CC BY
77
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
УДК 519.853-519.632
Сельвинский Владимир Владимирович,
к. ф.-м. н., доцент, Амурский государственный университет, тел.: 89246745701, e-mail: selvinvv@mail.ru
ОСОБЕННОСТИ СКОЛЬЖЕНИЯ КОНУСА ПО НАКЛОННОЙ ШЕРОХОВАТОЙ ПЛОСКОСТИ
V V Selvinsky
CONE SLIPPING ON INCLINED ROUGH PLANE FEATURES
Аннотация. В данной статье рассматривается безотрывное движение твердого тела с двумя точками контакта (конуса) по наклонной шероховатой плоскости. Движение происходит под действием силы тяжести и сил трения в двух точках контакта. Исследуется на устойчивость частное решение уравнений движения конуса, соответствующее поступательному скольжению конуса своей боковой поверхностью основанием вниз. Получены аналитические условия устойчивости при различных значениях параметров конуса. Отмечено влияние средней скорости конуса на устойчивость движения в некоторых случаях. Получено критическое значение скорости, которое в одних случаях является максимально возможным для устойчивости, в других - минимально возможным.
В статье использованы аналитические методы исследования теоретической механики, математической теории устойчивости, а также численные методы. Результаты представлены в виде графического материала, полностью согласуются с выводами теории, получены на основе математического пакета MathCad.
Ключевые слова: шероховатая плоскость, однородный конус, трение, точки контакта, система нелинейных дифференциальных уравнений движения, устойчивость движения по первому приближению, критерий Рауса - Гурвица.
Abstract. In this article, the continuous movement of a solid body with two points of contact (cone) on the inclined rough plane is considered. The movement happens under gravity and friction forces in two points of contact.
The private solution of the cone movement equations corresponding to forward sliding of a cone the lateral surface the basis down is investigated on stability. Analytical stability conditions at various values ofparameters of a cone are received. Influence of average speed of a cone on stability of the movement in certain cases is noted. Critical value of speed which in one case is greatest possible for stability, in others - minimum possible is received.
In the article, analytical methods of research of theoretical mechanics, the mathematical theory of stability are used. Also numerical methods which results are presented in the form of graphic material are used, will completely be coordinated with theory conclusions, and are received on the basis of a mathematical MathCad package.
Keywords: rough plane, uniform cone, friction, contact points, system of the nonlinear differential equations of the movement, stability of the movement on the first approach, Routh - Hurwitz criterion.
Введение
Решение задач контактного взаимодействия твердых тел рассматривается в таких фундаментальных разделах механики, как теория трения, теория удара, теория упругих и пластических деформаций, теоретическая и аналитическая механика, механика сплошных сред, а также в многочисленных инженерных приложениях [1-3]. Хорошо известны классические постановки такого типа задач [4-6]. Общая теория контактного взаимодействия твердых тел продолжает активно формироваться и в настоящее время. Малоизученными остаются задачи динамики, в которых требуется исследование относительного перемещения твердых тел при осуществлении прямого контакта между их поверхностями в течение достаточно большого промежутка времени. Во многом это объясняется сложностью физических процессов, происходящих в области контакта, многообразием геометрических форм соприкасающихся поверхностей. Между тем многие инженерные задачи требуют более детального исследования характера такого взаимодействия [7, 8]. В большой степени это относится к таким процессам, как вибрационное транспортирование и ориентирование изделий. Специфика этих процессов состоит в том, что
характер контакта и относительное перемещение объектов не являются строго определенными и во многом носят случайный характер.
Вибрационное транспортирование осуществляется за счет воздействия на изделие несущей шероховатой вибрирующей поверхности. Здесь характер контакта во многом определяет скорость транспортирования, а также возможность самоориентации изделия. Повышение интенсивности такого процесса невозможно без построения адекватных математических моделей и их исследования.
Целью данной работы является исследование одной из простейших моделей движения твердого тела с двумя точками контакта по шероховатой плоскости, определение общих закономерностей этого движения в зависимости от его геометрических и инерционных характеристик. Результаты этих исследований могут использоваться при проектировании вибрационных транспортирующих машин и устройств [9, 10].
Постановка задачи и особенности математической модели
Рассмотрим тело вращения, контур которого вписывается в круглый конус; при этом ось сим-
метрик тела является главной центральной осью инерции. Для краткости будем называть его конусом.
Рис. 1. Схема положения конуса на шероховатой плоскости
Исследуем безотрывное движение конуса по неподвижной шероховатой плоскости (рис. 1). Будем считать, что взаимодействие конуса с плоскостью осуществляется в точках А1 и А2, лежащих на одной образующей конуса, и выражается коэффициентом трения скольжения /. Свяжем с плоскостью систему координат Охух, направив ось
Ох по линии наибольшего ската вниз, а ось 02 -перпендикулярно плоскости; с конусом свяжем систему главных центральных осей . Будем
использовать также прямоугольную систему координат АгЪ' с началом в вершине А конуса, ось А1 направим по линии АА, ось А2' - параллельно 02 . Пусть инерционные свойства конуса характеризуются массой М и моментами инерции Л, , Л, относительно осей (Л = ); по-
ложение конуса определяется координатами центра масс хс, ус и углами Эйлера ф, у (ф - угол собственного вращения, у - угол прецессии, угол между осью Аг и линией наибольшего ската).
Во время движения на конус действуют следующие силы: сила тяжести О, нормальные реакции N плоскости и силы трения Fi в точках А, (г = 1, 2); проекции сил трения на оси х, у при условии проскальзывания в точках А, равны:
Fx =-fN
4
V 2 + v^
, Fy =-JNt
V
v 2 + vy
(1)
где ух , Ууу - проекции скоростей точек контакта
Аг; ¡г = ААи 1с = АСвте.
Полагая М = 1, АС = 1, g = 1 (в относительных единицах), уравнения движения конуса запишем в виде:
х'с = Sin у + ^ + F2 x , уС = Fly + Fy y,
0 = - Cosy + N + N2, (2)
J3ф" + J3Cose y" = (fJ, + F2rl2)Cos0, j3Cos0 ф"+j22y" = f r (i1 - Sine)+ + F2 r (l2 - Sin 0),
J3Sine ф' y'-(j - J ) Sine Cose y'2 = = -n (h - Sine)- n (i2 - Sine)+
+ F i + Fy i) Cose,
где y - угол наклона шероховатой плоскости; e -угол, который составляет ось конуса с осью Az', Fir, Fa (i = 1,2) проекции сил трения на соответствующие оси, x" = d2x/dt2 - производная по t.
Нетрудно заметить, что эти уравнения допускают частное решение
х'С = const, yC = 0, ф ' = 0, y = к /2, (3)
которое соответствует поступательному скольжению конуса основанием вниз по наклонной плоскости; при этом линия касания конуса с плоскостью остается параллельной оси Ox .
При чистом качении вершина конуса A неподвижна и мгновенная ось вращения проходит через точки контакта:
х" = y" = 0, ф'Cose + y' =0.
Отсюда
х'с = Sine Cosy y ', yC = Sine Siny y ', и из уравнений (2) получаем: - уравнение качения конуса
¥ " + ©j2SinY = 0,
(4)
где
¥ = y--, ra 2 =
2 1
Sine Siny
Jai tg2e :
^ + 1)со82 е + J3 Sin2 е.
Вообще говоря, возможны режимы движения конуса, при которых скольжение происходит лишь в одной из точек контакта, а также комбинации всех этих режимов. Однако здесь эти составные режимы не рассматриваются.
Аналитическое исследование устойчивости частного решения
Обеспечим выполнение условия = / и исследуем решение (3) на устойчивость. Пренебрегая величинами второго порядка малости, имеем:
F, = -
^ [y с +l - le )y +1 i Cosecp ].
V
v
iy
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
Из первого уравнения системы (2) следует: x"c = Siny-f(N, + N2 ) = Siny-f Cosy = 0,
то есть x'c = x'c0 = const > 0 для соответствующих начальных условий. Введем новые перемен-
ные:
к
Ф' = ф ' Cos0 + y', Y =
= n (/ - /1Sine)2 + ы2 (/ - /^тб)2 > 0.
Выполнение неравенств (5) определяется знаками выражений Б0,..., Б4, а также значениями критических скоростей:
V1 =■
fJAlSin40 B0B1
J
B,
(7)
и линеаризуем второе, третье и четвертое уравнения системы (2) относительно у'с, Ф' , ^ . В результате получаем систему трех дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
у'С + «12 ^ '+К у'с + ъпФ' = 0,
^ с + «22 ^ ' + Ъ2^УС + Ъ22 ^ + Ъ2ъФ' = 0, Ф с + а32 ^ с + Ъ31уС + К ^ + Ъз Ф с = 0.
Здесь
/м,
м
f Sin40 B0BB
J
B2 B3
(8)
ft = fN b = ZMn
b11 , , b13 -
X,
с 0
X
с0
f Rs
x^0 J Sin2 0
b31 =
Так как B0 > 0, B > 0 при любых действительных значениях параметров конуса, первое неравенство системы (5) выполняется при B2 > 0 либо при B < 0 и достаточно малых скоростях,
хсо < v*. Второе неравенство системы (5) выполняется при B2B3 > 0, B4 > 0 либо при B2B3 < 0,
B4 > 0 и достаточно малых скоростях х'с0 < v2, f (Jc Mn - J3N Sin0)
либо при B2B3 > 0, B4 < 0 и достаточно больших
b21 =
x'cJx Sin2 0
J J X'
J 1J 3 XC0
b33 =■
f (J с l Rn - J 3MN Sin 0)
J J X'
J1J3XC0
h — — h v'
b22 b21 XC 0,
Ь32 =-b31 XC0, a,2 =-b,1Sin0 (j = 1 2, 3) ,
где
J3xC2B2 + fJAlSin20 B0B1 > 0,
J3xC2B2B3 + f Sin20 B0BB4 > 0.
(5)
Здесь
B0 = N1N2 (I1 - 12 )2,
B = JRc + JJN + J Cos2 0 ,
B2 = -j3msrnc - jmnrsCos20,
B3 = Sin0 Cos20 B0 - J,NMS,
B4 = (jc , + Cos20)b3 - N Sin0 Cos20 B,
(6)
скоростях Xc0 > v2.
Для более наглядного представления рассмотрим плоскость параметров B2, B3 (рис. 2), учитывая, что условие B4 > 0 эквивалентно условию в3 > n Sin0 Cos20 b / jAi > 0.
N = N + N ; mw = N A +n2 /2 ;
M5 = MwSin20- N Sin0 ;
Rn = N /2 + N2 /2 ; Rs = RwSin20 - MNSin0.
Составляя характеристический многочлен и используя критерий Рауса - Гурвица, получаем систему неравенств, гарантирующих устойчивость решения (3):
В0 > 0, B > 0,
Рис. 2. Области устойчивости решения (3) на плоскости параметров Б2, В
Сравнивая критические скорости V*, V* , за* *
метим, что условие v2 < V* эквивалентно условиям Б2 < 0, Б > 0. Таким образом, получаем следующее расположение областей устойчивости:
1 - область условной устойчивости
(Б2 < 0, В > 0, Б4 > 0 при условии хС0 < V*);
где
ж
2 - область устойчивости (В > 0, В > 0,
В >0);
3 - область неустойчивости (Щ < 0, В > 0, В < 0, нарушается второе неравенство системы
(4));
4 - область условной устойчивости (В > 0, В > 0, В < 0, при условии хС0 > у 2 );
5 - область неустойчивости (В < 0, В < 0, В < 0, исключается возможность выполнения
противоречивой системы неравенств
' 2 ' 2 2 2 \ хС0 < У , хС0 > У2 , У2 > У1);
6 - область неустойчивости (Б2 > 0, В < 0, В < 0, нарушается второе неравенство системы (5)).
Обобщая последние замечания, приходим к следующим случаям асимптотической устойчивости тривиального решения линеаризованной системы уравнений:
I. В > 0, В > 0 (область 2 на рис. 2).
II. В < 0, В > 0, х'со < у2 (область 1 на рис.
2).
III. В > 0, В > 0, В < 0, х'со > у2 (область 4 на рис. 2).
Решение будет неустойчивым (IV), если нарушаются ограничения на скорость х'со в случаях II, III или имеет место:
а) В < 0, В < 0 (область 5 на рис. 2);
б) ВВ < 0, В < 0 (области 3 и 6 на рис. 2).
Графическое представление областей устойчивости конуса
Расположение областей устойчивости I, условной устойчивости II, III, неустойчивости IV можно показать на плоскости параметров Л, , для чего предварительно определим область возможных значений Л, , обусловленных ограничением на форму конуса.
Поскольку масса, распределенная внутри рассматриваемого конуса, имеет форму тела вращения, то ее всегда можно разбить на элементарные кольца массами щ, радиусами г . Плоскости этих колец перпендикулярны оси конуса, а их центры лежат на оси конуса на расстояниях (к от центра масс С. Тогда
J J = 2 2
mkrk +2 mk с i2, J з =2
mkrk.
Сразу можно заметить, что < 2. С другой стороны, поскольку все элементарные кольца лежат внутри конуса, то
тшт
Это позволяет выявить еще одно ограниче-
ние :
j з < (j1 + m a)
2 л 2Ctg2e 2 + Ctg2 e
Таким образом, для безразмерных параметров имеем:
л >о, о<х <2л , л <(л +1) 2а§ е .
1 , 3 1, 3 л 2 + С1в2е
Границы областей знакопостоянства величин В , В , В определяются из соответствующих выражений (6):
а) граница для В -
Jj =-
msrnc j
mnrssin2e cos2e 3'
в„
nm,
Sine Cose;
j =
б) граница для B - J =
в) граница для B -
в Cos4 e - j3mnms Cos2 e - j32 nms Sin e
mw Cos2 e Mn Cos2 e+jn Sin e)
<(C k -C A )Ctge.
Граница для В имеет реальное содержание, если MSRS < 0, так как все остальные величины, входящие в ее выражение, существенно положительны; граница для В имеет реальное содержание, если M^ > 0. Для анализа знаков величин Ms и R рассмотрим их выражения с точностью до величин первого порядка малости. Используя (2), имеем:
N = N + N = Cosy;
mw = nj, + nj2 = Sin e • Cosy(i+f • Ctge); m5 = mn Sin2 e- n Sin e =
= Sin2e • Cose • Cosy • (f - Ctge); rnc = rs Sin2 e- ms Sin e> 0.
Из последнего неравенства следует
Rs > —; S Sine
фактически это означает, что одновременное существование границ для B и B исключается. Это влечет за собой невозможность реализации значений из области 6 на рис. 2, так как M^ < 0 соответствует условию В > 0, а Ms > 0 - В < 0. Знак величины Ms определяется знаком разности f = tgy и Ctge; более конкретно, величина Ms положительна, если ось конуса в устойчивом состоянии составляет с шероховатой плоскостью угол меньше y. Заметим также, что границы для
r
k
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
В и В не могут пересекаться в области допустимых значений параметров конуса, так как из (6) следует, что В < 0 всегда при В = 0.
Это позволяет установить существование трех возможных типов диаграмм расположения областей устойчивости на плоскости параметров ^, 3. На рис. 3, а-в приводятся примеры таких диаграмм для указанных наборов значений параметров однородного конуса. а)
б)
в)
Рис. 3. Расположение областей устойчивости при различных значениях параметров конуса
Стрелки направлены в сторону положительности величин, определяющих соответствующие границы. Граница, окаймляющая пронумерованные области, выделяет множество допустимых значений главных приведенных моментов инерции.
На рис. 3, а граница В представляет собой прямую, угол наклона которой зависит от конкретных значений параметров конуса. С увеличением угла наклона диаграмма может изменяться таким образом, что сначала исчезает область 4, а затем и область 2.
Примеры численных решений уравнений движения конуса
Рассмотрим характер движения конуса в каждой из пронумерованных областей. В области условной устойчивости 1 (рис. 3, а, б) характер движения конуса зависит от соотношения начальной х'со и критической V* скоростей. Варианты характера движения представлены на рис. 4: здесь приведены результаты численного решения уравнений (2) в виде графиков координатных функций
хс, ф, у; графики остальных функций ус, ус, ф , у принципиально не отличаются от представленных. Что касается величины критической скорости V*, то, как функция параметров ^, , она неограниченно возрастает в окрестности границы В и убывает до нуля в окрестности границы В.
В области асимптотической устойчивости 2 (рис. 3, а, в) исследуемое движение конуса устойчиво независимо от величины начальной скорости
х' ; графики соответствующего численного решения представлены на рис. 5.
а) ^ = 0.3, = 0.1, v2 = 1.054, х'С0 = 3 (хС0 > v2),
б) = 0,3, ^ = 0,1, V* = 1,054,хс0 = 0,5 (хот < V*)
Рис. 4. Характерные виды решения уравнений движения конуса в области 1 (условная устойчивость)
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Рис. 6. Графики решения уравнений движения конуса в области 3 (неустойчивость)
В области условной устойчивости 4 (рис. 3,
а, в) характер движения конуса также зависит от
^ ' ^ *
соотношения начальной хсо и критической у* скоростей. Варианты характера движения представлены на рис. 7.
a) Jx = 0,6, J3 = 0,4, v2 = 0,7, хсо = 1,2 (хсо >vl)
б) Jx = 0,6, J3 = 0,4, v* = 0,7, хсо = 0,4 (xco <v*)
Рис. 7. Характерные виды решения уравнений движения конуса в области 4 (условная устойчивость)
В области 5 (рис. 3, б) исследуемое движение конуса так же, как и в области 3, неустойчиво
при любых значениях начальной скорости
VC0 '
графики соответствующего численного решения представлены на рис. 8.
60 90 120 150 180 210 240 270 300
4 = 0,2, = 0,2, хС0 = 0.5
Рис. 5. Графики решения уравнений движения конуса в области 2 (асимптотическая устойчивость)
В области 3 (рис. 3, а, б) исследуемое движение конуса неустойчиво при любых значениях
начальной скорости х' ; графики соответствующего численного решения представлены на рис. 6.
J, = 0,8, J3 = 0,4 , xC0 = 0,4
Рис. 8. Графики решения уравнений движения конуса в области 3 (неустойчивость)
Анализ полученных результатов и перспективы их применимости
Графики рис. 5-8 подтверждают наличие и правомерность изложенного метода расчета границ областей 1-5. Вместе с тем нужно иметь в виду, что приведенные рассуждения строго справедливы для измененной системы дифференциальных уравнений движения (2), на которую накладывается дополнительное ограничение
xс = xсо = const > 0.
Исходная система (2) в целом не отвечает условиям теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению, но для практических приложений полученные результаты вполне пригодны, так как отражают общий характер поведения решения системы (2). Некоторые поправки нужно
делать в случае, когда значения xC 0 близки к критической скорости v*, и малые изменения xc могут привести к переходу через порог критической
*
скорости v*; отклонения могут возникнуть также при достаточно существенных изменениях скорости xc , что в большей степени соответствует состоянию неустойчивости.
Если tgy > f, то допускаемое решение (3) будет описывать ускоренное поступательное движение конуса. Полученные результаты по устойчивости равномерного движения конуса могут иметь место и при ускоренном движении, по крайней мере для участков достаточно малой длины, на которых происходит незначительное изменение скорости поступательной части движения.
Если tgy < f, то по истечении некоторого промежутка времени обязательно наступает режим чистого качения. Созданием направленных
вибраций плоскости можно вызвать равномерное в среднем поступательное движение конуса, для которого также могут выполняться условия устойчивости 1-1У. При этом надо иметь в виду, что если частота вибраций плоскости близка к значению Ш) в уравнении (4), то может возникнуть раскачивание конуса и наступить движение, при котором угол прецессии у неограниченно возрастает (убывает), или опрокидывание.
Заключение
Полученные результаты аналитического исследования линеаризованной системы уравнений движения конуса прекрасно согласуются с численными решениями полной системы уравнений движения (2). В частности, установлена одна из характерных особенностей движения конуса: влияние величины скорости скольжения на устойчивость движения в целом. В зависимости от значений геометрических и инерционных параметров конуса в одних случаях движение будет устойчиво
при малых скоростях (х'с0 < V*) и неустойчиво
при больших (х'с0 > V*), в других случаях наоборот - устойчиво при больших и неустойчиво при малых скоростях.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Загидуллин Р.Ш., Скиба В.М. Анализ методов и разработка технических средств для экспериментальных исследований динамических сигналов ме-
УДК 621.833 Тупицын Алексей Альбертович,
д. х. н., профессор кафедры «Прикладная механика», Иркутский государственный университет путей сообщения,
e-mail: altfr@mail.ru Нечаев Валерий Владимирович,
к. т. н., доцент кафедры «Энергообеспечение и теплотехника», Иркутская государственная сельскохозяйственная академия,
e-mail: valery.nechaev@yandex.ru Гозбенко Валерий Ерофеевич,
д. т. н., профессор кафедры «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения,
e-mail: vgozbenko@yandex.ru
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ ВОЛНОВЫХ ПЕРЕДАЧ. ЗУБЧАТАЯ ШАРНИРНО-РОЛИКОВАЯ ПЕРЕДАЧА
A. A. Tupitsyn, V. V. Nechaev, V. E. Gozbenko
CONSTRUCTION IMPROVEMENT OF THE WAVE GEARS. JOINT-ROLLER GEARING
Аннотация. Достоинство волновых зубчатых передач - возможность получить в одной ступени большие передаточные отношения. Основной недостаток - недолговечность гибкого колеса, вызванная большими деформациями при циклически меняющихся напряжениях. Предлагаемое техническое решение предусматривает вместо гибкого колеса использовать роликовую цепь. По конструкции передача аналогична двухволновой зубчатой передаче, в которой вместо гибкого колеса используется колесо, каждый зуб которого состоит из трех роликов, расположенных на одной оси. Ролики среднего ряда располагаются по контуру ведущего кулачка. Ролики крайних рядов, расположенные по меньшему диаметру кулачка, входят во внешнее зацепление с двумя неподвижными зубчатыми колесами, имеющими число зубьев, равное числу роликов цепи. В результате цепь не вращается. Ролики крайних рядов, расположенные по большему диаметру кулачка, входят во внутреннее зацепление с ведомым колесом. За счет разности чисел зубьев ведомого колеса и роликов цепи происходит передача движения. Предлагаемая конструкция передачи позволяет обеспечить в одной ступени передаточное отношение от 6 и выше, что уменьшает габари-
таллорежущих станков // Изв. высш. учеб. заведений. Машиностроение. 2011. № 12. С. 65-69.
2. Тараскин О.А., Баскаков В.Д. Математическое моделирование процесса закрепления конической оболочки детали на конической оправке при механической обработке // Изв. высш. учеб. заведений. Машиностроение. 2012. № 7. С. 52-55.
3. Лазаренко И.В., Федотов А.В. Система активного контроля для обрабатывающего центра // Изв. высш. учеб. заведений. Машиностроение. 2012. № 12. С. 21-25.
4. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.-Л. : Госте-хиздат, 1946. 655 с.
5. Опейко Ф.А. Математическая теория трения. Минск : Наука и техника, 1971. 152с.
6. Матросов В.М., Финогенко И.А. Аналитическая динамика систем твердых тел с сухим трением // Нелинейная механика. М. : Физматлит, 2001. С.39-61.
7. Додонов В.В. Использование элементов теории массового обслуживания для анализа производительности и надежности автоматизированных станочных систем // Изв. высш. учеб. заведений. Машиностроение. 2011. № 12. С. 70-76.
8. Полушин М.В. Об основных результатах деятельности и текущих направлениях развития российской станкоинструментальной промышленности // Изв. высш. учеб. заведений. Машиностроение. 2011. № 3. С. 67-73.
9. Розенблат Г.М. Сухое трение и односторонние связи в механике твердого тела. М. : Либроком, 2011. 208 с.
10. Сельвинский В.В. Динамика контактного взаимодействия твердых тел. Благовещенск : 2009. 164 с.
