К оценке сумматорных функций для характеров Дирихле числовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

любого заданного £ > 0 существует Ь-функция Дирихле с числовым характером для которой имеет место оценка вида:

1. Титчмарш Е.К. Дзета-функция Римана. М.: И.Л., 1947.

2. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. М.: Физматиз,

3. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих Ь-функциям числовых полей: Дне.... канд. физ.-мат. наук. Саратов,

4. Кривобок В.В. Об аналитических свойствах Ь-функций числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2008.

В.Н. КУЗНЕЦОВ, В.В. КРИВОБОК, O.A. ПОЛЯКОВА

К оценке сумматорных функций для характеров Дирихле

числовых полей

Введение

Пусть % — неглавный характер Дирихле числового поля k. В данной работе рассматривается задача оценки сумматорной функции вида

что говорит в пользу гипотезы Линделёфа.

Библиографический список

1994.

2005.

УДК 511.3

где

ап = ^ х(а).

а|Ж (а)=п

Хорошо известно, что для числового характера Дирихле его сумматор-иая функция ограничена [1].

В работе [2] было показано, что для достаточно широкого класса характеров Дирихле числовых полей, а именно для, так называемых нор-менных характеров, сумматорная функция (1) является ограниченной.

В общем случае оценками сумматорных функций вида (1) занимались многие авторы. Например, в [3] доказана оценка вида

^ (х) = 0(х1-1),

где V - некоторое (неизвестное; натуральное число.

В настоящей статье получена оценка сумматорной функции (1), которая зависит от поведения соответствующей Ь-функции Дирихле на критической прямой.

Основная часть

Обозначим через Ь(в, X, к), 5 = а + й7 Ь-функцию Дирихле числового поля с неглавным характером Дирихле х которая при а > 1 определяется следующим образом

т( п Х(а) ^ ап

а у 7 п=1

Известно [3], что Ь-функция Ь(в, х, к) продолжается на комплексную плоскость как целая функция первого порядка. Эту целую функцию будем обозначать также Ь(в, х, к). При данных обозначениях имеет место

Теорема. Пусть Ь-функция Дирихле Ь(в, х, к) на критической прямой ведет себя следующим образом

Ь (1 + й,х,к

= 0(|Г), (2)

где а > 0. Тогда для сумматорной функции Б(х) вида (1) имеет, место оценка

Б (х) = 0(х1+а+£), (3)

где е — произвольное положительное число.

Доказательству теоремы предпошлем доказательство следующего утверждения.

Лемма. Пусть для Ь-функцпй Дирихле поля к на критической прямой имеет место оценка вида (2)

1

+ it,X,k)

= o(|C).

Тогда для x ^ t имеет место оценка вида

Е

n<x

ann

it

<< -Jxta log t,

(4)

где

an = X(a).

a|N (a)=n

Доказательство

Для L-фупкции Дирихле применим формулу обращения [4], полагая в ней b = 1 + log-11, T = 0, 5t, x = N + 0, 5t. В результате получим

1 r b+it

E

n<x

it

x

anrr =- I L(s + it,x,k)—ds + O(xT 1 logt). (5)

2ni Jь-iT s

Пусть Г — контур прямоугольника с вершинами b ± iT, 1 ± Т. Тогда по теореме Коши о вычетах получаем

1 [ xs

— L(s + it, x, k) ds = 0.

2ni Jr s

Отсюда следует, что

1 f b+it xs — L(s + it, x, k)—ds =

2ni J b—iT s

1 С1+iT rs I n fb \

=- L(s+it,x,k)—ds+olt-1 \L(a + i(t ± T ))| ra da). (7)

2niJ 2-iT s V /

В силу условия леммы первый интеграл правой части равенства (6) оценивается величиной 0(yfrta log t).

В силу теоремы Фригмени Линделефи относительно поведения модуля функции, голоморфной в полуполосе a0 ^ a ^ а1} t ^ t ^ 0 [5], имеет место оценка вида

\L(a + it,x,k)\ = 0(\t\a), I ^ a ^ b. (8)

Действительно, по условию леммы оценка (8) имеет место на одном из краев полосы а = На другом крае полоська = Ь выполняется оценка

ЩЪ + И,х,к)1 = 0(1).

Внутри полосы имеет место очевидная оценка

1Ь(з,х,к)1 = 0(вс^),

где с> 0.

Таким образом, выполнены все условия теоремы Фригмени Линделефа, и, следовательно, имеет место оценка (8).

В силу оценки (8) второй интеграл правой части равенства (7) имеет оценку порядка 0(|£|а-5 /х), что в силу (6) и (5) доказывает утверждение леммы.

Доказательство теоремы Представим сумматорную функцию (1) в виде

5(х) = ^ Ьпи-гЬ ,

n^x

At

где bn = ann . По формуле суммирования Абеля получаем

x

S(r) = A(r)r-it - A(u)^(u)du, (9)

54 где

A(x) = ^ bn , ф(и) = u-it.

n^x

В силу леммы при x = t имеем:

|A(x)| = ü(VXta logt) = ü(x1+а+е), (10)

где £ — произвольное положительное число. Так как

x1

—-du = ü(x1+а+е),

J 1 и 2+а+£

то для S(x) в силу (9),(10) и (11) получаем оценку вида

S (x) = O(x1+а+е), что и доказывает утверждение теоремы.

Библиографический список

1. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.

2. Кривобок В. В. Об аналитических свойствах L-функций числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2008.

3. Хейльбронн X. ^-функции и L-функции // В кн.: Алгебраическая теория чисел. Под редакцией Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.

4. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. М.: Физматиз, 1994.

5. Лемг С. Алгебраические числа. М.: Мир, 1966.

(11)