К вопросу о целостности композита l - функций числовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вывод. Для нахождения точного значения интегралов вида JХр(f{x))dx

к

достаточно знать точное значение интегралов

a) J Хр(а(х - c)l)dx, Ь) J *„(/'(<*)(* - a))dx, f'(a) ji 0.

К• L'

Б случае Ь) явная формула приведена в |1].

В случае а) массовый вариант связан с ограничением (/,р) = 1. Значение интеграла в этом случае найдено выше.

Библиографический список

1. Владимиров B.C., Волович И.В. Зеленов Е.И. Р-адический анализ и математическая физика.-М, 1994.

УДК 511.3

В.Н. КУЗНЕЦОВ, Е В. СОРОКИНА

К вопросу о целостности композита Ь - функций числовых полей

Введение

В данной работе исследуется и частично решается задача о целостности композита Ь — функций Дирихле двух числовых полей с неглавными характерами Дирихле при условии взаимной простоты их модулей. Здесь под композитом двух Ь — функций

/ \ 00

г / ъ. \ V* ХН0' V"1 а" , ••»

а ^ ' п—1 Ш ' п=]

понимается ряд Дирихле, определяемый следующим образом

00 ,

(!)

п— 1

Решение данной задачи связано с частичным решением известной ироблеммы Ю.В. Линника о целостности композита двух L — функций с характерами Гскке |1).

В основе исследований данной задачи лежит метод аналитического продолжения рядов Дирихле, — так называемый, метод редукции к степенным рядам, разработанный автором к работах [2],[3],[4]. Этот метод сводит задачу аналитического продолжения ряда (1) целым образом на комплексную плоскость к задаче существования радиальных производных в точке z = 1 у степенного ряда

оо

g{z)^Y^anbnz\ (2)

П=1

Таким образом, метод редукции к степенным рядам сводит нашу задачу к задаче существования радиальных производных в точке z — 1 у

адамаровского композита двух степенных рядов.

В первом параграфе настоящей статьи рассматривается класс степенных рядов Ш, для которых доказывается, что при определенных условиях адамаровский композит таких рядов имеег конечные радиальные производные в точке z — 1. Класс рядов 9JÎ характеризуется тем, что степенной ряд g(z) из этого класса можно представить при \z\ < 1 в виде

g{z) = R(z) + g(z),

где R(z) рациональная функция с простыми полюсами, расположенными на единичной окружности, a g(z) ограничена вместе со всеми производными в единичном круге, то есть

|<?т'(г)1 < ст, \г\ <1, m = 1,2..........(3)

Во втором параграфе показано, что если L — функцию поля к можно представить в виде

71

¿(s,X,fc) = n Li(*,Xi,Q), (4)

¿=i

где Li(s,Xi,Q) — классические L - функции Дирихле над полем рациональных чисел, то степенной ряд g(z) с теми же коэффициентами ап что

и ряд Дирихле, определяемый L — функцией (4), то есть

сю ОС

L(s, х, к) = -4; g(z) = anzn,

п=1 п П=1

принадлежит классу ЯЛ.

1. Обобщенная теорема Адамара об умножении особенностей для степенных рядов класса 9Л

Пусть pi (z) и g2(z) принадлежат классу ЯЛ, то есть

ffi(z) = Ri(z) + gi(z), ф) = Да(г) (5)

где Я] (г), Яг(2) — рациональные функции, простые полюсы которых рас-пологаются на единичной окружности, a gi(z) и дг(г) ограничены вместе со всеми производными в единичном круге, то есть для них выполняется условие (3). В этом случае доказано следующее утверждение.

00 ОС

Теорема 1. Пусть ряды gi(z) = Y1 OnZ" и вг(-г) = Y1 b„zn определя-

П=1 >1=1

ют функции из класса ЯЛ. Тогда их композит

оо

g(z) = anbnzn

n=l

определяет функцию также из класса ШТ. Причем, если g(z) = R(z) + g(z),

то полюсы функции R(z) находятся среди попарных произведений полюсов соответствующих рациональных функций Ri(z) и R2(z).

Замечание. Теорема 1 является обобщением теоремы Адамара об

умножении особенностей, которая имеет место для степенных рядов с изолированными особенностями на границе сходимости (например, [5]). В нашем случае, как будет видно ниже, ряд g(z) может быть не продолжим за границу сходимости.

Предварительно докажем ряд лемм, из которых непосредственно следует утверждение теоремы 1.

00 оо

Лемма 1. Пусть ряды g\{z) = anz" и ff2(2) = S Kzn определя-

П=1 П=1

ют в круге |z| < 1 функции, ограниченные вместе со своими производными, то есть

\g{m)^)\<cm, \glr\z)\<cm, т= 1,2,.... (6)

Тогда их композит д(г) определяет функцию, ограниченную вместе со своими производными при |г| < 1.

Доказательство

Рассмотрим интегральное представление функции д(г) [5]:

с

где контур С — окружность радиуса г < 1 и где \г\ < |и|. Из формулы (7) следует

с

В силу условий (6) на функции 51 (г) и из формулы (8) получаем

утверждение леммы 1.

00

Лемма 2. Пусть д\(г) = определяет рациональную фупк-

п=1

цию Л(г) с простыми полюсами на единичной окружности, а дъ^х) -00

^ Ьп2п определяет функцию, ограниченную вместе со всеми производ-

П=1

ными при \г\ < 1. Тогда их композит <7(2:) определяет функцию, ограниченную вместе со всеми производными при |г| < 1.

Доказательство

Представим рациональную дробь в виде

к д

= а0 + + ■ ■ ■ + агг' + ^ —, 1 = 1, (9)

1-1 3

и рассмотрим интегральное представление д(г):

с

В силу (9) имеем

9{г) = ^ /'<*(«) Л (") - +

27гг У \и/ и —

С 3=1 С "

Так как по формуле Коши

1 Г д% (ц) ¿и /^Л 27гг _/ и —— и V. а, у '

то

С

Утве]>ждение леммы 2 сразу получается из представления (10) с учетом леммы 1.

оо

Лемма 3. Пусть ряд 31(2) = ^ ап^п определяет рациональную

п=х

функцию Дл(г) с простыми полюсами на единичной окружности, а

оо

32(2) = X) Ьп2п определяет рациональную функцию Дг(2) с простыми

п=\

полюсами на единичной окружности. Тогда их композит <у(г) принадлежит классу ЯЛ. Причем если

д{г) = Л(г)+д(г) ,

то полюсы функции Щг) находятся среди попарных произведений полюсов соответствующих рациональных функций Л^г) и

Доказательство

Пусть

ад = ад +1: ^ ад = ад + £ т5^-¿=1 * 2 Р)

Тогда для функции <?(г) получаем:

м = ^ [+ [

2-кг 7 V«/ « 27гг у * — оц и

С '-1 с и

, 1 V/; 1 ^ Г 1 1 «и

Так как по формуле Коши

[_1__1 1 «*

2ттг ' 'У

то доказательство леммы 3 следует из представления (11) и лемм 1, 2.

2. К вопросу о принадлежности классу ЯН степенных рядов, соответствующих L — функциям числовых полей

В данном параграфе обсуждается вопрос принадлежности классу ОТ степенного ряда g(z) с теми же коэффициентами ап, что и ряд Дирихле, определяемый L — функцией Дирихле числового ноля к.

В частности, показано, что если L функцией Дирихле поля к раскладывается в произведение классических L — функцией Дирихле поля рациональных чисел Q, то соответствующий степенной ряд принадлежит классу ОТ.

Пусть /(s) ряд Дирихле вида

п оо

= = * = » + (12) <=1 П=1 "

где Li(s, Xii Q) — L — функции Дирихле поля Q (Хг ~ характеры Дирихле со взаимномростыми модулями). Рассмотрим класс степенных рядов, отвечающих рядам Дирихле вида (12). Ряды из этого класса получаются в результате произведения по Дирихле рациональных функций, имеющих простые полюсы на единичной окружности. Пусть g(z) степенной ряд, соответствующий ряду Дирихле (12):

оо

g{z) = ]To„zn.

n=l

Соответствующий класс степенных рядов обозначим через 3?.

Относительно граничных свойств степенного ряда g(z) докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Сте.пе.нной ряд g(z), соответствующий ряду Дирихле (12) принадлежит классу ОТ.

Доказательству теоремы 2 предпошлем ряд лемм.

Лемма 4. Если степенной ряд в окрестности точки z = 1 ведет себя следующим образом:

д(х) = —+ 0(1) при х -* 1 - 0, (13)

1-х

то соответствующий ряд Дирихле f(s) имеет простой полюс в точке s = 1 и определяет функцию, регулярную в других точках полуплоскости а > 0.

Обратно, если ряд Дирихле определяет функцию, регулярную во всех точках полуплоскости о ^ 0 за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс, и в полосе О < а < 1.- |/(s)| = 0(е°l'I), О < а < то соответствующий степенной ряд g(z) в точке z = 1 обладает свойством (13).

Доказательство

Воспользуемся известным интегральным представлением:

оо

f(s) = щ1 д(е-')х-Чх, о > <тс. (14)

о

В силу (13) получаем:

Используя (15), запишем равенство (14) в виде

1 1 с»

/М = щ/ 1х°~1с1х + Щ / + Щ / ^ЛФ'-'дх, (16)

0 0 1

где ip(x) = 0( 1) при х —» 0, ipi(x) = 0(е-1+£) при х -> оо (е > 0). Учитывая, что первое слагаемое в (16) определяет функцию второй интеграл сходится при <т > 0, а третий интеграл определяет целую функцию, мы получаем утверждение леммы 1 в одну сторону.

Обратно, пусть f(s) регулярна при о > 0, но всех точках, кроме s = 1, где она имеет простой полюс. Рассмотрим интегральное представление:

c+ioo

д(е'х) = / x-'f(s)r(8)ds, с > 1. (17)

С—ÎOO

Так как в полосе 0 ^ а < 1: |/(s)r(s)| < сеЕ0''', где е0 > 0, то сдвигая контур интегрирования в представлении (17) к мнимой оси, получаем

д(е~*) = Rea^f(s)T(s)x-' + 0(1) = à + 0(1), что и завершает доказательство леммы 4.

оо _

Лемма 5. Пусть ряд Дирихле f(s) = V lim л/ô^ = 1, имеет простые полюсы в точках s = 2,... , к, и определяет функцию /(fi),

регулярную во всех остальных точках полуплоскости а > 0 и удовлетворяющую условию роста модуля:

I/Ml = 0(е°«), О < а < \t\ - 00.

Тогда соответствующий степенной ряд g{z) вдоль радиального направления в точке z = 1 удовлетворяет условию:

= + 0<*<1. n=2 v '

Доказательство

Утверждение леммы 5 получается сдвигом контура интегрирования к мнимой оси в интегральном представлении

C-t-i00

<7(e"I) = i J x~'f(s)T(s)ds, ok.

c—ioo

Лемма 6. Пусть степенной ряд g(z) является произведе^тем по Дирихле двух степенных рядов, определяющих рациональные функции с различными простыми полюсами, лежащими на единичной окружности. Причем, в точке z — 1 вдоль радиального "направления выполняется условие:

а(х) = + 0(1), О < ас < 1. 1—1

Тогда для k-ой производной функции fj(г) выполняется условие: Доказательство

оо

Пусть РЯД Дирихле, соответствующий степенному

П=1

ряду g{z). Тогда в силу леммы 4 /(s) имеет простой полюс в точке s = 1 и определяет функцию, регулярную в остальных точках плоскости.

Рассмотрим ряд Дирихле отвечающий к ой производной степенного ряда g(z), умноженной на zk. Он имеет вид:

/(*)М = ^апп(п - 1)... (п - к+ 1)тГ" = y^anwV"+

п п

+\-i"^2,annk-ln-a +----h \k annn~'. (18)

n n

В силу (18) каждый ряд Дирихле получается из первоначального /(s) сдвигом вправо на целое число и отбрасыванием конечного числа первых слагаемых. Следовательно, ряд Дирихле /(ц)(в) имеет простые полюсы в точках s = 2,3,..., к. Тогда утверждение леммы б следует из леммы 5.

Лемма 7. Пусть g(z) — степенной ряд, являющийся произведением, по Дирихле двух степенных рядов, отвечающих L функциям Дирихле. Тогда он определяет функцию, для которой в точках единичной окружности, не отвечающим полюсам сомножителей, существуют конечные радиальные производные вида:

lim д(п)(ге**) = а„.

г-* 1-0а 4 '

Доказательство

Будем считать сначала, что сомножетели .91(2) и 32(2) регулярны в точке 2=1. Тогда в этой точке существуют пределы вида:

гИто^(2) = г11тп ,

N i N2

Следовательно, частичные суммы J^ Xi(n)xU< S Х2(п)хп ограничены на интервале [0,1).

Покажем, что ряд д(х) = <7i(x) о 172(2) также ограничен на интервале [0,1), то есть

оо

д(х) = ^спхп = 0(1), х€[1,0). (19)

Для этого достаточно показать, что его частичные суммы ограничены, то есть при любых N2 и х е [1, 0) выполняется оценка:

N, Nа

= (20)

П=1 тп=1

Но в силу ограниченности частичных сумм рядов д\(х) и дъ(х) имеем: N, N2

ÉExi(n)X2(m)x"+m = 0(l). (21)

П=1 771=1

Покажем,что из оценки (21) следует оценка вида:

Л', N2

Е Е Xi(n)X3(m)x"+mx"—("+m) = O(l), х 6 [0,1). (22)

Действительно, так как ряд д(х) при любом х € [0,1) сходится абсолютно, то можно слагаемые суммы (22) расположить по возрастанию показателей степеней j;"m 'n4Тогда, применив к (22) неравенство

¡ЕЛ"а"

^ Л! max TV, ^лг

Ес

где 0 < А! ^ Л2 ^ • ■ ■ ^ Л„,

которое получается приемом суммирования Абеля, мы в силу (21) получаем (22), что и доказывает (20).

Далее, пользуясь тем, что д'(х) = д[(х) og^(i), повторив весь ход рассуждений, приведенных выше, для функций д^(х) (п = 1,2,...), мы получим ограниченность всех производных функции д(х) в окрестности точки х = 1. Отсюда следует существование конечных радиальных производных вида:

lim о<">(х).

0

Рассмотрим теперь случай, когда 31(2) и 32(2) регулярны в точке 2 = е^. Сделав замену переменной £ = e~'vz, получим регулярность функций <7i(£) и ¡?г(С) в точке £ = 1. На основании предыдущего случая существуют конечные радиальные производные вида:

Umy»>(Ö, где S(0 = 9i(0 °9г{О- (23)

Сделав обратную замену z = e^f, из (23) получим существование радиальных производных вида:

lim g(n\reiv), г—>1—О

что и завершает доказательство леммы 7.

Лемма 8. Пусть степенной ряд g{z) 6 5R. Тогда для точек z = е^, не отвечающих полюсам сомножителей этого ряда, существуют конечные радиальные производные вида:

lim g^(rei'p) — ап.

г-* 1-0

Доказательство

Утверждение леммы 8 является следствием леммы 7.

Доказательство теоремы 2

Тот факт, что в точках z = е**, отличных от полюсов сомножителей, существуют конечные радиальные производные вида:

lim д(п)(ге^) = an,

где а„ - действительные числа, следует из леммы 8.

Далее покажем, что в точках z = cl/f, отвечающих полюсам сомножителей, функция g(z) ведет себя следующим образом:

п .

Пусть точка z0 = e"f0 отвечает одному из полюсов сомножителей функции g(z) е 5R. Сделав поворот £ = e~l,p°z, получим, что точка £ — 1 отвечает одному из полюсов сомножителей. При этом соответствующий этому сомножителю ряд Дирихле будет иметь полюс первого порядка в точке s = l. Остальные ряды Дирихле определяют целые функции. Ряд Дирихле f{s), равный произведению нсех рядов Дирихле, отвечающих повернутым сомножителям, определяет функцию регулярную в комплексной плоскости, за исключением точки 3=1, где она имеет простой полюс.

В силу леммы 6, степенной ряд (/(О в точке ^ — 1 ведет себя следующим образом:

ff(fl«A + 0(l). 0<€< 1.

Сделав обратную замену zo = получим, что

= + 0(1), 0 < г < 1,

Z-Zo

9(п\ге*) = £ J-^J + 0(1), 0 < г < 1, где z = revf, z0 = re'*4. Эти факты доказывают теорему 2.

3. К вопросу о целостности композита L — функций

числовых полей.

В этом параграфе приведем результаты относительно целостности композита L — функций числовых нолей, которые получаются как следствие утверждений, доказанных в предыдущих параграфах.

Рассмотрим L — функцию Дирихле числового поля к.

L[SiXtk) = Y$L = s = a + tt,

а 4 ' п=1 и соответствующий ей степенной ряд

оо

f(z) =

П=1

Пусть g(z) принадлежит классу Ш. Тогда точку Zo, лежащую на единичной окружности, будем называть точкой типа полюса для степенного ряда g(z), если zq является полюсом рациональной функции R(z), где g(z) = R(z) + g(z).

Как следствие теоремы 1 получаем следующий результат.

Теорема 3. Пусть Li(s,xi,A:i) и ^(s.Xa.fe) две L — функции числовых полей ki и к2, для которых соответствующие степенные ряды gi(z) и g-i(z) принадлежат классу ЯЛ, и пусть точки типа полюса степенного ряда g\(z) не содержат точек, сопряженных точкам типа полюса степенного ряда .92(2). Тогда композит этих L — функций определяет функцию, продолжлшую целым образом на комплексную плоскость.

Как следствие теоремы 3 получается следующий результат.

Теорема 4. Пусть L — функции числовых полей fci и раскладываются в произведение классических L — функций Дирихле (над полем

О):

¡=1 j=i

где неглавные характеры xt, Xj умеют взаимнопростые периоды. Тогда композит этих L — функций продолжим целым образом па комплексную плоскость.

В заключении выскажем следующее предположение:

Пусть xi и Х'2 неглавные характеры Дирихле двух числовых полей к\ и к2 с взаимнопростыми (над Q) модулями. Тогда композит L — функций Дирихле и L2(s, хг, к2) продолжим целым образом на комплексную плоскость.

Замечание. В работе [3] приведен подобный результат, соответствующий случаю разрешимых расширений полей. Рассуждения, которые приводятся для доказательства этого результата в разрешимом случае, отличается от тех, которые приведены в настоящей статье.

Библиографический список.

1. Фоменко О.М. Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведения L — рядов Гекке двух квадратичных полей./ Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, — М.: Наука

- 1972 - т. 128 - сб. статей 2 - С. 232-242.

2. Кузнецов В Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции./ Труды 3-ей Сарат. зимней школы по теории функций и

приближений. — Изд-во Сарат. гос. ун-та — 1988 — ч. 2 — С. 113-115

3. Кузнецов В.II. Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостности композита рядов Дирихле/ Труды 4-ой Сарат. зимней школы по теории функций и приближений. — Изд-во Сарат. гос. ун-та — 1989 — ч. 1 — С. 147-149

4. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции./ Межвуз. сб. научн. трудов. Дифференциальные уравнения и теория функций. Изд-во Сарат. гос. ун-та 1991 — вып. 9 С. 23-29

5. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука - 1967 239 с.

УДК 511.3+517.5 В. Н. КУЗНЕЦОВ, А. М. ВОДОЛАЗОВ

К вопросу аналитического продолжения

рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами

Введение

В дайной статье исследуется и частично решается следующая задача: