CC BY
23Доказательство
Из теоремы 4 следует, что
|i(M-Awi = o(i)
равномерно в полуплоскости о > сто > 0 с константой, независящей от а. Более того, Pn(s) равномерно ограниченны в этой полуплоскости, значит,
ь(М) = р„(в) + оф = о(1)
и константа абсолютна при а ^ 1/2.
Библиографический список
1. Даугавет. И.К. Введение в теорию приближения функций.Л.:Изд-во ЛГУ, 1977.
2. Малоземов В.Н. Совместное приближение функций и ее производных.Л.:Изд-
во ЛГУ,1973.
3. Бибербах Л. Аналитическое продолжение.М.:Наука, 1967.
4. Кузнецов В Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т.Зб, N6.
5. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.:Наука, 1967. Т.1.
УДК 511.3
В. Н. КУЗНЕЦОВ, Е В. СЕЦИНСКАЯ, В В. КРИВОБОК
О граничном поведении степенных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей
Пусть к — нормальное расширение поля рациональных чисел Q, a L — абеле-во расширение Галуа поля к с группой Галуа G. Рассмотрим ¿-функцию Дирихле, отвечающую расширению к С L,
= s = v + U. (1)
а ^ ' п=1
Известно (1|, что степенной ряд g(z), соответствующий L-функции (1)
сю
= (2) П—1
почти во всех точках z = е2"^, где у = jj, р < 9, имеет конечные радиальные производные, то есть существуют пределы вида
Ито5<т)(ге2,г^), ш = 0,1,2,.... (3)
В случае, когда L-функция (1) имеет явное разложение в произведение L-функций Дирихле поля Q, вполне определены рациональные числа <р, для которых не существуют пределы вида (3) [2]. В общем случае такие ¡р неизвестны. В данной работе уточняется множество рациональных чисел ip, для которых существуют радиальные производные вида (3). А именно, доказывается следующее утверждение:
Теорема 1. Для любого рационального ip = где р < q и где L не содержит корни v-степени из единицы, где v\q, степенной ряд g(z), соответствующий L-функции Дирихле (1), имеет конечные радиальные производные вида (3) в точке г = е"2"^.
Доказательству теоремы 1 предпошлем ряд лемм.
Лемма 1. Пусть tp — где р < q, а ^ 1, q — простое. Тогда существует циклическое расширение поля Q степени qa, которое включается в круговое расширение.
Доказательство
Рассмотрим круговое расширение поля Q С Мь где Mi = Q ^ ""^/ij: Группа Га-луа этого расширения G(AÍ1(/Q) является прямым произведением циклических подгрупп порядков qa и q - 1. Следовательно, существует поле М2, такое, что QcW2C Mi и G(M2/Q) — циклическая группа порядка qa, что и доказывает утверждение леммы 1.
Лемма 2. Пусть <р = £, где р < q, а ^ 1, q — простое, а абелево расширение Галуа L поля к не содержит корни q-ой степени из единицы. Тогда существует такое циклическое расширение к С с группой Галуа Gi, [G2] = 9°', ai ^ а, что расширение к С L Li, где L-L2 — композит полей, является абелевым расширением Галуа с группой Галуа Gít изоморфной прямому произведению групп G х G2, где G = Gal(L/k).
Доказательство
Рассмотрим круговое расширение поля k L\ = к ^ \/Tj с группой Галуа G!¡.
Имеет место естественное вложение G2 —> Gaí(Mi/Q), где Aíi = Q^ '"^j. Таким образом, G2 изоморфно вкладывается в прямое произведение циклических подгрупп порядков qa и q — 1. Следовательно, G'2 есть прямое произведение циклических подгрупп порядкоп qai, ^ а и к, где k\q -1, и, следовательно, существует циклическое
расширение к С ¿2, где L2 С L с группой Галуа (72 порядка 9а>.
Далее, в нашем случае имеем
£ П Ь2 = к,
и утверждение леммы 2, относительно группы Галуа (Зь является следствием теоремы 5 [3,гл.VIII,§1].
Доказательство теоремы 1
Докажем сначала утверждение теоремы 1 в случае, когда <р = р < ц, а ^ 1, — простое. Рассмотрим степенной ряд
оо
9(г) =
П = 1
отвечающий ¿-функции Дирихле
Х(»)
п 4 ' П—1
Тогда степенной ряд
оо
= (4)
П = 1
отвечает ряду Дирихле
п=1 а 4 '
Так как группа Галуа (?(М2/0) — циклическая группа порядка да (см. лемму 1), то функция
XI = (6)
является характером Дирихле поля 0!, согласованным с группой Галуа <3(М2/0). Точная диаграмма, приведенная в (4,гл.VII,§10],
Л —"—► С»2
4 ■
Л, в(мг/0)
где г — включение, — отображение взаимности, (?2 — определена в лемме 2, показывает, что у характера Х1(") вида (6) существует характер Дирихле XI (о) поля к, согласованный с группой Галуа для которого выполняется условие
Х1(а)=Х1(ЛГ(а)). (7)
В силу (6) и (7) ряд Дирихле (5) можно записать в виде
В силу леммы 2 Х'Хг является характером Дирихле поля к, согласованным с группой Галуа О. Ясно, что если х — неглавный характер, то и х • XI ~~ неглавный характер Дирихле поля к. Следовательно, ряд Дирихле вида (5) в силу равенства (8) определяет целую функцию. Тогда, в силу результата работы [5] степенной ряд д<Дг) вида (4) имеет в точке г = 1 конечные радиальные производные вида (3), что и доказывает утверждение теоремы 1 в данном случае. Рассмотрим теперь случай
Vx.Pi Я\ 92
где ац ^ 1, а2 ^ 1, 91 и 92 —- различные простые. Выше было показано, что
где х* — характер Дирихле поля к, согласованный с группой Галуа С]. Рассуждения, приведенные выше для ряда
доказывают утверждение теоремы в случае <р = <рх + ¡р2-
Пусть теперь <р = где д = 9°' • д2' ■ ■ ■ ■ ■ я"'■ Тогда ц> с точностью до целого числа можно представить в виде
Я? Я? Я-
Ясно, что и в этом случае имеет место утверждение теоремы 1.
Библиографический список
1. Кузнецов ВН., Сорокина Е.В. Продолжимость целым образом на комплексную плоскость скалярного произведения Ь-рядов числовых полей // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.5.
2. Кузнецов В.Н., Сорокина Е.В. К вопросу о целостности композита //-функций числовых полей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.
3. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
4. Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса и А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.
5. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Дифференциальные уравнения и теория функций: Межвуз. сб. науч. тр.
Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. Вып. 9.
