CC BY
13
¿о = (*о> Уо) = (0,0,1) ,z = (x,y)= (1,0,0). Очевидно, данное отображение F замкнуто и равномерно ограничено в каждой точке эффективной области. Нетрудно убедиться, что,
Q(zn) = {v = (0,0)}, fc^L-^2), Lf(z0,v,x) = RxR-, K(x0,v,x) = 0,
отображение F допускает аппроксимацию первого порядка в точке z() по направлению х относительно LF(z0,v,x). Подсчёт производной ФР в точке z0 по направлению z но фор,муле (2) даёт d'F(z0,z) = 0. В то же время подсчёт d'F(z0,z) по формуле (10) даёт неверный результат, так как K(xo,v,x) = 0.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Минченко Л.И., Борисенко О.Ф., Грицай С.П. Многозначный анализ и возмущённые задачи нелинейного программирования. Минск: Навука i тэхжка, 1993.
2.Дудов С.И. Дифференнирусмость по направлениям функция расстояния // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 3, С. 29 - 52.
У. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Паука, 1990.
УДК 519.4
В. В. Кривобок
К ВОПРОСУ О РАЗЛОЖЕНИИ ¿-ФУНКЦИИ АРТИНА В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ¿-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ
Пусть К — нормальное расширение числового поля к степени п и С -группа Галуа этого расширения. Пусть {Л/(#)}яеС - представление группы
С в группу матриц размерности п х п и % - характер этого представления
x{g) = SpM(g), «бС. Ь - функция Артина, определяется следующим образом:
К«.*/*)« П^-^Г
где произведение берётся по всем неразветвлённым дивизорам поля к и где /•'(р) - автоморфизм Фробениуса дивизора р .
Известная гипотеза Артина [1] утверждает возможность аналитического продолжения ¿-функции (1) в случае неглавного характера % целым образом на комплексную плоскость.
Существенным результатом в направлении решения гипотезы Артина был результат Брауэра [1], который заключается в следующем.
46
s = a + it, (1)
Рассматривается семейство циклических подгрупп {На} группы О и семейство характеров |ха | этих циклических подгрупп. Брауэр показал,
что неабелев характер х можно разложить в виде линейной комбинации индуцированных характеров х"а с целыми коэффициентами. Отсюда сразу следует представление £ -функции Лртина в следующем виде:
п ь^,Х1,к/каУ'
---(2)
ГйЖ^/чТ7'
где X/. Ху ~ характеры циклических групп С(К/ка). Из представления (2) следует мероморфность ¿-функции Артина.
Встает вопрос: можно ли указать такую систему характеров Ix«,)
циклических подгрупп, что неабелев характер можно представить в виде
Х = (3)
i
где па - рациональные, положительные числа? Положительный ответ на
этот вопрос доказывает гипотезу Артина.
Но, к сожалению, циклических подгрупп группы G явно мало для представления (3) с положительными коэффициентами. Это видно на примере абелевой, бесквадратной группы G, где разложение Ьрауэра становится совершенно прозрачным. В этом случае на основании разложения Брауэра для ¿-функции получается следующее представление:
где da = т^—т - число циклических подфупп группы G.
[Иа\
Таким образом, чтобы, исходя из (4), показать, что L(s,%,K/k) - целая функция, необходимо научиться раскладывать функции L(s,xa,K/ka) в произведение более "мелких" сомножителей и после сокращения получить разложение функции L(s,x,K/k) в произведение сомножителей такого рода.
В этом направлении автор доказал следующее утверждение. ТЕОРЕМА. Пусть циклическое расширение kacz К допускает вложение в циклическое круговое расширение ка cL. Тогда существует такое круговое расширение поля рациональных чисел Q а М а, что имеет место разложение
}
где ха,у ~ характеры Дирихле, согласованные с расширением О с Ма и
такие, что Ха(р) = Ха,;(м(р))-
Замечание. Есть основания надеяться, что привлечение характеров внешних циклических расширений позволит получить необходимое разложение Брауэра.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хейпьброн X. С-функции и ¿-функции // Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М., 1969.
УДК 511.3
В. II. Кузнецов, Е. В. Сорокина
ПРОДОЛЖИМОСТЬ ЦЕЛЫМ ОБРАЗОМ ПА КОМПЛЕКСНУЮ ПЛОСКОСТЬ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ¿-РЯДОВ ДИРИХЛЕ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ
Рассмотрим ¿-ряды Дирихле двух числовых полей кх и к2, отвечающие характерам Дирихле X] и х2.
(О
а N(0.) „=1Л*
¿2(^X2 «-с + а. (2)
«N{(3)" П=1п*
Под скалярным произведением ¿-рядов Дирихле (1) и (2) здесь понимается следующий ряд:
/Ю- ЗдЛ-Ы«)'
л —1 Я
/л'.
Огносительно скалярного произведения двух ¿-рядов Дирихле авторами доказана следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Пусть кх и к2 -абелевы расширения поля (), Х\ К Хг ~ неглавные характеры Дирихле числовых полей с взаимнопростыми над Q модулями. Тогда скалярное произведение соответствующих ¿-рядов Дирихле определяет целую функцию.
В основе доказательства теоремы 1 лежит метод редукции к степенным рядам, разработанный в работах [1 — 3], суть которого заключается в том, что многие задачи, связанные с изучением аналитических свойств
