Анализ нормальной реакции в задаче о качении без скольжения диска по неподвижной плоскости Текст научной статьи по специальности «Физика»

2222

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2222-2223

УДК 531.01

АНАЛИЗ НОРМАЛЬНОЙ РЕАКЦИИ В ЗАДАЧЕ О КАЧЕНИИ БЕЗ СКОЛЬЖЕНИЯ ДИСКА ПО НЕПОДВИЖНОЙ ПЛОСКОСТИ

© 2011 г. О.М. Капустина

Московский госуниверситет прикладной биотехнологии kapustinaom@gmail.com

Поступила в редакцию 24.08.2011

Рассматривается диск, катящийся без скольжения по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. В пространстве интегралов задачи с1 , с2 , И , где И - энергия диска, строится множество точек, определяющих движения диска, при которых вертикальная проекция Яп реакции плоскости в точке контакта может принимать отрицательные значения, что приводит к отрыву диска от поверхности. Исследование выполнено с помощью системы компьютерной алгебры МаШетайса 7.

Ключевые слова: катящийся диск, шероховатая плоскость, множество в пространстве интегралов, движение с отрывом, визуализация.

Изучение движения тела с неудерживающей связью следует из необходимости анализа реакции плоскости в точке контакта [1, 2]. Эта реакция может привести как к нарушению контакта тела с плоскостью и отрыву, так и к скольжению тела. В обоих случаях уравнения динамики, описывающие движение в фазе контакта, становятся неприменимы. Представлены результаты исследования вертикальной реакции в задаче о движении диска на плоскости.

По неподвижной горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости катится без скольжения тяжелый однородный бесконечно тонкий круглый диск с массой т и радиусом р. Вводится неподвижная система координат ОХ*У*2*, ко -ординатная плоскость ОХ*У* которой совпадает с плоскостью качения (рис. 1). Подвижная система координат СхуЕ жестко связана с диском; Сх, Су, Се - его главные центральные оси инерции; оси Сх, Су, расположены в плоскости диска, Се - ось динамической симметрии. Положение диска относительно системы ОХ*У*2* определяется координатами центра масс хС, уС , ес и углами Эйлера у, 0, ф.

X

Z

z У

0

O \

Y*

x

* Ш C

0 -JS

Для описания движения диска используется гипергеометрическое уравнение Гаусса

d 2r dr 4 . л

—r- + ctg-r = 0, r = Ш cos 0 + ф,

d 02 d 0 3 Y Y

решение которого имеет вид

( 9Л г

r = c F a, b,1,sin2 —

1 2 v ^

+ c2 F

a, b,1, cos2 —

2

(1)

Рис. 1

а = 1/2-/>/39/6, Ь = 1/2 + /а/39/6, Е(а,Ь,е,и) -гипергеометрическая функция; е~1, ~2 - константы, рассматриваемые как интегралы задачи.

Перейдя к безразмерному времени т = = л/^/рр > g - ускорение свободного падения, и обозначив е1 = л]р/ gc1, е2 =д/р^е2, с помощью (1) составим безразмерный интеграл энергии соответствующей одностепенной консервативной задачи [3]:

1 • 2

- е2 + Ж (0, е1, е2) = И, (2)

И = 4E/(5mgр), Е - полная энергия диска, Ж(0, е1 , е2) - приведенная потенциальная энергия.

Контакт между диском и плоскостью сохраняется, если проекция на вертикаль реакции плоскости Яп удовлетворяет неравенству Яп(0,е1,е2,И) > 0.

При фиксированном значении И уравнения Ж (0, е15 е2) = И, (3)

Кп ( 0 е^ е 2»И ) = 0 (4)

определяют поверхности, выделяющие в пространстве переменных е1 , е2 , 0 области возмож -ности движений и области, в которых Яп может

принимать отрицательное значение.

В работе дается описание топологии поверхностей (3), (4). При различных значениях И строятся сами поверхности и их проекции на плоскость интегралов е1 , е2 . Можно заметить, что при каждом фиксированном 0 и И уравнение (3) определяет кривую на плоскости переменных е1 , е2 , а огибающая семейства этих кривых при 0 < 0 < п есть изоэнергетическое сечение поверхности стационарных движений диска [4], построенной в пространстве интегралов е1 , е2 , И. В точках поверхности стационарных движений вертикальная реакция равна весу диска.

Пересечение указанных проекций поверхностей (3), (4) представляет собой множество значений е1 , е2 , определяющих при заданном И движения диска, на которых Яп принимает отрицательные значения и, следовательно, происходит отрыв. На плоскости переменных 0,0) строятся отвечающие различным значениям е1 , е2 , И фазовые кривые (2) и график функции Яп(0). По результатам численного интегрирования уравнений динамики диска создается анимация движений диска [5], сопровождаемая синхронным построением графика функции Яп(?).

На рис. 2 представлено: а - проекция поверхности (3) (закрашена), б - проекция поверхности (4) (закрашена) на плоскость интегралов е15 е2 при И = 1, в - проекции поверхностей (3), (4), изображенные на одном рисунке. На движении, отвечающем точке М1 проекции поверхности (3), не принадлежащей проекции поверхности (4), Яп > 0 во все время движения и, следовательно, отрыв не происходит. На движении, отвечающем точке М2, принадлежащей пересечению проекций, Яп становится отрицательной при некотором значении 0, что приводит к отрыву диска.

Работа выполнена совместно с Ю.Г. Мартыненко (Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова) при финансировании РФФИ в рамках гранта 09-01-00593а.

-1,0

а)

о

б)

1,0 c1

M1

-1,0 о 1,0 c1

в)

Рис. 2

Список литературы

1. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999. 572 с.

2. Иванов А.П. Геометрическое представление условий отрыва в системе с односторонней связью // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, №3. С. 303-312.

3. Капустина О.М., Мартыненко Ю.Г. Компьютерные технологии в теоретической механике // Современные проблемы механики и ее преподавания в вузах: Докл. IV Всерос. совещания-семинара зав. ка -федрами и вед. преп. вузов РФ. Новочеркасск, 21-24 сент. 2010 г. / Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010. С. 92-95.

4. Борисов А.В., Мамаев И.С., Килин А.А. Динамика катящегося диска // Неголономные динамические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы: Сб. статей. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. С. 99-117.

5. Капустина О.М., Мартыненко Ю.Г. Движения диска на шероховатой плоскости http:// www.youtube.com/watch?v=PbEt_DKOvT8.

c

0

-1,0

c

0

-1.0

ANALYSIS OF THE NORMAL REACTION IN THE PROBLEM OF NON-SLIPPING ROLLING

OF A DISK ALONG A FIXED PLANE

O.M. Kapustina

Non-slipping rolling of a disk along a fixed absolutely rough horizontal plane is considered. In the space of integrals of the problem сl, с2, h, where h is the energy of the disk, a set of points that define the motion of the disk, where the vertical projection of R reaction plane at the contact point can be negative, which leads to detachment the disc from the plane, is constructed. The research was done using the Mathematica 7 computer algebra system.

Keywords: rolling disk, the rough plane, set in the space of integrals, motion with the detachment, visualization.