CC BY
10
ства аналогично доказательству теоремы в [3]. Включение Гс Hom(yV/|-,Af г) следует из условия 8) леммы. Обратное включение доказывается с помощью аксиом проективной плоскости.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ппоткии Б.И., Гричглаз Л.Я., Г'варамия A.A. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: Высшая школа, 1994.
2. Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. М.: Мир, 1970.
3. Ишина СИ. Об универсальных проективно-планарных автоматах // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 54 - 58.
УДК 515.126.83
А. Б. Коноплев
О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ФУНКЦИИ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧЕК ДО ОБРАЗОВ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть X =R",Y = Rm,Z = X хГ, F:X-> 2V - многозначное отображение с замкнутыми образами. Рассмотрим функцию расстояния (ФР) от точек до образов многозначного отображения в произвольной норме dF(z) = inf Jy-v||, z = (x,y).
veF(x)
Введём обозначения z0 = (jc0, y0) e domF x Y, z=(x,y)eZ,
W(z0) = {w e УI \\y0 - *fl <dF (z0)}, 0(zo) = W(za) n F(x0), Ч^ = {ц/: [0,сх0]->У| За0 >0, <x~V(a) ~> 0,а 10}, LF (z0, v,х) = {у е Y | За0 > 0, н<а) е W(z0), ц,(а) е : vv(a) -> V, а 10, w(a) + а у + у (а) е F( х0 +ах), а б [0,а0]}, K(x0,v,x) = {yeY\ За0 >0, V(a)е : V + а у + нЧа) е l-(xQ + a jc), а е [0, а0]}, Я(а) = a"1 [dF (z0 + a z) - dF (zQ)]. Как и в [1], будем считать, что inf 0 = +со. Получим оценку сверху для верхней производной Дини ФР. ТЕОРЕМА 1. Справедливо неравенство
4(20,г) = ПшЯ(а)< inf inf (1)
niO veQ(z0)c,eLF(z„,v.x) д(у~С,)
Доказательство. Если для всех veQ(z()) множество LF(zn,v,x) = 0, то неравенство (1) становится тривиальным. Если же существуют точки veQ(z0), для которых L¡. (z0,v,x) * 0, то внешний инфимум в правой части (1) очевидно достигается именно в этих точках. Возьмём произвольно точку v е Q(z0), для которой LF (z0,v,x) ^ 0 , и
43
точку С, е Lp(z0,v,x). В соответствии с определением LF(z0,v,x) существуют а0> 0, w(a) 6 W(z0), 41(0.) е такие, что справедливо
Ца) + + у(а) е F(x0 + а х), а е [0, а0 ], w(a) -> v, а i ü.
Пусть последовательность {a¿} такова, что а^-I О при к-* со и
lim И(ак) = dF(zQ,z). Используя лемму 1 из [2], получаем
оо
dF(zo.+ ak¿) ¿ |bo + akУ ~ 4a*) - - V(<**)|| ^ á \\Уо ~ )|| + CLk + щ(ак) < dF (z0) + а, f^J + Vl(a4),
d(y- g d(y- g
где ^(a*) e . Отсюда извлекаем неравенство
О at
которое ввиду произвольности выбора veQ(z0) и С, е LF(z0,v,x) ведёт к оценке (1). Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2. Пусть отображение F замкнуто в точке дг0, равномерно ограничено в точке и допускает аппроксимацию первого порядка [3, с. 54] в каждой точке (х0,v) для v е Q(z0) по направлению х относительно множества LF(z0,v,x). Тогда ФР является дифференцируемой в точке z0 по направлению z и справедлива формула
d'F(z0,z) = inf inf ~ ^. (2)
veQ(z0)<;eLF(i0,V,x) Ö(y-q)
Доказательство. Учитывая неравенство(1), достаточно показать,
что
4(z0,z)Slimtf(a)> inf inf JjPf^. (3)
alo veQ(20)<;zLFU0,V,x) d(y-q)
Из условий теоремы следует, что LF(z0,v,x) * 0 для всех v е Q(zq) .
Следовательно, по теореме 1 имеем lim#(a) < +00. Это означает, что су-
alo
ществует с = const такая, что Я (а) < с для всех достаточно малых a . Умножим обе части этого неравенства на о и перейдём к верхнему пределу
по a 4 0. Получим lim a Н(a) <0. Отсюда после преобразований получа-olO
ем неравенство
\\mdF(zQ+az)<dF(z0). (4)
a 4-0
Пусть последовательность {a¿} такова, что ак 4- 0 при к —> оо и lim Н(ак) = dF(z0,z). Пусть далее v(ak) eQ(z0 + akz). Так как
Q(z0 + a¿z) с F(xa +акх), а отображение F равномерно ограничено в
точке л:(), то последовательность {v(a*)} ограничена. Без потери общности будем считать её сходящейся к некоторому элементу v. В силу замкнутости отображения F в точке имеем
veF(x0). (5)
Воспользуемся неравенством (4) и получим
dF(z0)> \imdF(z0 +az)> lim dF(z0 + akz) =
aiO k-* oo ^^
= lH|y0 + акУ~ v(ak )1 = ¡Уо - 4
С другой стороны, с учётом соотношения (5), имеет место неравенство
rfF(z0)<||>>0-v|. (7)
Объединяя соотношения (5)-(7), получаем
veQ(z0). (8)
В соответствии с условиями теоремы и соотношением (8) отображение /•' допускает аппроксимацию первого порядка в точке (*0, у) по направлению х относительно LF(z0,v,x). Это означает, что существуют с* е Lf(z0,v,x), ч(ак) 6 такие, что
v(a*) = v + a kC,k+y\i(ak). (9)
Используя равенство (9), получим
dF(z0+ak z)-df(z0) = ||y0 + аку-v(ak)]|--v|| =
= ||Уо + у - v- atCi - v(«** )||- \\Уо - ¡Ц = <** + Vi («* ).
где )еЧ'к. Отсюда
„(«j.ibzl+afetl* inf inf
д(у-С,к) ak v6ß(zo)Cetf(zo.v,i)5(y-Q a*
Переходя к пределу при Л —> оо , получаем неравенство (3). Объединяя неравенства (1) и (3), получаем требуемое равенство (2). Теорема доказана.
В монографии [3, с. 63] была получена формула производной по направлениям маргинальной функции общего вида при более строгих, чем в теореме 2, ограничениях на отображение F. Её аналог для ФР имеет вид
d'F(zQ,z)= inf inf dboHI. (10)
Покажем, что при выполнении условий теоремы 2 производная по направлениям ФР не всегда может быть вычислена по формуле (10). Приведём соответствующий
Пример. X = R, Y = R2, ||>>|| = тахф(1>|, |У2)|},
F(x) = {у = (/'>,/2>) ей2 | (*-1)2 + (/>)2 = 1, /2> = 0},
¿о = (*о> Уо) = (0,0,1) ,z = (x,y)= (1,0,0). Очевидно, данное отображение F замкнуто и равномерно ограничено в каждой точке эффективной области. Нетрудно убедиться, что,
Q(zn) = {v = (0,0)}, fc^L-^2), Lf(z0,v,x) = RxR-, K(x0,v,x) = 0,
отображение F допускает аппроксимацию первого порядка в точке z() по направлению х относительно LF(z0,v,x). Подсчёт производной ФР в точке z0 по направлению z по фор,муле (2) даёт d'F(z0,z) = 0. В то же время подсчёт d'F(z0,z) по формуле (10) даёт неверный результат, так как K(xo,v,x) = 0.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Минченко Л.И., Борисенко О.Ф., Грицай С.П. Многозначный анализ и возмущённые задачи нелинейного программирования. Минск: Навука i тэхжка, 1993.
2.Дудов С.И. Дифференцирусмость по направлениям функции расстояния // Мат. сб. 1995. Т. 186, № 3, С. 29 - 52.
У. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Паука, 1990.
УДК 519.4
В. В. Кривобок
К ВОПРОСУ О РАЗЛОЖЕНИИ ¿-ФУНКЦИИ АРТИНА В ПРОИЗВЕДЕНИЕ ¿-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ
Пусть К — нормальное расширение числового поля к степени п и С -группа Галуа этого расширения. Пусть {Л/(#)}яеС - представление группы
С в группу матриц размерности п х п и % - характер этого представления
x{g) = SpM(g), «бС. Ь - функция Артина, определяется следующим образом:
К«.*/*)« П^-^Г
где произведение берётся по всем неразветвлённым дивизорам поля к и где /•'(р) - автоморфизм Фробениуса дивизора р .
Известная гипотеза Артина [1] утверждает возможность аналитического продолжения ¿-функции (1) в случае неглавного характера % целым образом на комплексную плоскость.
Существенным результатом в направлении решения гипотезы Артина был результат Брауэра [1], который заключается в следующем.
46
s = a + it, (1)
