CC BY
65. Gapeev P.V., Peskir G. The Wiener disorder problem with finite horizon // Stochast. Process, and Appl. 2006. 116, N 12. 1770-1791.
6. Shiryaev A.N. A remark on the quickest detection problems // Statistics and Decisions. 2004. 22. 79-82.
7. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.
8. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. М.: Фазис, 1998, 2004.
9. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений. М.: ФМОП .\IIUI.\K). 2011.
10. Peskir G. A-change-of-variable formula with local time on curves //J. Theor. Probab. 2005. 18, N 3. 499-535.
11. Yor M. On some exponential functional of Brownian motion // Adv. Appl. Probab. 1992. 24. 509-531.
Поступила в редакцию 14.03.2012
УДК 517.925+531.01
НОВЫЙ СЛУЧАЙ ПОЛНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ
К ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ
М. В. Шамолин1
В работе сообщается о результатах по исследованию уравнений движения динамически симметричного четырехмерного твердого тела, находящегося в некотором неконсервативном поле сил. Вид поля заимствован из динамики реальных двумерных и трехмерных твердых тел, взаимодействующих со средой, когда в системе присутствует неконсервативная пара сил, заставляющая центр масс тела двигаться прямолинейно и равномерно. Получен случай интегрируемости динамических уравнений движения тела в сопротивляющейся среде, заполняющей четырехмерное пространство, при наличии некоторой следящей силы.
Ключевые слова: четырехмерное твердое тело, динамические уравнения, трансцендентная интегрируемость.
The paper presents the results of study of the motion equations for a dynamically symmetric 4D-rigid body placed in a certain non-conservative field of forces. The form of the field is taken from the dynamics of actual 2D- and 3D-rigid bodies interacting with the medium in the case when the system contains a non-conservative pair of forces forcing the center of mass of a body to move rectilinearly and uniformly. A new case of integrability is obtained for dynamic equations of body motion in a resisting medium filling a four-dimensional space under presence of a tracking force.
Key words: 4D-rigid body, dynamic equations, integrability in terms of transcendental functions.
1. Четырехмерное тело в неконсервативном поле. Пусть четырехмерное твердое тело В массой m с гладкой трехмерной границей дВ движется в среде, заполняющей четырехмерную область евклидова пространства. При этом тензор инерции тела в некоторой связанной системе координат DX1X2X3Х4 имеет вид diag{/i, I2,I2,12} (так называемый случай (1-3)). Расстояние от точки N приложения неконсервативной силы S до точки D является функцией по крайней мере некоторого угла а между вектором v^ и осью симметрии тела Dxi: DN = Ri(a,...) (ср. с [1-3]). Сила S имеет величину
S = s(a)sgncos а ■ v2, |vD | = v,
где s — некоторая функция, характеризующая в системе как рассеяние, так и подкачку энергии [1, 2]. При этом функцию s определим следующим образом: s = s(a) = B cos a; B > 0.
2. Динамические уравнения. Пусть Q — тензор угловой скорости тела В, Q Е so(4). Его будем представлять в виде
/ 0 -ше -ш3\ 0 —ш4 ш2 —ш5 0 -ш1 \ Ш3 -Ш2 Ш1 0 J
(1)
1 Шамолин Максим Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ; e-mail:
shamolinQrambler.ru, shamolinQimec.msu.ru.
где Ш2, Шз, и4, Ш5, Шб — компоненты тензора угловой скорости в проекциях на естественные координаты в алгебре Ли so(4) кососимметрических матриц. Тогда часть уравнений движения, отвечающая алгебре so(4), имеет вид [2]
ПЛ + ЛП + [П, ПЛ + ЛП] = M, (2)
где
Л = diag{Ai, Л2, Лз, A4}, Ai = (—Ii + I2 + I3 + I4 )/2,..., A4 = (Ii + I2 + I3 — I4 )/2,
M — момент внешних сил, действующих на тело в R4, который спроектирован на естественные координаты в алгебре so(4); [...,...] — коммутатор в so(4).
Очевидно, выполнены следующие равенства: Ai — Aj = Ij — Ii для любых i,j = 1,..., 4.
M
R4 х R4 —> so(4),
переводящее упорядоченную пару векторов (DN, F) G R4 х R4 в некоторый элемент из алгебры Ли so(4), где DN = {x1n,x2n,x3n,x4n}, F = {F1,F2,F3,F4} — внешняя сила, действующая на тело. При этом строится соответствующая вспомогательная матрица
Xin X2N X3N X4N Fi F2 F3 F4
Тогда правая часть системы (2) будет соответствовать
M = {X3n F4 — X4n F3 ,X4N F2 — X2N F4 ,XiN F4 — X4N Fi,X2N F3 — X3n F¿,X3n Fi — Xin F3,Xin F2 — X2N Fi},
M (4)
Уравнение движения центра масс C тел а В представится в виде
mw с = F, (3)
где wq — ^^^^^етие точки C, и по многомерной формуле Ривальса
wc = wd + fi2DC + ^С^d = Vd + Ovd, E = П,
здесь F — внешняя сила (в нашем случае F = S), E — тензор углового ускорения [1, 2].
3. Более широкий класс задач. Нам необходимо несколько расширить задачу, а именно по прямой Dxi = DC действует следящая сила Т, введение которой используется для рассмотрения интересующих нас классов движений. Таким образом, порядок динамической системы может быть понижен (см. также [1]). В настоящей работе изучен такой класс движения, когда центр масс тела движется прямолинейно и равномерно (т.е. на тело действует пара сил (Т, S), Т = —S).
Если (0, x2n ,x3n , x4n ) — координаты точки N в системе Dx1x2x3x^ {—5, 0, 0, 0} — координаты век-
(4)
{0,0, X4ns, 0, —X3ns, X2NS} G R6 = M G sо(4). При этом если (v,a,@i) — обобщенные сферические координаты в R4, то примем разложения
x2N = R(a) cos в1 — hu6/v, x3N = R(a) sin в1 cos в2 + hw5/v, x4N = R(a) sin в1 sin в2 — hu3/v, R(a) = A sin a, A,h> 0.
С учетом вышеизложенного уравнение (2) можно расписать в виде
(A4 + Лз)Ш1 + (A3 — Л4)(ШзШ5 + Ш2Ш4) = 0, (A2 + A4)W2 + (A2 — A4XW3W6 — Ш1Ш4) = 0,
(A4 + Ai)ó;3 + (A4 — A1XW2W6 + Ш1Ш5) = X4n s, (4)
(A3 + A2)W4 + (A2 — A3)(W5W6 + Ш1Ш2) =0, ()
(Ai + A3)W5 + (A3 — Ai)(W4W6 — Ш1Ш3) = —X3N S, (Ai + A2)W6 + (Ai — A2XW4W5 + Ш2Ш3) = X2N S.
4. Циклические интегралы. Очевидно, что существуют три циклических первых интеграла у уравнений (4):
ш1 = = w0, ш4 = ш0,
при этом считаем, что ш0 = ш0 = ш^ = 0. В результате этого оставшиеся уравнения в алгебре Ли so(4) примут следующий вид (здесь n2 = AB/2I2):
шз = n^2 sin a cos a sin ß1 sin ß2 — hBw3v cos a/2I2,
ш5 = — nV2 sin a cos a sin ßi cos ß2 — hBш5v cos a/2I2, шб = n^v2 sin a cos a cos ß1 — hBшбv cos a/2I2.
5. Динамическая система на касательном расслоении к трехмерной сфере. Замена угловых скоростей
Zi = шз cos ß2 + ш5 sin ß2,
z2 = —ш3 sin ß2 cos ß1 + ш5 cos ß2 cos ß1 + шб sin ß1,
z3 = ш3 sin ß2 sin ß1 — ш5 cos ß2 sin ß1 + шб cos ß1
после учета условий, понижающих порядок совместной системы динамических уравнений (2), (3), позволяет рассматривать редуцированные уравнения движения на касательном расслоении TS3 трехмерной сферы (а = DC, b = an0, H = hB/2hn0, [b] = [Я1] = 1, n0 = AB/2h)
Vv = а cos a[n^v2 sin2 a — Z + z| + z3)] — bH1vz3 sin a cos a,
a = —z3 + anOv sin a cos2 a + а sin a(z2 + zf + z3)/v — bH1z3 cos2 a,' z3 = n^v2 sin a cos a — (1 + bH1)(z2 + z|)ctga — H1vz3 cos a, z2 = (1 + bH1)z2z3 ctg a + (1 + bH1)z2 ctg a ctg ß1 — H1vz2 cos a,\ (5)
z'1 = (1 + bH1)z1z3 ctg a — (1 + bH1)z1 z2 ctg a ctg ß1 — H1vz1 cos a,
ß1 = (1 + bH1)z2 ctg a,,
ß2 = —(1 + bH1)z1 ctg a csc ß1.
6. Понижение порядка. В системе седьмого порядка появилась независимая подсистема шестого порядка, в которой отделяется независимая подсистема пятого порядка (5). Для полного интегрирования необходимо знать, вообще говоря, шесть независимых первых интегралов. Однако после замен переменных и введения нового дифференцирования z = \¡z\ + -г* = z2jz\1 z = novZ, zk = n^vZд., к = 1,2,3, z* = Z*, < ■ >^ nov <'>, система седьмого порядка приводится к виду
v = vФ(a, Z, Z3), Ф(a, Z, Z3) = b cos a[sin2 a — (Z2 + Zf)] — bH1Z3 sin a cos a,
a = — Z3 + b sin a cos2 a + b sin a(Z2 + Z2) — bH1Z3 cos2 a, Z3 = sin a cos a — (1 + bH1)Z^tga — Z3Ф(a, Z, Z3) — H1Z3 cos aA (6)
Z' = (1 + bH1)ZZ3Ctga — ZФ(a, Z, Z3) — H1Z cos a, J
ZÍ = ±(1 + bRx)Z^ 1 + Z2ctgactg/?i, 1
ß[ = ±(l + 6^)-g|fctga, j (7)
Z1
ß'2 = + bHi)—=L=ctgacscßi. V1 + Z*2
Видно, что система пятого порядка (5) распалась на независимые подсистемы еще более низкого порядка: система (6) — третьего, а система (7) (после замены независимого переменного) — второго. Поэтому для полной интегрируемости достаточно указать два независимых интеграла системы (6), один системы (7) и два дополнительных интеграла, "привязывающие" оставшиеся уравнения (т.е. всего пять). При этом заметим, что систему (6) можно рассматривать на касательном расслоении TS2 двумерной сферы.
7. Список первых интегралов. Полная система седьмого порядка обладает аналитическим первым интегралом вида
v2(1 - 2bZ3 sin a + (Z2 + Zf)) = V¿,
поскольку центр масс движется прямолинейно и равномерно.
Система (6) принадлежит к классу систем, возникающих в динамике трехмерного твердого тела, и обладает двумя независимыми первыми интегралами, которые являются трансцендентными функциями фазовых переменных (в смысле комплексного анализа) и выражаются через конечную комбинацию элементарных функций (ср. с [1^3])
(1 + bH1)Z¡ + {l + bH^Z2 - (b + H\)Z3 sing + sin2 a _
-— Су i — const,
Z sin a
G ( ^ , , sin a ) = C2 = const sin a sin a
(функция G имеет достаточно громоздкий вид, но также выражается через конечную комбинацию элементарных функций).
Система (7) имеет первый интеграл
л/ï+zl п
—--— = Сз = const.
Sin Pi
В свою очередь дополнительный первый интеграл, позволяющий определить величину @2, имеет вид
arctg^^ ^3^* = ± /З2 = С4, С4 = const. V C3 - 1 - Zf
8. Заключение. Ранее в основном рассматривались лишь такие движения четырехмерного тела, когда M = 0 (или имеется ненулевой момент консервативной силы, см. работы О. И. Богоявленского [4, 5], А. П. Веселова [6, 7], С. В. Манакова [8] и многих других авторов). Настоящая работа развивает направление в исследовании уравнений движения твердого тела на so (4) х R4 при наличии момента неконсервативной внешней силы.
Методика интегрирования рассматриваемых динамических систем часто может быть распространена и на пространство so(n) х Rn произвольного динамически симметричного п-мерного твердого тела. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-01-00020-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Экзамен, 2007.
2. Шамолин М.В. Интегрируемость по Якобп в задаче о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде // Докл. РАН. 2000. 375, № 3. 343-346.
3. Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. 53, вып. 3. 209-210.
4. Богоявленский О.И. Некоторые интегрируемые случаи уравнений Эйлера // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1105-1108.
5. Богоявленский О.И. Динамика твердого тела с п эллипсоидальными полостями, заполненными магнитной жидкостью // Докл. АН СССР. 1983. 272, № 6. 1364-1367.
6. Веселое А.П. Уравнение Ландау-Лифшица и интегрируемые системы классической механики // Докл. АН СССР. 1983. 270, № 5. 1094-1097.
7. Веселое А.П. Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на so(4) // Докл. АН СССР. 1983. 270, № 6. 1298-1300.
п
анализ и его прил. 1976. 10, № 4. 93-94.
Поступила в редакцию 28.03.2011 После доработки 23.09.2014
