CC BY
11УДК 517.518.85
ОБ ОДНОМ ОПЕРАТОРЕ С. Н. БЕРНШТЕЙНА
Хохолов В, Б,
Для треугольной матрицы узлов интерполирования Ш = {хк,п} на отрезке [—1,1] по п-й строке —1 < х0,п < х\,п < ■ ■ ■ < хп,п < 1, п = 3, 4, 5,..., для любой непрерывной функции /(х) € С—1,1] определим интерполяционный процесс Лагранжа {Ьп(Ш, /, х)
п
Ьп(Ш, /,х) = ^/(хм)МШ, х), (!)
к=О
где
к,п = —77--г, ип(х) = ТТ(ж - хк „).
^П\хк,п) (х — хк,п)
Следуя С. Н. Бернштейну [1], при любом п ^ 3 для функции /(х) € С[—1, 1] положим
п
Вп(Ш,/,х) = ^/(хк,п) Ак,ЛШ,х, (2)
к
где
а0,п(ш, х) = /0,п(ш, х), Ап,^ш, х) = /п,п(ш, х), З/1 ,п( Ш, х) + /2 ,п( Ш, х)
А ,п( Ш,х) = Ап— ,п( Ш, х) =
\к,п(ш,х) =
© 2013 Хохолов В. В.
4
3/п-1,п(93Т, ж) + ¿та_2,п(%)Т, ж) 4
1к-1,п(ш>х) + 2/м(Ш1, ж) + /н-1,п(ЯК, ж)
208
Хохолов В. Б.
Ми. I. п и Варма [2] рассмотрели процесс (2) в случае матрицы Че-бышева второго рода, т. е. матрицы U, n-я строка которой состоит из нулей многочлена
шп+1 (U,x) = (1 - x2)Un— (x),
где Un— — многочлен Чебышева второго рода степени п — 1, и показали, что
lim max |/(x) — Bn( U, f, x) | = 0
n^TO Д]
для любой функции f(x) G C[—1, 1] (на самом деле в [2] получен более сильный результат о порядке наилучшего приближения).
Пусть а, ß > —1 и {РП"'в (x) }ТОз — последовательность многочленов Якоби, ортогональных на отрезке [—1,1] с весом w(x) = (1 — Xа(1 + Xв■ В качестве матрицы интерполирования возьмем матрицу, составленную из корней многочлена (1 — х2)РПа'в (x), и по n-й строке этой матрицы M= {xfc,n}n^j п = 3, 4,..., — 1 = Xn,n < Xn- ,n < • • • < x,n = 1, запишем то формуле (2) многочлен Bn(M, /, x) для функции f(x) G C[—1, 1].
Теорема 1. Если |а| = |ß| = 1/2, т0 Для любой функции f(x) G C — ,
lim max |f(x) — Bn(Ma-e), f, x) | = 0.
Ключевым моментом доказательства является установление справедливости неравенств
n-2 ..
1ik(mw\x) + ik+1{mia>p\x)\ < при |«I = \ß\ =
k=2
где C> 0 зависят только от а и ß.
Пусть M = Ж;, где M — матрица равноотстоящих узлов на отрезке [—1, 1]: Xfcjn = —1 + к = 0,1, 2, . .., п; п= 1, 2, 3, ....
В [1] С. Н. Бернштейн заметил, что для матрицы M подобное (2) «внесение поправок уже не является достаточным». Также известно, что процесс {Ln(M, f, x) }TOi сходится в окрестности точки x = 0 и справедлива
Об одном операторе С. Н. Бериштейиа
209
Теорема 2 [3]. Для каждого г > 0 найдется такая постоянная
Лг, что
тах Ап+1 (9Лг, х) ^ Аг 1п п.
Ж I ^ г / ^/п
Здесь Ап (, х) — функция Лебега интерполяционного процесса Лагранжа (1).
Обозначим через ,х) функцию Лебега процесса (2).
Теорема 3. Для каждого г > 0 найдется такая постоянная Бг,
тах ¿4п+1 (9Лг, х) ^ Вг\х\п.
Ж I ^ г / ^/п
Замечание. Удалось лишь показать, что Бг < Лг.
На рис. 1 показано поведение многочлена Лагранжа (1) и многочлена (2) при приближении функции /(¿) = |£|, п = 10.
В10{
Рис. 1.
что
Теорема 4. Для каждого г > 0 найдется х', \х'\ <г: г/у/п., такой,
— ^ЛМ ,х0 ^ п
ИГ11 ---= с > 0.
п^то 1п П
210
Хохолов В. Б.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бернштейн С. Н. Об одном видоизменении интерполяционной формулы Лагран-жа // Поли. собр. соч.: В 4 т. М.: Изд-во АН СССР, 1954. Т. 2. С." 130-140.
2. Mills Т. М., Varma А. К. A new proof of S. A. Teljakovskii's approximation theorem 11 Stud. Sei. Math. Hung. 1979. V. 14. P. 241-246.
3. Runck P. O. Uber Konvergenzfragen bei Polynominterpolation mit aquidistanten Knoten. HI // J. Reine Angew. Math. 1961. Bd 208, Heft 1-2. S. 51-69; 1962. Bd 210, Heft 3-4. S. 175-204.
г. Якутск
19 февраля 2013 г.
