К задаче о целостности L-функций числовых полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Н. Кузнецов

УДК 511.23

К ЗАДАЧЕ О ЦЕЛОСТНОСТИ ¿-ФУНКЦИЙ ЧИСЛОВЫХ ПОЛЕЙ

В данной статье рассматриваются некоторые аналитические вопросы, в основном связанные с граничным поведением степенных рядов, вставшие в связи решением задач теории ¿-функций

Этот ряд вопросов возник в результате развития метода редукции к степенным рядам в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле, суть которого частично отражается в следующей теореме, доказанной автором [1]-

ТЕОРЕМА. Ряд Дирихле = , Пт^/Йл]^ тогда и толь-

] П ->ОС

ко тогда продолжим целым образом в комплексную плоскость с условием роста в критической полосе 0 < а < 1

"к

|/(5)|<се2'(5 = а+<0,

когда соответствующий степенной ряд

<Ю0 = 2>п7 -

имеет в точке 2=1 конечные радиальные производные любого порядка, т е 1 ¡1X1 Ц(т) (*) = ат,т = 0,со

1. Метод редукции к степенным рядам позволил автору [2] определить классические ¿.-функции для неглавного характера в классе рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами как продолженные целым образом, в комплексную плоскость с условием роста вдоль отрицательной вещественной полуоси

|/(*)| < с- еН'МИ^ (1)

где а > 0.

Вопрос: можно ли в классе рядов Дирихле с произвольными коэффициентами определить класс ¿-функций, продолжимых целым образом на комплексную плоскость с условием роста (1) вдоль действительной оси и с дополнительным условием вдоль мнимой оси (почти периодичности, определённой плотности нулей в критической полосе и т.д.)?

2. Существенной частью известной гипотезы Н.Г. Чудакова об обобщённых характерах [3] является доказательство целостности функций вида

1 п

?5

где /?(«) - конечнозначная, мультипликативная, числовая функция с полной базой и ограниченной сумматорной функцией

п<,х

Метод редукции к степенным рядам сводит эту задачу к существованию односторонних производных любого порядка в точке г = \ функции

□с

</(') = 2Кп)2" > где И(п) - обобщенный характер. Для решения последней 1

задачи наиболее перспективным является аппроксимационный подход: исследование вопросов приближения функций, определённых на отрезке [0,1] степенными рядами с мультипликативными коэффициентами, алгебраическими полиномами. Пусть Еп(с/)~ величина наилучшего приближения такой функции алгебраическими полиномами степени < п в равномерной норме.

Если Еп((])пр ->0,п-юо, (для любого р >0), то положительно решается вопрос о целостности функции (2). Если же Еп(</)/?"—>0,л —>°о, где р > 1, то проблема обобщённых характеров решается полностью Представляет интерес дать оценку величин Еп(д). 3. С исследованием вопросов приближения по собственным векторам с "заданной системой образующих" связана задача о граничном поведении в точке г = 1 степенного ряда

9(2) = ЁхСУ. (3)

I

где х(п) ~ характер Гекке. Данная задача встает в связи с двумя проблемами в теории ¿-функций.

Во-первых, представляет интерес получить теорему об аналитическом продолжении ¿-функции числового поля с характером Гекке без использования функционального уравнения. Во-вторых, в связи с известной гипотезой Ю В Линника [4]о целостности ¿-функций вида

Т,Х\(Р1)Х2(&2)

Нк, (Р1 )="

л = 1

где X],Хг ~ характеры Гекке числовых полей к],к2.

Для решения этой задачи достаточно показать, что степенные ряды вида (3) определяют функции, которые при ¡г! < 1 можно представить в виде

где R{z) - рациональная функция с полюсами, расположенными на еди-

л

ничной окружности, a q(z) - ограниченная в единичном круге, у которой в

любой точке z = е"( существуют конечные радиальные производные любого порядка, т.е.

Л<т) ._

lim? (re'9) = аш,ш = 0,оо

г-»1-0

Отметим, что в случае характеров Дирихле соответствующий результат доказан автором [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Кузнецов В Н К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые фунх-ции // Тр 3-й Сарат. зимней шк по теории функций и приближений. Саратов: Изд-во Сарат ун-та, 1988 Ч. 2 С. 113-115

2. Кузнецов В Н Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат замегки 1984 Т. 36 № 6 С. 805 - 813.

3 Чудаков Н Г, Родосский К А Об обобщённом характере // ДА11 СССР 1950 Т 73 С 1137 - 1 139.

4 Фоменко О-М Продолжимость на всю плоскость и функциональное уравнение скалярного произведения /.-рядов Гекке двух квадратичных полей // Тр Мат ин-та им В А Стеклова 1972 Т 128 С. 131 - 137.

5 Кузнецов В Н Метод редукции к степенным рядам в задаче о целостности композита рядов Дирихле // Тр 4-й Сарат. зимней шк по теории функций и приближений Саратов Изд-во Сарат ун-та, 1990 Ч 2. С 139 -141

УДК 519.2

И. А. Кузнецова МИНИМАЛЬНЫЕ МЕТРИКИ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

Данная егатья относится к теории вероятностных метрик, развитой в работах В М Золотарёва и его школы [1]. Одним из основных понятий этой теории является понятие минимальной метрики. В настоящей статье рассмотрено его обобщение, введены е -минимальные метрики и исследуются их свойства.

Пусть {U,d) - полное сепарабельное метрическое пространство, (Q,Z,P) - вероятностное пространство, X - класс случайных величин, определённых на Q и принимающих значения в U, Р 1 - класс одномерных распределений случайных величин из А', Р 2 - класс двумерных распределений случайных векторов из X х X .

Определение I Вероятностной метрикой называется отображение ц :Р 2 -» R, удовлетворяющее условиям: