L-функция Артина торов малой размерности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

Л.А. ХАМИТОВА L-функция Артина торов малой размерности

Арифметические свойства полей алгебраических чисел всегда являлись предметом исследования математиков. Безусловно, самой известной проблемой этой области математического знания является недавно доказанная Великая теорема Ферма. Одной из важных характеристик арифметики числовых полей является число его классов идеалов. С этим числом связано изучение распределения простых идеалов в различных полях алгебраических чисел, которое основывается на рассмотрении знаменитых дзета-функций Римана и Дедекинда, а также ¿-рядов Дирихле.

В начале XX века Артин предложил обобщение этих функций, теперь именуемое L-функция Артина. С помощью этой функции можно описывать арифметические свойства не только числовых полей, но и алгебраических многообразий, определенных над ними, в частности, алгебраических торов. С помощью ¿-функции Артина алгебраического тора можно вычислить его глобальную {-функцию [1; 2], а также значения чисел Тамагавы [2].

Основная цель данной работы - построение ¿-функций Артина для одномерных торов и двумерных торов, определенных над полем рациональных чисел.

1. {-функции и ¿-функции

Пусть к - поле алгебраических чисел, т.е. конечное расширение поля (Q). Как известно, в аналитической теории чисел важную роль играют классические {-функция Римана и ее обобщение - {^-функция Дедекинда. Дальнейшее обобщение этих функций L-функция (или L-ряд) Дирихле с характером Дирихле х поля алгебраических чисел к.

Напомним определение характера Дирихле [3], так как это понятие потребуется в дальнейшем. Пусть S - конечное множество простых идеалов поля к, включающее все архимедовы нормирования, Is - абелева группа, порожденная простыми идеалами, не принадлежащими S. Другими словами, Is - множество всех идеалов поля к, взаимно простых с идеалами из S.

Определение. Гомоморфизм х '■ Is —' С* называется характером Дирихле, если:

1) Ттх - конечная подгруппа С*;

2) существует число £ > 0, такое, что если |а — 1|р < е для V р е S, то у>(а) = 1, где [а — 11 — стандартная р-адическая норма числа а — 1.

Заметим, что последнее условие в определении характера Дирихле равносильно привычному условию периодичности, т.е. существует такой целый идеал ОТ поля к, что если 21 = (а) и © = (/)), причем а = f)(mod ffl), то <р(Щ = ¡¿?(2J).

Ha простых p £ S характер Дирихле доопределяется нулем, т.е. ip(p) = 0, Vp

es.

Опишем теперь метод построения характеров Дирихле циклических расширений ноля к. Пусть L/fc - циклическое расширение степени п. Пусть S - множество всех архимедовых нормирований и разветвленных простых идеалов поля с группой Галуа G. Тогда определен гомоморфизм

FL/k '■ Is —► G

такой, что Fi/k(p) = Frp для любого простого р ^ S, где Frp - автоморфизм Фро-бениуса для идеала р [3]. Пусть \ ■ G ■—> С" - характер группы G. Очевидно, что 1т\ содержится в группе корней из единицы п-й степени, и однозначно определяется значением на образующей группы G. Тогда композиция двух гомоморфизмов V — X ° Fl/ь ~ это характер, определенный на идеалах из Is поля к. Причем, в силу выполнения закона взаимности Артина [3] для отображения Fl/*> получаем, что <р - характер Дирихле.

Пример. Символ степенного вычета. Проиллюстрируем описанную конструкцию на примере символа степенного вычета [4]. Пусть к содержит группу Цп корней п-й степени из единицы, а е О*, S - множество тех простых идеалов поля к, которые делят а, или делят п, или являются архимедовыми. Тогда для любого Ь 6 Is можно

определить символ (|) следующим равенством:

=

где L = к( </а) - циклическое расширение поля к. Символ (|) называется символом степенного вычета. Рассматривая этот символ как функцию знаменателя, получаем характер Дирихле Хп(Ь) = (|).

Дальнейшее обобщение L-функции Дирихле - L-функция Артина. Определим L-функцию Артина, следуя конструкции книги [3]. Пусть L - нормальное расширение поля Q и С = Gal{L / Q). Пусть М : G GL(m, С) -матричное представление группы G над полем С. Значение характера х(аО на элементе fj. 6 G определяется как след матрицы M(/i).

Пусть р - простой идеал поля L, ар- простой неразветвленный идеал из Q, лежащий под р, соответствующий автоморфизм Фробениуса - Frp.

Рассмотрим в качестве локального множителя для L-функции Артина выражение

Lp = det~l(E- M(Frp)NJQ(p)),

где Е - единичная матрица порядка т, Ni/q - абсолютная норма.

Соберем все локальные множители, соответствующие неразветвленным р и определим L-функцию Артина:

Ца,х) = Цв,х,Ь/Q) = I] Lp.

неразв. р

Определяя L-функцию Артина, мы имеем определенную свободу выбора представления р группы Галуа. В случае построения данной функции для алгебраических

торов можно выбрать это представление вполне каноническим образом.

2. L-функция Артина алгебраического тора

Пусть Т - алгебраический и-мерный тор, определенный над произвольным полем к. Тор Т является fc-формой тривиального тора G"m, т.е. группы Т 8>к к, и G"m, kl изоморфны, где ks - сепарабельное замыкание поля к с группой Галуа G. Группа Т рациональных характеров тора Т является свободной абелевой группой ранга п (решеткой), на которой естественно действует группа G. Другими словами, если в решетке Т выбран базис, то определено целочисленное представление группы G :

р : G —► GL[n, 1).

Хорошо известно, что соответствие X —> Т определет дуальность между категориями алгебраических fc-торов и G-решеток [2]. Напомним, как определяется тор Т, исходя из G-решетки Т. Представим группу Т в мультипликативной форме, и пусть к3[Т\ - групповое кольцо, на котором группа Галуа G действует диагонально. Тогда

Г = Spec(ka[T]f.

Описанная выше конструкция может быть рассмотрена на конечном уровне, т.е. когда действующая на X группа является конечной. В самом деле, из компактности группы G и дискретности решетки X следует, что подгруппа Gi, состоящая из элементов группы G, тривиально действующих на Т, имеет конечный индекс в G. Группа Gi есть не что иное, как ядро отображения р. Тогда Imp = G/G, - конечная группа в GL(n, Z), называется группой разложения тора Т. Пусть L = kGx, - конечное расширение Галуа поля к с группой Галуа П = G/Gi. Поле L есть минимальное поле разложения тора Т, т.е. L - минимальное поле, над которым тор Т разложим, а именно: Т L = G"m, ¿. Группа разложения W тора Т является точной матричной реализацией группы Галуа П, т.е. существует точное представление

р . П —» GL(n, Z)

такое, что Imp = W.

Наконец, определим основной объект изучения в данной работе. Будем говорить, что L-функция, построенная для представления р, это L-функция Артина алгебраического тора Т.

Известно [3], что любая функция Артина может быть представлена в виде произведения рациональных степеней абелевых L-функций. Целью данной работы является нахождение соответствующих представлений для L-функции Артина торов малой размерности, определенных над полем рациональных чисел.

3. Классификация торов малой размерности

Как известно [2], любой алгебраический тор однозначно определется G-модулем рациональных характеров Т. На конечном уровне это равносильно факту, что два

тора изоморфны тогда и только тогда, когда их минимальные поля разложения совпадают, а группы разложения сопряжены в Оу(п, 2). На этой основе возможна классификация всех п-мерных торов. Мы будем использовать классификацию для случая одномерных и двумерных торов - основных объектов изучения в данной статье.

Одномерные торы

Существует два типа одномерных торов, т. к. в 0,(1, й) = {1, —1} есть две подгруппы Ж1! = {(1)} и = < (—1) > . В первом случае минимальное поле разложения - это О, а во втором - квадратичное расширение поля <2, т.е. Ь = <12(\/с)> где с - целое бесквадратное число. Классификация торов размерности один представлена в табл.1.

Таблица 1

N Поле разложения Группа разложения Вид тора

1 Ь = <0 {(1)} Т\ — £»т1 <}

2 1 = Ш'с) ТУ =

Двумерные торы

Известно [5], что в ОЪ{2, Ж) существует две максимальные конечные подгруппы с точностью до сопряженности, одна из них - матричная реализация группы диэдра а вторая - Дб, а именно:

ЪУ^ =< а, Ь : а4 = Ь2 = е, аЬ = Ьа3 >,

где а = ^ ° </ ) ' 6 = ( 0 -1 ) (тип°4)'

№22 =< а, Ь : а6 = б2 = е, аЬ = Ьа5 >,

где а = ^ " V ) ■ 6 = ( 0 -1 ) (тип°6)-

Все подгруппы данных групп представлены в следующих диаграммах включения (рис. 1,2).

и1

Порядок: п = 8 а

п = 4 < а2, Ь >• т<а> • < а2, аЬ >

п — 1 < е >

Рис. 1

Порядок: п = 12 £>в

п = 6 ф<а> ф< а2,Ь> л<а2,аЬ>

п = 4 ф< а3,Ь > #< а3, аЬ > в< а3,а2Ь > п = 3 #< а2 >

о = 2 < Ь >, < аЬ >в < а2Ь >в #< а36 > .< а4Ь > ,< а5Ь >

п = 1 < е >

Рис. 2

Эти подгруппы разбиваются на классы сопряженных в йЬ{2, 2) групп, таких классов двенадцать. Соответственно существует 12 типов двумерных торов, классификация которых приведена в табл.2 (указан общий вид поля разложения, безусловно, различие полей разложения определяет и различие торов внутри типов).

Таблица 2

N п/п Поле разложения Группа разложения Вид тора

Тип Тип £>6

1 Ь = <2 е е Т{* = С,п<}2

2 Ь = О(^) < а2 > < а3 > т2' = Я^/О^т) X Д^/д(Ст)

3 1 = О^с) <Ь> < а2Ь > Тз = бт1<} X Я1 £/<)((?,„)

4 Ь = 0(,/Е) < аЬ > < а3Ь > <Ь> < о?Ь > < аЬ> < а4Ь > < а?Ь > < а5Ь > Т42 = Я£/<}(Ст)

5 (Ь : 0) = 3 - < а2 > ТБ'' = Л'ь/о (Ст)

6 Ь - циклическое расширение степени 4 < а > ^ =

7 Ь = (Хч/тп, >/п) < а2Ь, Ь > 2 = й10(Ут)/о(Ст)х Я*«,/п)/о(От))

8 Л = О(0й, V«) < аЬ, а2 > <а\ Ь> < а3, аЬ > < а3, а2Ь > Те = «(Я Ь/0(^т)(Ст))

Окончание табл. Й

N п/п Поле разложения Группа разложения Вид тора

Тип Dt Тип D6

9 Ь - циклическое расширение степени 6 - < а > Тв' = Др2/иг( (Ст))П ^ - подрасширение 2-й степени, .Рз - подрасширение 3-й степени

10 Ь - нециклическое расширение степени 6 < а2, Ь> < a2, ab > Т1а' — ?т), Р - ненормальное подрасширение 3-й степени в Ь

11 Ь - поле разложения с группой Галуа, изоморфной D^ - V = F4 - ненормальное подрасширение 4-й степени в Ь, ^ : Е2) = : ® = 2

12 Ь - поле разложения с группой Галуа, изоморфной П(, - W22 Тпг = Ъ/Ъ (Ст))П (<?т)), F6 -ненормальное подрасширение 6-й степени в Ь, (Г6 : Г3) = 2, (Д : Я) = 3

L-функция Лртина, в силу замечания выше, рационально зависит от представления р, т.е. если группы разложения двух торов сопряжены в GL(2, Q), то их L-функции совпадают. Как известно, такие торы являются изогенными. Существует 10 классов изогенных торов (в фигурных скобках указаны номера типов торов, приведенные в табл.2):

I = {1}, II = {2}, III = {3,4}, IV = {5}, V = {6}, VI = {7,8}, VII = {9}, VIII = {10}, IX = {11}, X = {12}.

4. Вычисление L-функций Артина

Одномерные торы ¿-функция Артина для тора Т\

Обозначим через Х\ базисный характер тора ТД Са1{Ь/^) = {е)ке - автоморфизм Фробениуса. Все простые идеалы в ((} являются неразветвленными. Выпишем локальный множитель:

Тогда L-функция Артина приобретает вид

l(S, х, Q) = ГК = И = Co(s)

р=р р-v

- обычная {-функция Римана.

L-функция Артина для тора Т2'

Здесь G — Gal(L/Q) - циклическая группа второго порядка, т.е. П =< т : т2 = = е > . Тогда L - это квадратичное расширение поля Q, т.е. L = Q(с целое бесквадратное число. Имеем соответствие: е —У (1), г —> (—1). Разветвленные - те простые р, для которых х(р) — 0, т.е. р | \с\. Простой идеал (2) также разветвленный, если с ^ 1 (mod 4). Пусть р - неразветвленный идеал в L. Тогда в силу известного закона [6] разложения простого идеала в квадратичном поле, если х(р) — 1, то р = = рр' ир ф р'. В этом случае г(р) = р', т.е. группа разложения Gp — {е}, е -автоморфизм Фробениуса, и локальный множитель имеет вид

Lp = " 1 - р-

Если х(р) = —1, то р — р - простое число и т(р) = р, т.е. т автоморфизм Фробениуса. В этом случае локальный множитель имеет вид

L„= 1

1 + р"

Тогда искомая ¿-функция Артина

П г^' П П (ГГжИ)"^

р. х(р)=-1 у р: *й>)=1 и неразв. РI1 р. I - ^функция Дирихле с соответствующим характером х квадратичного поля.

Двумерные торы

Вычислим ¿-функцию Артина для всех классов изогенных двумерных торов. Будем последовательно рассматривать классы изогенных двумерных торов с подгруппами ¿>4 и Па в качестве группы разложения.

I класс (тор 1-го типа)

Тривиальная группа Галуа в = Ga/(L/Qj расширения ¿/<¡2 состоит из одного элемента е : в = {е}. Тогда // = и автоморфизм Фробениуса е. В этом случае все простые идеалы р поля Ь = 1} являются неразветвленными. Поэтому локальный множитель для L-фyнкции Артина таков:

11

det(E - р • ■ p(Frр)) det(E-p'-E) (1 - р->)2

Тогда в итоге сама //-функция Артина

- квадрат ^-функции Римана.

Торы с квадратичным полем разложения (II и III классы: 2, 3 и 4-й типы торов)

Рассмотрим все подгруппы в матричной реализации Оц и ¿>6 второго порядка. Группа разложения С? =< д : д2 = е > циклическая второго порядка. Ь - квадратичное расширение поля <£}, т.е. ¿ = <0>(\/с), где с - целое бесквадратное число. Закон разложения неразветвленного р при переходе от 4} к ¿ выглядит так:

Г р, если х(р) = -1, 1 РР\

Р —/ если _ ^

где х(р) ~ характер данного квадратичного поля.

В первом случае автоморфизм Фробениуса = д, т.к. д(р) = д(р) = р. А во втором случае автоморфизм Фробениуса Frp = е, т.к. сопряжение д меняет р и р', лежащие над р, местами. Тогда локальный множитель для простого идеала р первого типа имеет вид

_1

det{E - р-л • p(Frp))' Для простых идеалов р второго типа имеем

= (i)

¿„ = 1

(1 - Р"У II класс

Образующий элемент группы разложения д — а2. В этом случае локальный множитель для ¿-функции Артина (1) имеет вид

I. = ' 1 1

det(E - р" ■ p(Frp)) (1 + p-sf В итоге ¿-функция Артина выглядит так:

X, ЫQ) = L2(s, х)

квадрат ¿-функции Дирихле с характером х соответствущего квадратичного поля. III класс

Все матрицы, представляющие элемент д, подобны нормальной жордановой форме вида

1 0 \ О -1 ) ■

Тогда локальный множитель ¿-функции Артина имеет вид

1

"" 1 - р-2»' В итоге ¿-функция Артина приобретает вид

= П г^7' П ^з®)= '

- произведение ("-Функции Дедекинда соответствующего квадратичного поля и ¿-функции Дирихле, х - характер квадратичного поля.

Торы с биквадратичным полем разложения (VI класс: 7 и 8-й типы торов)

С Кг = QWm)

Рассмотрим башни полей 0> С К2 = Щу/п) С ¿ = <2(Ут, •/п). Тогда груп-С К3 = <2(,/тп)

па Галуа б = Ga/(¿/Л') =< #1, д2 : <?12 = 9гг = (АгЗг)2 = е > . Обозначения образующих элементов введены так, что если С реализуется как подгруппа ¿>4, то Р(<?1<?2) — а2 — —-Е, а если как подгруппа ¿>6, то р(<?132) = а3 = —В.

Пусть К"! = ¿<51>, К2 = ¿<9,>, Л'з = £,<»'«> - квадратичные поля с характерами Дирихле Хь Х2, Хз соответственно. Закон разложения здесь таков:

Р1Р2РЗР4, если (=) = (=) = 1,

р,р2, если либо (Ш) = -1, либо (а) = -1, либо = ) = -X.

В первом случае автоморфизм Фробениуса Р'гр — е, во втором случае автоморфизм Фробениуса

С 51, если (Ш) = 1, (а) = Кгр = { если (Ш) = -1, (») = 1,

I дт, если (И) = (а) = _1.

Из первых двух вариантов получается локальный множитель искомой ¿-функции Артина вида

1

" (1 - рг') .(1 + р~'У

из последнего

1

и =

(1 + р-)2' В итоге ¿-функция Артина приобретает вид

Ца, х, ¿/О) = Цв, X.) ■ Цв, Ха)

- произведение двух Ь-функций Дирихле, где Хг - характер квадратичного поля 0(>/гп), Хг - характер квадратичного поля О^п).

Четыре класса торов с циклическими группами разложения 3, 4 и 6-го порядков (IV, V и УПклассы)

IV класс (£ : «$) = 3

Минимальное поле разложения Ь тора - циклическое расширение поля ($ 3-й степени. Закон разложения всякого простого р из <0>, в поле Ь имеет вид

Р

-{

Р1Р2Р3, Р-

В первом случае автоморфизм Фробениуса - это е, и локальный множитель имеет вид

Во втором случае образ автоморфизма Фробениуса р(Ргр) = а2 или р(-Ргр) = а4, и локальный множитель имеет вид

1 1

<1еЛ(Е — р~' ■ Ггр) (1+р"'+р"2') 1

(3)

(1 -р~' -ш){ 1 -р-' -ш)' где и - первообразный корень 3-й степени из 1.

Далее, х С —> С* характер группы б - определим равенством х(°2) = тогда х(а4) = х(е) = 1- Характер <рз = X 0 Рь/к - это характер Дирихле поля Ь.

Причем <рз(р) для р ^ 5 описывает закон разложения р на простые в Ь. В формулах (2) - (3) порядок сомножителей может быть выбран так, что первый из них 1

имеет вид —-—т—.

1 _ »»(Р)

V _

Тогда второй множитель со,ответствует сопряженному характеру <£>3. Окончательно локальный множитель может быть записан в виде

(1 _ - Це1)

В итоге,

= Ь{з, <рз) ■ Цз, Щ).

V класс

Торы с циклическим полем разложении четвертой степени

Докажем, что все локальные множители ¿-функции Артина можно записать единой формулой

с помощью характера Дирихле циклического расширения.

Минимальное поле разложения Ь тора - циклическое расширение поля <3 4-й степени. Закон разложения всякого простого р из ИЗ в поле Ь имеет один из следующих видов:

!Р1Р2РЗР4,

Р1Р2-

р.

В первом случае автоморфизм Фробениуса - это е, и локальный множитель имеет вид

ЬР = Тл-(4)

1

(1 ~р-г

Во втором случае образ автоморфизма Фробениуса р(Ргр) = а2, и локальный множитель имеет вид

Ьр = ----го- (5)

(1 + р-')г

В последнем же случае образ автоморфизма Фробениуса р(Ртр) - это одна из образующих группы (3 =< а >, т.е. р(1гр) = а или р{Рг() — а3. Соответствующий локальный множитель

£" = 1 + р-ъ = (1 - гр-)( 1 + ip-y ^

Используем конструкцию построения характера Дирихле для циклических расширений, описанную ранее, а именно: х ■ С —> С* - характер группы (7 - определим равенством х{а) = г, тогда х(а2) = -1, х(в:') = —г, х(е) = 1. Характер <р4 = х ° Рь/к - это характер Дирихле поля Ь.

Легко видеть, что </54 (р) для р ^ 5 описывает закон разложения р на простые в Ь. Причем в формулах (4) - (6) порядок сомножителей может быть выбран так, что

1

первый из них имеет вид-^^ .

^ р' _

Тогда второй множитель соответствует сопряженному характеру Окончательно локальный множитель может быть записан в виде

Тогда Ь{з, х, ¿/<® = ¿(я, ' £(«, <р4)-VII класс 9-й тип торов

Минимальное поле разложения Ь тора - циклическое расширение поли (} 6-й степени. Закон разложения всякого простого р из <3, в поле Ь имеет один из следующих видов:

Р =

Р1Р2РЗР4Р5Р6, Р1Р2РЗ, Р1Р2, .Р.

В первом случае автоморфизм Фробениуса - это е, и локальный множитель имеет вид

= (7)

Во втором случае образ автоморфизма Фробениуса р[Ргр) = а3, и локальный множитель имеет вид

= л (8)

(1 + р-')

В третьем случае р(Ргр) — а2 или а4, и локальный множитель имеет вид

Ь = 1 ... 1 (9)

" 1 +р-' + р-2' (1 -р-'ш)' к '

В последнем же случае образ автоморфизма Фробениуса р(^Гр) = а или а5. Соответствующий локальный множитель

Ьр = ----г = ---—--——> (Ю)

где £6 - первообразный корень 6-й степени из 1.

Используем конструкцию построения характера Дирихле для циклических расширений, описанную ранее, а именно: х : О —> С* характер группы в - определим равенством х(а) = Се, тогда х(а2) = ш, х(«3) = -1. х(«) = 1- Характер <р6 = х ° - это характер Дирихле поля Ь.

Легко видеть, что </>б(р) Для р ^ 5 описывает закон разложения р на простые в Ь. Причем в формулах (7) - (10) порядок сомножителей может быть выбран так, что

1

первый из них имеет вид-.

^ V _

Тогда второй множитель соответствует сопряженному характеру ¡р6. Окончательно локальный множитель может быть записан в виде

1

Тогда Ца, х, £/($) = Ца, го) ' Ц», у>6).

Пример. Пусть L - поле разложения кругового многочлена

Ф4(х) = х4 +13 + х2 + х + 1,

т.е. циклическое расширение поля Q 4-й степени. Тогда разложение простого р находится во взаимно однозначном соответствии с разложением редукции Ф4 на множители по модулю р.

Существует единственное промежуточное поле между Q и L - это Q(\/5). Проведем изучение разложения простого р в два этапа.

По определению характера квадратичного поля [6], в нашем случае х(р) — Возможны варианты: р = ±1 (mod 5) и р = ±'¿(mod 5).

Если р = ±2(mod 5), тогда (|) = = —1. В этом случае х2 — 5 не раскладывается на линейные множители, а значит, р = р в Q(\/5). Расширение Q(Cs)/Q(v'5) -расширение Галуа с группой Галуа Gal =< а2 >, т.е. ст2(р) = р. Если бы р = р,р2 в L = СХ6>), то с одной стороны сг2(р1) = р2, т.к. < а2 > должна действовать транзи-тивно. С другой стороны, р = pip2, т.е. <т(р i) = р2, т.к. <о > действует транзитивно. Но тогда c2(pi) = <7(<j(pi)) = сг(р2) = рь а это противоречит тому, что a2(pi) = р2. Значит, в случае р = ±2(mod 5) разложение простого р таково: р = р в L.

Рассмотрим случай р г 1 (mod 5). Тогда р = 1 + 5к, и мы можем рассматривать многочлен i5 — 1 в Fp. Любой элемент в Fp удовлетворяет уравнению хр — х = 0. Этот многочлен в Fp раскладывается на линейные множители, с другой стороны,

xwk -i = 0, х(х5к - 1) = 0, х(х5 - 1 )F(x) = 0.

Тогда раскладывается на линейные множители и многочлен х5 — 1. В итоге закон разложения простого р таков: р = pip2p3p4.

Остался случай р н —1 (mod 5). Тогда р = 4 4- 5к. Рассмотрим

xn!lk -i = 0, x(x3+sh - 1) = 0.

От противного. Пусть с - корень уравнения х4 + х3 + х3 + х2 + х + 1 = 0 по модулю р, сф 1. Тогда

с(сз+5* _ i) = о, с3((с5)* - 1) = 0,

f с3 = 1,

\ с5 = 1.

В итоге с = 1, но это противоречит предположению, что сф 1. Значит, х4+ьк - х не раскладывается на линейные множители и закон разложения простого р имеет вид Р = Р1Р2 в L, т.к. р раскладывается в промежуточном квадратичном поле Q(\/5).

Итак,

Íp, р = ±2(mod 5), pip2, р s -l(mod 5), P1P2P)P4, Р = 1 (mod 5).

Определим теперь характер Дирихле: число 2 - первообразный элемент по модулю 5, значит всегда можно написать а = 1"ui',a(mod 5). Положим ^ := j'T"iJP, где

г2 = -1. Тогда:

если р — 2(гпис1 5), то гпё2р = 1 и х(а) = г1 = г, если р = -2(тоё 5), то гпс12р = 3 и х(а) = г3 = -г; если р = 1(тоё 5), то гпй2р = 4 и х(а) = г4 = 1; если р = —\{то<1 5), то гп<12р = 2 и х(°) = г2 = —1.

В итоге ¿-функция Артина - это произведение двух ¿-функций Дирихле с характерами х и х:

Три класса изогенных торов с группами Галуа D3, D<¡ и D6 (VIII, IX и X классы - 10-й, 11-й и 12-й типы торов)

Так как метод исследования для всех случаев универсален, то будем рассматривать их вместе.

По-прежнему, ¿ минимальное поле разложения тора с группой Галуа Dn, п — = 3, 4 или 6. Тогда Dn содержит нормальную циклическую подгруппу Zn. В силу соответствия Галуа, в поле ¿ есть нормальное подполе К = ¿z", причем К -квадратичное расширение поля Q. В свою очередь, расширение L/K - циклическое степени п. Закон разложения простого идеала будем рассматривать в два этапа: сначала изучаем разложение р в промежуточном поле К на простые идеалы р, а затем разложение р на простые в поле L.

Как обычно,

где х - характер квадратичного поля К. Рассмотрим первый случай, когда рОк = = р. В этом случае р распадается на п простых идеалов в Ь. Действительно, пусть р = Р\Р2... Рт, тогда т | п Рг,/к(р) - элемент группы Х„ порядка л. с другой стороны, возвращаясь к исходному р, мы получаем разложение р = Р\Р2... Рт и Рцк[р) ~ элемент группы О порядка не принадлежащий подгруппе Ъп. Это возможно только в случае, корда п = т. Итак, если рОк = р, то рОк = Р] Р2... Р„ и 5>р - элемент второго порядка группы ¿>„, не принадлежащий подгруппе 2„. Тогда локальный множитель принимает вид

Пусть теперь рОк = На самом деле разложение р, на простые множители в циклическом расширении ноля К было рассмотрено ранее. Тогда Рь/к{р) — - элемент циклической группы Ъп и локальные множители имеют вид (2) - (3) для п — 3, (4) - (6) для п = 4 и (7) - (10) для п = 6 с той лишь разницей, что характеры определены на простых идеалах из К. Причем, если <рп(р0 = £п, т0 Уп(Р2) = ¥>п(р1Ь) = Сп- Тогда локальный множитель искомой ¿-функции можно будет рассматривать как произведение двух локальных множителей ¿-функции Дирихле, определенной на поле К, с соответствующим характером.

L{s, х, £/Q) = L(s, х) • L(s, х).

Р

{

р, если х(р) = -1, рр\ если х(р) = 1,

Наконец, локальный множитель, заданный видом (11), также является локальным множителем ¿-функции Дирихле, определенной на поле К, т.к. N(p) — р2, а <рп(р) = 1. Тогда получаем, что ¿($, х, Т/К) = Ьк(в, у>„), где Ьк - функция Дирихле на поле К с характером <рп.

Пример. Рассмотрим поле ¿ = ($(£„, с), где с не является кубом в <}, если п — = 3, 6; и с не является квадратом в (}, если п = 4, 6.

Это поле имеет группу Галуа, изоморфную Д,. Описанную конструкцию применим к этому случаю. Осталось определить <рп. Промежуточное поле К - не что иное, как круговое поле К — Щ£п). Разложение р на простые в ¿ по теореме Куммера связано с разложением редуцированного многочлена /(х) = х" — с по модулю р. То есть у9„(р) = 1, если с является вычетом степени п по модулю р, а значит, (£) = 1. ¡рп(р) = £„к, если с является вычетом к-й степени по модулю р.

Таким образом, в рассмотренном примере характер <рп - это характер степенного вычета Хп- Результаты данного примера также изложены в работе (7|.

5. Основные результаты

Итоги работы, представленной в настоящей статье, можно обобщить в виде табл.3.

Таблица 3

Классы изогенных торов Представление ¿-функции Артина через ¿-ряды Дирихле Соответствующие характеры Дирихле

Одномерные торы

СоМ -

¿(а, х) X - характер Дирихле квадратичного поля ¿

Двумерные торы

<?т а -

Дг£./о(Ст) X Л'ь/д(Ст) X) X - характер Дирихле квадратичного поля ¿

0 х ^¿/<)(Ст) Яь/а^т) Сср(а) ■ ¿(з, х) X - характер Дирихле квадратичного поля ¿

¿(5, у93) ■ ¿(5, *>3) 4>ъ - X ° -кубический характер Дирихле поля ¿

^ = I"' Ь{3, уц) ■ ¿(5, ^04) <р4 = х о Рь/к ~ характер Дирихле 4-й степени поля ¿

£ = 52(\/т1 V") хО • хг) XI - характер поля 0(\/гп), XI ~ характер поля <($(\/п)

Окончание табл. 3

Классы изогенных торов Представление ¿-функции Артина через ¿-ряды Дирихле Соответствующие характеры Дирихле

-Р2 - расширение 2-й степени, ^з - расширение 3-й степени L(s, <р6) • L(s, <р6) Уб = X ° Р'ь/к -характер Дирихле поля ¿, С?а/(1,/(® = 26

Я'^/о (С?т), Р - ненормальное подрасширение 3-й степени в Ь LK{S, УЗ) уз - кубический характер на поле К = /А1, = 1>з

Я^/С^'^/РЛОтп)), F4 - ненормальное подрасширение 4-й степени в Ь, (Я, : Р2) = (Р2 : <® = 2 Lk(S, Ч>А) У4 - характер, определенный на поле К = ¿Х4, Саг(Ь/«2) = £>4

Р6 - ненормальное подрасширение 6-й степени в : Г3) = 2, (Я, :Р2) = 3 L{s, у6) <¿>6 - характер, определенный на поле К = Ьг°, ваЧЬ/®) = Б6

Библиографический список

1. Серр Ж.П. Алгебраические группы и поля классов. М.: Мир, 1968.

2. Воскресенский D.E. Алгебраические торы. М.: Наука, 1977.

3. Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.

4. Лйерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.

5. Рышков С. С. Максимальные конечные группы целочисленных п х п матриц // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова. М., 1972. Т.128.

6. Борсвич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

7. Хамитова Л.А. L-функция Артина торов малой размерности// Тр. Мат. центра им. Н.И. Лобачевского. М., 2002. Т.18.