, Moscow, 119991, Russian Federation
For citation: Kuleshov A. S., Katasonova V. A. Existence of liouvillian solutions in the problem of motion of a dynamically symmetric ball on a perfectly rough sphere. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 4, pp. 670-677. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.413 (In Russian).
The problem of rolling without sliding of a rotationally symmetric rigid body on a sphere is considered. The rolling body is assumed to be subjected to the forces, the resultant of which is directed from the center of mass G of the body to the center O of the sphere, and depends only on the distance between G and O. In this case, the solution of this problem is reduced to solving the second-order linear differential equation over the projection of the angular velocity of the body onto its axis of symmetry. Using the Kovacic algorithm, we search for Liouvillian solutions of the corresponding second order linear differential equation. We prove that all solutions of this equation are Liouvillian in the case when the rolling rigid body is a nonhomogeneous dynamically symmetric ball. The paper is organized as follows. In the first paragraph, we briefly discuss the statement of the general problem of motion of a rotationally symmetric rigid on a perfectly rough sphere. We prove that this problem is reduced to solving the second order linear differential equation. In the second paragraph, we find Liouvillian solutions of this equation for the case, when the rolling rigid body is a dynamically symmetric ball.
Keywords: body rolling on a sphere, dynamically symmetric ball, Kovacic algorithm, Liou-villian solutions.
References
1. Chaplygin S. A., "On a motion of a heavy body of revolution on a horizontal plane", Regular and Chaotic Dynamics 7(2), 119—130 (2002).
2. Woronetz P. V., "On the problem of the motion of a rigid body rolling without sliding on a given surface under the influence of given forces", Kievskie Universitetskie Izvestija 50(10), 101—111 (1910) [in Russian].
3. Markeev A. P., Dynamics of a Body Being Contiguous to a Rigid ¡Surface (Nauka, Moscow, 1992, 336 p.) [in Russian].
4. Kovacic J., "An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations", Journal of Symbolic Computation 2, 3—43 (1986).
Received: April 10, 2018 Accepted: July 2, 2018
Author's information:
Alexander S. Kuleshov — kuleshov@mech.math.msu.su Vera A. Katasonova — vera.katasonova@icloud.com
