О рядах Дирихле, определяющих целые функции с определенным порядком роста модуля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

2. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

3. Кузнецов В.Н. Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. С. 17-23.

4. Кузнецов В.Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. С. 63-72.

УДК 511.3

В.Н. Кузнецов, Т.А. Кузнецова, Е.В. Сецинская, В.В. Кривобок

О РЯДАХ ДИРИХЛЕ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ ПОРЯДКОМ РОСТА

МОДУЛЯ

Известно [1], что классические Ь-функции с неглавными характерами в классе эйлеровских произведений с конечнозначными коэффициентами определяются как целые функции, модуль которых удовлетворяет условию

(з)| <еМ 1пМ+АМ, 5 = а + и, (1)

где А — некоторая положительная константа и а > 1. В [2] было доказано, что для того чтобы ряд Дирихле

то

/(5) = Е п, Е/ап = 1, (2)

п

п=1

удовлетворяющий (1) определял целую функцию, необходимо и достаточно, чтобы соответствующий степенной ряд

то

) = ^ anzn (3)

n= 1

определял функцию, регулярную в точке z =1.

Последнее утверждение дает аналитическую характеристику классических L-функций Дирихле в классе эйлеровских произведений с произвольными коэффициентами, выраженную в терминах соответствующих степенных рядов.

В данной статье получен аналогичный результат для L-функций Дирихле и L-функций Гекке числовых полей.

Итак, пусть k — числовое поле, то есть расширение конечной степени поля рациональных чисел.

Пусть O С k — кольцо целых чисел и M — некоторый идеал кольца O. Обозначим через I группу идеалов поля k, Тэд — группу идеалов, взаимно простых с M, H С I — подгруппу главных идеалов (а), где а = 1(modM).

Напомним, что характером Дирихле модуля M поля k называется такая комплекснозначная функция х, определенная на группе I и удовлетворяющая следующим условиям:

(i) х(А) = 0 ^ (A, M) = 1;

(ii) x(Ai, A2) = x(Ai) • х№);

(iii) для любого a £ k, a = 1( mod M) : x((a)) = 1.

Характером Гекке модуля M называется такая комплекснозначная функция х, определнная на группе I и для которой имеют место условия:

(i) X(O) = 1;

(ii) х(А) = 0 ^ (A, M) = 1;

(iii) x(Ai, A2) = x(Ai) • x(A2);

(iv) (3 $ G Z [G]) (V a GO) a = 1 (mod M) ^ x((a)) = a^;

(v) (3 m G Z) (V a G G) na + Uja = m.

Здесь поле k является CM-полем, то есть оно является вполне комплексным расширением некоторого вполне вещественного подполя k0. При этом k D Q — нормальное расширение с группой Галуа G.

В условии (iv) Z[G] — групповое кольцо группы Галуа G, которое действует на поле k следующим образом: $ ^ naa G Z[G], a G k :

ctGG

a^ = П (aaГ.

CTGG

Можно показать, что условие (v) эквивалентно условию (1 + j)$ = = mN, где число m называется весом характера х, при этом если (A,M) = 1, то |х(А)| = N(A)m.

Характер х : Х(А) = щщт называется нормированным характером Гекке.

Замечание 1. Хорошо известно [3], что Im/Hm — конечная группа и, следовательно, характер Дирихле х поля k — конечнозначная функция. В отличие от характеров Дирихле характер Гекке не является конеч-нозначной функцией.

Рассмотрим L-функцию числового поля k:

««■«=п(1 -«т=ZN&=«■

где произведение берется по всем простым идеалам поля k; х — характер Дирихле или нормированный характер Гекке, в зависимости от чего данная L-функция называется L-функцией Дирихле или L-функцией Гекке числового поля.

Известно [4,5], что Ь-функции Дирихле и Ь-функции Гекке в случае неглавных характеров продолжаются на всю комплексную плоскость как целые функции и удовлетворяют функциональному уравнению:

Ф(5,х)= СхФ(1 - 5,х), (5)

где

Ф(«,х) = С2 • П г(

s + аЛ • r(s)r2 • L(s,x,k),

q = i ' 2

где ci, c2 — константы, ri, r2 — соответственно число вещественных и комплексных нормирований поля k, aq = 1 или 1.

В силу функционального уравнения (5) можно показать, что L-функция поля k (4) в случае неглавного характера х продолжима на комплексную плоскость как целая функция первого порядка f (s), модуль которой в левой полуплоскости удовлетворяет условию

|f (s)| = O(ek|s| ln |s|+A|s|), (6)

где k = ri + r2, A — некоторая положительная константа. Замечание 2. Получение оценки (6) аналогично получению оценки (1).

Таким образом, в теории L-функций числовых полей встает задача описания рядов Дирихле (2), которые определяют целые функции, модуль которых в левой полуплоскости удовлетворяет условию (6). В этом направлении доказан следующий результат.

Теорема 1. Ряд Дирихле тогда и только тогда определяет целую функцию с условием роста модуля

f (_n)| = O(eknlnn+An), k ^ 1, (*)

где k — некоторая положительная константа, не зависящая от n, когда соответствующий степенной ряд g(z) имеет в точке z =1 конечные радиальные производные вида an = lim g(n)(x), для которых выполняется условие

|an| = O(ekn ln n+An). (7)

Доказательство Ясно, что выполнение условия (7) для an = limQ g(n)(x) эквивалентно выполнению условия для an = lim g(n)(e—x). Действительно, an = ±аn.

x* ^ 0 \ 0

В свою очередь, как показано в [6],

g(n)(e-x) =

(-1) 2ni

n ^c1+irx

^n(s)x sds, С\ = С + n,

ci—гж

где г^п(в] = /(в — п)Г(в — п)(в — п + 1)... (в — 1)в. Тогда, применяя метод контурного интегрирования, получаем

1

Ci+iTO

2ni

фn(s)x sds =

1

2ni

ci—гж

/ 'n(s)x sds + ^ 7]

Y ]=o

(n) xj,

где 7 — контур, состоящим из дуги полуокружности с центром в точке в = 0 радиуса Я:

3п П

в = Явг(р, — < ю < -, 2 ^ 2'

и соответствующих бесконечных участков мнимой оси. В этой формуле

7]п) = гев,=— ^^(в), ; = 0,1, к < Я < к + 1.

Обозначим контур дуги полуокружности через 7д, а оставшийся участок контура — через 71. Тогда

фn(s)x sds = фn(s)x sds + фn(s)x sds.

(8)

7 71 1п

Оценим первое слагаемое в представлении (8). При любом х > 0 имеем

фn(s)x sds

Yi

£ c e—atdt = ce—aR

R

Таким образом, при достаточно большой величине R выполняется оценка

фп (s)x sds

Yi

^ е.

(9)

Оценим второе слагаемое, стоящее в левой части формулы (8). При 0 < х < 1 имеем

/ ^п(5)х ^5 !

| 1я и 1я

^п(з) - Е

к (п)

) =0

5 + 7

х

+

7Д

к (п)

Х- 7) )

^ 5 + 7

Ь=о

х

Обозначим

Фп(й) = ^п(й) - Е

к (п)

7))

) =0

5 +7

Ясно, что функция Фп(5) регулярна внутри и на границе круга радиуса Я с центром в точке 5 = 0. Следовательно, [6, лемма 1.2] существует полином вида

Тм,п(5) = Е

с

(п)

Е<к<М

5 + к'

для которого выполняется оценка

тах |Фп(5) - Тя,п(5)| < е.

Тогда, в силу леммы 1.3 из [6], получаем при 0 < х < 1 следующую оценку:

Фп(5)х "¿5

1п

<

[Фп(5) - ТЖ,п(5)] X "¿5

7Д

+

7Д

<

^ С | X " | ¿5 + ^

с

(п) к

Е<к<М

х-

5 + к

¿5 ^

с

1п X

7Д 1п

Таким образом, получили, что при 0 <х< 1 и х ^ 0

/ Фп(5)х-в^5 ^ 0.

(10)

1п

Аналогично, имеем при 0 <х< 1 и х ^ 0

х-5^5 —> 0.

1я

' к (п) £ %

и =0

5 + 7

(11)

Тогда из условий (10) и (11) для функции

k Y (n)

выполняется условие (0 < x < 1): при x ^ 0

/ ^0- (12)

YR

Итак, получаем

xlim0 (g(e-x))(n) = (-1)n70n), n = 0,1, 2,...

Тогда имеем 70п) = Ress=0^n(s) откуда

К| = |(-1)n| • |Ress=0f(s - n)r(s - n)(s - n)... (s - 1)s| =

= n! = |f (-n)|.

Последнее равенство в силу (*) завершает доказательство теоремы 1.

Замечание 3. Можно показать, что оценка (*) имеет место для любого s = а + it, а < 0. Доказательство этого факта весьма громоздко и в данной работе не приводится.

Библиографический список

1. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле //Мат. заметки. 1984. Т. 36, вып. 6.

2. Кузнецов В.Н., Сецинская Е.В., Кривобок В.В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3.

3. Ленг С. Алгебраические числа. М.: Мир, 1966.

4. Hecke E. Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Bezehungen zur Verteilung der Primzahlen // Math. Z. 1920. №6.

5. Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen // Math. Ann. 1926. №97.

6. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.

УДК 681.3.06

А.В. Месянжин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА ЛИНЕЙНОГО БАЗИСА ФАКТОРА ПОЛИНОМИАЛЬНОГО КОЛЬЦА

ПО НУЛЬМЕРНОМУ ИДЕАЛУ С ПОМОЩЬЮ

_ _ _ _ _ _ ••_ _

НЕСТАНДАРТНЫХ БАЗИСОВ ГРЕБНЕРА1

C-делимость мономов

Обозначим X = {xi,..., xn} -множество независимых переменных, Z^0 - множество неотрицательных целых чисел.

Мономом от переменных xi,... ,xn называется формальное произведение неотрицательных степеней переменных: x?1 • • • x?", ai Е Для

n

монома u = x?1 • • • xопределим его полную степень deg(u) = ^ ai и

i=i

степень по i-той переменной degi(u) = ai.

Для упрощения записи введем мультистепенное обозначение монома:

xa = x?1 ••• x?n, a = (ai,..., an) Е ZJ0.

Пусть M = {xa : a Е Z^0} - мультипликативный моноид мономов от переменных X, изоморфный аддитивному моноиду где ассоциативная операция для Z^0 - стандартное векторное сложение, и соответ-

1 Работа выполнена при поддержке Министерства науки и образования РФ (проект НШ-6649.2006.2)