О граничных свойствах одного класса степенных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Love E.R. A generalization of absolute continuity //J. London Math. Soc. 1951. V. 26. № 1. P. 1-13.

8. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации // Известия вузов. Математика. 1965. № 2. С. 171-187.

9. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977.

10. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1965.

11. Volosivets S.S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions // Analysis Math. 2000. V. 26. P. 63-80.

12. Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев: Наукова думка, 1992.

13. Тригуб Р.М. Приближение функций с заданным модулем гладкости на внешности отрезка и полуоси // Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. М.: Физматгиз, 1961. С.47-51.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. Т.1.

УДК 511.3+517.5 В.Н. КУЗНЕЦОВ, В.В. КРИВОБОК, Е.В. СЕЦИНСКАЯ

О граничных свойствах одного класса степенных рядов

В работе изучается граничное поведение степенных рядов, отвечающих Ь-функциям числовых полей с характерами Дирихле. Эта задача изучалась Е.В. Сецинской [1], было показано, что она непосредственно связана с решением ряда теоретико-числовых задач. В основе приведенного здесь решения этой задачи лежит совершенно иной подход, чем

в [1], и задача решается для более широкого класса степенных рядов. Приведем основной результат, доказанный в данной статье.

Теорема 1. Пусть степенной ряд g(z) отвечает L-функции числового поля k и пусть для него существует полином Pn(z), корни которого лежат на единичной окружности, такой что

|g(z) • Pn(z)| <c, |z| < 1. (1)

Тогда почти во всех точках z = единичной окружности, аргументы которых ^ являются рациональными числами, существуют конечные радиальные производные вида

lim g(m)(re2n^), m = 0,1,2,...,n,... (2)

r——0

Замечание 1. Е.В. Сецинской [1] было показано, что для степенных рядов, отвечающих произведениям классических L-функций Дирихле, выполняются условия теоремы 1.

Доказательству теоремы 1 предпошлем ряд утверждений. Имеет место

Лемма 1. Для простого числа p, натурального а и числового поля k, не содержащего корни p-й степени из единицы, существует циклическое круговое расширение L1 поля k, группа Галуа которого имеет порядок ра.

Доказательство Известно [2], что группа Галуа расширения L = k(p +/!) изоморфна прямой сумме циклической группы порядка p — 1 и циклической группы порядка ра. Таким образом, существует подполе L1, которое является расширением Галуа поля k степени ра.

Лемма 2. Любой числовой характер Дирихле х2 модуля pa имеет вид

2 nik

X2(n) = emd n, где (n,p) = 1.

Доказательство Доказательство леммы 2 приведено в [3].

Лемма 3. Любой характер Дирихле \1 числового поля к, согласованный с группой Галуа расширения Ь1 поля к, определенного в лемме 1, имеет вид

Хх(а) = е ™шм(а), где (Ж (а),р) = 1.

Доказательство Покажем, что любой характер согласованный с группой Галуа расширения Ь1 поля к, является норменным характером, т.е. существует числовой характер х2, согласованный с группой Галуа циклического кругового расширения поля степени ра такой, что

Х1(а) = Х2(Ж (а)), где (Ж (а),р) = 1. (3)

Действительно, в [4], гл. VII, § 10.4 показано, что следующая диаграмма

- >

Nk/Q г , ^ -> ^2

где = Оа1(Ь1/к), С2 = Са/^/О), Ь с О( Р°7Т), [Ь : О] = ра, г — вложение, в — отображение взаимности, является точной диаграммой. Отсюда сразу следует формула (3). В силу (3) утверждение леммы 3 является следствием леммы 2.

Лемма 4. Пусть ряд Дирихле

то

/(в) = ^ п., а = а + г1, йт^^ащ = 1

N =1

продолжим мероморфным образом на комплексную плоскость с единственным полюсом первого порядка в точке в = 1. Тогда соответствующий степенной ряд

то

9(х) = ^2 ап*П

N =1

вдоль действительного направления в точке г = 1 ведет себя следующим образом:

) = 13- + #1(—X 1 —

где #1(—) имеет в точке — =1 односторонние производные любого порядка.

Обратно, если степенной ряд в точке г = 1 ведет себя таким образом, то соответствующий ряд Дирихле определяет мероморфную функцию с единственным простым полюсом в точке в = 1.

Доказательство Доказательство леммы 4 приведено в работах [5], [6].

Лемма 5. Пусть абелево расширение Галуа Ь поля к не содержит корней р-й степени из единицы, а Ь1 — циклическое круговое расширение поля к, определенное в лемме 1. Тогда расширение к С Ь о Ь1, где Ь о Ь1 — композит полей, является расширением Галуа, группа Галуа которого изоморфна прямому произведению групп О х О1, где О = Оа/(Ь/к), О1 = Оа/(Ь1/к).

Доказательство При условиях леммы 5 расширения Ь и Ь1 являются линейно разделенными расширениями, и утверждение леммы 5 следует из общего факта, имеющего место для линейно разделенных расширений [2].

Лемма 6. Пусть х — характер Дирихле числового поля к модуля т, согласованный с группой Галуа абелева расширения к С Ь, где поле Ь не содержит корней степени р из единицы. Тогда ряд Дирихле вида

<рса (в)= ^ —й)^, в =а + ^ (4)

N(а)=1(той ра)

где С — класс смежности относительной группы классов идеалов Ат/Нт, продолжим мероморфным образом на комплексную плоскость с единственным простым полюсом в точке в = 1.

Доказательство

Рассмотрим сначала случай, когда в формуле (4) (l,p) = 1.

Пусть х2 — характер Дирихле поля k модуля mi, соответствующий абелевому расширению k С L о L1, где m1 = m • (pa) и где L1 — циклическое круговое расширение поля k степени pa. В силу леммы 5 и леммы 3 характер х2 имеет вид

Ы«) = Xj(a) • e^"dN(0), (а,mi) = 1, (5)

где Xj — характер Дирихле поля k, согласованный с группой Галуа расширения k С L.

Для L-функции Дирихле с характером вида (5) получаем следующее представление:

Lj,k(s) = £ £ Xj(Cj)e^<pCj,1 (s). (6)

Cj

(V,p)=1

Это равенство получается на основании того факта, что когда N (а) по модулю pa пробегает приведенную систему вычетов, то и ind(N(а)) пробегает приведенную систему вычетов по mod pa. В представлении (6) число l таково, что

ind N (а) = ll (mod pa), a N (а) = l(mod pa).

Представление (6) определяет систему линейных уравнений относительно функций ^cj(s), определитель которой отличен от нуля. Действительно, характеры Дирихле, согласованные с группой Галуа расширения k С L о L1, образуют линейно независимую систему функций.

Следовательно, имеют место равенства вида

^Cj,1(s) = ^ ai,kLj,k(s^ (7)

что и доказывает утверждение леммы 6 в случае (l,p) = 1.

В случае, когда р делит I, возникает аналогичная ситуация, которая связана с числовыми характерами по модулю р°л, где а1 < а, то есть все предыдущие леммы, в том числе и лемма 6, рассматриваются для случая р°л, где а1 — некоторое натуральное, меньшее чем а. Этот факт завершает доказательство леммы 6.

До каз ат е л ь с т в о т е о р е м ы 1 Доказательство утверждения теоремы 1 в случае, когда ^ = ра, д < < ра, (д,р) = 1 и когда характер Дирихле х поля к согласован с группой Галуа абелевого расширения к С Ь, где Ь не содержит корни р-й степени из единицы, следует из леммы 6. Действительно, в силу (6) имеет место равенство

2пiql'

^) = Е Е х(С)е^ Е ^<й> =

С, йбС,

(1',р)=1 N (а)=1(то< ра)

= ЕЕ х(С)е(г), (8)

С, 1<1'<ра (1',р)=1

где д^(г) — степенной ряд, отвечающий ряду Дирихле вида (4). Из представления (8), леммы 6 и леммы 4 получаем, что степенной ряд д(г) в точке г = г0, где г0 = ведет себя в радиальном направлении следующим образом:

в

д(г ) =-+ 51 (г), (9)

г — ¿о

где д1(г) имеет в точке г0 радиальные производные любого порядка.

Тогда в силу условия (1) теоремы 1 и представления (9) получаем: либо точка г0 совпадает с одним из нулей многочлена (г), либо константа В в представлении (9) равна нулю. Рассмотрим теперь случай

, , /1ГЛ

^ = ^ + ^ = + . (10)

р1 р2

В этом случае имеет место равенство

ал — 1 ао — 1

Р1 Р22

) = ЕЕ Е Х(С )е2"^# + ^ д,Ак {г),

С,- 1=0 к=0

где д^к(г) — степенной ряд, отвечающий ряду Дирихле вида

1

N(а)5.

дм,к(в) = ^ . (11)

N(а)=1(той раа1) N(a)=k(mod ра°)

Для доказательства того что для ряда Дирихле вида (11) имеет место утверждение леммы 6, необходимо рассмотреть в качестве абелевого расширения композит полей к с (Ь о Ь1) о Ь2, где Ь2 — циклическое круговое расширение поля к степени рЦ2, и провести доказательство леммы 6 в случае характера х2 вида

(2■пiq1N (а) \ 2 пiq2N (а)

Хз(а)е Ра1 Ь е Ра2 .

Ясно, что все рассуждения, приведенные в лемме 6, будут иметь место и в этом случае. Таким образом, утверждение теоремы 1 имеет место и в случае представления ( 10). Ясно, что теорема 1 будет иметь место и в общем случае

= 11 + + + И

^ ^ал + а2 + ... + а, .

Р11 Р22 Р1

Это и завершает доказательство теоремы 1.

Замечание 2. Отметим, что результат, аналогичный результату теоремы 1, имеет место и для степенных рядов д(г), отвечающих Ь-функциям Гекке. При этом схема доказательства этого факта незначительно отличается от предложенной здесь схемы доказательства теоремы 1.

Библиографический список

1. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих

Ь-функциям числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.

2. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.

4. Хейльброн Х. (-функции и Ь-функции // Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.

5. Кузнецов В.Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988.

6. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Дифференциальные уравнения и теория функций: Меж-вуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.

УДК 511.3+517.5 В.Н. КУЗНЕЦОВ, Е.В. СЕЦИНСКАЯ, В.В. КРИВОБОК

О рядах Дирихле, определяющих целые функции

первого порядка

Рассмотрим ряд Дирихле

то

/(*) = Е 5 = а + и, нт^ = 1. (1)

пь

П=1

В данной работе дается описание рядов Дирихле (1), определяющих целые функции первого порядка, выраженное в терминах поведения соответствующего степенного ряда:

то

д(г ) = Е (2)

П=1