Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Шебалдин В. Р. О минимизирующих последовательностях в задаче оптимального управления с дискретными фазовыми ограничениями. Деп. в ВИНИТИ 1998, № 709-В98.

4. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 3. С. 395.

5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М : Наука, 1974.

УДК 511.3

Д. С. СТЕПАНЕНКО Об аналитическом продолжении одного класса рядов Дирихле

Пусть поле к является нормальным расширением поля рациональных чисел конечной степени. Рассмотрим ряд Дирихле вида

1 5 п

гм = П(! - N03) )-1 = £ П, • = - + «. ^

в 1

где произведение берется по всем неразветвленным простым идеалам поля к.

Относительно рядов вида (1) имеет место следующее утверждение.

Теорема. Функция /(в), определенная рядом Дирихле (1), аналитически продолжается на комплексную плоскость как мероморфная функция с единственным полюсом в точке в = 1.

Замечание. При доказательстве теоремы 1 будут использоваться только факты относительно аналитических свойств Ь-функций с числовыми характерами Дирихле и поведения идеалов при расширении Галуа числовых полей.

Доказательству теоремы предшествует доказательство следующей леммы.

Лемма. Пусть к — абелево расширение Галуа поля рациональных чисел. Тогда ряд Дирихле (1) определяет мероморфную функцию /(в) с единственным простым полюсом в точке в = 1.

Доказательство

Рассмотрим дзета-функцию Дедекинда поля к

2к(в) = Е ^ = П(1 - ^¿у), в =+

где произведение берется по простым идеалам поля к.

В случае абелева расширения известно [1] разложение функции Zk(в) в произведение Ь-функций с числовыми характерами Дирихле:

Zk (в) = П Ь(8,х) (2)

Хг

где х» — числовые характеры Дирихле, согласованные с характерами группы Галуа, Ь(в,хг) — Ь-функция Дирихле.

Напомним, что числовой характер Дирихле х называется согласованным с характером Х группы Галуа, если для любого неразветвленного простого р выполняется условие

Х(Р) = х(Г [Р])

где Г [р] — автоморфизм Фробениуса соответствующего расширения полей вычетов по простым идеалам.

Отметим, что при доказательстве формулы (2) используются только факты относительно аналитических свойств Ь-функций Дирихле с числовыми характерами и поведения простых идеалов при расширении Галуа.

В силу (2) Zk(в) является мероморфной функцией с единственным простым полюсом в точке в = 1.

Из определения Zk(s) легко видеть, что

f(s) = П(! - NW- )Zk(*)' (3)

где произведение берется по конечному числу разветвленных простых идеалов. Соотношение (3) доказывает утверждение леммы.

Доказательство теоремы

Обозначим через Каь максимальное абелево подрасширение поля k:

Q С КаЬ с k.

Пусть в — неразветвленный простой идеал поля k, а р — простой идеал поля Каь, над которым лежит идеал в. Известно [1], что

N (в ) = N (р)= pf, (4)

где f — степень инерции простого идеала (p) поля Q при расширении полей.

Обозначим через fi(s) функцию вида

fi(s) = П(1- N^ (5)

где произведение берется по всем простым идеалам поля Каь, над которыми лежит простой идеал в поля k.

Утверждение леммы имеет место для любой функции вида

f (s) = П(1 - N(W)-1'

где произведение берется почти для всех простых идеалов поля k

В силу следствия леммы функция f (s) вида (5) является мероморф-ной функцией с простым полюсом в точке s = 1.

В силу (4) имеет место соотношение

/ (в) = /1 (в),

где I = [к : КаЬ], которое доказывает утверждение теоремы.

Библиографический список

1. Хейльброн Х. (-функции и ¿-функции // Алгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М. : Мир, 1969.

УДК 512.7

А. М. ВОДОЛАЗОВ Кольцо целозначных многочленов для алгебраических торов

В работе [1] при изучении целых моделей для алгебраических торов была введена алгебра

А = {/ е ОрМ"1] | /(ж;) с Жр} , (1)

алгебра А (X = ^рвсА) является целой моделью для тора Т = (то есть Т = X Ор).

Алгебра А, рассматриваимая как кольцо, является примером це-лозначных колец, такие кольца активно изучаются. По теме целозначных колец вышла монография [2]. Одним из главных вопросов изучения является задача определения образующих таких колец и выяснения свойств факторизации в этих кольцах. Они, как оказывается, имеют неоднозначную факторизацию. Свойства нефакториальности в кольцах многочленов изучались в различных работах. Например, в [3] доказывается неоднозначность разложения в Ъри [£], а в работах [2, 4] изучалось кольцо целочисленных полиномов Тп£(Ж) = {/ е О[£] | /(Ж) с Ж}.