Сравнение системы "шар Чаплыгина с ротором" и системы Жуковского с точки зрения грубой лиувиллевой эквивалентности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

СРАВНЕНИЕ СИСТЕМЫ "ШАР ЧАПЛЫГИНА С РОТОРОМ" И СИСТЕМЫ ЖУКОВСКОГО С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ГРУБОЙ ЛИУВИЛЛЕВОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

А. И. Жила1

Рассматривается задача из симплектической геометрии, а именно проводится топологический анализ качения сбалансированного динамически несимметричного шара с ротором по шероховатой горизонтальной плоскости. Исследуется лиувиллева эквивалентность данной системы и системы Жуковского.

Ключевые слова: шар Чаплыгина с ротором, конформно-гамильтоновы системы, слоение Лиувилля, инварианты Фоменко.

A problem of symplectic geometry, namely, topological analysis of a rolling balanced dynamically nonsymmetric bail with a rotor on a rough horizontal plane is considered. The Liouville équivalence between this system and Zhukovskii's case is studied.

Key words: Chaplygin bail with a rotor, conformally Hamiltonian systems, Liouville foliation, Fomenko invariants.

1. Введение. В настоящей работе изучается топология слоения Лиувилля. С помощью топологических инвариантов можно выявлять эквивалентные и неэквивалентные интегрируемые системы. Все исследования проводятся в рамках теории Фоменко классификации интегрируемых систем, основанной на инвариантах Фоменко, использующих бифуркационные диаграммы (подробности см. в [1-9]).

2. Уравнения движения и интегралы. Рассмотрим задачу о качении уравновешенного динамически несимметричного шара с ротором К по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. В таком случае скорость точки контакта равна нулю. Движение шара в проекциях на главные оси, связанные с шаром, описывается уравнениями

i M = (M + K)xuj, M = Juj — d(j, J = I + dE,

[ 7 = 7 x ш, d = mr2^0, E = \\ôij\\,

где w — вектор угловой скорости, 7 — орт вертикали, I = diag(/i, /2, /3) — тензор инерции шара относительно его центра, m — масса шара, г — его радиус, (, ) — евклидово скалярное произведение. Вектор M имеет смысл кинетического момента шара относительно точки контакта. С.А. Чаплыгин [10] показал, что система (1) допускает четыре первых интеграла:

Н = ^(М,и), N = (M + К,М + К), С = (М + К, 7), G = (7,7).

Согласно [11], система (1) является конформно-гамильтоновой (т.е. имеет вид х = /.¿(x)sgrad Н(х), и при этом она может быть приведена к гамильтонову виду х = sgrad Н(х) с помощью замены времени) с гамильтонианом H и приводящим множителем ц{М, 7) = 1 / д/1 — d(7, J-17) относительно скобки Пуассона, которая в координатах (М, 7) задается следующими формулами:

{Mi, Mj} = £ijkp{Mk + Kk - g^k), {Mi, 7j} = eijkfrfk, {7i, 7j} = 0, (2)

где £ijk — тензор Леви-Чивиты. При этом были введены следующие обозначения:

г-,, 7_! . ,, . d(J~lM, 7)

p=y/l-d{j,J i7), g = d(u), 7) = i

Замечание 1. Далее мы всегда будем считать, что G = 1, поскольку при замене координат

._. _ ~ d *

и параметров системы (1) по формулам M = M, 7 = cry, d = —т, где а — произвольная кон-

сг

станта, гамильтониан H и дополнительный интеграл N не меняются, а функции Казимира С и G умножаются на а и а2 соответственно.

1 Жила Александра Игоревна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: saffeyaQyandex .ru.

3. Бифуркационные диаграммы и их особые точки. Для скобки Пуассона (2) интегралы С и G являются функциями Казимира, т.е. они коммутируют с любой другой функцией на фазовом пространстве относительно этой скобки. С их помощью мы расслаиваем фазовое пространство R6(M, 7) на четырехмерные симплектические листы. Для ЛЛ^. = {С = с, G = 1} рассмотрим отображение момента

(H\Mt,N\Mt): Mi^R2(h,n). (3)

Критическими точками отображения момента называют точки, в которых ранг дифференциала отображения момента меньше двух. Образ множества критических точек при отображении момента называется бифуркационной диаграммой (более подробно см. [12]).

Бифуркационные диаграммы для шара Чаплыгина с ротором были построены А.Ю. Москвиным в работе [13]. Они представлены на рисунке.

Теорема 1 (А.Ю. Москвин [13]). Бифуркационная диаграмм,а отображения момента (3) состоит из следующих кривых и точек:

1) набора кривых а, задаваемых уравнениями

п{ X) = А2 (, т К\Л , + , т К\Л9 + , т К\Л9 - jj^) + с2, п>с2, Л€М; (4)

(Л - Л)2 №-Л)2 (7з-Л)2 (с1-ху

2) отрезка <то при с = 0; задаваемого уравнением

п = 2(11г- <1{Г1К, К), п € [0, <12{Г1К, Г1 К)]-,

3) луча <7г в случае К^ = 0; задаваемого уравнением

1 3 1

4) отрезка т на прямой п = с2;

5) точки Т0 = {Н = 0, п = {К, К}} при с2 ^ {К, К).

Верхняя левая бифуркационная диаграмма (см. рисунок) соответствует значению с = 0. Далее с увеличивается. Следует отметить, что для системы (1) выполнено неравенство п ^ с2, поэтому на бифуркационных диаграммах будут присутствовать ограничительные прямые п = с2 (на рисунке они отмечены пунктиром). При этом т является наименьшим отрезком этой прямой, содержащим все точки пересечения кривых а, сто, 04 и точки То с прямой п = с2.

Замечание 2. Бифуркационные диаграммы (см. рисунок) переходят друг в друга, когда с2 достигает значений п, соответствующих координатам точек возврата Ь\, Ь2,

Замечание 3. В зависимости от параметров системы точки Ь\, Ь2, Тз могут принимать различные геометрические положения на бифуркационных диаграммах. А именно при возрастании с первой столкнуться с прямой п = с2 может либо точка Ь2, либо точка Тз. Также точка Ь\ относительно оси Л, может принимать 3 типа положений: ниже точки Тз, между точками Ь2 и Тз, выше точки Ь2.

Замечание 4. На бифуркационных диаграммах (см. рисунок) кривые располагаются следующим образом в предположении 1\ ^ 12 ^ /3:

1) отрезок сто соединяет точки т Z■,

2) кривая а, А € (—оо, 0), соединяет точки Б и То или точки Т и То;

3) кривая а, А € (0,(1), соединяет точки Б и Z в случае с = 0, а в случае с > 0 она проходит через точку Ь\ и соединяет точки Б и ¿>о;

4) кривая а, А € (с1, ,1\), уходит вправо из точки Р, когда с > 0, или из точки 2, когда с = 0;

5) кривая а, А € (,]2), — это кривая с точкой возврата Ь2~,

6) кривая а, А € (</2, — это кривая с точкой возврата Тз;

7) кривая а, А € (</3, +оо), уходит вправо из точки То, когда с2 ^ (К, К), или из точки Т, когда с2>{К,К).

Бифуркационные диаграммы системы "шар Чаплыгина с ротором"

В случае Жуковскох'о d = 0, поэтому отрезок <то совпадает с точкой. Бифуркационная диаграмма д.ля случая Жуковского, когда все К, ф 0, была впервые построена М.П. Харламовым в работе [14]. Там же произведен топологический анализ. А бифуркационная диаграмма в случае, когда ротор К = 0, впервые была получена A.A. Килиным [15].

Для проведения тонкого лиувиллева анализа системы была проверена [13, 16] невырожденность особенностей и было описано слоение Лиувилля в окрестности особых точек отображения момента (3).

В каждом компактном слое отображения момента невырожденные точки ранга 1 образуют набор критических окружностей. Все точки каждой из этих окружностей имеют один и тот же тип (эллиптический или гиперболический). Топология слоения Лиувилля в окрестности особых слоев отображения момента, содержащих только невырожденные точки, подробно описана в книге A.B. Болсинова, А. Т. Фоменко [12].

В рассматриваемой системе встречаются только две невырожденные особенности ранга 1, соответствующие перестройки торов Лиувилля обозначаются буквами А и В. В особом слое для перестройки типа А содержится одна эллиптическая окружность, а для перестройки типа В одна гиперболическая. Дуги бифуркационных диаграмм, отвечающие перестройкам тина В, изображены на рисунке жирными линиями, а дуги, отвечающие перестройкам тина А, тонкими.

Утверждение 1 (А.И. Жила [16]). Пусть все компоненты ротора, Щ ф 0. Тогда для системы (1) все перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения, момента (3), соответствующих невырожденным, особенностям, ранга 1, и„м,еют тип А или, В.

Утверждение 2. Координаты, особых точек бифуркационной диаграммы, указанных в теореме 1 и за„м,еч,а,н,и,я,х 2 4, .можно вычислить по следующим формулам,.

1) Точки, Li,L'2,Ls задаются, системой из уравнений (4), (5) и уравнения

de2 v JjKf

Zw.r. _ г>з' w

(¿-А)3

где точке. Ь\ соответствует значение А € (0,сГ), точке значение А € 3-2), точке Ьз

значение X €

2) Точка Р0 := {h = ^(I~lK,K), п = 0}.

'2 „2

1 / 1(2 2\ Щ Точка S:={h = -п = с2}.

4) Точка Т0 :={h = 0, п = (К, К)} при, с2 < (К, К).

5) Точки Sq, Р, U, Q, R, G, F задаются системой из уравнения (5) и уравнений п = с2 и

К1 , К22 , К1

с

2

(Ji - Л)2 + (J2 - Л)2 + (J3 - Л)2 (d — Л)2' (7)

6) Точка Z :={h = ^ ((I~lK, К) + d(I~lK, I~lK)) , п = d2(I~lK, I~lK)}.

Доказательство. 1) Точки Li,L2,L^ лежат на кривых а, а значит, задаются уравнениями из п. 1 теоремы 1, что дает нам уравнения (4) и (5). Если точки являются точками возврата, то п'х = 0 и h'x = 0. Имеем

У-оуЛр KfJi d°2 \ у KiJi d°2

¿i (Ji ~ (d-A)«"

Заметим, что = 2Xh'x. Так как мы рассматриваем Л ф 0, то для условия возвратности точек необходимо условие h'x = 0. Это дает нам уравнение (6). Решая его относительно Л в любом из трех указанных интервалов и подставляя найденные значения в уравнения (4) и (5), мы получаем искомые координаты. Найденные особые точки являются точками возврата, так как h'x меняет знак при прохождении через эти точки (подробнее о точках возврата см. работу [13]).

2) Точка Ро — это точка пересечения прямой п = с2 с кривой <то из п. 2 теоремы 1. Так как эта точка существует только в случае с = 0, то из уравнения для <то при подстановке в него п = 0 получаем явные координаты Ро-

3) Точка S — образ вырожденной особой точки ранга 1 отображения момента (3) — является точкой касания кривых а и прямой п = с2. Подставляя условие п = с2 в уравнения из п. 1 теоремы 1, в случае Л = 0 получаем явные координаты S.

4) Координаты точки То уже заданы явно в теореме 1.

5) Первые два уравнения системы отражают принадлежность точек Sq,P,IJ,Q,R,G,F одновременно кривым а и прямой п = с2. Подставив условие п = с2 в уравнение на и из п. 1 теоремы 1, при Л ф 0 мы получим уравнение (7). Решая его относительно Л и подставляя найденные значения в остальные уравнения системы, мы получаем искомые координаты.

6) Точка Z находится на пересечении кривых а и отрезка сто, при этом она является концевой точкой отрезка <то, в которой достигается максимальное значение п из п. 2 теоремы 1. Подставив

К2

это значение п = d2 —т в уравнение из п. 2 теоремы 1, получим значение координаты h.

г

Утверждение доказано.

Утверждение 3. Кривые а из п. 1 теоремы 1 являются графикам,и монотонно возрастающих функций на своих частях, соответствующих Л € (0, d),A € (d,Ji),A € (Ji,J2),A € [J2,<h),X € ( Js,+oo), и, монотонно убывающих функций для А € (—оо, 0).

Доказательство. Имеем п'х = 2Ah'x. А значит, h'n > 0 при А > 0 и h'n < 0 при А < 0. Утверждение доказано.

4. Сравнение систем. Если точка, двигаясь по плоскости №?(n,h) на рисунке, пересекает бифуркационную диаграмму, то торы Лиувилля, лежащие в прообразе этой точки, некоторым образом перестраиваются. Вид перестроек для системы "шар Чаплыгина с ротором" описан в утверждении 1. Некоторые из линий Н = const на бифуркационной диаграмме, соответствующие регулярным значениям энергии, показаны на рисунке штрихпунктиром (кривые 1~4), а соответствующие им молекулы определены ниже.

Теорема 2. 1) При значениях параметров системы "шар Чаплыгина с ротором" без нулевых компонент, т,аки,х, что с2 ^ d2{J~1K, J~lK), каждом,у уровню Н = consti можно поставить в соответствие уровень Н = const2 случая Жуковского так, что отвечающие этим уровням молекулы совпадут,.

2) Существуют тлкие значения параметров системы Чаплыгина (что соответствует случаю с2 < d2(J~lK,J~lK)), что для, малых уровней энегрии она допускает, молекулы, которые не встречаются в случае Жуковского.

Доказательство. Отметим, что значениям с2 ^ d2(J~1K, J~lK) соответствуют бифуркационные диаграммы, изображенные на рисунке, в — д, а значениям с2 < d2(J~1K, J~lK) — бифуркационные диаграммы, изображенные на рисунке, а и б.

При доказательстве теоремы, чтобы сопоставить явные координаты особых точек из утверждения 2 и бифуркационные диаграммы из теоремы 1 при подстановке конкретных значений параметров К, I, d, с, были использованы средства программы Wolfram Matematica.

Рассмотрим случай с2 ^ d? {J-1 К, J-1 К). Для каждого вида бифуркационных диаграмм, изображенных на рисунке, в д, существует диаграмма случая Жуковского такого же вида. Проводя уровни Н = const, мы будем получать такие же молекулы, как и в случае Жуковского. Все они исчерпываются типами 1, 2 и 3 из таблицы.

Грубые молекулы системы "шар Чаплыгина с ротором"

Тип 1 A A Тип 2 A J^B A

Тип 3 A A A ^^ ^^ A Тип 4 A J^B A A"^^ ^^ A

Рассмотрим случай с2 < d2(J~1K, J~1K). Только при таких значениях с на бифуркационной диаграме присутствуют точки Z (когда с = 0) т L\. Тогда может быть проведена изображенная на рисунке допустимая кривая 4, которая соответствует грубой молекуле типа 4. Это прямая h = 3,2, построенная при К = (3, 7; 1, 23; 3, 84), I = (0,1; 2, 39; 7, 38), d = 1,02, с = 2,5. Таким образом, мы доказали существование такой молекулы в случае шара Чаплыгина, которая не встречается в случае Жуковского.

Теорема доказана.

В качестве примера можно привести явные значения параметров системы, при которых достигаются молекулы из теоремы 2. Рассмотрим К = (3, 84; 1,12; 2, 82), I = (0, 24; 1,12; 4, 44), d = 0, 34. Подставим эти значения в уравнения из утверждения 2, тем самым для всех точек, которые влияют на тип молекул, мы найдем координаты h и п, в которых единственным неизвестным параметром останется только с. Тогда прямым подсчетом легко проверить, что:

прямой 1 на рисунке, заданной уравнением h = 1, 5 при с = 3, 9, соответствует молекула типа 1; прямой 2, заданной уравнением h = 4 при с = 7, соответствует молекула типа 2; прямой 3, заданной уравнением h = 4, 7 при с = 7, соответствует молекула типа 3. Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за постановку задачи, а также А. А. Ошемкову и Е. А. Кудрявцевой за ценные обсуждения.

Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 17-1Ю1303).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.

2. Фоменко А.Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283-287.

3. Matveev S. V., Fomenko А. Т. Constant energy surfaces of Hamiltonian systems, enumeration of three-dimensional manifolds in increasing order of complexity, and computation of volumes of closed hyperbolic manifolds // Rus. Math. Surveys. 1988. 43, N 1. 3-24.

4. Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 2. 378-407.

5. Fomenko А. Т., Nikolaenko S.S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesies on the ellipsoid //J. Geom. and Phys. 2015. 87. 115-133.

6. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. Algebra and geometry through Hamiltonian systems // Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. Ser. "Solid Mechanics and Its Application". Vol. 211 / Ed. by V.Z. Zgu-rovsky, V.A. Sadovnichiy, Springer, 2014. 3-21.

7. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.

8. Кудрявцева E.A., Фоменко А. Т. Группы симметрии правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Сер. матем. 2012. 446, № 6. 615-617.

9. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.

10. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Матем. сб. 1903. 24. 139-168

11. Борисов A.B., Мамаев И. С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении шара // Матем. заметки. 1987. 70, № 5. 793-795.

12. Болсинов A.B. Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: РХД, 1999.

13. Москвин А.Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения // Нелинейная динамика. 2009. 5, № 3. 345-356.

14. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1988; 2-е изд. М.; Ижевск: Ин-т компьют. иссл., 2015.

15. Kilin A.A. The dynamics of Chapligin ball: the qualitative and computeral analysis // Regular and Chaotic Dynamics. 2001. 6, N 3. 291-306.

16. Жила А.И. Шар Чаплыгина с ротором: невырожденность особых точек // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 2. 3-12.

Поступила в редакцию 23.06.2017