Новый случай полной интегрируемости уравнений динамики на касательном расслоении к трехмерной сфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2011. № 5(86)

MISCELLANEOUS

УДК 517.925+531.01

НОВЫЙ СЛУЧАЙ ПОЛНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ К ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

© 2011 М.В. Шамолин1

В работе сообщается о результатах по исследованию уравнений движения динамически симметричного четырехмерного (4D—) твердого тела, находящегося в некотором неконсервативном поле сил. Его вид заимствован из динамики реальных двумерных (2D-) и трехмерных (3D-) твердых тел, взаимодействующих со средой, когда в системе присутствует неконсервативная пара сил, заставляющая центр масс тела двигаться прямолинейно и равномерно [1]. Получено несколько случаев интегрируемости в задаче о движении тела в сопротивляющейся среде, заполняющей четырехмерное пространство, при наличии некоторой следящей силы.

Пусть четырехмерное твердое тело © массы m с гладкой трехмерной границей дО движется в среде, заполняющей четырехмерную область евклидового пространства. При этом тензор инерции тела в некоторой связанной системе координат DxiХ2Х3Х4 имеет вид diag{/i, /2, /2,12}• Расстояние от точки N приложения неконсервативной силы S до точки D является функцией некоторого угла а: DN = R(a) (ср. с [1-3]). Сила S имеет величину S = s(a)sgncos а ■ v2, |vd| = v, где s — некоторая функция, характеризующая в системе как рассеяние, так и подкачку энергии [1; 2]. При этом функции R и S определим следующим образом (ср. с [1; 2]): R = R(a) = A sin а, S = Sv (а) = Bv2 cos а; A, B > 0.

Если Q — тензор угловой скорости тела ©, Q G so(4), то часть уравнений движения, отвечающая алгебре so(4), имеет вид [2]

+ ОЛ + ЛО] = M, (1)

где Л = diag{Ai,A2,As,A4>, Ai = (-/i + /2 + /3 + /4)/2,• • •, А4 = (/1 + /2 + /3 -/4)/2, M — момент внешних сил, действующих на тело в R4, спроектированный на естественные координаты в алгебре so(4), [ ] — коммутатор в so(4). Кососимметриче-ская матрица Q G so(4) определяется шестью величинами <i, <¿2, <3, <4, <5, <е — своими компонентами в алгебре so(4). При этом, очевидно, выполнены следующие равенства: Ai — Aj = /j — /i для любых i, j = !,•••, 4.

При вычислении момента внешней силы строится отображение R4 х R4 —> so(4), переводящее пару векторов из R4 в некоторый элемент из алгебры so(4)

[2; 3].

Уравнение движения центра масс C тела © представится в виде mwc = F, где по многомерной формуле Ривальса wc = wd + Q2DC + EDC, wd = vd +

1Шамолин Максим Владимирович (shamolin@imec.msu.ru), Институт механики Московского

государственного университета им. М.В. Ломоносова, 119899, Российская Федерация, г. Москва,

Мичуринский пр., 1.

1SS

М.В. Шамолин

+ Qv_o, E = Q, F — внешняя сила, действующая на тело (в нашем случае F = S), E — тензор углового ускорения [1; 2].

Нам необходимо несколько расширить задачу, а именно по прямой Dxi = DC будет действовать следящая сила Т, введение которой используется для рассмотрения интересующих нас классов движений, в результате чего порядок динамической системы может быть понижен. В данной работе интересен такой класс движения, когда центр масс тела движется прямолинейно и равномерно.

Если (0, X2n,X3n,X4n) — координаты точки N в системе Dxix^x^x^, {-S, 0,0,0} — координаты вектора S, то момент силы при проектировании в алгебру so (4) имеет вид

{0, 0, x4NS, 0, -x3NS, x2NS} e R6 = M e so(4).

При этом если (v, a, pi, P2) — сферические координаты в R4, то x2N = = ñ(a)cos pi, x3N = ñ(a) sin pi cos p2, x4N = ñ(a) sin pi sin p2.

С учетом всего можно расписать уравнение (1) в виде

(Л4 + XS)ÚJi + (A3 - Л4)(^3^5 + ^2^4) = 0, (Л2 + Л4)^2 + (A2 - Л4)(^3^6 - Ш1Ш4) = 0, (A4 + Ai)¿3 + (A4 - Ai)(^2^6 + ^1^5 ) = x4NS,

(A3 + A2)ÚJ4 + (A2 - A3)(^5^6 + WiW2) = 0, (Ai + A3)c^5 + (A3 - Ai)(^4^6 - = -x3nS,

(Ai + A2)ÚJ6 + (Ai - A2)(^4^5 + Ш2Ш3) = x2nS.

(2)

(2): Ш1 = о2,Ш2 = = о4, при этом считаем, что о2 = о2 = =0. В ре-

зультате этого оставшиеся уравнения на бо(4) примут следующий вид (здесь П

Очевидно, что существуют три циклических первых интеграла у уравнений

>4, при этом считаем, что . o = .2 =

'здесь no

= AB/2I2): .3 = nov2 sin a cos a sin ßl sin ß2, .5 = —^v2 sin a cos a sin ß 1 cos ß2, .6 = = n^v2 sin a cos a cos ß 1.

Замена угловых скоростей zi = .3 cos ß2 + .5 sin ß2, Z2 = —.3 sin ß2 cos ßl + + .5 cos ß2 cos ßl + .6 sin ßl, z3 = .3 sin ß2 sin ßl — .5 cos ß2 sin ßl + .6 cos ßl после учета условий, понижающих порядок общей системы, позволяет рассматривать "совместные" уравнения движения на касательном расслоении TS3 трехмерной сферы (а = DC)

v = a cos a [nov2 sin2 а — (z2 + z| + zf)j,

a = —z3 + anov sin a cos2 a + a sin a(z 2 + z2 + z3)/v, z3 = n^v2 sin a cos a — (z2 + z|)ctga, z'2 = z2z3 ctg a + z 2 ctg a ctg ßl, (3) z'l = z 1Z3 ctg a — z 1Z2 ctg a ctg ßl, ¡3 1 = Z2 ctg a,

p2 = —z 1 ctg a csc ßl.

В системе седьмого порядка появилась независимая подсистема шестого порядка, в которой отделяется независимая подсистема пятого порядка (3). Для полного интегрирования необходимо знать, вообще говоря, шесть независимых первых интегралов. Однако после замен переменных и введения нового дифференцирования z = \jz2 + z|, z* = Z2/Z1, z = novZ, Zk = novZk, к = l, 2, 3, z* = Z*, nov ' ^ ' она приводится к виду (b = ano, [b] = l)

v' = vf(a, Z, Z3), Ф(а, Z, Z3) = bcos a[sin2 a — (Z2 + Z|)],

a' = —Z3 + b sin a cos2 a + b sin a(Z2 + Z3), (.)

Z3 = sin a cos a — Z2ctga — Z3^(a,Z,Z3), Z' = ZZ3ctga — Z^(a,Z,Z3), (4)

Z* = ZV/TTZ2ctgactgßl, ß' = -ßz;ctga, (5)

Новый случай полной интегрируемости уравнений динамики на касательном расслоении... 189

Z

в2 =--. ctgа csc вл.

2 VT+zf ё Иi

Видно, что система пятого порядка (3) распалась на независимые подсистемы еще более низкого порядка: система (4) — третьего, а система (5) (после замены независимого переменного) — второго. Поэтому для полной интегрируемости достаточно указать два независимых интеграла системы (4), один — системы (5) и два дополнительных интеграла, "привязывающих" оставшиеся уравнения. При этом заметим, что систему (4) можно рассматривать на касательном расслоении TS2 двумерной сферы.

Полная система седьмого порядка обладает аналитическим первым интегралом вида v2(1 — 2bZ3 sin а + (Z2 + Z|)) = vq, поскольку центр масс движется прямолинейно и равномерно.

Система (4) принадлежит к классу систем, возникающих в динамике трехмерного (3D-) твердого тела, и обладает двумя независимыми первыми интегралами, являющимися трансцендентными функциями фазовых переменных (в смысле комплексного анализа) и выражающимися через конечную комбинацию элементарных функций (ср. с [1-3]):

Z2 + Z32 - bZ3 sin а + sin2 а . ) -= Ci = const, G(Z, Z3, sin а) = C2 = consta

Z sin а

Система (5) имеет первый интеграл в виде

v/T+Z2

sin в

= C3 = const,

и, в свою очередь, дополнительный первый интеграл, позволяющий определить величину ^2, представлен как

± С"*/1 = вт{Сз(в2 + CA)}, C4 = const.

VC3 - 1

Литература

[1] Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Экзамен, 2007. 352 с.

[2] Шамолин М.В. Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде // Доклады РАН. 2000. Т. 375. № 3. С. 343-346.

[3] Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998, Т. 53. Вып. 3. С. 209-210.