О качении параболоида вращения по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.384

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 1 (59). 2014. Вып. 4

О КАЧЕНИИ ПАРАБОЛОИДА ВРАЩЕНИЯ

ПО НЕПОДВИЖНОЙ АБСОЛЮТНО ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ*

А. С. Кулешов, Г. А. Черняков

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, Российская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, 1

Рассматривается классическая задача динамики неголономных систем — задача о качении динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной горизонтальной плоскости без проскальзывания. Доказано, что данная задача может быть полностью решена в случае, когда движущееся твердое тело является параболоидом вращения. Дано качественное описание движения параболоида по плоскости. Показано, что следом точки касания M на поверхности параболоида будет кривая, состоящая из периодически повторяющихся волн и прикасающаяся поочередно к двум параллелям параболоида. След точки касания на неподвижной плоскости образует кривую такого же характера, заключенную между двумя концентрическими окружностями, которых точка M поочередно касается при движении параболоида. Описаны все стационарные движения параболоида (перманентные вращения и регулярные прецессии) и доказано, что все они являются устойчивыми. Библиогр. 6 назв. Ил. 3.

Ключевые слова: параболоид вращения, анализ квадратур, стационарные движения, устойчивость.

Постановка задачи и уравнения движения. Рассмотрим задачу о движении без скольжения твердого тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной горизонтальной плоскости. Предполагаем, что центр тяжести G тела расположен на оси симметрии GZ, а моменты инерции относительно главных центральных осей инерции G£ и Gn, перпендикулярных GZ, равны между собой. Движение происходит в однородном поле тяжести.

Пусть Oxyz — неподвижная система координат с началом в некоторой точке плоскости Oxy, по которой движется тело. Обозначим через в угол между осью симметрии тела и вертикалью. Расстояние (рис. 1) GQ от центра тяжести до плоскости Oxy будет функцией угла в (см. [1, 2]):

GQ = f (в). (1.1)

Пусть в — угол между меридианом MZ тела и какой-либо фиксированной его меридианной плоскостью, а а — угол между горизонтальной касательной MQ меридиана MZ и осью Ox. Положение тела будет вполне определено углами а, в и в и координатами x и y точки M.

Теперь конкретизируем расположение осей системы координат G£nZ. Пусть ось G£ все время лежит в плоскости вертикального меридиана MZ, а ось Gn перпендикулярна этой плоскости. Очевидно, что система координат G£nZ движется и в пространстве и в теле. Пусть n, Z — координаты точки касания M тела и плоскости в системе координат G£nZ. Тогда (см. [1, 2]):

£ = -f (в) sin в - f '(в) cos в, n = 0, Z = -f (в) cos в + f '(в) sin в, (1.2)

где штрихом обозначена производная функции f (в) по в. Таким образом, функция f (в) полностью характеризует форму поверхности движущегося тела.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00230).

Z' в/

G /

Л / /

у / У

/ О V

x^ä м Q

Рис. 1. Качение тела вращения: основные системы координат.

Пусть векторы скорости v центра масс G и угловой скорости ^ тела задаются в системе координат G£nC компонентами v%, vn, v^; p, q, r соответственно. Пусть m — масса тела, A1 — его момент инерции относительно осей G£ и Gn, а A3 — момент инерции относительно оси симметрии. Движение тела по плоскости происходит без проскальзывания, поэтому

+ qC = 0, Vn + re - pC = 0, vc - q£ = 0,

а для четырех неизвестных функций времени p, q, r и 0 мы имеем закнутую систему уравнений [1]:

[Ai + т {С2 + С2)] dft = mgf'iß) + (A3r - AlPctg0)p-

- mp (C ctg в + £) (PC " r£) - mg + C§) , (1-3)

d . . ..A3 dr .. _ .. d0

Система уравнений (1.3) обладает интегралом энергии: Aip2 + (Ai + m (С2 + C2)) q2 + A3r2 + m (pC - r£)2 + 2mgf (0) = c2 = const. (1.4)

Будем считать, что 0 = const. Тогда, используя последнее уравнение системы (1.3), перейдем во втором и третьем уравнении этой системы к новой независимой переменной — углу 0. Получим

dp C dr ^dp A3 + mC2 dr _

(1.5)

Интегрирование системы (1.5) дает зависимость р и г от 0 с двумя произвольными постоянными, после чего интегрирование задачи заканчивается в квадратурах. К

настоящему времени данная задача была полностью решена в случае, когда движущееся твердое тело представляет собой неоднородный динамически симметричный шар [1, 2] или круглый диск [2, 3]. В работах [4, 5] было показано, что эта задача может быть полностью решена также в случае, когда движущееся твердое тело является параболоидом вращения. Данная работа посвящена детальному анализу движения динамически симметричного параболоида вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.

Движение параболоида вращения. Предположим, что меридиан поверхности, ограничивающей твердое тело, представляет собой параболу с параметром 2А. Тогда по формулам (1.1) и (1.2) имеем

А 2А sin в А sin2 в 2 2

№ =-д, £ =---¡Г, с=-27Г-А> £2=4АС + 4А2. 2.1

cos в cos в cos2 в

Катящееся по горизонтальной плоскости твердое тело является в этом случае параболоидом вращения, центр тяжести которого находится в фокусе образующей параболы. Можно показать (см. [4, 5]), что решение системы (1.5) имеет в этом случае вид

г {е)=у 1Щ(ci cos ф {е)+С2 sin ф {е))'

p (в)=-

cos в

2А1у/К1 (в) sin 9

(c2 cos Ф (в) - ci sin Ф (в)) D cos в+

2 A

+ 3 (К 1 (в) + (2Ai -А3)тХ2 (1 -2cos2 в)) (ci cosФ (в) + с2 sin$(ff)) VK2 (в)

9 3 2

Ф(А)=2шА2Д f D=y/2A1A3 (А3 + 4тХ^) (2At - А3),

0 K1 Ы V K2 Ы

K (в) = (A1A3 + 4A1mA2) cos4 в - 2A3mA2 cos2 в + A3mA2,

K2 (в) = (A1A3 + 4mA2 (A3 - A1)) cos4 в - 4mA2 (A3 - A1) cos2 в + A3mA2.

Здесь C1 и C2 — произвольные постоянные, а функция Ф (в) выражается через эллиптические интегралы. Видно, что функции p (в) и r (в) имеют довольно сложный вид. Они упрощаются только в частном случае, когда моменты инерции параболоида связаны соотношением A3 = 2A1. В этом случае имеем

2 cos в

D = О, Ф(0)=О, г (в) = ci = const, р(в) = ———ci.

Указанный частный случай был полностью исследован в работе Х. М. Мушта-ри [6]. Однако представляет интерес исследование движения параболоида, когда D = 0 и, следовательно, Ф (в) = 0. Эллиптические интегралы, через которые выражается функция Ф (в), не упрощаются ни при каких соотношениях на моменты инерции, кроме указанного выше. Таким образом, исследование движения параболоида

вращения по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости проходит одинаково для всех значений моментов инерции, не связанных соотношением Аз = 2А.1. Поэтому будем считать, что движущийся параболоид является однородным. Плоскостью, перпендикулярной к оси симметрии параболоида, можно отсечь от него такой сегмент, что его центр тяжести будет как раз в фокусе образующей параболы. Простые вычисления показывают, что для этого секущая плоскость должна определяться условием £ = Л/2. Экваториальный и осевой главные центральные моменты инерции соответствующего сегмента будут равны

Ai

9 л -mA

2

Аз

2mA2.

(2.2)

При качении данного сегмента по плоскости пределы изменения угла в будут иметь вид

Í2

—0Ф < 0 < 0*, 0* = arceos \ —.

V 5

Функции p (в), r (в) и Ф (в) запишутся следующим образом:

r (0)

27 cos4 0 — 16 cos2 0 + 8 23 cos4 0 - 14 cos2 0 + 8

(ci cos Ф (0) + c2 sin Ф (0)),

P(0) = —

4 cos 0

a/3cos 0

sin 0a/27 cos4 0-16 cos2 0 + 8 4 (3 cos4 0 - 2 cos2 0 + 1)

+ L i0 лл 2fll0 Cl COS Ф 0 + C2 Sin Ф 0

V 23 cos4 0 - 14 cos2 0 + 8 0

24a/3 sin3 f cos2 fdf

(c2 cos Ф (0) - c1 sin Ф (0)) +

ф(0) = J.

(27 cos4 f — 16 cos2 f + 8) ^23 cos4 <p - 14 cos2 92 + 8'

Из интеграла энергии (1.4) с учетом явных величин (2.2) моментов инерции Л и Аз получаем

mA2 (8+ 9 cos4 0) 2 / 2 2mgA N л2

-W0-9 =(vc°-^J-mA

9 2 2 2 sin0 1 - 2 cos2 0 -р2 + 2r2 + I -—г + v ' ■

cos 0

cos2 0

Умножая это равенство на sin в и учитывая последнее уравнение системы (1.3), получаем

mA2

— (9 + 8ад4) ( Чг ) (со - 2тд\и) - К0, (2.4)

í dw \ 2

(9 + 8м4) Í ) = и2 (и2 - 1) (с20 - 2тд\и) - К

где введено обозначение и =1/ cos 0, а функция Ко определяется равенством

= mA2 w2

-и2р1 +2 (и2 - 1) г2 + (2 (и2 - 1) г + и (и2 - 2) Plf 8i

pi = p sin 0.

2

Если С1 = С2 = 0, то во все время движения р = г = 0. Движение параболоида происходит так, что его ось симметрии находится в фиксированной вертикальной плоскости. Изменение со временем угла 0, составляемого осью с вертикалью, определяется уравнением (2.4), в котором нужно положить Ко = 0:

'—(9 + 8г/4) (^У = ^ (и) = и2 {и2 - 1) (с2 - 2тдХи) .

8 у у

При и = 1 центр масс параболоида занимает наинизшее положение, поэтому при с2 < 2тдЛ движение параболоида невозможно. При с2 > 2тдЛ ось симметрии параболоида совершает колебательное движение в вертикальной плоскости с амплитудой, не превосходящей значения 0*, при этом следом точки касания на плоскости будет отрезок прямой. Поскольку мы предполагаем, что при качении параболоид постоянно опирается о плоскость своей поверхностью, должны выполняться неравенства

/б" , , 1 < « < у 2' (2-5)

поэтому в действительном движении 2тдХ < с2 < л/ТОтдХ.

Параболоид может совершать стационарные движения, при которых его ось симметрии составляет постоянный угол 0о с вертикалью. Такие движения будут рассмотрены ниже.

Исследуем характер движения параболоида в общем случае. Для этого заметим, что в действительном движении выполняются неравенства (2.5) и правая часть уравнения (2.4) должна быть неотрицательной. Иными словами, в действительном движении

Анализируя функцию ^ (и), видим, что

^ (-то) > 0, ^ (-1) < 0, ^ (0)=0, ^ (1) < 0, ^ (+то) < 0.

Следовательно, возможны два типа графиков функции F (u), представленные на рис. 2. Таким образом, функция F (u) имеет два корня на отрезке (2.5) и представляет собой однозначную функцию. Отсюда следует, что u (t) = 1/cos в (t) есть периодическая функция от времени.

В рассматриваемом движении u колеблется между значениями U1 и U2, то есть U1 < u < u2, причем u = 1, если p1 = 0. Нетрудно заметить, что следом точки касания на поверхности параболоида будет кривая, состоящая из периодически повторяющихся волн и прикасающаяся поочередно к двум параллелям параболоида. След точки

(а) (б) (в)

Рис. 3. Траектории точки касания параболоида на опорной плоскости, построенные при различных начальных условиях: а — 0(0) = п/6, 9(0) = 0.05, р(0) = 0.2, г(0) = 0.7; б — 0(0) = п/8, 9(0) = 0.08, р(0) = 0.2, г(0) = 1; в — 0(0) = п/4, 9(0) = 0.05, р(0) = 0.2, г(0) = 1.3.

касания на неподвижной плоскости образует кривую такого же характера, заключенную между двумя концентрическими окружностями, которых точка M поочередно касается при движении параболоида. Рисунок 3 иллюстрирует этот факт.

Стационарные движения параболоида и их устойчивость. При в = 0

система уравнений (1.3) допускает частное решение

p = 0, r = ш = const, q = 0, в =0. (3-1)

В этом движении параболоид вращается вокруг своей неподвижной вертикально расположенной оси симметрии с произвольной постоянной угловой скоростью ш. Можно показать (см. [1]), что для произвольного тела вращения условие устойчивости соответствующего стационарного движения имеет вид

(Аз + m/o (fo + /0'))2 ш2 + 4mgf0' (Ai + m/2) > 0, (3.2)

где индексом 0 обозначены значения функции и ее второй производной по в при в = 0. Учитываем, что в случае параболоида

,,, S, Л (1+sin2 в)

cos3 в

= Л > 0,

в=0

следовательно, в левой части неравенства (3.2) стоит положительное выражение и решение (3.1) будет устойчивым при любом значении постоянной ш.

Из уравнений (1-3) видно, что параболоид может совершать стационарные движения, при которых угол в, составляемый осью симметрии параболоида с вертикалью, остается постоянным:

в = во =0, q = 0, p = po, r = ro, во e (-в,, в,), (3-3)

если постоянные во, po и ro удовлетворяют уравнению [1]

aiiPo + ai2poro - mg/ = 0, (3.4)

«11 = [Ai - /о ) Ctg 6»о, «12 = - \Аз - 4—|-/о

\ cos в|] / \ Sin в0

Решению (3.3) отвечает регулярная прецессия параболоида. Условие устойчивости решения (3.3) имеет вид [1]

biip2 + bi2Poro + b22r2 + mg/'' > 0, (3.5)

(Ai + mC02) (1 + 2 cos2 0o) m^o (fo sin 0o + 3Zo cos 0o) 611 =---1----^

sin2 0 sin 0

A3 то Co (go + Co) ((A + TOCo) cos 0О + mgoCo sin 0O) + (Ai A3 + A!to£2 + A3mCo2) sin0o

ь ^/л \ cos6>o mgoCo (1 + eos2 0O) 612 = - (ЗА3 + 3+ m^Co) —a---r^-7--Ь

mgo (2A3 + 2mg2 + mg¿Co) / cos0o _ \ _ + A1A3 + Aim^g + A3mQ ^l4°sin0o

A3mCoCÓ Л , Л2 , m£oCo COS 0C

Аз + mÇ o +

A1A3 + Aim£2 + АзтС2 ' '""°u ' sin0,

, Л , .2 , m^oCo cos 0o \ A3 (A3 + mÜ + m£o Co) 622 " Г3 + + Sin 0o ) А^з + А^+АзтСо2'

Легко видеть, что коэффициенты bj, входящие в неравенство (3.5), являются довольно громоздкими. Можно показать, что для однородного параболоида, моменты инерции которого определяются равенствами (2.2), а угол 0 меняется в пределах (2.3), коэффициенты bj удовлетворяют следующим неравенствам:

bii > 0, b22 > 0, bi2 - 4biib22 < 0.

Это означает, что квадратичная форма Ьир° + bi2p or o + b22r 2 является положительно определенной при всех значениях постоянных po, ro, 0o. Учитывая, что слагаемое mg/'' также является положительным, заключаем, что регулярные прецессии (3.3) однородного параболоида являются устойчивыми.

Таким образом, нами полностью исследована задача о качении однородного параболоида по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости. Дано качественное описание движения параболоида по шероховатой плоскости. Указаны все стационарные движения параболоида (перманентные вращения и регулярные прецессии) и доказано, что все они являются устойчивыми.

Литература

1. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 336 с.

2. Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Труды отделения физических наук Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии. 1897. Т. 9. Вып. 1. С. 10-16.

3. Appell P. Sur l'intégration des équations du mouvement d'un corps pesant de révolution roulant par une arete circulaire sur un plane horizontal; cas particulier du cerceau // Rend. circ. mat. di Palermo. 1900. Vol. 14. P. 1-6.

4. Кулешов А. С. Первые интегралы в задаче о движении параболоида вращения по шероховатой плоскости // Доклады РАН. 2005. Т. 400, №1. С. 46-48.

5. Кулешов А. С., Черняков Г. А. Применение алгоритма Ковачича для исследования задачи о движении тяжелого тела вращения по абсолютно шероховатой плоскости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, астрономия, 2013. Вып. 4. С. 93—102.

6. Муштари Х. М. О катании тяжелого твердого тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости // Мат. сборник. 1932. Т. 39, №1-2. С. 105-126.

Статья поступила в редакцию 26 июня 2014 г.

Сведения об авторах

Кулешов Александр Сергеевич — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected]

Черняков Глеб Анатольевич — аспирант; [email protected]

MOTION OF A DYNAMICALLY SYMMETRIC PARABOLOID ON A PERFECTLY ROUGH PLANE

Alexander S. Kuleshov, Gleb A. Chernyakov

Lomonosov Moscow State University, Leninskie Gory, 1, Moscow, 119991, Russian Federation; [email protected], [email protected]

We consider the classical problem of nonholonomic system dynamics — the problem of motion of a dynamically symmetric body bounded by a surface of rotation on a fixed perfectly rough plane. We prove that this problem can be completely solved in quadratures in the case when the moving body is a paraboloid of revolution. The qualitative description of motion of a paraboloid on the plane is given. The trajectory of the point of contact M on the surface of paraboloid is the curve consisting of periodically repeating waves and tangent to two parallels of the paraboloid. The trajectory of the point of contact on the supporting plane has the same pattern and it is situated between two concentric circles. During the motion of the paraboloid the point of contact M touches these two circles in turn. The steady motions of the paraboloid on a perfectly rough plane are found and their stability is investigated. It is proved that all the steady motions of the paraboloid (permanent rotations and regular precessions) are stable. Refs 6. Figs 3.

Keywords: rolling paraboloid of revolution, analysis of quadratures, steady motions, stability.