ОЦЕНКА РАЦИОНАЛЬНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ p^n Текст научной статьи по специальности «Математика»

Основным моментом доказательства является доказательство того факта, что в рассматриваемом случае для каждого характера Дирихле х

Л

расширения kczK существует такой характер % поля Q , для которого

Л

х(РЬХИР))-

Отметим, что утверждения теорем 1 и 2 позволяют уточнить в отдельных случаях, например в случае бесквадратного расширения, известный результат Брауэра о мероморфности /,-функции Артина. Брауэр показал, что /--функцию Артина можно представить в виде

П £»(*.*/) -, (2)

П^.Ху)

>=1

где ¿,, Lj -.¿-функции Дирихле, отвечающие характерам Дирихле циклических подгрупп. Результаты теорем 1 и 2 позволяют производить сокращения в представлении (2).

Заметим также, что задача разложения ¿-функции поля к в произведение /.-функций поля рациональных чисел Q представляет самостоятельный интерес в связи с решением других задач теории /--функций.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1 Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж Касселса, А Фрелиха. M Мир,

1969.

2. Brauer R. On Artin's ¿-series with general group characters // Ann Math 1947. Vol 48 P 502 - 504

3 Arlin E. Uber eine neue Art von ¿-Reihen // Abh Math. Semin Univ Hamburg, 1923. Vol 3. P 89 - 108.

УДК 511.13

М. В. Кудрявцев

ОЦЕНКА РАЦИОНАЛЬНОЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ СО ЗНАМЕНАТЕЛЕМ рп

Пусть п £ 2 - целое число, р - нечетное простое число, Ор - кольцо целых р -адических чисел, х(х) ~ характер Дирихле по модулю р, /(д:) = Р(х)/()(х), где Р(х)уО(х) - многочлены с целыми рациональными

коэффициентами такие, что £?(*))= (P,C(PQ)) = 1, где C(Q) -

содержание многочлена Q(x), e{t)~ ехр(2я/г), где t - вещественное число.

Положим Up(f) = Op\{z\zeOp,Q(z) = 0(modp)} и, обозначив

Up„{f)={x\x(moàpn),xeUp{f)} - проекцию Up{f), рассмотрим сумму

s = s[f \ р")= £ Х(х)е{/(х)р-п).

Пусть К - поле разложения многочлена Q1 (x)f\x), к - подполе ноля К такое, что все корни /'(*) за исключением корней многочлена 0\ х) в поле к содержатся и пусть V - кольцо нормирования поля к : V = (.V е к | ord„ х > 0}, где ord,(...) -тс-адический показатель в поле к, являющийся продолжением /?-адического показателя ord^...) в поле /7-адических чисел, и где к - простой элемент поля к . Если

lS/Sr r+lSiir

разложение /'(■*) над полем К , где ei >1,1 < / ^ s, то пусть

F(x) = C(f)

Çef ',/'(£)-0

Тогда утверждаем, что F(x)e Ор[х], F(x)lC\f ) - примитивный многочлен в Ор Доказательство проводи гея аналогично тому, как в [3].

Обозначим через ev = maxls/sr ^ сУ е,, mv = ]Г1 соответственно

наивысшую кратность и количество различных локально целых корней

уравнения /'(л:)=0 без учета кратностей,

S, =огс!р(--ьу = max1£(Sr¿.eV6t.

"i

Для оценки сверху воспользуемся леммой Хуа о разбиении в модификации Смита

Обозначим m = -п-т и положим х = у + pmz. Тогда 5= I 1(УН/(У)Р~") I e((/'(y)pnz + ^-p2mz2)p~").

1 <у£р"',ус() „(/) i(modр') ^

Отсюда в случае и четном следует оценка

|5|<pm S 1 = PmNUfU){f-,pm),

lsyZpm,yeUp(f), /'(у)ч O(inod рт )

где p(/)(f ''Рт) - число решений сравнения

/'(*)« 0 (mod рт J х mod рт, х е I1р (/). ( 1 )

Заметим, что сравнение (1) равносильно сравнению

F(x) = o(mod рт } xmod рт,хе Up(j ),

и воспользуемся оценкой числа решений полиномиального сравнения [3], что приведет к оценке

! S | < mvp"^'l^2ey Uv . (2)

В случае п нечётном выводится эта же оценка

ТЕОРЕМА. При введенных обозначениях и сделанных выше допущениях, если сравнение (1) не имеет решения, то .*>= О, а если сравнение (1) имеет решение, то справедлива оценка (2).

Есть возможность эффективизации параметров Sv,cv,mv [4] В частности, справедлива следующая оценка:

СЛЕДСТВИЕ. Если все локально целые корни многочлена /•'(*) простые, то имеет место оценка

где D(F) - дискриминант многочлена F(x).

Полученная оценка суммы дополняет оценку рациональной тригонометрической суммы из работы [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Ван дер Вароен Б Л. Алгебра M : Наука, 1976

2. Гусев Г И Оценки тригонометрических сумм изометрическим методом // Мат и её прил Межвуз науч сб. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1988 С. 41 - 43.

3 Кудрявцев M В Оценки полных рациональных тригонометрических сумм. 1// Мат заметки 1993 Т. 53, № 1 С. 59- 67

4. Кудрявцев М.В Эффективизация параметров в задаче оценки полной рациональной тригонометрической суммы И Математика, механика и их приложения Материалы науч практ конф Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1998. С 40-41

В. Н. Кузнецов

УДК 511.23

К ЗАДАЧЕ О ЦЕЛОСТНОСТИ ¿-ФУНКЦИЙ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

В данной статье рассматриваются некоторые аналитические вопросы, в основном связанные с граничным поведением степенных рядов, вставшие в связи решением задач теории ¿-функций

Этот ряд вопросов возник в результате развития метода редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле, суть которого частично отражается в следующей теореме, доказанной автором [1]-

ТЕОРЕМА. Ряд Дирихле = , Пт^/Йл]^ тогда и толь-

] П ->ОС

ко тогда продолжим целым образом в комплексную плоскость с условием роста в критической полосе 0 < а < 1

"к

|/(5)|<се2'(5 = а+<0,

когда соответствующий степенной ряд

<Ю0 = 2>п7 -

имеет в точке 2=1 конечные радиальные производные любого порядка, т е 1 ¡1X1 Ц(т) (*) = ат,т = 0,со

1. Метод редукции к степенным рядам позволил автору [2] определить классические ¿-функции для неглавного характера в классе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами как продолженные целым образом, в комплексную плоскость с условием роста вдоль отрицательной вещественной полуоси

|/(*)| < с- еН'МИ^ (1)

где а > 0.

Вопрос: можно ли в классе рядов Дирихле с произвольными коэффициентами определить класс ¿-функций, продолжимых целым образом на комплексную плоскость с условием роста (1) вдоль действительной оси и с дополнительным условием вдоль мнимой оси (почти периодичности, определённой плотности нулей в критической полосе и т.д.)?

2. Существенной частью известной гипотезы Н.Г. Чудакова об обобщённых характерах [3] является доказательство целостности функций вида

1 п

?5

где /?(«) - конечнозначная, мультипликативная, числовая функция с полной базой и ограниченной сумматорной функцией

п<,х

Метод редукции к степенным рядам сводит эту задачу к существованию односторонних производных любого порядка в точке г = \ функции

□с

</(') = 2Кп)2" > где И(п) - обобщенный характер. Для решения последней 1

задачи наиболее перспективным является аппроксимационный подход: исследование вопросов приближения функций, определённых на отрезке [0,1] степенными рядами с мультипликативными коэффициентами, алгебраическими полиномами. Пусть Еп(с/)~ величина наилучшего приближения такой функции алгебраическими полиномами степени < п в равномерной норме.

Если Еп((])пр ->0,п-юо, (для любого р >0), то положительно решается вопрос о целостности функции (2). Если же Еп(</)/?"—>0,л —>°о, где р > 1, то проблема обобщённых характеров решается полностью Представляет интерес дать оценку величин Еп(д). 3. С исследованием вопросов приближения по собственным векторам с "заданной системой образующих" связана задача о граничном поведении в точке г = 1 степенного ряда

9(2) = ЁхСУ. (3)

I

где х(п) ~ характер Гекке. Данная задача встает в связи с двумя проблемами в теории ¿-функций.

Во-первых, представляет интерес получить теорему об аналитическом продолжении ¿-функции числового поля с характером Гекке без использования функционального уравнения. Во-вторых, в связи с известной гипотезой Ю В Линника [4]о целостности ¿-функций вида

Т,Х\(Р1)Х2(&2)

Нк, (Р1 )="

л = 1

где X],Хг ~ характеры Гекке числовых полей к],к2.

Для решения этой задачи достаточно показать, что степенные ряды вида (3) определяют функции, которые при ¡г! < 1 можно представить в виде

где R(z) - рациональная функция с полюсами, расположенными на еди-

л

ничной окружности, a q(z) - ограниченная в единичном круге, у которой в

любой точке z = е"( существуют конечные радиальные производные любого порядка, т.е.

Л<т) ._

lim? (re'9) = аш,ш = 0,оо

г-»1-0

Отметим, что в случае характеров Дирихле соответствующий результат доказан автором [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Кузнецов В Н К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые фунх-ции // Тр 3-й Сарат. зимней шк по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1988 Ч. 2 С. 113-115

2. Кузнецов В Н Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат замегки 1984 Т. 36 № 6 С. 805 - 813.

3 Чудаков Н Г, Родосский К А Об обобщенном характере // ДАН СССР 1950 Т 73 С 1137 - 1 139.

4 Фоменко О-М Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведения /.-рядов Гекке двух квадратичных полей // Тр Мат ин-та им В А Стеклова 1972 Т 128 С. 131 - 137.

5 Кузнецов В Н Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостности композита рядов Дирихле // Тр 4-й Сарат. зимней шк по теории функций и приближений Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1990 Ч 2. С 139 -141

УДК 519.2

И. А. Кузнецова МИНИМАЛЬНЫЕ МЕТРИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

Данная егатья относится к теории вероятностных метрик, развитой в работах В М Золотарёва и его школы [1]. Одним из основных понятий этой теории является понятие минимальной метрики. В настоящей статье рассмотрено его обобщение, введены е -минимальные метрики и исследуются их свойства

Пусть (U,d) - полное сепарабельное метрическое пространство, (Q,Z,P) - вероятностное пространство, X - класс случайных величин, определённых на Q и принимающих значения в U, Р 1 - класс одномерных распределений случайных величин из А', Р 2 - класс двумерных распределений случайных векторов из X х X .

Определение I Вероятностной метрикой называется отображение ц: Р 2 -» R, удовлетворяющее условиям: