К проблеме обобщенных характеров для числовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3+517.5 А.В. Ермоленко, В.Н. Кузнецов, В.В. Кривобок

К ПРОБЛЕМЕ ОБОБЩЕННЫХ ХАРАКТЕРОВ ДЛЯ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

Известная гипотеза Н.Г. Чудакова [1] утверждает, что функция натурального аргумента h(n), удовлетворяющая условиям:

1. h(n) — конечнозначная;

2. h(p) = 0 почти для всех простых p;

3. S(x) = Е h(n) = O( 1),

n^x

является периодической функцией, то есть характером Дирихле.

В данной статье аналогичная гипотеза высказывается для определенного класса характеров числовых полей.

Определение 1. Пусть h(a) — мультипликативная функция, определенная на группе идеалов и удовлетворяет следующим условиям:

1. h(a) — конечнозначная;

2. h(p) = 0 почти для всех простых идеалов р;

3. S(x) = £ h(a) = O( 1).

N (a)^x

Такие функции будем называть обобщенными числовыми характерами.

Замечание. Даже в случае характеров Дирихле не известно, имеет ли место условие 3. В настоящее время доказано [2,3], что S(х,х) = O(x1-1), где х — характер Дирихле.

Основным результатом работы является доказательство того факта, что к классу обобщенных числовых характеров можно отнести нормен-ные характеры Дирихле.

Определение 2. Характер Дирихле х поля к называется норменным, если существует числовой характер Х1 такой, что

Х(р) = Х1 (р).

Известно [4], что для норменного характера имеет место разложение

Ь-функции в произведение классических Ь-функций, то есть

в

Ь(5,х) = П Ь*(в,хд.

г=1

Для таких характеров в данной работе доказывается

Теорема. Пусть х ~ норменный характер числового поля к, отличный от единичного. Тогда

Б (ж) = 0(1).

Доказательство

в

Имеем Ь(в,х) = ПЬг($,хг). Пусть классическим Ь-функциям

г=1

Ьг(в,хг) отвечают степенные ряды:

00

9г (ж) = ^^ ^^, Г'1 =1,5. к=1

в (г) (г) М

Обозначим через дм(г) = П Б/(г), где Б]у(г) = акгк ~ частич-

г=1 к=1

ные суммы рядов дг(г).

5 (г) ^

Рассмотрим также д*К(г) = О ¿и (г) = ^ Ькгк, где символом О

г=1 к=1

обозначено произведение по Дирихле конечных сумм ¿^(г).

В работе [4, гл.1, п.1.3, лемма 1.7] было показано, что для любого г имеет место оценка

|дж(г)| ^ С|дм(г)|.

В частности, при г = 1 имеем:

|дN(1)1 ^ С|дж(1)1 = С П тг = С1,

г=1

где m» — модуль характера х». Последняя оценка дает |gN (1)1 ^ C. А |gN(1)1 = S(N), что и доказывает утверждение теоремы.

Таким образом, нами показано, что в качестве обобщенных характеров можно взять норменные.

В заключении можно высказать гипотезу, аналогичную гипотезе Н.Г. Чудакова:

Гипотеза. Любой обобщенный характер числового поля, отличный от единичного, является характером Дирихле этого поля.

Библиографический список

1. Чудаков Н.Г., Родосский К.А. Об обобщенном характере // ДАН СССР. 1950. Т.73.

2. Hecke E. Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen // Math. Ann. 1926. №97. P.240-242.

3. Hecke E. Eine neue Art von Zetafunktionen und ihre Bezenhungen zur Verteilung der Primzahlen // Math. Z. 1920. №6. P.11-67.

4. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.

УДК 511.23

Г.И. Гусев

О ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ И ОЦЕНКАХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ

Пусть р — простое, Qp — поле р-адических чисел, Ор — кольцо целых

p-адических чисел и Up — группа единиц поля Qp, f (x) = ^ akxk

k=0

многочлен из кольца Op[x], n ^ 1.