Об одном обобщении теоремы Адамара об умножении особенностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3+517.5

В.Н. Кузнецов, Е.В. Сецинская

ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ АДАМАРА ОБ УМНОЖЕНИИ ОСОБЕННОСТЕЙ

В данной работе доказывается утверждение, которое является обобщением теоремы Адамара об умножении особенностей, имеющей место для степенных рядов с изолированными особенностями на границе сходимости (напр., [1]), а также приводится следствие из него, которое играет важную роль при частичном решении задачи о целостности композита L-функций Дирихле числовых полей.

Пусть степенной ряд

то

g(z ) = Y1anzn

n=1

можно представить в виде

g(z) = R(z )+ flf(z)

где R(z) — рациональная функция, полюсы которой располагаются на единичной окружности, а g(z) имеет конечные радиальные производные любого порядка в точках единичной окружности отличных от полюсов рациональной функции R(z). Пусть, далее, для производной m-го порядка функции g(z) (m = 0,1,...) найдется такой полином Pkm (z), нули которого совпадают с полюсами функции R(z), что функция g(z) • Pkm(z) ограничена в единичном круге. Класс степенных рядов, определяемый таким образом, обозначим через M.

Пусть g1(z) и g2(z) принадлежат классу M, то есть

gl(z ) = Ri(z ) + #i(z), g2(z ) = R2(z) + #2(z ), (1)

где R^z),R2(z) — рациональные функции, полюсы которых располагаются на единичной окружности, а 51 (z) и 52(z) имеют конечные радиальные производные любого порядка в точках единичной окружности, отличных от полюсов соответствующих рациональных функций.

Докажем утверждение, которое имеет место для скалярного произведения таких степенных рядов.

то то

Теорема 1. Пусть ряды g1(z) = ^ anzn и g2(z) = ^ bnzn принадле-

n=1 n=1

жат классу M. Причем

gi(z) = Ri(z) + #i(z), g2(z) = R2(z) + 52(z). Тогда их скалярное произведение (композит)

то

g (z) = ^2 anbnzn

n= 1

определяет функцию, которая в точках единичной окружности, отличных от попарных произведений полюсов функций R1(z) и R2(z), имеет конечные радиальные производные вида

lim g(nWn, 0 < 2п, n = 0,1,...

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть степенные ряды g1(z) и g2(z) принадлежат классу M и пусть Jn?1(z) и Jn,2(z) — арифметические средние частичных сумм степенных рядов <7х(z) = g1(z)Pni(z) и g2(z) = g2(z)Pn2(z) соответственно, где Pni (z) и Pn2 (z) — такие многочлены, что 'g1(z) и g2(z) ограничены в единичном круге. Тогда для любого z, |z| < 1, и любого m ^ n для значения в нуле производной m-го порядка функции

z

имеет место оценка

/nm)(0)|^ c • m!, (2)

где константа c не зависит от n, m и z.

fn(u) = ^(п) • (Jn,2[ П) U

п

z " u

Доказательство

Известно [2, гл. VII, раздел 7.7.2], что арифметические средние частичных сумм степенного ряда, ограниченного в единичном круге константой M, удовлетворяют оценке

|^n(z)| < A • M, где A — абсолютная константа. Отсюда следует, что

kn,i(u)| <ci, (3)

где константа ci не зависит от n. Аналогично, при |z| < |u| < 1, имеем

< С2, (4)

где константа c2 не зависит от n и z. Из оценок (3) и (4) следует, что для полинома

fn(u) = On,i(u) • (Tn,2[ U) un

u

при всех u, |z| < |u| < 1, имеет место оценка

|fn(u)| <сз, (5)

где константа c3 не зависит от n и z.

Из (5) в силу неравенства Коши для коэффициентов a^ многочлена fn(u) имеем оценку

|аП < Г3, (6)

где r — любое число, меньшее чем 1.

Возьмем для каждого k значение r = 1 — i. Тогда из условия (6) получаем

|af| <С4, (7)

где константа c4 не зависит от n, z и k. Учитывая тот факт, что

/nm)(0) = m! • aLn), (8)

и оценку (7) для величины /Щт)(0), получаем оценку (2), что и завершает доказательство леммы.

Доказательство теоремы 1

Покажем, что функция ) имеет конечные радиальные производные во всех точках единичной окружности, отличных от точек а^в?, где а — полюсы функции РДг), а в? — полюсы функции Р2(г).

С этой целью сначала покажем, что при подходе к обычным граничным точкам вдоль радиального направления функция ) ограничена константой, не зависящей от точек, лежащих на этом направлении. Пусть г — произвольная точка, |г| > г0 > 0, лежащая на таком направлении. Достаточно показать, что для всех п ^ п0, где п0 зависит от г, для частичных сумм ) разложения в ряд функции ) имеет место неравенство

|£п(* )1 <М, (9)

где константа М не зависит от п и выбора точки г на этом направлении.

Пусть £пд и 5Щ2 — частичные суммы рядов #1(2) и д2(г) соответственно. Тогда их композит будет частичной суммой 5Щ(г) степенного ряда ). Хорошо известно [2], глава IV, раздел 4.6, что для ) имеет место интегральная формула

^ ^ / ад»)** (и) ^ (10)

с

где контур С — окружность, внутри которой лежит точка г и радиус которой меньше единицы.

Запишем представление (10) в виде

, , 1 Г 5Щ 1(и) • Рщ (и) • 5Щ 2 (£) • Рп2 (£) • иП+П2 , ч

) = — -^—-^^-'и. (11)

П( ) 2пгУ РП1 (и) • РП2 (и) • И-+-2+1 1 ;

с

Заметим, что 5Щ , 1 (и) • РП1 (и) и 5Щ ,2 • РП2 (и) — частичные суммы степенных рядов функций д1(и)РП1 (и) и д2 Рщ (и) соответственно. Обо-

значим через апд (и) и а"п,2 (и) арифметические средние этих частичных сумм.

Пусть п0 таково, что для всех п ^ п0 и всех и, принадлежащих контуру С, имеют место неравенства

1) |0х(и) - 5Пд(и)| < е,

2)

(и) - апд(и) Рщ (и)

< е,

|^2(и) - 5*п,2(и) | < е;

£2 (и) рп2 (Ц) - ^п,2(и) Рп2 (и)

< е.

(12)

В силу (12) для оценки интеграла вида (11) достаточно оценить интеграл вида

2пг] РП1 (и) ■ РП2 (Ц) ■ и-+-2+1

С

¿и.

(13)

Оценим последний интеграл, используя при этом теорему о вычетах.

Подынтегральная функция интеграла (13) является мероморфной

функцией, полюсы которой находятся в точках и = 0 и и; = ■#-, где

в — нули полинома РП2(и). Оценим вычет подынтегральной функции в

точке и = 0 и покажем, что он ограничен константой, которая не зависит

от п и г. С этой целью разложим рациональную функцию

1

Рп1 (и) ■ Рп2 (Й

в сумму простейших

Рп1 (и) ■ Рп2 (ц)

I зг

Т т

г=1 з=1

(и —

+тт

В;

з=1 ;=1 и - +

Тогда вычет подынтегральной функции интеграла (13) в точке и = 0 будет равен конечной сумме вычетов вида

Гб5м=о

Кд(и) ■ ап,2 (Й ■ ип+п2)

(и-ад

и

Гб5м=о

и«+П2+1

Кд(и) ■ ап,2 (*) ■ иП+П2)

(14)

и

П+П2 + 1

(15)

1

к

1

1

к

Но вычет вида (15) равен

1

*п,1(«) • *п,2 (и) ^ иП+П2

(п + П2)!

В силу леммы 1 и того факта, что

и - в

(п+п2)

(16)

м=0

/

(1)

1

ии в

У

А

г

м=0

модуль производной т-порядка (16) не превосходит следующей величины:

П+П2

(п + П2)!

С

П+П2

т!

т=0

А 2

п+п2-т п+П2

= С

Е

1

(п + п2 — т)! • гп+п2-

т=0

где г = | и константа с не зависит от п и г. Ясно, что при г > 1 имеет

место оценка

1

П+П2

^ (п + п2 - т)! • Гп+п2"

т=0

< С1,

где константа с1 не зависит от п и г. Таким образом, вычет подынтегральной функции интеграла (13) ограничен константой, независящей от п и г.

Оценим теперь вычет подынтегральной функции интеграла (13) в точке и = в. Этот вычет равен конечной сумме вычетов вида

^п,1(и) • ^п,2 (и)

Р«1 (и) Рп2 ( и )

^ - в

кч

где

^ (и

Рщ2 (и)

^ - в

1

к

к

С

1

1

к

Но вычет (17) равен 1

к •

а„,1 (и) ■ а„,2 (и)

(и) РП2 (и)

(18)

и=Ъ

В силу формулы Лейбница выражение (18) является конечной суммой попарных произведений производных вида

(,„,) / М (т.,),,,, / ___1__

а„Л а„,2 (в;) Ц (и) РП2 (и)

(тз)

(19)

и=вг

где т1 ^ , т2 ^ , т3 ^ к^.

Если г — г0 вдоль радиального направления и г0 = аз-Д;, где аз- — нули многочлена РП1 (и), то каждый из трех сомножителей произведения (19) ограничен константой, не зависящей от п и г (г — вдоль этого направления). Когда г стремится к г0 вдоль радиального направления и п , то

а,

М/ 4 - * 4 Р„. (г)

(т1)

„,1

.в;

.в;

и в силу регулярности а„,2(и) в окрестности точки и = в; имеем

Кроме того,

а„т2)(в,) = 11т а.(т22)(и).

11т а„т2)(и) = (^2(и)Р„2(и))(т2).

Но по определению, когда и стремится к в; вдоль радиального направления, имеет место равенство

#2 (и)р„2(и) = Р„2(и)

А

(и - А)'*

+ £2 (им = Р„2 (и) + Р„2 (и) (/2 (и) ,

где /2 (и) имеет ограниченные радиальные производные любого порядка в точке в;.

1

Таким образом, при п ^ п0 имеет место неравенство (9), что доказывает ограниченность функции д(г), когда г ^ г0 вдоль радиального направления, где г0 отлична от точек а • вг-

Докажем аналогичное утверждение для производных любого порядка функции д(г).

С этой целью покажем, что

) I - (-)д(т) / * Л ^

с

Действительно, пусть

д(т)(г) = £ /д^Чецт+г. (20)

00 00

д1(и) = ^ апМП, -2 (и) = ^ Ьпмп.

Тогда

1 з2\™) / ип^

п=0 п=0

то п

д2( и) = Ег

п=0 то

д2 (И)=Е *

и ^ п\п—1

п=0 то

г) = > 'йп6ппгп.

д'М = X] апЬ

п=0

Отсюда получаем

1 / / \ / (г) ¿и ^^ Ьппгп—1 [ д1 (и) 7 ^^ 7 п Л

д1(м)д2 У И2 = Е ""¡¡ЛГ = Е = д (г).

С п=0 с п=0

Повторив эти рассуждения (т — 1) раз, получим формулу (20).

Формула (20) показывает, что для доказательства ограниченности функции д(т)(г), когда г стремится вдоль радиального направления к точке г0, лежащей на единичной окружности и отличной от точек а • вг, проходят все рассуждения, проведенные выше для доказательства подобного факта для функции д(г). Для завершения доказательства теоремы 1 осталось заметить, что из ограниченности производной функции

f (z) при z ^ z0 вдоль радиального направления следует существование конечного предела

lim f(z),

где z ^ z0 вдоль радиального направления. Тем самым теорема 1 полностью доказана.

В работах [3,4] было показано, что ряд Дирихле вида

то

f(s) = £ ns, s =а +^

n=1

тогда и только тогда продолжим целым образом на комплексную плоскость, когда соответствующий ему степенной ряд g(z) имеет конечные радиальные производные в точке z = 1, то есть существуют конечные пределы вида

lim g(n)(re^), 0 < 2п, n = 0,1,...

r^1-0

Как следствие теоремы 1, получается следующее важное утверждение.

Теорема 2. Пусть ряды Дирихле

то то ,

fl(s) = £ ПП, f2(s) = £ Ъ

„=1 „=1

определяют степенные ряды ) и #2(г), принадлежащие классу М. Причем точка г =1 не принадлежит множеству ■ вз}, где — полюсы функции Л1 (г), а вз — полюсы функции Я2(г). Тогда скалярное произведение (композит) этих рядов Дирихле

f (s) = £

n=1

определяет целую функцию.

то

ns

Библиографический список

1. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

2. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

3. Кузнецов В.Н. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. С. 17-23.

4. Кузнецов В.Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 63-72.

УДК 511.3

В.Н. Кузнецов, Т.А. Кузнецова, Е.В. Сецинская, В.В. Кривобок

О РЯДАХ ДИРИХЛЕ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ ПОРЯДКОМ РОСТА

МОДУЛЯ

Известно [1], что классические Ь-функции с неглавными характерами в классе эйлеровских произведений с конечнозначными коэффициентами определяются как целые функции, модуль которых удовлетворяет условию

|/(«)| <б|в| 1П |в|+А|в|, 5 = а + Ы, (1)

где А — некоторая положительная константа и а > 1. В [2] было доказано, что для того чтобы ряд Дирихле

то

/(5) = Е П, Е/Оп =1, (2)

п

п=1