Об одном критерии периодичности конечнозначной, вполне мультипликативной функции натурального аргумента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

Л. М. Водолазов, В. II. Кузнецов

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ПЕРИОДИЧНОСТИ КОНЕЧНОЗНАЧНОЙ, ВПОЛНЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ФУНКЦИИ НАТУРАЛЬНОГО АРГУМЕНТА

Пусть A(/i) - конечнозначная функция натурального аргумента. Рассмотрим ряд Дирихле

f(s)=t^> * = + (1)

Л=1 И

сходящийся в полуплоскости а > 1.

При данных обозначениях авторами доказана следующая теорема. ГЕОРЕМА 1. Следующие условия эквивалентны:

1) h(n) - отличная от единичной периодическая функция;

2) существует последовательность полиномов Дирихле Tn(s):

п СМ

T„(s)=ZiГ' * = *=i к

равномерно сходящаяся в полуплоскости а > а0 > 1 к функции /(л), определенной рядом (1), со скоростью > где Р > 1 •

Остановимся на основных положениях доказательства теоремы 1. В основе ее доказательства лежит так называемый метод редукции к степенным рядам, разработанный одним из авторов в работах [ 1 — 3], су ть которого заключается в том, что задача аналитического продолжения рядов Дирихле

s = a + it, (2)

сводится к проверке выполнения определённых условий на 1ранице схо-

оо

димости для степенного ряда g(z) = Хал2" с теми же самыми коэффици-

Л = 1

ситами, что и у ряда Дирихле (2).

Известно [4|, что условие периодичности функции А (я) эквивалентно регулярности степенного ряда

«ю- Ы»у

п=1

в точке 2 = 1.

Таким образом, если h(n) периодическая функция, то в силу известной теоремы Берштейна [5] существует последовательность полиномов

рп(*)

о)

приближающих функцию #(г) на отрезке [0;1] со скоростью где

р > 1. Следовательно, на полуоси [0,оо) функция допускает прибли-

жение полиномами /,„(е~*) с той же скоростью. Используя свойства преобразования Меллина

= 'У"1*. (4)

где Г(л) - гамма-функция, удается показать, что последовательность полиномов Дирихле

(5)

к=\к

(здесь Тп($) = —т-^г \Рп(е~х\с3^сЬс) равномерно сходится в полуплоскости

о > а0 > 1 со скоростью , р > 1, к функции /(5).

Обратно, если последовательность полиномов Дирихле Т„(5) вида (5) равномерно сходится в полуплоскости а>ст0 >1 к функции /(5) со

скоростью О^-^, то на основании свойств обратного преобразования

Меллина (4) удается показать, что последовательность соответствующих полиномов Р„(х) вида (3) приближает функцию ¿'(г) на отрезке [0;1] со

скоростью ^, р > 1, а это позволяет судить о регулярности степенного

ряда ¿'(2) в точке 2 = 1.

В случае, когда А(я) - конечнозначная, вполне мультипликативная функция натурального аргумента, из теоремы 1 получается ТЕОРЕМА 2. Следующие условия эквивалентны:

1) И(п) - неглавный характер Дирихле;

2) существует последовательность полиномов Дирихле '/'„(5), равномерно сходящаяся в полуплоскости а > а0 > 1 со скоростью » Р > ^ > к сумме соответствующего ряда Дирихле

Л=1 П

Замечание. Теорема 2 дает важную характеристику ¿-функций Дирихле, отвечающих неглавным характерам Дирихле. Авторами показано,

12

что последовательность полиномов Дирихле Tn(s) равномерно сходится к ¿-функции в любой ограниченной области комплексной плоскости. В связи с этим встаёт ряд задач, связанных с расположением нулей полиномов Tn(s). Но в данной статье эти задачи рассматриваться не будут.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кузнецов R.H. Аналог теоремы Cere для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36, № 6. С. 805 - 813.

2. Кузнецов В.И. О граничных свойствах степенных рядов с конечнозначными коэффициентами //Дифференциальные уравнения и теория функций: Мсжвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1987. С. 9-16.

3. Кузнецов В.II. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Теория функций и приближений: Тр. 3-й Сарат. зимней шк. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988. 4.2. С. 113-115.

4. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

5. Даугавет И.К. Введение в теорию приближений функций. Л.: Изд-во Ленинг. ун-та, 1977.

УДК 517.5

С. С. Волосивец

УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ СВЁРТКИ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЁННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ'

Пусть / £¿,,(-00;+ оо), 1< р <2. Как известно [1, с. 128], функции

-У "

FN(x) = (2n) 72 \f(t)e~"'dt сходятся в Lp.(R) (1/р + \/р' = \) к некоторо-

-N

му пределу / e¿;)•(/?)> называемому преобразованием Фурье функции /(л). При этом

Дадим необходимые определения. Пусть 1</><+=о, / определена на R. Рассмотрим величину

( л1/р

®1_]/р(/,5)= sup supl

-co<a<ft<+oo|£|<sV /

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 03-01-00390) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект Н111-1295.2003.1).