Об одном уточнении теоремы Брауэра Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. Л. : Изд-во ЛГУ, 1977.

УДК 511.3

В. В. КРИВОБОК Об одном уточнении теоремы Брауэра

Пусть К — нормальное, не обязательно абелево, расширение числового поля к степени п и О — группа Галуа этого расширения. Пусть, далее, {М(д)}9ес — представление группы О в группу матриц размерности п х п и х — характер этого представления, определяемый как след матрицы представления элемента д € О [1]:

х(д) = ^ М (д).

Тогда Ь-функция Артина определяется следующим образом [1]:

-1

, (1)

где произведение берется по всем неразветвленным простым идеалам р поля к.

В 1932 году Е. Артин высказал гипотезу о целостности Ь-функций числовых полей в случае неглавных характеров неабелевых групп. Эта гипотеза доказана только в отдельных случаях. В данном статье приводится полное доказательство гипотезы Артина для случая, когда неабе-лева группа Галуа является группой подстановок 53.

Для начала приведем теорему Брауэра для характеров неабелевых групп.

Ь(з,х) = Ь(з,Х,К |к) = П

1-М

К/к Р .

N (р)-

Теорема (Брауэр). Неабелев характер х можно разложить в виде линейной комбинации индуцированных характеров х* циклических подгрупп с целыми коэффициентами, то есть

Рассмотрим уточнение теоремы Брауэра для неабелевой группы Галуа шестого порядка. В этом случае покажем, что коэффициенты Пг,а могут быть натуральными.

Итак, пусть О — неабелева группа шестого порядка, то есть [С] = 6 =

Число 3 является наибольшим простым числом, делящим порядок группы, тогда (см. [2]) получаем, что в G существует нормальная подгруппа H порядка 3. Следовательно, существует еще одна подгруппа H порядка 2.

Найдем число сопряженных с H подгрупп. Для этого вычислим нормализатор данной группы Nhx . Имеем [Nh] = 3 (так как в противном случае H была бы нормальной в G), кроме того, в силу неабелевости G NHl = G и H с Nh. Значит (см. [2]), Nh1 = H и [G/H] = 3. Число сопряженных подгрупп равно 3 — H, H и H3 (все они пересекаются по нейтральному элементу).

Так как подгруппа H нормальна в G, и G — неабелева, то N (H ) = G и тогда N (H ) = H и [G/H] = 2. Следовательно, у H два класса сопряженных элементов.

Окончательно получаем

Имеем три класса сопряженности: Н, И, И — один класс; Н состоит из двух классов сопряженных элементов (так как нормальна) и класс,

а i=1

2 3.

соответствующий нейтральному элементу {e}.

Следовательно, число простых характеров равно трем. Пусть это будут и Количество одномерных характеров равно 2. Пусть это будут ^1, (тут мы воспользовались теоремами из [2]).

Вычислим толщину характера Применяя известное равенство для порядка неабелевой группы (см. [2]), имеем:

2 2 2 2 п = 6 = п + п + п = 1 + 1 + п ^ п3 = 2.

Значит — характер толщины 2, то есть ^3(е) = 2.

Рассмотрим действие характера на классах сопряженности. Известно, что если ..., ф8 — простые характеры, то имеет место

соотношение ортогональности:

¿=1

где д Е О и

х0(д) =

n, д = е

0, д = е.

В нашем случае

^(д) + ^(д) + 2^3 (д ) = х0(д).

Отсюда видно, что таблица значений характеров группы устроена следующим образом:

^2 ^3

С1 1 1 2

С2 1 1 -1

С3 1 -1 0

где С1, С2, С3 Тогда

классы сопряженности.

^3(д) = ^3|я1 (д) + ^3|я2 (д) + ^яэ (д) + ^я (g),

но на сопряженных подгруппах Н1, Н2, Нз, включающих два элемента, значение характера ^з(д) = Х1(д) + Х2 (д). Тогда

^з(д) = 3(Х1 + Х2)(д) + ^я (д).

Так как [Н] = 3, то Н — циклическая, у Н имеется три характера: Х4,1, Х4,2, Х4,з, значениями которых являются корни третьей степени из единицы 1, — 2 ± г^. Получим

^ (д)=/ 3(Х1 + Х2)(д) + (Х4,2 + Х4,з)(g), д = е = (2) 1 3(Х1 + Х2)(д) + (Х4,2 + Х4,з)(д) — ЭДд^ д = е

6

= 3(Х1 + Х2)(д) + (Х4,2 + Х4,з)(д) — 6 Хо(д).

Рассмотрим

х0 (д) ^ Хг(ада— 1) = 3Хг (д).

¿=1

а,да- <ЕЯ1

Отсюда получаем

3(Х1 + Х2 )(д) = (х1 + х0)(д). (3)

Далее рассмотрим

2

х4,2(д) + х°°,з(д) = ^ X] Х4,г(ада—1) =

Х4,г=Х0 3 = 1 У-з да-

а, да- 1 €Я

= ^ Х4,г(а^-да1) = { ^2 д = е

3=1 Х4,*=Хо I 2, д = е.

а, да - 1€Я

Но, с другой стороны, имеет место равенство

Х4,2(д)+ Х4,з(д) = { 2 д 7 е

-1, д = е.

Отсюда получаем

(Х4,2 + X4,3)(g) = 1(Х4,2 + X4,s)(g)- (4)

В силу (2), (3) и (4) имеем

^з(д) = (хО + х2)(д) + 1(х0,2 + х0,з)(д) — х0(д). (5)

Рассмотрим цепочку расширений

к С К2 С К,

где Оа/(К/К2) = Н1. Тогда в силу (5) и свойств Ь-функций Артина [1] получаем

(«)£(«, Х2, К/К2)Ь1 (5, Х4,2, К/К^Ь1 (в, Х4,з, К/К1)

L(s,^,K/k) =

или

2 Z2

L2(s,^,K/k) =

Zk (s)

Z2 L2(s, X2, K/K2)L(s, X4,2, K/Ki)L(s, X4,3, K/Ki)

Z|(s)

(6)

где k С Ki с K, Gai(K/Ki) = H, k С K2 С K, Gal(K/K2) = H.

Таким образом, формула (6) является уточнением представления некоторой степени L-функции Артина как отношение произведений различных степеней L-функций Дирихле циклических расширений Ki С K, и некоторой степени Z-функции Дедекинда поля K. В связи с этим встает задача разложения L-функций Дирихле абелевых расширений промежуточных полей k С Ki С K в произведение L-функций Дирихле основного поля k, и последующего сокращения ряда сомножителей.

В силу известных фактов [1] для Z-функции Дедекинда числовых полей имеет место разложение:

Zk (s) = Zk2 (s)L(s,X2,K/K2). (7)

В силу (6) и разложения (7) получаем

L2(s, ^3, K/k) = L(s, Х4,2, K/Ki)L(s, Х4,3, K/Ki).

Отсюда получаем, что Ь2(й,^3,К/к) — целая функция. Согласно мероморфности Ь-функции Артина этот факт доказывает целостность данной Ь-функции.

Замечание. Используя подход, описанный выше для случая неабе-лева расширения к С К с группой Галуа О, порядок которой равен произведению двух различных простых чисел, для Ь-функции Артина в случае «толстого» характера можно получить представление вида

^2(5) п ^(5,Хг,к/К2) п Ь*,К/К1)

Хг =Х0 Хз =Х0

^К/к) = - Zd^ (в) •

где к С К1 С К, Оа/(К/К1) = Я, [Я] = р2; к С К2 С К, Оа/(К/К2) = = Я1, [Я1]= р1.

Отсюда, используя известное разложение для дзета-функции Деде-кинда (й) и наряду с мероморфностью Ь-функции, следует целостность самой Ь-функции Артина.

Библиографический список

1. Хейльброн Х. (-функции и ¿-функции // Алгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М. : Мир, 1969. С. 310—347.

2. Ленг С. Алгебра. М. : Мир, 1968.

УДК 511.3

В. Н. КУЗНЕЦОВ, В. В. КРИВОБОК, О. А. МАТВЕЕВА, Е. В. СЕЦИНСКАЯ

О рядах Дирихле, определяющих мероморфные функции с определенным порядком роста модуля

Рассмотри ряд Дирихле

то

/(^) = Е 5 = * + = 1, (1)