Применение алгоритма Ковачича для исследования задачи о движении тяжелого тела вращения по абсолютно шероховатой плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36+531.384

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА КОВАЧИЧА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ПО АБСОЛЮТНО ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ*

А. С. Кулешов1, Г. А. Черняков2

1. Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, канд. физ.-мат. наук, доцент, kuleshov@mech.math.msu.su

2. Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, аспирант, glchern@gmail.com

Рассматривается классическая задача механики неголономных систем — задача о движении динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. С помощью алгоритма Ковачича [1] указываются некоторые новые случаи, когда удается выразить решение данной задачи с помощью квадратур.

Введение. Задача о качении без скольжения тяжелого динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной горизонтальной плоскости является одной из классических задач механики неголономных систем. В 1897 году С.А.Чаплыгин [2] установил интегрируемость данной задачи и показал, что ее решение сводится к интегрированию одного линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно компоненты угловой скорости тела в проекции на его ось симметрии. Однако не всегда удается отыскать решение данного дифференциального уравнения. В случае, когда движущееся тело представляет собой неоднородный динамически симметричный шар, решение соответствующего уравнения выражается через элементарные функции [2]. При движении по горизонтальной плоскости круглого диска или обруча решения указанного уравнения выражаются через гипергеометрические ряды [2]. Х. М. Муштари [3] продолжил исследование задачи о движении тяжелого тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. При дополнительном условии, накладывающем ограничения на форму поверхности тела и распределение масс в нем, были найдены два новых частных случая, когда движение тела можно исследовать полностью. В первом случае движущееся твердое тело ограничено поверхностью, образуемой при вращении дуги параболы вокруг оси, проходящей через ее фокус, а во втором случае движущееся твердое тело представляет собой параболоид вращения.

В 1986 году американский математик Дж. Ковачич предложил алгоритм [1], позволяющий получить общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в случае, если это решение выражается через так называемые лиувиллевы функции [1]. Напомним, что лиувиллевыми функциями называются такие функции, которые могут быть получены при помощи конечного числа следующих действий над рациональными функциями: выполнение алгебраических операций, вычисление неопределенного интеграла и нахождение экс-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00230).

© А. С. Кулешов, Г. А. Черняков, 2013

поненты от неопределенного интеграла. В случае, когда линейное дифференциальное уравнение не имеет лиувиллевых решений, алгоритм Ковачича также позволяет установить этот факт.

В данной работе обсуждается применение алгоритма Ковачича к задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Получены выводы о существований у уравнений задачи лиувиллевых решений в случае движения по горизонтальной плоскости бесконечно тонкого диска, диска конечной толщины, параболоида вращения, а также веретенообразного тела, рассматривавшегося в работе Х. М. Муштари [3].

Постановка задачи и уравнения движения. Пусть твердое тело, симметричное по форме и распределению масс относительно оси О£, проходящей через центр тяжести О тела, опирается в точке М о неподвижную горизонтальную плоскость Оху. Введем обозначения: в — угол между осью симметрии тела и вертикалью, в — угол между меридианом М£ тела и какой-либо фиксированной меридианной плоскостью, а а — угол между горизонтальной касательной М(3 меридиана М£ тела и осью Ох. Положение тела будет вполне определено углами а, в, в и координатами х и у точки М.

Рис. 1. Качение тела вращения: основные системы координат.

Кроме того, введем систему координат О£пС, движущуюся и в пространстве, и в теле так, что ось О£ все время лежит в плоскости вертикального меридиана MZ, а ось Оп перпендикулярна этой плоскости (рис. 1). Пусть векторы скорости v центра масс О, угловой скорости ш тела, угловой скорости П трехгранника О£пС и реакции плоскости R задаются в системе координат О£пС компонентами v£, vn, vz; p, q, r; Q^, Qn, Qz и Щ, Rn, Rz соответственно. Пусть m — масса тела, Ai —его момент инерции относительно осей О£ и Оп, а A3 — момент инерции относительно оси симметрии.

Заметим (см. [2]), что расстояние ОQ от центра тяжести до плоскости Oxy будет функцией угла 9, т.е. GQ = f(9). Координаты п, Z точки M касания тела и плоскости в системе координат О£пС также будут функциями только угла 9, причем п = 0, а

£ = -f (9) sin 9 - f '(9) cos 9, Z = -f (9) cos9 + f '(9) sin 9. (1.1)

Так как ось О£ неподвижна в теле, Q^ = p, Qn = q. Плоскость О££ все время остается вертикальной, поэтому Qz = Q^ ctg 9. Скорость точки тела, находящейся в

соприкосновении с плоскостью, равна нулю, поэтому

v? + qZ = 0, vri + r£ - pZ = 0, vc - q£ = 0.

Закон изменения импульса в проекции на ось Оп и закон изменения кинетического момента относительно осей О£ и О£ после простых преобразований дают

d (PZ - r6 ,, , а . ^ Rn

----(Cctg0 + Qpq= -¡-,

dt m

Aip3+(A3r - Aip ctg 0) q = -ZRn, A3r = CRn.

(1.2)

Отбрасывая в дальнейшем частный случай в = const и имея в виду, что q = - в, по исключении Rn из системы (1.2) получим

ap Z ar

A^ + AsWe = ~Alpctge + A3r>

„ dp A3 + m£2 dr . „ „,.

(1.3)

Два линейных дифференциальных уравнения первого порядка (1.3) относительно р и г можно свести к одному уравнению второго порядка относительно г:

d2 r d(P

+

cosfl | SmjA&' + AsCC)

sin в

+

Д

тс(е+со

Asin6>

(e(e + z '))

dr

e(e + z ')

d ((A^' - A3Z)sin в

d0

e+z '

- A3 sin в

r = 0, (1.4)

где Д = А1А3 + Агт^2 + А3т(2.

Дальнейшее решение задачи сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка (1.4). Мы будем рассматривать движение по горизонтальной плоскости различных тел, для каждого из которых будем выписывать соответствующее уравнение вида (1.4) и, используя алгоритм Ковачича, выяснять, допускает ли полученное линейное уравнение второго порядка решение, выражающееся через лиувиллевы функции.

Особенности применения алгоритма Ковачича к дифференциальным уравнениям. В этом параграфе обсуждаются особенности применения алгоритма Ковачича к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Данный алгоритм позволяет получить в явном виде общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, выраженное через лиувиллевы функции [1], или показать, что уравнение не имеет такого решения. Последовательное выполнение всех шагов алгоритма сопряжено с громоздкими, хотя и не сложными, вычислениями. Поэтому не будем углубляться в детали алгоритма: они подробно изложены в оригинальной работе Дж. Ковачича [1]. Сообщим здесь лишь первоначальные сведения.

Предполагается, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка, к которому может быть применен алгоритм Ковачича, имеет вид

d2y , i \dy , hi \ n

+ a (x) — + b (x) у = 0,

dx dx

(2.1)

где a (x) и b (x) —рациональные функции независимой переменной x. При помощи замены

.г = exp J а (х) dx^ у (2-2)

уравнение (2.1) записывается следующим образом:

0 = Л (х) z, R (х) = \ ^ + \ (а (х))2 -Ъ(х). (2.3)

В дальнейшем рациональная функция R (x) раскладывается в сумму простых дробей и производится анализ ее конечных полюсов, а также полюса в бесконечности. На основании полученных данных делается вывод о существовании у уравнения (2.3) лиувиллевых решений.

Для каждого из тел, катящихся по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости, мы будем получать соответствующее уравнение (1.4) и приводить его к виду (2.3). После этого мы будем лишь кратко сообщать, какие результаты относительно существования у дифференциального уравнения лиувиллевых решений были получены при помощи алгоритма Ковачича.

Качение бесконечно тонкого диска. Сначала рассмотрим задачу о движении по абсолютно шероховатой плоскости динамически симметричного бесконечно тонкого круглого диска. Будем предполагать, что центр масс диска совпадает с его геометрическим центром; радиус диска равен R. Тогда расстояние от центра масс диска до опорной плоскости выражается формулой

f (0) = R sin 0.

По формулам (1.1) получаем £ = —R, Z = 0, и в результате уравнение (1.4) для бесконечно тонкого диска принимает вид

d2r cos 0 dr A3mR2

В уравнении (3.1) сделаем замену независимой переменной по формуле sin 0 = x. Введем следующие обозначения:

A3mR2

B= АМз + т&У У{х)=г{в{х))-

В результате замены уравнение (3.1) перепишется в виде

d2y + 1 - 2ж2 dy В _ o dx2 x(1 — x2) dx 1 — x2

Полученное уравнение является исходным для применения алгоритма Ковачича. Если положить

1 — 2ж2 В

= ~T¡-2V = -2 '

x(1 — x2 ) 1 — x2

то уравнение (3.2) будет в точности иметь вид уравнения (2.1). При помощи замены вида (2.2) уравнение (3.2) приводится к уравнению

d2 z

— =D(x)z, (3.3)

dx2

^ N 8B — 5 8B — 5 D{x)

16(х +1) 16(х - 1) 4х2 16(х - 1)2 16(х +1)2' Разложение функции D(x) в ряд Лорана в окрестности х = то имеет вид

В /1

0{х)\х=00 «--п+0[ —т

Все первоначальные действия, необходимые для применения алгоритма Кова-чича, произведены. Непосредственное применение алгоритма Ковачича к уравнению (3.3) приводит к следующему результату:

Теорема 3.1. При всех физически допустимых значениях параметров задачи уравнение (3.3) не имеет решения, выражающегося через лиувиллевы функции. □

Замечание 3.1. Здесь и всюду в дальнейшем нами будут рассматриваться только те значения параметров задачи, которые имеют физический смысл. Однако алгоритм Ковачича позволяет найти лиувиллевы решения линейного дифференциального уравнения второго порядка при любых значениях параметров. Например, если B = 0 (масса диска сосредоточена на его оси симметрии), то уравнение (3.1) имеет решение, выражающееся через элементарные функции:

r(0) = Ciln (tg^+C2.

Замечание 3.2. Как уже отмечалось, в работе С.А.Чаплыгина [2] было установлено, что общее решение уравнения (3.1) выражается с помощью гипергеометрических рядов. Таким образом, нами доказано, что ни при каких физически допустимых значениях параметров задачи эти гипергеометрические ряды не сводятся к более простым функциям.

Качение диска конечной толщины. Пусть снова по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости движется динамически симметричный диск. Однако теперь предположим, что центр масс диска не совпадает с его геометрическим центром, а отстоит от него на некоторое расстояние h по оси симметрии. Про такой диск принято говорить, что он имеет «конечную толщину» [4]. Будем считать, что в процессе движения диск наклонен по отношению к вертикали и, следовательно, касается плоскости в единственной точке. Радиус диска по-прежнему будем обозначать через R. Расстояние от центра масс диска до опорной плоскости выражается формулой

f (в) = R sin в + h cos в.

Тогда £ = —R, Z = —h и уравнение (1.4) принимает вид

d2r cos в dr A3mR(R sin в + h cos в) / п \ .

--1---------'---r = 0 0GÍO-] (41)

de2 sind de (A-iAs+A-mitf + Asmh^sine ' V ' 2) '

В уравнении (4.1) сделаем замену независимой переменной по формуле ctg в = x. Введем следующие обозначения:

A3 mR2 h

Bl = A^+AymV+Azmh2' Д'

1

3

3

В результате уравнение (4.1) перепишется в виде <12У х ¿у В1(В2х + 1)

¿.х2 + х2 + 1сЬ (ж2 +1)2 У К >

При помощи замены вида (2.2) уравнение (4.2) запишем следующим образом:

. (4В1 + 1)г 3 + 4В1 - 4В1В2г (4В + 1)г 3 + 4В + 45^ 1) 1(ж) -

16(х + г) 16(х + г)2 16(х — г) 16(х — г)2

Разложение функции ^(ж) в ряд Лорана в окрестности х = то имеет вид

Непосредственное применение алгоритма Ковачича к уравнению (4.3) приводит к следующему результату.

Теорема 4.1. При всех физически допустимых значениях параметров задачи уравнение (4-3) не имеет решения, выражающегося через лиувиллевы функции. □ Замечание 4.1. В работе М. Батисты [4] было установлено, что общее решение уравнения (4.1) выражается с помощью гипергеометрических рядов. Как видно, в данном случае, так же как и в случае бесконечно тонкого диска, получающиеся гипергеометрические ряды не приводятся к лиувиллевым функциям ни при каких физически допустимых значениях параметров.

Качение параболоида вращения. Пусть теперь по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости катится тело, меридиан поверхности которого — парабола с параметром 2А. Пусть центр тяжести тела находится в фокусе этой параболы. Тогда высота центра масс параболоида над опорной плоскостью равна

= éi-

и по формулам (1.1)

2А sin 0 „ А sin2 0 ~ „

£=--Т-, С=-2Т~Х> £2=4АС + 4А2.

cos 0 cos2 0

Уравнение (1.4) в случае качения по плоскости динамически симметричного параболоида вращения принимает вид

d2 r dr

^ + с5"1)

_ cos2 0 — 4 6(Аз — 2(Аз—А-1) cos2 0)mA2 sin0

1 ~ sin 0 cos 0 + ((At A3+4 (A3 - At) тоA2) cos4 0 - 4 (A3 - At) mA2 cos2 в+А3 mA2) cos 0'

2mA2(A3 - 2A1)(l+ cos2 0)

2 ~ (A1A3 + 4(A3 - Ai)mA2) cos4 0 - 4(A3 - Ai)mA2 cos2 0 + A3mX2 '

Видно, что при A3 = 2Ai уравнение (5.1) имеет простое частное решение r = ro = const. Это обстоятельство было впервые отмечено в работе Х. М. Муштари [3].

В уравнении (5.1) сделаем замену независимой переменной по формуле cos2 в = х. Введем также следующие обозначения:

B = тоА2, y(x) = г(в(х)).

В результате уравнение (5.1) перепишется следующим образом:

Jf, 5 - 3х 3(Аз - 2(Аз - Ai )x)B

ai(x) =

d2(х) =

2х(1 - х) ((A1A3 + 4(A3 - A1)B)x2 - 4(A3 - A1)Bx + A3B)x' (A3 - 2Ai)B(x +1)

2х(1 — х)((А1 А3 + 4(А3 — А )В)х2 — 4(А3 — А )Вх + А3В)'

Обозначим через х1, х2 комплексно сопряженные корни многочлена второй степени

(А1А3 + 4(А — А1)В)х2 — 4(А — А1)Вх + А3В. Замена вида (2.2) приводит уравнение (5.2) к следующему виду

^4=П(х)г, (5.3)

йх2

в1 «1 02 «2 в3 «3 За «4 П(х) = -- + --—^ Н---1--т- Н---Ь т-^ Н---Ь

х — 1 (х — 1)2 х х2 х — х1 (х — х1)2 х — х2 (х — х2 )2 '

3 5 3

а 1 = —, ао = —, а3 = «4 =--,

1 4' 16' 16'

4x1 + 4x2 — ЗХ1Х2 — 5 XI + Х2 + 2x1x2

4(х1 — 1)(х2 — 1) ' 8х1х2 '

4x1 + Ж2 — 7x1x2 — 2х2 + 4х2х2 XI + 4x2 — 7X1X2 — 2х| + 4х1х|

8х1(х1 — х2)(х1 — 1) ' 8х2(х1 — х2) (х2 — 1)

Разложение функции П(х) в ряд Лорана в окрестности х = то имеет вид

3 ( 1 П(х)|_«--

Непосредственное применение алгоритма Ковачича к уравнению (5.3) приводит к следующему результату.

Теорема 5.1. При любых физически допустимых значениях параметров задачи все решения уравнения (5.3) выражаются через лиувиллевы функции. □

Впервые тот факт, что решение задачи о качении параболоида вращения по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости приводится к квадратурам, был отмечен в работе А. С. Кулешова [5].

Качение веретенообразного тела. Рассмотрим задачу о качении по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости тела, поверхность которого образована

вращением дуги параболы относительно оси, параллельной директрисе и проходящей через фокус параболы. Такое тело напоминает по форме веретено, за что и получило свое название (рис.2). Задача о движении веретенообразного тела рассматривалась Х. М. Муштари [3], который дал полное решение соответствующей задачи при дополнительном ограничении на моменты инерции тела:

3A3 = 2Ai.

(6.1)

Для рассматриваемого тела высота его центра масс над опорной плоскостью выражается формулой

f{d) = —а, А = const, sin в

Рис. 2. Качение веретенообразного тела по горизонтальной плоскости.

Используя формулы (1.1), находим координаты £ и Z точки касания тела с опорной плоскостью:

Л cos2 в > 2А cos в >2 , w.

£= ■ -А, С=--r-д-, С=4А£ + Л.

sin2 в sin в

В результате уравнение (1.4) в случае качения по плоскости веретенообразного тела принимает вид

d2r dr / п \ ,

^ + bl-+b2r = 0, в G (О, -) , (6.2)

_ (4 sin4 в - 24 sin2 в + 15) cos в 1 ~ (1 — 2 sin2 é>)(3 — 2 sin2 в) sin в ~

6(Ai - 2(Aí - А3) sin2 в)т\2 cos в {{A-íA-i + 4(At - A3)mX2) sin4 в - 4(At - A3)mX2 sin2 0 + ArmX2) siné»'

b2

(3A3 - 2A1)mA2 (1 - 2 sin2 в)2

(3 - 2 sin2 в)((А1 A3 + 4(A1 - A3)mA2) sin4 в - 4(A1 - A3)mA2 sin2 в + A1mA2) Если ЗА3 = 2A1, то уравнение (6.2) допускает решение (см. [3])

r = ro = const.

В уравнении (6.2) сделаем замену независимой переменной по формуле sin2 в = x. Введем также следующие обозначения:

B = тоА2, y(x) = г(в(х)).

В результате уравнение (6.2) перепишется следующим образом:

+ di(x)^j- + d2{x)y = 0, (6.3)

dX dx

, . . 18-53x+48x2 - 12x3 3(A -2(A -A3)x)B

di{x) =

d2 (x)

2x(1 - x)(1 - 2x)(3 - 2x) ((A1A3+4B(A1 - A3))x2 - 4B(A1 - A3)x+A1B)x' (3A3 - 2A1)(1 - 2x)2b

4х(1 — х)(3 — 2х)((А1 А3 + 4В(А1 — А3))х2 — 4В(А1 — А3)х + А1В)'

Обозначим через х1, х2 комплексно сопряженные корни многочлена второй степени

(А1А3 + 4В(А1 — А3 ))х2 — 4В(А1 — А3 )х + А1В. Замена вида (2.2) приводит уравнение (6.3) к виду

—2 = ад*, (6.4)

Я( \ - ^ °А I I "2 I I аз

[Х>~ х +х-1 + (х-1)2 + х-1 + (х-±)2 х-§ + (х-|)2 +

/?4 + «4 + /?5 + «5

x - x1 (x - x1 ) 2 x - x2 (x - x2 ) 2

33

«1 = «4 = «5 = -777, «2 = аз = 7, 16 4

р _ 3(xi + х2) - 4xix2 _ 4xix2 - 9(xi + х2) + 12

48x1x2 ' 16(x1 - 1)(x2 - 1) '

_ 3(xi + х2 - 1) _ 15(xi + х2) - 8x1x2 - 27

1 ~ (2xi - 1)(2х2 - 1)' ~ 3(2xi - 3)(2х2 - 3) '

(8x3 - 36x1 + 51x1 - 25) (4x2 - 3) x1 + 15 (x1 - 1) x1 + 3 (x2 - x1)

в4 = -в =

16x1 (x1 - 1) (2x1 - 1) (2x1 - 3) (x1 - x2) (8xf - 36x2 + 51x2 - 25) (4x1 - 3) x2 + 15 (x2 - 1) x2 +3 (x1 - x2)

16х2 (х2 — 1) (2х2 — 1) (2х2 — 3) (х1 — х2) Разложение функции ^(х) в ряд Лорана в окрестности х = то имеет вид

31

ад|*=оо« -т^2+о

Непосредственное применение алгоритма Ковачича к уравнению (6.4) приводит к следующему результату.

Теорема 6.1. Уравнение (6.4) имеет решение, выражающееся через лиувиллевы функции, в единственном случае — когда параметры задачи удовлетворяют условию Муштари (6.1). При других значениях параметров уравнение (6.4) не допускает ли-увиллевых решений. □

Замечание 6.1. Прямым применением алгоритма Ковачича к уравнению (6.4) легко доказать, что это уравнение не допускает лиувиллевых решений всякий раз, когда в разложении функции S(x) на простые дроби имеется полюс первого (нечетного) порядка в точке x = 0. При выполнении условия Муштари (6.1) имеем во = 0 и у функции S(x) нет особенности в точке x = 0.

Таким образом, доказано существование или отсутствие лиувиллевых решений в задачах о качении по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости бесконечно тонкого диска и диска конечной толщины, параболоида, а также веретенообразного тела, впервые рассмотренного в работе [3]. Доказанные утверждения существенно дополняют известные ранее результаты.

Литература

1. Kovacic J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations // Journal of Symbolic Computation. 1986. Vol. 2. P. 3—43.

2. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. 9. Вып. 1. С. 10-16.

3. Муштари Х. М. О катании тяжелого твердого тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости // Мат. сборник. 1932. Т. 39, №1-2. С. 105-126.

4. Batista M. Integrability of the Motion of a Rolling Disk of Finite Thickness on a Rough Plane // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2006. Vol. 41. Issues 6-7. P. 850-859.

5. Кулешов А. С. Первые интегралы в задаче о движении параболоида вращения по шероховатой плоскости // Доклады РАН. Т. 400, № 1. С. 46-48.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.