CC BY
14
УДК 517.51
ИСПРАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛАГРАНЖА В УЗЛАХ, БЛИЗКИХ К УЗЛАМ ЛЕЖАНДРА
В. В. Новиков
Новиков Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и стохастического анализа, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, 410012, Россия, Саратов, Астраханская, 83 [email protected]
Известно, что интерполяционный процесс Лагранжа непрерывной функции с узлами в нулях многочленов Чебышева может расходиться всюду (с произвольными узлами -- почти всюду) подобно ряду Фурье суммируемой функции. В то же время известно, что любую измеримую (конечную п.в.) функцию можно исправить на множестве сколь угодно малой меры так, что ее ряд Фурье станет равномерно сходящимся (так называемое усиленное С-свойство). Возникает вопрос, не обладает ли класс непрерывных функций подобным свойством по отношению к интерполяционному процессу по той или иной матрице узлов? В настоящей работе показано, что существует матрица узлов интерполирования М7, как угодно близкая к матрице узлов Лежандра такая, что после исправления (с сохранением непрерывности) функции / е С[-1,1] на множестве как угодно малой меры, интерполяционный процесс с узлами М7 будет сходится к исправленной функции равномерно на [а, Ь] е (-1,1).
Ключевые слова: интерполяция Лагранжа, ортогональные многочлены Лежандра, исправление функций.
РО!: 10.18500/1816-9791 -2017-17-4-394-401
ВВЕДЕНИЕ
Пусть а, в > -1, {РПа'в)(х)}^=0 — последовательность многочленов Якоби, ортогональных на отрезке [-1,1], с весом эд(х) = (1 — х)а(1 + х)в, и пусть
1 << х( ^ ) << хп_1 п << * * * << X1 у, << 1, П ^^ 1,
— нули многочлена Рпа'в(х), пронумерованные в порядке убывания. Для функции /, заданной на [-1,1], обозначим через Ьп(М(а'в),/,х) многочлен Лагранжа, интерполирующий ее в узлах п-й строки матрицы М(а'в) = {х^О® : г = 1,* * *,п, п е М}. Для частного случая а = в = 0 (многочлены Лежандра) узлы интерполирования будем обозначать как х^п := х|°0).
Хорошо известно [1,2], что интерполяционный процесс {Ьп(М(а'в), /, х)}^= для f е С[-1,1] при а = в = -1/2 может расходиться всюду (для произвольных узлов — почти всюду [3]) подобно ряду Фурье суммируемой функции. В то же время известно ([4], см. также [5]), что любую измеримую (конечную почти всюду) функцию можно исправить на множестве сколь угодно малой меры так, что ее ряд Фурье станет равномерно сходящимся (усиленное С-свойство по терминологии Н. К. Бари). Возникает вопрос, не обладает ли класс непрерывных функций подобным свойством по отношению к интерполяционному процессу по той или иной матрице узлов? Здесь для случая а = в = 0 показано, что существует матрица узлов М7, как угодно
близкая к M(0'0) такая, что после исправления (с сохранением непрерывности) функции f G C[—1,1] на множестве как угодно малой меры интерполяционный процесс с узлами My будет сходится к исправленной функции равномерно внутри [— 1,1]. Доказательство проводится по схеме, предложенной в [6]. Отметим, что для самой матрицы M(0'0) (и тем более для M(a'e) с произвольными a, ß) вопрос открыт.
Теорема. Пусть последовательность y = (Ynj^Li С R+ такова, что jn ^ 0 при n ^ œ. Тогда существует матрица узлов интерполирования MY = {yk,n}П==1п=1 со следующими свойствами:
1) \xk,n - yk,n\ <Yn, 1 < k < n, n G N;
2) для любых f G C[—1,1], —1 < a < b < 1 и 0 < 6 < b — a найдутся функция g G C[—1,1] и множество E С [a, b], mes E > b — a — 6 такие, что f = g на E и lim \\Ln (M7 ,g1 •) — g\\c [a,b] =0-
n—L ' J
1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЛЕММЫ
Пусть отрезок [a, b] С (—1,1) и числа 0 < е < е' таковы, что — 1 < a—е' < a—е < a < b < b+е < b+е' < 1. Обозначим I = [a—е', b+е']. Пусть далее f G C[—1; 1], n ^ 3, и M : —1 < yn,n < yn-i,n < ... < y1n < 1 — произвольная матрица узлов интерполирования. Положим Д^ = (y2i+i,n, y2i-i,n), Af,n = [y2i+i,n,y2i-i,n], W,n \ = y2i-i,n — y2i+i,n, Д2 fi = f (y2i+i,n)—2f (y2i,n ) + f (y2i-i,n ), di (M, n) = min \Дi)n\,
i: Ai,nCI
d2(M, n) = max \ \,
i: Ai nCl
Яп,р (М, /) =
и обозначим р(х) = (1 — х2)1/4, Е(х) = (р(х)/(х). Для произвольного конечного множества А = {а1; а2;...; ат} С М через d(A) := тт{|а* — а^ | : а = а^} будем обозначать наименьшее положительное расстояние между его точками. Кроме того, как обычно, через С обозначаются абсолютные, вообще говоря различные, постоянные.
Лемма 1. Пусть числа а, Ь, £ удовлетворяют указанным выше условиям. Тогда существует последовательность Y = {1п} С М+ такая, что для любой / Е С[—1; 1] и любой матрицы узлов М7 = {у^п}, для которой
| Уг,п — Х^п | <Yn, г = 1,...,П, П ^ 3, (1)
Е
i: 0<|yp
Д2 fi
p — 2i
Rn(M,f ) = max Rn,p(M, f )
p : Vp,n e[a,b]
равенство
lim Rn(M7 ,F) = 0
n—
будет необходимым и достаточным условием для равномерной сходимости к f на [a,b] интерполяционного процесса {Ln(MY,f,x)}.
Доказательство. Утверждение леммы нетрудно получить, используя представление для разности f(x) — Ln(M(a,ß\f,x) из [7], а также факт непрерывной зависимости фундаментальных многочленов интерполяции от узлов и x Е [a, b]. Данное предложение является аналогом критерия сходимости из [8] (см. также [9]). □
Замечание. Известно [10], что для матрицы узлов Лежандра М(0'0) справедливо неравенство ^(М(0'0),п)/^(М(0'0),п) < С = С(а,Ь,е') и, кроме того, ^(М(0'0),п) ^ 0 при п ^ В дальнейшем мы будем считать последовательность (7П} стремящейся к 0 настолько быстро, что указанными свойствами обладают и величины ^ (М7, п),
^2(М7, п).
Лемма 2. Пусть 7 = {7П} — последовательность из леммы 1 и М7 = } — любая фиксированная матрица узлов, удовлетворяющая условию (1). Пусть, далее, а > 0 — произвольное достаточно малое число и конечный набор точек Л = {Л,}т=+)1 таков, что Ат+1 := а — е' < Лт < • • • < Л1 < Л0 := Ь + е', ^(Л) > а. Тогда найдется номер п0 = п0 (а), зависящий только от а, такой, что при п > п0 равномерно по р Е «/„(а, Ь) := {р : Е [а, Ь]} будут верны неравенства
др,п(Л) |р — 2г|-1 < 3, (2)
где суммирование идет по тем г, для которых 2г = р, А, п с I и А, п П Л = 0.
Доказательство. Фиксируем а > 0 и пусть Л = (Л^^"о1 удовлетворяет условиям леммы. Предположим, что d2,n) < 4-1^(Л). Тогда n(Л) можно представить
в виде не более чем двух сумм , n (Л) = Е1 + Е2, каждая из которых имеет вид
r(v) , )
Ev = 1/is, v = 1,2, где r(v) ^ m и положительные целые is , s = 1,...,r(v),
s=1
таковы, что
iS+)1 - iSv) ^ Cna, s = 1,..., r(v) - 1. (3)
r(v)
Очевидно, что ¿1v) ^ 1, а из (3) получаем 1/iSv) ^ 1/2, если только n больше
s=2
некоторого n0v)(а). Таким образом, (2) верно для всех n > n0(а) = max(n01);n02)}. Лемма доказана. □
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
Пусть f Е C[—1,1] — произвольная непрерывная функция и числа a, b, е, е' выбраны и зафиксированы как указано выше, F (x) = ^(x)f (x) и 0 < ^ < b — a — сколь угодно малое фиксированное число. Пусть далее 7 = (Yn} — последовательность, для которой выполнены все сделанные выше предположения и = (yi)n} — любая матрица такая, что верно (1). Потребуем, чтобы все точки (yijn} были попарно различными и не совпадали с узлами сетки := —1 + k21-j, k = 1,..., 2j, j Е N.
Положим /fcj := [—1 + (k — 1)21-j, —1 +'k21-j], Fj(x) := min F(t), x Е /fcj,
t€lk,j
k = 1,..., 2j, j Е N, x Е [—1,1].
Последовательность (Fj (x)}°=1 не убывает по j и равномерно сходится к F на
[—1,1], поскольку F — Fj < ^(F, 21-j), где ^(F, •) — модуль непрерывности
функции F. Положим Fj (x) = Fj (x) — (x) ^ 0, F0(x) = A := min F(x). Тогда
ряд £ Fj(x) равномерно и абсолютно сходится к F — A на [—1,1]. Докажем, что для
j=1
всех j = 1, 2... и для любого Nj Е N существует функция Gj Е C(I) такая, что
Gj(x) = Fj(x), x Е [—1,1]\1, (4)
0 < Сэ(х) < Еэ(х), х Е I, (5)
mes{t Е [—1,1] : Е0 (г) = (г)} < 2-6, (6)
тах Яп (М7 ,Сз) < С \\Е^ \\с ^ ^ 0 при 3 ^ то, (7)
Яп(М7)=0, п = 1,...,^, з = 1,2,..., (8)
11т Яп(М) = 0. (9)
п—
После того как функции Gj(х) будут построены, мы покажем что G(x) = А +
го
+ Е Gj(х) — искомая.
j=1
Обозначим через Ь множество точек разрыва функции Еj, лежащих в I. Выберем номер Mj > N так, чтобы при п > Mj для всех индексов г суммы Яп,р(М7,/), р Е Зп(а, Ь), выполнялось условие Д^п Е I, и пусть Во := Ь и {у^ Е I : 1 ^ 5 ^ Mj}. В силу леммы 2 найдется номер ^(0), для которого
Яп,р(Во) < 3 V п ^ ^(0), р Е Зп(а, Ь).
Пусть {аг}г°=0 С — последовательность такая, что а | 0 при I ^ то, причем аг/аг-1 < 2-г, I = 1, 2,...; окончательно мы подберем ее позже.
Для каждого г Е В0 построим замкнутую окрестность [г — а0,г + а0], при этом а0 выберем настолько малым, что:
1) ао < 4-1 ¿(Во), где Во := Во и {ум Е I : М3 + 1 < в < М(0)};
2) общая длина окрестностей всех точек г из Во меньше, чем 2-j-16;
3) max{n : (М7,п) > ао} > ^(0). Для х Е [—1,1] положим
0, если х Е Во, Gо,j(х) = { Еj(х), если х Е [—1,1]\ и£ед0 (г — ао, г + ао), линейная на [г — ак, г] и [г, г + ак], г Е Во.
Предположим, что уже определены множества Во, ...,Вг-1, выбраны числа ао,..., аг-1 и построены функции G0jj,..., Gl-1)j, I ^ 1. Определим Вг, аг и построим Glj. Пусть := и£=и и^ [г — а8,г + а8] и Д := {ум : в = М0 + I, ум Е I\Ео,г-1}. Для конечного множества Вг и Рг-1, где Рг-1 := и^"='о ^ед, {г — а8; г; г + а8}, найдем, применяя лемму 2, число ^(¡) такое, что:
1) Яп,р (Вг и Рг-1) < 3, V п ^ »(¡), р Е Зп(а, Ь);
2) ^(1) > miп{n : ¿2(М7, п) ^ аг-1}.
Теперь строим окрестности [г — аг,г + аг], г Е Вг, выбирая аг так, что:
1) аг < 4-Чф1), где Вг := Вг и {ум Е I\Ео,г-1 : Mj + I < в < ^(/)};
2) общая длина окрестностей всех точек г из Вг меньше, чем 2—-г6;
3) тах{п : (М7, п) > аг} >
Обозначим Нк^ : = Еj• (х), х Е ^, и для х Е [—1,1] положим
Gljj (х) = <
г
Ькл ^ 2-г, если х Е Вг П ^, в=1
(х), если х Е [—1,1]\ и^^^г (г — аг, г + аг), линейная на [г — аг, г] и [г, г + аг], г Е Вг.
Определим функцию Gj(ж) : = lim G1;j(x), x G [— 1,1], j G N, и проверим для
нее выполнение условий (7) и (9) (справедливость (4)-(6) и (8), а также условия Gj G C(I) очевидны). Пусть n > Mj. Определим номер l из условий (формально полагаем a_i := 2)
d2(M,n) < о-г-i, (10)
3 io : |Aio)П | > ^, Aio,n С I. (11)
Из определения следует, что все узлы, участвующие в построении числителей суммы (М7, С.), содержатся в множестве Е0,п. При этом А2= 0, если А^п целиком лежит на промежутке линейности функции С., т.е. если при некоторых з и Ь Е Б имеет место включение А^п С (Ь — а, Ь) и (Ь, Ь + ). Далее, по построению окрестности — а, + а8] узлов строк с номерами з = М. + /,..., попарно не пересекаются. Тогда, предположив в дополнение к (10), что п ^ получим, что из условия Аг,„ С I\Ео,1-1 следует равенство С. (у2г_1,п) = С. (^п) = С. (У2г+1,п), так что для указанных г снова имеем А2С^ = 0. С учетом высказанных соображений можно записать
(M, Gj)
E+E1 A2 f
. p — 2i
= Si + S?
где
/1 = {г : Аг,п П = 0}, (12)
/2 = {г : Аг,п П (и4еА_1 {Ь — ^г-1; Ь; Ь + ^г-1}) = 0}- (13)
Разумеется, если п недостаточно велико, то множества Л, могут оказаться пустыми. В этом случае соответствующие части суммы считаем равными нулю. Положим с. : = IIС.||С(7) = ||С(/). Тогда из определения С., учитывая, что а/а1-1 < 2_, 1 = 1, 2,... получаем
| A2Gj i I < 2c7- maJ ^ ; 21-Ч < ^, i g J, (14)
1 1 аг_2 J 21
Cc
| A2Gj , i | < 2cj 21-1 = , i G J2. (15)
Так как n > ^(l — 1), с учетом определения ^(l — 1) и (14) имеем
Cc Cc
Si < -jQn,p(P,_2) < Cj. (16)
Аналогично
^ < "2. (А_1) + ^(Б-) + дп,р(б+_ 1)) < -2., (17)
где Б_ := и^д,{Ь — а}, := и^д,{Ь + а}, з = 0,1,... Таким образом, для п таких, что верно (10) и п ^ мы получим
сг.
ЯП,Р(М7, С.) < -2., р Е Л(а, Ь). (18)
Пусть теперь п > ц,(1). Ясно, что М) +1 + 1 < п, кроме того, из (11) и определения I + 1) следует неравенство п ^ ^(1 + 1). Аналогично предыдущему получаем, что окрестности узлов строк с номерами от Мг- +1 + 1 до ^(1 + 1) попарно не пересекаются. Значит, можно записать
-1 ьп,р (М ,С3)
Е+Е+Е р-2г
аеЕ ¿еЕ геЕз/
= 51 + $2 + $3,
где З1 и З2 определены посредством (12) и (13), а За := (г : А^п П (Д и Б" и Д+) = = 0}. Для сумм 51, и числителей суммы сохраняются прежние оценки, кроме того,
Сс Се
< -^г {ЯпрР(Д) + Япр(В") + ЯПр(^+)) < .
Таким образом, для п, удовлетворяющих (11) и условию п > ^(¡), мы снова получаем оценку (18). Итак, (18) верно при всех п. Поскольку сг ^ 0 при - ^ то, из (18) следует (7). Кроме того, поскольку I = 1(п) ^ то при п ^ то, из (18) следует также и (9).
го
Положим С(х) = А Gj(х), д(х) = С(х)/р(х), х е (-1,1), д (±1) := д (±1 ^ 0).
г=1
Так как С г е С (I) ив силу (5) ряд сходится равномерно на I, имеем С е С (I). Кроме того, С(х) = Е (х), х е [-1,1]\1 и С (а - г' + 0) = Е (а - г'), С(Ь + г' - 0) = Е (Ь + г'), так что С, д е С[-1,1]. Далее, из (6) следует, что
mes{ж е [-1,1] : Е (х) = С (х)} = mes(x е [-1,1] : f (х) = д (х)} <8. (19)
Подберем теперь последовательность (Мг так, чтобы для функции С выполнялось условие
Нш Яп(М,С) =0. (20)
п—»го
Возьмем в качестве М1 произвольное натуральное число и предположим, что М1 ,...,Мг"1, - ^ 2, уже выбраны. За счет (9) можно подобрать Мг так, чтобы выполнялось условие
г"1 1
(М) <V п>Мг, р е Зп(а,Ь). (21)
Завершив индукцию по - и выбрав (Мг}, мы окончательно построим функцию С. Пусть п — достаточно большой номер. Определим - из условия Мг < п ^ Мг+1. Имеем
Г-1 / го \
(М, С) < ^
(М ,Св) + д п,р (М, с г) + д п,р 5=1 V 5=Г + 1 /
= Е1 + Е2 + Еа. (22)
Из (21), (7) и (8) соответственно находим Е1 < 1/-, Е2 < Ссг и Еа = 0. C учетом этих соотношений и того, что - ^ то при п ^ то, из (22) получаем (20). В силу леммы 1 из (20) следует равенство
п—ГО \\Ьп(М1, д, •) - дУс[аД = 0
которое совместно с (19) показывает, что функция д является искомой. Теорема доказана.
Библиографический список
1. Grünwald G. Über Divergenzerscheinungen der Lagrangeschen Interpolationspolynome Stetiger Funktionen // Ann. Math. 1936. Vol. 37. P. 908-918.
2. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynomes d'interpolation // Acta Litt. Sci. Szeged. 1936/37. Vol. 8. P. 131-135.
3. Erdös P., Vertesi P. On the almost everywhere divergence of Lagrange interpolatory polynomials for arbitrary system of nodes // Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 1980. Vol. 36, iss. 1-2. P. 71-89.
4. Menchoff D. Sur les seeries de Fourier des fonctions continues // Матем. сб. 1940. Т. 8(50), № 3. С. 493-518.
5. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физматлит, 1961. 936 с.
6. Новиков В. В. Интерполяция типа Лагранжа - Якоби и аналог усиленного C-свойства // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 66-68.
7. Неваи Г. П. Замечания об интерполировании // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1974. Vol. 25, iss. 1-2. P. 123-144.
8. Новиков В. В. Критерий равномерной сходимости интерполяционного процесса Лагранжа-Якоби // Матем. заметки. 2006. Т. 79, № 2. C. 254-266. DOI: 10.18500/1816-97912015-15-4-418-422.
9. Привалов А. А. Критерий равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Изв. вузов. Матем. 1986. № 5. C. 49-59.
10. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М. : Физматлит, 1962. 500 с.
Образец для цитирования:
Новиков В. В. Исправление функций и интерполяция Лагранжа в узлах, близких к узлам Лежандра // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 4. С. 394-401. 001: 10.18500/1816-9791-2017-17-4-394-401.
Adjustment of Functions and Lagrange Interpolation Based on the Nodes Close to the Legendre Nodes
V. V. Novikov
Vladimir V. Novikov, orcid.org/0000-0002-6147-1311, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya Str., Saratov, Russia, 410012, [email protected]
It is well known that the Lagrange interpolation of a continuous function based on the Chebyshev nodes may be divergent everywhere (for arbitrary nodes, almost everywhere) like the Fourier series of a summable function. On the other hand any measurable almost everywhere finite function can be "adjusted" in a set of arbitrarily small measure such that its Fourier series will be uniformly convergent. The question arises: does the class of continuous functions have a similar property with respect to any interpolation process? In the present paper we prove that there exists a matrix of nodes arbitrarily close to the Legendre matrix with the following property: any function f e C[-1,1] can be adjusted in a set of arbitrarily small measure such that the interpolation process of adjusted continuous function g based on the nodes will be uniformly convergent to g on [a, b] c (-1,1).
Key words: Lagrange interpolation, Legendre orthogonal polynomials, adjustment of functions.
References
1. Grünwald G. Über Divergenzerscheinungen der Lagrangeschen Interpolationspolynome Stetiger Funktionen. Ann. Math., 1936, vol. 37, pp. 908-918.
2. Marcinkiewicz J. Sur la divergence des polynomes d'interpolation. Acta Litt. Sci. Szeged, 1936/37, vol. 8, pp. 131-135.
3. Erdos P., Vertesi P. On the almost everywhere divergence of Lagrange interpolatory polynomials for arbitrary system of nodes. Acta. Math. Acad. Sci. Hungar., 1980, vol. 36, iss. 1-2. pp. 71-89.
4. Menchoff D. Sur les series de Fourier des fonctions continues. Rec. Math. (N.S), 1940, vol. 8(50), no. 3, pp. 493-518.
5. Bary N. K. A treatise on trigonometric series. Oxford, New York, Pergamon Press, 1964, vol. 1, 533 p.; vol. 2, 508 p. (Russ. ed. : Moscow, Fizmatlit, 1961. 936 p.)
6. Novikov V. V. Interpolyaciya tipa Lagranzha - Yakobi i analog usilennogo C-svojstva [Interpolation of the Lagrange - Jacobi type and an analogue of the strengthened C-property]. Matematika. Mehanika [Mathematics. Mechanics]. Saratov, Saratov Univ. Press, 2007, iss. 9, pp. 66-68 (in Russian).
7. Nevai G. P. Zamechanija ob interpolirovanii [Remarks on interpolation]. Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1974, vol. 25, iss. 1-2, pp. 123-144 (in Russian).
8. Novikov V. V. A Criterion for Uniform Convergence of the Lagrange - Jacobi Interpolation Process. Math. Notes, 2006, vol. 79, no. 1, pp. 232-243. DOI: 10.18500/1816-9791-201515-4-418-422.
9. Privalov A. A. A criterion for uniform convergence of Lagrange interpolation processes. Soviet Math. (Iz. VUZ), 1986, vol. 30, no. 5, pp. 65-77.
10. Szego G. Orthogonal Polynomials. Providence, Rhode Island, AMS, 1939. 440 p. (Russ. ed. : Moscow, Fizmatlit, 1962. 500 p.)
Cite this article as:
Novikov V. V. Adjustment of Functions and Lagrange Interpolation Based on the Nodes Close to the Legendre Nodes. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2017, vol. 17, iss. 4, pp. 394-401 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-4-394-401.
