К оценке значений L-функций Дирихле числовых полей на критической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

B.B. КРИВОБОК, O.A. ПОЛЯКОВА

К оценке значений Ь^функцнй Дирихле числовых полей

на критической прямой

Введение

Известно [1], что ^функция Римана

i

zW=ПО-Й

S = | I ( 1 - - ) , s = а + а > 1 и L-функция с неглавным числовым характером Дирихле

х(РГ -1

L(s,x) = П (l

ps

а > 1

аналитически продолжимы на комплексную плоскость: ^-функция как мероморфпая функция с единственным простым полюсом в точке й = 1, Ь-функция — как целая функция. При этом и ^-функция и Ь-функция неограниченны на критической прямой: а = тг

Известная гипотеза Линделёфа [1,2] предполагает, что имеют место следующие оценки:

с( 2+«

= о( т,

L( 2+it

= O(|t|E), (1)

где £ — произвольное положительное число.

Известные оценки поведения ^-функции и Ь-функции на критической прямой пока далеки от предполагаемых оценок вида (1).

Более сложные вопросы встают при получении оценок поведения Ь-функций Дирихле числовых полей на критической прямой.

В данной работе получены оценки значений Ь-функций для достаточно широкого класса характеров Дирихле числовых полей, а именно

для так называемых норменных характеров. Нужно отметить, что эти оценки также далеки от оценок вида (1), которые можно предполагать и в случае Ь-функцнй Дирихле числовых полей, но и они представляют определенный научный интерес.

Основная часть

Определение. Характер Дирихле числового поля к называется нор-менным, если существует числовой характер х такой, что для любого простого идеала р толя к:

х(р) = х1(^ (р)).

Свойства норменных характеров Дирихле и свойства соответствующих ^-функций рассматривались в работах [3,4]. Так, в работе [3] было показано, что для достаточно широкого класса числовых полей характеры Дирихле являются норменными характерами, а Ь-фупкции Дирихле с норменными характерами раскладываются в произведение Ь-фупкций с числовыми характерами Дирихле, то есть

Ц8,х,к) = П Ь(в,Х1).

г

В работе [4] было показано, что для неглавного норменного характера

к

ченной, то есть

5(х) = Е х(а) = £ ап = 0(1) , (2)

а/Ж(а)<х п<х

где

ап = £ Х(a)/N (а).

а/Ж (а)=х

Основным результатом этой работы является доказательство следующего утверждения

Теорема. Пусть х ~ неглавный норменный характер Дирихле числового поля к. Тогда для Ь функции имеет место оценка вида

Ь ( 1 + ^'Х'к

= 0(|*|2),

(3)

Доказательство

По формуле суммирования Абеля получаем:

Ь(в,х,к)

Так как 1

м

Е

ап _ S(М) п - (М + 1)

+ Е 5(п)

м +1

(п + 1)'

= и

-п+1

Аи

и

1 + 5

а \п°

то отсюда в силу (3) и (4) имеем:

|Ь(5,х,к)| ^ см ЕЕ 4 + с— (4 -

¿■г" па а \па

(п + 1)

где см = тах \ап\.

п<М

м

Так как V < М

1- а

(п + 1)

< М(-1-

(п + 1)

+

с

(п + 1)

(4)

(5)

|ап| = (х) - 5(х + 1)| ^ (х)| + (х + 1)| = 0(1),

то в силу (5) получаем:

И

\Ь(в, х, к)| < С1 М1-а + о^(М + 1)-а + сз(М + 1)-а. (6)

а

При М = [|£|] и в = 2 + И из оценки (6) следует утверждение теоремы 1.

к

тер х чт0 Ь-функция Ь(в, х, к) раскладывается в произведение наперед Ь

силу утверждения теоремы 1 позволяет сделать следующий вывод: для

1

1

1

1

1

любого заданного £ > 0 существует Ь-функция Дирихле с числовым характером для которой имеет место оценка вида:

1. Титчмарш Е.К. Дзета-функция Римана. М.: И.Л., 1947.

2. Воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана. М.: Физматиз,

3. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих Ь-функциям числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов,

4. Кривобок В.В. Об аналитических свойствах Ь-функций числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2008.

В.Н. КУЗНЕЦОВ, В.В. КРИВОБОК, O.A. ПОЛЯКОВА

К оценке сумматорных функций для характеров Дирихле

числовых полей

Введение

Пусть x _ неглавный характер Дирихле числового поля k. В данной работе рассматривается задача оценки сумматорной функции вида

что говорит в пользу гипотезы Линделёфа.

Библиографический список

1994.

2005.

УДК 511.3