Приложение метода редукции к степенным рядам к некоторым задачам в теории чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Szal B. On the rate of strong summability by matrix means in the generalized Holder metric // J. Inequel. Pure Appl. Math. 2008. Vol. 9, iss. 1, art. 28. 13 p.

8. Tikhonov S. Trigonometric series with general monotone coefficients //J. Anal. Math. Appl. 2007. Vol. 326. P. 721-735.

9. Schipp F. On Lp-norm convergence of series with respect to product systems // Anal. Math. 1976. Vol. 2. P. 49--64.

10. Simon P. Verallgemeinerte Valsch-Fourierreihen // Acta Math. Hungar. 1976. Vol. 27. P.35-54.

11. Fridli S. On the rate of convergence of Cesaro means of Walsh-Fourier series //J. Approx. Theory. 1994. Vol. 76. P. 31-53.

12. Bloom W., Fournier J. J. F. Smoothness conditions and integrability theorems on bounded Vilenkin groups //J. Austral. Math. Soc. 1988. Soc. 45 (Ser. A). P. 46-61.

13. Avdispahic M., Pepic M. Summability and integrability of Vilenkin series // Collect. Math. 2000. Vol. 51, № 3. P. 237-254.

14. Leindler L. On summability of Fourier series // Acta Sci. Math.(Szeged). 1968. Vol. 29. P. 147-162.

15. Fridli S., Schipp F. Strong approximation via Sidon type inequalities //J. Approx. Theory. 1998. Vol. 94. P. 263-284.

16. Leindler L., Meir A., Totik V. On approximation of continuous functions in Lipshitz norms // Acta Math. Hungar. 1985. Vol. 45. P. 441-443.

17. Prestin J., Prossdorf S. Error estimates in generalized Holder-Zygmund norms // Zeit. Anal. Anwend. 1990. Vol. 9. P. 343-349.

УДК 511.3

А. Е. КОРОТКОВ

Приложение метода редукции к степенным рядам к некоторым задачам в теории чисел

Введение

Рассмотрим ряд Дирихле

то

/ м = £ - = -+(1)

n= 1

с периодическими алгебраическими коэффициентами, который определяет функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению вида

О"+"гШ(к)(Чл6)Л1 -•). (2)

где а — некоторая алгебраическая константа; к — период последовательности коэффициентов; 6 и — величины, равные либо 0, либо 1; /(в) — функция, определенная рядом Дирихле с коэффициентами, сопряженными к коэффициентам ряда (1).

Известно [1], что функциональному уравнению римановского вида (2) удовлетворяет достаточно широкий класс рядов Дирихле с периодическими коэффициентами, включающий класс Ь-функций Дирихле.

Известно также, что дзета-функция Римана принимает трансцендентные значения при четном натуральном значении аргумента. Это следует из явных формул [2]:

о2к—1 / В \

<(2к) = (—')к (¿——1)! (—Ю ■ к = 1'2'

где В2к — числа Бернулли, которые являются рациональными числами.

Основным моментом получения такого результата для дзета-функции Римана является разложение функции 1/ (е—х — 1) в ряд Лорана в окрестности нуля. Поэтому получить обобщение данного результата для значений Ь-функций Дирихле в четных или нечетных точках так просто не удается.

В данной работе, для доказательства аналогичного факта о значениях, будем использовать метод редукции к степенным рядам, разработанный В. Н. Кузнецовым в работах [3, 4]. Суть этого метода заключается в том, что изучение аналитических свойств рядов Дирихле (1) сводится к изучению свойств на границе сходимости для степенного ряда

то

д (г) = ^ апгп (3)

П=1

с теми же самыми коэффициентами, что и у ряда Дирихле (1).

Также рассмотрим и другую задачу. В работе [5] показано, что важную роль при решении проблемы о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана играет ответ на следующий вопрос: существуют ли в полуплоскости а > 1/2 общие нули целых функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами?

Особый интерес в связи с этой задачей представляют ряды Дирихле, являющиеся линейной комбинацией Ь-функций Дирихле с первообразными характерами одного и того же модуля. Как показано в [6], такие ряды Дирихле удовлетворяют функциональному уравнению типа Рима-на и имеют бесконечное число нулей в полуплоскости а > 1/2. Поэтому положительный ответ на поставленный выше вопрос позволяет сделать важные выводы о зависимости расширенной гипотезы Римана от основной гипотезы и о том, что условие удовлетворять функциональному уравнению типа Римана не накладывает существенных ограничений на нули таких функций.

В данной работе приводится достаточно простой алгоритм, позволяющий определять в полуплоскости а > 1/2 нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

Трансцендентность значений рядов Дирихле с периодическими алгебраическими коэффициентами, удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана, в точках в = 2к, к = 1, 2, 3,...

Используя метод редукции к степенным рядам, можно получить следующее утверждение

Теорема 1. Ряд Дирихле (1) с периодическими алгебраическими ко-

эффициентами, удовлетворяющий функциональному уравнению римановского типа (2), в точках б = 2к, к = 1, 2,3,..., принимает трансцендентные значения.

Доказательство

Рассмотрим соответствующий степенной ряд

00

g(z)= ^ anzn.

,n/

n=1

Пусть d — период последовательности коэффициентов. Тогда

^ ^ dm Pd (z) Pd-1 (Z)

,z) = > akz'" > z = —

g (z) = Y^ akzk Y

1 - zd 1 + z +-----h zd-1'

k=1 m=0

Таким образом, g (z) — рациональная функция с алгебраическими коэффициентами, регулярная в точке z =1.

Следовательно, существуют радиальные производные an = = g(n) (x), которые являются алгебраическими числами, а значит

и an = lim g(n) (e-x) также алгебраические.

Рассмотрим известное преобразование Меллина:

/ (б)г(б)= / д(в-х) х5-1(х, а>ао. (4)

J о

Запишем это равенство в виде

/ (б) Г (б) = / д (в-х) х5-1(х + д (в-х) х5-1(х. (5)

]о 3 р

Для любого р > р0 > 0 второй интеграл в правой части выражения (5) равномерно сходится в любой полосе а < а < а0, следовательно, по теореме Вейерштрасса [7] он определяет целую функцию.

В первом интеграле равенства (5) разложим д (е-х) в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

g(e x)

x

s =

E

,k=о

k!

x

k+s-l

+ O (xn+1)

x

s- 1

dx =

E

k=0

®k

Pk+s + P (s) .

k! (k + s)

Таким образом, в силу произвольности n получаем продолжимость f (s) регулярным образом на всю комплексную плоскость.

Возьмем вычет от обеих частей (4) в точках s = —k, k = 0,1, 2,...:

tos f (s)r(s) = |.

(_1) k

Используя тот факт, что Ress=—k Г (s) = —^, а f (s) — голоморфна в окрестностях точек s = —k, получаем:

a k = (—i)k f (—k).

Из данного соотношения следует, что f (—k) — алгебраические числа.

Отсюда в силу того факта, что f (s) удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа (2), получаем утверждение теоремы 1.

Алгоритм определения нулей целых функций, заданных

рядами Дирихле с периодическими коэффициентами,

лежащими в полуплоскости а > 2

Приведем известные факты, связанные с аналитическими свойствами целых функций, заданных рядами Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые влияют на расположение нулей таких функций.

В работе [8] показано, что ряды Дирихле с конечнозначными, мультипликативными коэффициентами, которые определяют целые функции и удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана, являются L-функциями Дирихле.

В случае немультипликативных коэффициентов условие удовлетворять функциональному уравнению типа Римана не накладывает сильных ограничений на расположение нулей даже в случае периодических

р

р

коэффициентов. Как уже отмечалось во введении, ряды Дирихле, которые являются линейной комбинацией Ь-функций Дирихле с различными первообразными характерами данного модуля, удовлетворяют функциональному уравнению типа Римана. В [1, гл. IV, §5] доказано следующее утверждение

Теорема 2. Пусть х1 и х2 ~ неэквивалентные характеры Дирихле. Тогда функция

/ (б) = СхЬ Х1) + С2Ь (Б, Х2) , б = а + И,

где с1 = 0, с2 = 0, Ь (б,х1), Ь (б,х2) — Ь-функции Дирихле, имеет в полосе а1 < а < а2, где ^ < а1 < а2 < 1, бесконечно много нулей.

К сожалению, исходя из приведенных выше фактов, не получается ответить на следующий вопрос: для любого ли нуля г0, Явг0 > 1/2, целой функции, заданной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами, существует целая функция, заданная рядом Дирихле с периодическими коэффициентами, не равная нулю в точке г0?

Как уже отмечалось выше, ответ на этот вопрос связан с проблемой о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана.

Приведем численную схему определения нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами.

Как показано в работе [9], целая функция / (б), определяемая рядом Дирихле

то

/ (Б) = £ I • Б = а + й, (6)

к=1

с периодическими коэффициентами, допускает в полосе а > а0 > 0, |£| < Т приближение полиномами Дирихле

» Л»)

о» (б) = £ (7)

к=1

с той же скоростью, с какой функция д (ж), заданная степенным рядом

00

д = ак хк (8)

к=1

с теми же коэффициентами ак, что и ряд Дирихле (6), допускает на отрезке [0; 1] приближение алгебраическими полиномами

п

Рп (*) = £ ькп)жк. (9)

к=1

При этом полиномы Дирихле вида (7) имеют те же коэффициенты, что и алгебраические полиномы вида (9).

Легко видно, что для целых функций вида (6), в случае периодических коэффициентов ап, степенной ряд (8) определяет рациональную функцию

( \ Р^-1 (ж) (ЛС\\

д (ж) = --~т~г, (10)

У У J 1 + ж + ... + ж 1 к 7

где й — период для ак.

Полюсы функции д (г), как функции комплексного переменного, лежат на единичной окружности, и эта функция регулярна в точке г = 1.

В нашем случае функцию д (г) будем считать регулярной и в точке г = -1.

Пусть До0 обозначает область, ограниченную эллипсом, фокусы которого находятся в точках ±1 и сумма полуосей которого равна р0. Кроме того, функция д (г) регулярна внутри области Оро и имеет хотя бы один полюс на границе этой области.

Пусть в этом случае Еп (д) обозначает величину наилучшего приближения функции (10) на отрезке [-1; 1] алгебраическими полиномами, степени которых не превосходят п.

Тогда теорема Бернштейна [10] утверждает, что величина Еп (д) ведет себя следующим образом:

д (х) = ^СкТк (х), х е [—1; 1],

Е- (д)=• (11)

для любого р : 1 < р < р0.

Как показано в [10], оценка (11) имеет место и в случае приближения функции д (х) на отрезке [—1; 1] алгебраическими полиномами вида

п п

Рп (х) = ^ Ск Тк (х) = ^ Ь^хк, (12)

к=0 к=0

где

то

\х) = ^ Ск Тк (х) к=0

разложение функции д (ж) в ряд Фурье по полиномам Чебышева. При к > 1

2 [1 1

Ск = -/ д (г) Тк (г) ¿г. (13)

п ]—IV1 — г2

В силу сказанного выше имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть ряд Дирихле (6) с периодическими коэффициентами определяет целую функцию. Тогда существует последовательность полиномов Дирихле Qn (й) вида (7), такая, что в любой полосе а > > 0, |г| < Т имеют место следующие оценки:

II/(й) — Qn (*)|| < сРП,

где р — некоторая константа, большая 1.

Заметим, что в качестве коэффициентов полиномов Дирихле Qn (й) можно взять коэффициенты алгебраических полиномов Рп (х) вида (12).

Таким образом, для определения нулей целой функции, заданной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами, лежащими в полуплоскости а > 2, достаточно искать комплексные нули аппроксимаци-онных полиномов Qn (й) (7) с коэффициентами из полиномов вида (12). Известно [7], что в любой полосе а > а0 > 0, |г| < Т нули полиномов Qn (й) с ростом п стремятся к нулям функции / (й), и так как полиномы

0. (й) сходятся к / (й) с показательной скоростью, то будет наблюдаться достаточно быстрая сходимость нулей полиномов Оп (й).

В результате численного эксперимента, основанного на приведенной выше схеме, было установлено, что в области 0 < а < 1, |£| < 105 нет общих нулей целых функций, заданных рядами Дирихле с периодами коэффициентов й = 3 и й = 5, что позволяет предположить, что расширенная гипотеза Римана является следствием основной гипотезы.

Библиографический список

1. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М. : Физматлит, 1994.

2. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. М. : Бибфиз-мат, 1981.

3. Кузнецов В. Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36, вып. 6. С. 805-812.

4. Кузнецов В. Н. О граничных свойствах степенных рядов с конечными коэффициентами // Дифференциальные уравнения и теория функций : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 9—16.

5. Кузнецов В. Н., Полякова О. А. Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами // Чебышевский сборник : науч.-теорет. журн. Тула : Изд-во Тульск. гос. пед. ун-та, 2010. Т. 11, № 1. С. 188—199.

6. Кузнецов В. Н., Полякова О. А. К вопросу описания рядов Дирихле с конеч-нозначными коэффициентами, определяющих целые функции и удовлетворяющих функциональному уравнению типа Римана // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 1. С. 21—25.

7. Титчмарш Е. Теория функций. М. : Наука, 1980.

8. Кривобок В. В. О рядах Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, удовлетворяющими функциональному уравнению римановского типа // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2007. Т. 7. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 13—15.

9. Кузнецов В. Н., Водолазов А. М. Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 2. С. 27—32.

10. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. Л. : Изд-во ЛГУ, 1977.

УДК 511.3

В. В. КРИВОБОК Об одном уточнении теоремы Брауэра

Пусть К — нормальное, не обязательно абелево, расширение числового поля к степени п и О — группа Галуа этого расширения. Пусть, далее, {М(д)}з€е — представление группы О в группу матриц размерности п х п и х — характер этого представления, определяемый как след матрицы представления элемента д € О [1]:

х(д) = М(д).

Тогда Ь-функция Артина определяется следующим образом [1]:

-1

, (1)

где произведение берется по всем неразветвленным простым идеалам р поля к.

В 1932 году Е. Артин высказал гипотезу о целостности Ь-функций числовых полей в случае неглавных характеров неабелевых групп. Эта гипотеза доказана только в отдельных случаях. В данном статье приводится полное доказательство гипотезы Артина для случая, когда неабе-лева группа Галуа является группой подстановок 53.

Для начала приведем теорему Брауэра для характеров неабелевых групп.

Ь(й,х) = Ь(й,х,К |к) = П

/-М

К/к Р .

N (р)-