О граничном поведении одного класса степенных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 3 (2011)

Труды Международной научно-практической конференции

Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии,

посвященной: 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина

УДК 511.3

О ГРАНИЧНОМ ПОВЕДЕНИИ ОДНОГО КЛАССА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

О. А. Матвеева (г. Саратов)

Аннотация

Приводится класс степенных рядов, для которых граничная точка г =

= 1 является особой точкой, отличной от полюса. В основе этой конструкции лежат результаты относительно аналитических свойств целых функций, определеяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

Введение

Рассмотрим класс степенных рядов

ГО

= а^п, (!)

п=1

с ненулевыми периодическими коэффициентами, для которых выполняется условие

5>п = 0(1). (2)

п^х

ГО ГО

Пусть д1(г) = ^2 апгп ж д2(%) = ^ Ъпгп два степенных ряда из этого класса. 11 Рассмотрим сетепнной ряд вида

ГО

д(г) = ^ спг'п’ (3)

1

где сп акЬт-

кт=п

Основным результатом работы является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Степенной ряд вида (3) определяет функцию д(г), для которой в точке г =1 существуют конечные радиальные производные вида

Иш д(п')(х),

х^-1-0

и точка г = 1 не является точкой регулярности для д(г).

В основе доказательства теоремы 1 лежит метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле, разработанного в работах В.Н Кузнецова (см., например, [1-3]). Суть которого заключается в том, что задача аналитического продолжения ряда Дирихле

ГО

(в) = ^2 —3 > 5 = ° Иш = 1,

и8

сводится к задаче о граничном поведении соответствующего (с теми же коэффициентами) степенного ряда

ГО

д(г) = X! апг'п-1

При этом поведение степенного ряда д(г) при подходе к точке г =1 определяет аналитические свойства функции f (в) и наоборот.

Нужно отметить, что в работах [4,5] использование метода редукции к степенным рядам позволило доказать аналогичный факт для степенных рядов, отвечающих произведению Ь-функций Дирихле с чиловыми характерами и отвечающих Ь-функциям Дирихле числовых полей к в случае к = Q. Но при доказательстве этих результатов существенно были использованы свойства характеров числовых полей и тот факт, что Ь-функции Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению. В нашем же случае при доказательстве основного результата используются только отдельные аналитические свойства целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

Основная часть

Доказательству теоремы 1 предпошлем ряд утверждений.

Лемма 1. Для рядов Дирихле f (в) = ^ пп с периодическими коэффициентами следующие условия эквивалентны:

1. фунция f (в) является целой функцией, удовлетворяющей следующему условию роста модуля:

и(в)| < се^81п |8|+а|8', (4)

где А — некоторая положительная константа;

2. точка г = 1 является регулярной для соответствующего степенного ряда

ГО

д(г) = ^2 апгП;

1

3. сумма,торная, функция коэффициентов Б(х) = ^ ап является, ограни-

п^х

ченной функцией.

Доказательство леммы 1. Эквивалентность условий 1 и 2 доказана в работе [1]. Докажем эквивалентность условий 2 и 3. Действительно, условие Б(х) =

й

Е ап = 0(1) эквивалентно тому, что ^ ап = 0, где й — период последователь-

п^х п=1

ностп {а^. Но для периодической последовательности {ап}\

й го

д(;) = ^ ак

к=1 т=0

й

Ясно, что д(г) тогда и только тогда регулярна в точке г = 1, когда ^ ак = 0,

к=1

что и завершает доказательство леммы 1.

Лемма 2. Пусть и (в) = ^ п* ~ ряд Дирихле с ненулевыми периодическими коэффициентам,и, для, которых Б(х) = ^ ап = 0(1). Тогда f (в) — целая,

п^х

функция, удовлетворяющая следующему условию:

и(-(п +2))| >ее""-Бп,

где В — некоторая, положительная константа.

Доказательство леммы 2. В силу леммы 1 и (в) — целая функция, модуль которой удовлетворяет условию роста (4). Рассмотрим известное соотношение

РГО

и(в)Г(в) = д(е-х)хя-1йх, а > 1, (5)

где д(е-х) = ^ апе-пх и Г(в) — Г-функция. Запишем соотношение (5) в виде

РГО рр

и (в)Г(в)= д(е-х)х'в-1йх + д(е-х)х'в-1йх, (6)

и р Л)

где 0 < р < е-(л+Г).

Е ак гк к=1

1- г

ГО

В работе [1] доказано, что интерграл / д(е-х)хя-1йх определяет целую функ-

р

цию, а второе слагаемое в формуле (6) можно представить в виде

ГР ГО Л рк

д(е Х)х 1йх = р3^ } (7)

0 , „ к + 8

Лк р

к=0

где Лк = Яев3=-ки(в)Г(в) =

ГО

Оценим интеграл / д(е-х)хя-1йх: р

/ д(е Х)х3 йх ' р

Р 1

^ Мі [ —----------------------ха-1йх ^ << е{А+1)а\ (8)

Л 1 - е-Х И ’

при а ^ го. Так как в силу (4) \Лк\ = 0(елк) и в силу того, что р < е (Л+1) : имеем \акрк\ = 0(е-к). Отсюда получаем следующую оценку

ОО /ч к

ак рк

Е

к=0 к - п + 1

1 1 О -к К е-> 11 - 2е-1

>-----------У е — — (1 - ---------------------) — —-------------— > 0. (9)

п п п 1 — е-1 п 1 — е-1

к=1

Далее, из условия р( п+ 2) > се(л+1)п, оценок (8), (9) и равенства (б)получаем оценку

и(-(п + 2))Г(-(П + 2))\ > се(Л+1>'\

Г

\Г(-(п +1))\ ^ С1е-п 1пп+Б1п,

В1

ства, получаем утверждение леммы 2.

В работе [3] доказано следующее утверждение

Лемма 3. Для, рядов Дирихле

ГО

\ л ап

и (в)=у. —, в = а + й, Иш V\ап\ = 1,

с периодическими коэффициентам,и следующие условия эквивалентны:

1. фунция и (в) является, целой функцией, удовлетворяющей следующему условию роста модуля:

\и(в)\ < се1в11п И+ЛИ,

СО

где А — некоторая положительная константа;

2. соответствующий степенной ряд

д(г) — 5^ апгП

п=1

определяет функцию, регулярную в точке г — 1.

О

Лемма 4. Пусть д1(г) — ^ апгп — степенной ряд с периодическими коэф-

п=1

О

фициентами, для которых ^ ап — 0(1) и д2(г) — ^ Ьпгп — степенной ряд с

п^Х п=1

Ьп — 0(1).

п^Х

0

ного ряда д(г) — ^ спгп, где сп — ^ акЬт существуют конечные радиальные

1 кт=п

производные вида Ііт д(п^(х).

х^-1-0

Доказательство леммы 4- Сначала докажем ограниченность функции

О

д(х) — Е спхп в некоторой окрестности единицы (х < 1). Это равносильно

ГО

с хп спх п=1

тому, что существует п0 такое, что при п > п0 и любом натуральном р для всех х : 1 - 8 < х < 1, выполняются оценки

п+р

1^2 Скхк | <М, (10)

где константа М те зависит от п, р и х.

По условию леммы 4 существуют п1, т1 и величина 8]^, что при п > п1, т > т1 и х : 1 - 81 < х < 1, при любых р1 и р2 выполняются оценки

п+рх т+р2

|^ акхк| <М1, | ^ Ьпхп1 <М2.

т

Из этих оценок следуют оценки вида

п+рх т+р2

| ^ акЬпхк+п1 < М1М2. (11)

Заметим, что оценки (10) равносильны тому, что

п+рх т+р2

| ак Ьпхкп1 < М, (12)

пт

где п > п2, Ш > Ш2.

Запишем сумму, стоящую в левой части неравенства (12) в виде

n+pi m+p2

Y, Y, akbnxk+nxkn-(k+n). (13)

n m

Так как степенные ряды g\(x), g2(x), g(x) абсолютно сходятся при x < 1, то в выражении, стоящем в левой части неравенства (11) и в выражении (13) можно менять слагаемые в любом порядке. Расположим в сумме (13) слагаемые в порядке неубывания показателей nm — (n + m) и применим к этой сумме следующую оценку

N N1

I Kan\ ^ Xi max | V] an\,

^ Ni^N ^

n=1 n=1

где X1 ^ X2 ^ ... ^ XN > 0, которая получается в результате применения формулы суммирования Абеля.

В итоге получаем оценку (12) и, следовательно, оценку (10), которая обесе-

g(x)

Далее, учитывая, что g' (x) = g[ (x) о g!2 (x), где знак о означает произведение двух степенных рядов по Дирихле, и, повторив весь ход приведенных выше

g(x)

(x < 1).

радиальных производных вида lim g(n')(x). Действительно, если g(x) = O(1)

x^1-0

и g'(x) = O(1) в некоторой окрестности единицы, то существует предел вида lim g(x) . g(xn) ,

x^1-0

xn ^ 1 (xn < 1). Тем самым, утверждение леммы 4 полностью доказано.

Доказательство теоремы 1. В силу леммы 4 степенной ряд (3) имеет в точке z = 1 радиальные производные вида

lim g(n\x).

x^1—0

При этом точка z = 1 не явдяется регулярной точкой для функции g(z), так как

ГО

в противном случае в силу леммы 3 соответствующий ряд Дирихле f (s) = ns

in

должен удовлетворять условию

\f (s)| < ces ln |s|+A|s|, (14)

где A — некоторая положительная константа.

Так как f (s) = f1(s) ■ f2(s), где функции f1(s) и f2(s) определены рядами Дирихле, отвечающими степенным рядам g1(x) и g2(x) и так как для f1(s) и f2(s) имеет место лемма 2, то неравенство (14) не выполнимо. Это и завершает доуказательство теоремы 1.

Приведем одно из следствий теоремы 1.

Теорема 2. Степенной ряд вида (3) определяет функцию, которая не является мероморфной в замкнутом единичном круге.

Отметим, что представляет интерес выяснить вопрос об аналитическом продолжении функции, определяемой степенным рядом (3) за границу сходимости единичного круга.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36. Вып. 6.

[2] Кузнецов В. II.. Водолазов А. М., Сорокина Е. В. Метод редукции к степенным рядам и некоторые вопросы теории Ь-функцпй числовых полей // Чебышевский сборник: Труды V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2003. Т. 4. Вып. 2. С. 73-79.

[3] Кузнецов В. 11.. Сецинская Е. В., Кривобок В. В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3. С. 47-58.

[4] Сецинская Е. В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих Ь-функциям числовых полей: Дне.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.

[5] Кузнецов В. И., Кузнецова Т. А., Кривобок В. В. Об аналитической непродолжимости за границу сходимости степенных рядов, отвечающих Ь

функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 5. С. 31-36.

[6] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. Поступило 19.11.2011