Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

УДК 511.3

Расширенная гипотеза Римана и нули функций, заданных рядами Дирихле с периодическими коэффициентами

В. Н. Кузнецов, О. А. Полякова (г. Саратов)

Получены условия, при которых расширенная гипотеза Римана является следствием основной гипотезы.

Введение

В одной из работ [1] В.Г. Спринджук исследовал задачу о взаимосвязи гипотезы Римана о нулях дзета-функции и расширенной гипотезы Римана, которая предполагает, что нули Ь-функции Ь(в,х), $ = о + й, для неглавного числового характера Дирихле х лежат на критической прямой о = \. С этой целью В.Г. Спринджук рассмотрел класс функций 5(в), удовлетворяющих следующим условиям:

1) £(з) = 0(1), о > о1, и разлагается в ряд Дирихле;

4) ^2 |£(р)|е т|р| = О (т п), где суммирование ведется по всем нетривиальным

нулям р дзета-функции, 0 < п < го, т ^ +0.

Для таких функций он доказал, что из гипотезы Римана о нулях дзета-функции следует, что нули Ь-функции Дирихле, лежащие в полуплоскости о > тах (§,??), являются так же нулями функции £х(з), где

Аннотация

2) 5(э) = О (е^2-^1) , о > с2, (0 < е < п/2), |*| ^ 1;

3) ф) = о (|з||ст|+С3е-Л1М+лМ|4|) , о ^ с3, $ ^ 2;

р

и где

— любая функция из указанного класса.

Таким образом, если показать, что существуют две функции ^(з) и $2(з), ДЛЯ которых Г) ^ И ДЛЯ которых $1х(з) И $2х(5) имеют различные нули в полуплоскости а > то расширенная гипотеза Римана является следствием основной гипотезы. Сложность последней задачи связана с проверкой последнего условия для рассматриваемых функций.

Данная работа также посвящена задаче о взаимосвязи основной и расширенной гипотез Римана, А именно, подход, в основе которого лежит, так называемый, метод редукции к степенным рядам, разработанный в работах 15.11. Кузнецова [2], [3], позволил обойти трудности, связанные с описанием класса функций, рассматриваемого в работе В,Г, Спринджука, и позволил показать, что расширенная гипотеза Римана сводится к проверке следующих двух утверждений:

1) для функции Мангольда Л(п) и для любого рационального имеет место асимптотическое равенство

^ А(п)е2тсрп = Ах + О (У+£) , (1)

и^х

где е — произвольное положительное число, а А — некоторая константа, которая в зависимости от может равняться нулю;

2) существуют два ряда Дирихле с периодическими коэффициентами, которые определяют целые функции и которые не имеют общих нулей в полуплоскости а >

Замечание 1. Как будет показано ниже, из условия (1) следует основная гипотеза Римана, но нет никаких оснований предполагать, что из условия

(1) следует расширенная гипотеза Римана.

Замечание 2. Ниже будет показано, что ряд Дирихле с периодическими коэффициентам,и тогда и только тогда определяет целую функцию, когда сумматорная функция его коэффициентов является, ограниченной функцией.

Замечание 3. Известно, что существуют ряды Дирихле с периодическими, коэффициентами,, определяющие целые функции, и которые и,м,еют нули, лежащие в полуплоскости а > \. Примером такого ряда является, известная, функция Девенпорта-Хейлъброна, которая к 'тому же удовлетворяет функциональному уравнению типа, Римана, (например, см. Щ).

Основная часть

Основным результатом данной работы является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Предположим, что для функции Мангольда Л(п) и для, любого рационального числа р выполняется асимптотическое равенство (1). Тогда, для любого числового характера, Дирихле х нули Ь-функции Ь(й, х), 5 = а + й, лежащие в полуплоскости а > \ являются, пулями любой целой функции, определенной рядом Дирихле с периодическими коэффициентами.

Доказательству теоремы 1 предпошлем доказательство ряда лемм.

Лемма 1. Ряд Дирихле

/ («) = ^ Ьп п-5, 5 = а + гі,

СЮ

п=1

абсолютно сходящийся в полуплоскости а > 1 определяет целую функцию, если соответствующий степенной ряд (с тем,и же коэффициентами)

ГО

' ’.Х

п=1

определяет функцию, которая в точке г =1 имеет радиальные производные любого порядка, то есть существуют пределы вида

Иш д(п)(х), п = 0,1,2,... (2)

ж^1-0

Доказательство.

Рассмотрим преобразование Меллина ([5])

/(з)Г(^) = у д (в х) Xя Мх, а > 1. (3)

0

Ясно, что существование радиальных производных вида, (2) равносильно существованию производных вида,

(д(в-ж))(га), п = 0,1,2,-..

ж^0+0

Для функции д(в-х) запишем при х ^ 0 формулу Тейлора п-го порядка с остаточным членом в форме Пеано:

п

д(е-Ж) = Х ак хк + °(хп) (4)

к=0

Подставим выражение (4) в правую часть равенства (3) и запишем полученное равенство в виде

р / п

/ (5)Г(8) = /

V \ и_____Г\

\ р

акхк I х5-1^х + о 'к=° / о

д(е Х) - X акХк

к=0

х5 1^х+

+ у д(е Ж)Х ^х, где р > 0. р

п

В этом равенстве первое слагаемое равно ^ -^рк+3, второе слагаемое опре-

к=0

деляет функцию, регулярную в полуплоскости а > —п. Если записать подынтегральную функцию третьего слагаемого в виде

ОО \

еЛ^Ъпе~пх^ ж5”1,

п= 1 /

то легко видеть, что последний интеграл абсолютно сходится в любой полуплоскости а > N и, следовательно определяет целую функцию. Итак, функция /(з) регулярна в полуплоскости а > — п, В наших рассуждениях п — произвольное, натуральное число, поэтому лемма 1 полностью доказана.

Как следствие леммы 1 получаем следующее утверждение.

Лемма 2. Ряд Дирихле с периодическими коэффициентами, ап тогда, и только тогда, определяет целую функцию, когда,

У^ап = 0(1).

п<х

Доказательство. Пусть ^ — период последовательноети {ап}. Тогда, как легко видеть, соответствующий степенной ряд д(г) определяет рациональную функцию вида,

/ ч Ы*)

а условие

У^ап = 0(1)

п^х

равносильно тому, что Р^(1) = 0, Отсюда в силу леммы 1 получается утверждение леммы 2,

Лемма 3. Следующие условия эквивалентны:

О

1) ряд Дирихле /(з) = ^ Ьпп-5, абсолютно сходящийся в полуплоскости

п=о

а ^ а0 > 1, определяет функцию, мероморфпую в полуплоскости а > \ с единственным возможным пол,юсом, первого или второго порядка в точке з =1;

О

2) степенной ряд д(г) = ^ Ьпгп при подходе к точке г = 1 вдоль веще-

п=о

ственного направления асимптотически ведет себя, следующим образом,

+ 0 (<: -

где £ — произвольное положительное число, а равно либо 0, либо 1, либо

Доказательство.

О

Пусть ряд /(з) = ^2 Ьпп-5 определяет функцию, мероморфпую в полуплое-

п=о

коети а > \ е единственным простым полюсом в точке 5 = 1, вычет в котором

О

равен А Тогда ряд Дирихле /1(з) = ^2 Ьпп-5 — (з), где ((з) — дзета-функция

п=о

Римана и А — подходящая константа, определяет функцию регулярную в полуплоскости а > Таким образом можно считать, что ряд Дирихле в лемме 1 определяет целую функцию, регулярную в полуплоскости а >

Рассмотрим преобразование Меллина ([5])

/(з)Г(з) = д (в х) ж5 Мж, а > 1. (6)

Ясно, что асимптотическая оценка (5) (в случае А = 0) равносильна асимптотической оценке вида,

д{е~х) = О при х —> +0. (7)

В силу (7) интеграл в равенстве (6) сходится абсолютно при о > | и следовательно, определяет в этой полуплоскости регулярную функцию.

Для доказательства обратного утверждения рассмотрим обратное преобразование Меллина

Ь+гго

д(в-х) = J /(з)Г(з)ж-ж > 0, Ь > 1. (8)

Ь—гоо

Сдвигая в интеграле (8) контур интегрирования влево до величины Ь

2 '1 о,

получаем

д(е-х) = / (з)Г(з)х-^з. (9)

Легко видеть, что интеграл в равенстве (9) имеет порядок роста модуля

О при х —>• +0, что и доказывает обратное утверждение леммы 3,

Замечание. Отметим, что в силу леммы 1 и леммы 3 из условия (1) при р = 0 следует основная гипотеза Римана, Для этого достаточно воспользоваться известным разложением в ряд Дирихле логарифмической производной дзета-функции [6]:

С '(*)

С (з)

£Л(п)

п,

п=1

Лемма 4. При условии (1) ряд Дирихле

О

^]А(п)е2пг^пп-5, з = а + И,

п=1

где р — рациональное число, определяет функцию, мероморфную в полуплоскости а > \ с единственным возможным простым пол,юсом, в точке 5 = 1.

Доказательство.

Рассмотрим степенной ряд

О

д(г) = £ Л(п)е2^“г'\

п=1

В силу (1) выполняется второе условие леммы 3, и как следствие леммы 3 получаем утверждение леммы 4.

Лемма 5. Пусть выполняется условие (1) и

О

/ (з) = X апп-5, з = а + й,

п= 1

ряд Дирихле с периодическими коэффициентами,, который определяет целую функцию. Тогда, ряд Дирихле

/00 ' = ^2апП~3’ (10)

где ((з) — дзета-функция Римана, определяет функцию, мероморфную в по-

1 2

луплоскости а > \ с единственным простым пол,юсом, в точке 5 = 1

Доказательство.

Доказательство леммы 5 следует из замечания к лемме 3.

Лемма 6. При условиях леммы, 5 ряд Дирихле

ГО

^а„е2п^гап-5, 5 = а + й, (11)

п=1

почти для, всех рациональных р определяет функцию, мероморфную в полуплоскости а > \ с единственным возможным, либо простым пол,юсом,, либо пол,юсом, второго порядка в точке 5 = 1. Последнее возможно в случае, когда, знаменатель рационального числа р не взаимнопрост с периодом в последовательности {ап}.

Доказательство.

Рассмотрим ряд Дирихле вида,

/1(5) = ^ а„е2п^гап-5, 5 = а + й. (12)

п=1

Так как степенной ряд д(г), отвечающий ряду Дирихле

ГО

/(з) = апп-5, 5 = а + й,

п=1

определяет рациональную функцию вида,

Рг-1(г)

0(*)

1 + г + ... + г^-1 ’ где й — период последовательности (ага|, то степенной ряд

ГО

2пг^п П

/

П=1

для всех рациональных р, знаменатели которых взаимнопросты с периодом й, определяет рациональную функцию, регулярную в точке г = 1. Следовательно, в силу леммы 1 ряд Дирихле (12) определяет целую функцию.

Рассмотрим теперь ряд Дирихле

ГО

^ Л(п)е2пг^гап-5, 5 = а + й. (13)

П=1

В силу леммы 4 этот ряд при всех рациональных р определяет функцию, меро-морфную в полуплоскости о > | с единственным возможным простым полюсом в точке 5 = 1, Следовательно, ряд Дирихле

для рациональных р, знаменатели которых взаимнопроеты с периодом определяет функцию, мероморфную в полуплоскости о > | с единственным возможным простым полюсом в точке 5 =1,

При рациональных р, знаменатели которых не взаимнопросты с периодом ряд Дирихле (12) может иметь простой полюс в точке 5 = 1. При таких р возможно, что и ряд Дирихле (13) имеет простой полюс в точке 5 = 1, Тогда ряд Дирихле (11) при таких р определяет в полуплоскости (Т > \ мероморфную функцию с полюсом второго порядка в точке 5 = 1, что и завершает доказательство леммы 6,

Доказательство, (теоремы 1)

Пусть % — характер Дирихле, пусть / (з) целая функция, определенная рядом Дирихле с периодическими коэффициентами

где % ~ характер, сопряженный с характером х-

В силу леммы 1 /1(5) определяет мероморфную функцию с единственным возможным простым полюсом в точке 5 = 1.

Рассмотрим тождество

^]агае2п^гап- = ^ а„е2п^гап- • ^ Л(п)

5 = а + іі

„= 1 „= 1 „= 1

(14)

„=1

Рассмотрим ряд Дирихле с периодическими коэффициентами вида,

(15)

„=1

(16)

где

Так как

Лх(5) = /

то равенство (16) запишем в виде

/00 ' УТ^Т = ^2апХ(п)п 3. (18)

Цв,Х) ^

п= 1

Степенной ряд, соответствующий ряду Дирихле (18)

п= 1

является КОМПОЗИТОМ двух степенных рядов

91(2) = ^2, апг'п (20)

п=1

92(2)^Х Х(п)гп■ (21)

п= 1

Степенной ряд (21) определяет рациональную функцию вида,

Рщ— 1 (^)

1 +г+ ... +г*

М =................(22)

где т — период характера Х-

Ряд Дирихле (17) в силу условия (1) и замечания к лемме 3 определяет функцию, мероморфную в полуплоскости а > \ с единственной особенностью в точке 5 = 1: либо простым полюсом, либо полюсом второго порядка, В силу леммы 6 ряд Дирихле

го

^апв2пг^п и-3, $ = а + гг, (23)

п= 1

для любого рационального <р определяет функцию, мероморфную в полуплоскости а > \ с единственной особенностью в точке 5 = 1: либо простым полюсом, либо полюсом второго порядка. Отсюда в силу леммы 3 соответствующий степенной ряд

го

91,<р(*) = ^ апе2пг*пгп

п= 1

при подходе к точке 2 = 1 вдоль вещественного направления имеет асимптотику вида,

9гЛх) = ^ + 0 ((! ~ Д0~^~£) , (24)

где £ — произвольное положительное число, а равно либо 0, либо 1, либо 2,

Запишем известное интегральное представление для степенного ряда (19), имеющее место для композита двух степенных рядов [7]:

9(z) = W~[ 9i(u)92 (-) —, (25)

2пг I \и/ и

с

где точка 2 лежит внутри окружности С, N < 1-

Разложим рациональную функцию (22) в сумму простейших

92(z) =

Aj

• 1 ^ - а^

3 = 1 ^

и подставим это разложение в интеграл (25), Тогда получим

1 1 [ 91(и) 1 ( г \

= 2й ЕА> —(-) ■

3=1 С аз 3=1

Когда г радиально приближается к единице, то — радиально приближается к

аз

а]. Так как а] = е2пг^ где р — рациональное, то в силу (24), (25) получаем: при подходе к точке 2 =1 вдоль вещественного направления степенной ряд 9(г) вида, (19) ведет себя следующим образом:

= (ГГ^Г + 0 ((! - *>“*“*). <27)

£а

Из асимптотики (27) в силу леммы 3 получаем, что ряд Дирихле (18) определяет функцию, мероморфную в полуплоскости а > \ с единственным возможным полюсом в точке 5 = 1,

В силу левой части равенства (18) отсюда получаем утверждение теоремы

1.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Спринджук В,Г, Вертикальное распределение нулей дзета-функции и расширенная гипотеза Римана, // Acta Arithmetica, XXVII, 1975, p. 317-332,

[2] Кузнецов B.iI. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле, // Математ. заметки, 1984. Т. 36. Вып. 6. С. 805-813.

[3] Кузнецов В.Н. Об аналитических свойствах рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами. // Диссертация на соискание уч. степени к.ф.-м.п.

— Минск, 1983г.

[4] Воронин С,М., Карацуба А,А, Дзета-функция Римана, — М.: Физматгиз, 1994. - 376 е. - 1815Х 5-02-014120-8.

[5] Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967. — 511 с.

Гб] Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1975. — 183 с.

[7] Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980. — 463 с.

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского Поступило 09.07.2010