О некоторых условиях периодичности конечнозначных мультипликативных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

В.Н. КУЗНЕЦОВ, Т.А. КУЗНЕЦОВА, O.A. ПОЛЯКОВА

О некоторых условиях периодичности конечнозначных мультипликативных функций

Введение

В данной работе приведены некоторые условия периодичности конечнозначных, мультипликативных функций натурального аргумента h(n), выраженные в терминах аналитических свойств функций, определяемых соответствующими рядами Дирихле, в терминах граничных свойств соответствующих степенных рядов и в терминах скорости полиномиального приближения функций, определяемых соответствующими степенными рядами, на отрезке [0,1]. В заключении статьи обсуждается вопрос применения указанных результатов к известным проблемам теории чисел.

1. Об одном условии периодичности h(n), выраженном в терминах аналитических свойств функций,определяемых соответствующими рядами Дирихле

Рассмотрим ряд Дирихле:

f(«) = £ h(n), s = * + it, *> 1. (1)

n

n=1

[1]

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:

1. функция h(n) — периодическая, функция;

2. функция f (s), определенная рядом (1), является мероморфнои функцией с единственным возможным полюсом в точке s = 1, удовле-

творяющая следующему условию роста модуля в левой полуплоскости:

|"(5)| = А > 0, а< 0. (2)

Следующий результат, доказанный в [2], определяет способ аналитического продолжения функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими, конечнозначными, мультипликативными коэффициентами.

Теорема 2. Следующие условия эквивалентны:

1. функция Н(и) — периодическая, функция с периодом к;

2. функция "(в); определенная рядом (1)7 является мероморфной функцией с единственным возможным полюсом в точке в = 17 удовлетворяющая функциональному уравнению типа Римана [3] :

я+г 1-3+^1

« (П )+г (Ч5) "■•"= (П) ^ г (^) "в1''

где а — некоторая константа; 5 и 51 — величины,равные либо 0, либо 1; Н(и) — сопряженная с Н(и) функция.

2. О некоторых условиях периодичности к(и), выраженных в терминах граничных свойств соответствующего степенного ряда

Рассмотрим степенной ряд вида:

то

п

д(г) = £ Н(и)гп. (3)

п=1

Приведем ряд утверждений, отражающих связь свойства периодичности Н(и) и граничных свойств ряда (3).

Теорема 3. Следующие условия эквивалентны: 1. функция Н(и) — периодическая, функция, для которой

Е %) = 0(1);

п<х

2. для степенного ряда д(г) вида (3) в точке г = радиальные производные вида

1 существуют

Нш дп(х) = ап, п = 0,1,..., (4)

х—> 1—0

где

'Ли

ап = 0(еп 1П п). (5)

Доказательство

Пусть Н(п) — периодическая функция периода 4, 1 > 1. Тогда, как легко видеть, функция д(г) является рациональной функцией вида

д(г) = ^-ТТ. (6)

; 1 + г + ... + га-1 1 у

Ясно, что функция вида (6) имеет в точке г = 1 радиальные произ-

(3) (5) д(г) г = 1

(4) (5)

впда (1) определяет целую функцию, модуль которой в левой полуплоскости удовлетворяет условию (2), что в силу теоремы 1 равносильно периодичности функции Н(п)7 для которой

Е %) = о(1).

п<х

Теорема 4. Следующие условия эквивалентны:

1. функция Н(п) — периодическая, функция, для которой

Е %) = 0(1);

п^х

2. существует такая величина, 5 > 0, что для всех у \у\ <5 выполняется равномерная по у оценка

Е Н(п)вг^п = 0(1).

п<х

Доказательство теоремы 4 приведено в [5].

Теорема 5. Следующие условия равносильны:

1. функция h(n) — периодическая, функция;

2. существует, многочлен Pn(z)7 такой, что

|g(z)Pn(z)| < C, |z| < 1. (7)

Доказательство

Пусть h(n) — периодическая функция. Тогда g(z) — рациональная функция, полюсы которой расположены на единичной окружности. Пусть Pn(z) — многочлен, нули которого совпадают с полюсами функции g(z). Ясно, что для такого полинома выполняется условие (7).

g(z)

будет ограниченной в некотором секторе единичного круга. В силу теоремы Даффина-Шеффера [6] коэффициенты h(n) степенного ряда g(z) будут периодическими, начиная с некоторого номера. В силу мультипликативности h(n) будут просто периодическими, что и завершает доказательство теоремы 5.

3. Приближение функции, определенной степенным рядом, многочленами на отрезке [0,1] и периодичность коэффициентов такого ряда

Пусть степенной ряд (3) определяет функцию, у которой существует конечный предел вида lim g(x). Тогда функция g(x) доопределяется

x—^ 1 —0

до непрерывной функции на отрезке [0,1].

Обозначим через En(g(x)) величину наилучшего приближения функции g(x) на отрезке [0,1] полиномами степени не превосходящей n. При данных обозначениях имеет место

Теорема 6. Следующие условия эквивалентны:

1. функция h(n) является периодической функцией с условием

Е h(n) = O(1);

n^x

2. для величин En(g(x)) имеет место оценка вида

En(g(x)) = O (рп) , (8)

где р — некоторая величина, большая 1.

Доказательство

Как показано в [7] оценка (8) равносильна тому, что точка z =1 является регулярной точкой для функции g(z) определяемой рядом (3), что в силу теоремы Сеге [6] равносильно периодичности коэффициентов степенного ряда h(n) начиная с некоторого номера, а в силу мультипликативности h(n) равносильно просто периодичности h(n) что и доказывает утверждение теоремы 6.

Замечание. Можно показать, что условие

En (g(x)) = O( -1) nk

для любого натурального k, равносильно ^^^^ствованию у функции g(z) в точке z = 1 радиальных производных вида (4), а это, в свою очередь, равносильно тому, что ряд Дирихле вида (1) определяет целую функцию.

h(n)

теории чисел

Остановимся на возможных приложениях указанных выше результатов в направлении решения таких известных проблем теории чисел, как проблема расположения нулей L-функции Дирихле и проблема обобщенных характеров.

Определение. Обобщенным характером ^(п) называется копеч-нозначная мультипликативная функция натурального аргумента, для которой выполнены условия:

1. ^(р) = 0 за исключением конечного множества простых;

2. сумматорная функция S(ж) = ^ ^(п) является ограниченной.

п^х

В 1950 году профессор Н.Г.Чудаков высказал гипотезу, что обобщенный характер является характером Дирихле [8].

Нужно отметить, что теоремы 1, 3, 4, 6 имеют место для любой ко-нечнозначной функции натурального аргумента ^(п).

Далее, в работе [9] было получено отличие поведения величин Еп(д(ж)) в случае степенных рядов с мультипликативными коэффициентами от случая степенных рядов с произвольными коэффициентами. Есть основания надеяться, что дальнейшее развитие методов этой работы приведет к решению гипотезы Н.Г.Чудакова.

Известно [3], что функциональному уравнению типа Римана, приведенному в теореме 2, удовлетворяют не только Ь-функцнп Дирихле, но и функции определенные рядами Дирихле с периодическими немультипликативными коэффициентами. Примером тому является известная [3] функция Дэвенпорта^Хейльбронна.

Известно также [3], что тот факт, что функция Дэвенпорта^ Хейльбронна удовлетворяет функциональному уравнению типа Римана, накладывает определенные условия на расположение ее нулей; достаточно плотно нули этой функции располагаются на критической прямой. В связи с этим встает задача изучения влияния функционального уравнения на расположение нулей в мультипликативном случае.

Библиографический список

1. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Математические заметки, 1984. Т. 36. Вып. 6.

2. Кривобок В. В. Об аналитических свойствах L-функций числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2008.

3. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. М.: Физматиз, 1994.

4. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Кривобок В.В. Об аналитических свойствах функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научи, тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 5.

5. Кузнецов В.Н., Сецинская Е.В. Обобщенные суммы Гаусса и гипотеза Н.Г.Чудакова // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 5.

6. Вибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

7. Даугавет, И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.

8. Чудаков Н.Г., Родосский К.А. Об обобщенном характере // ДАН СССР. 1950. Т.73.

9. Кузнецов В.Н., Водолазов A.M. К вопросу аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 1.