Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

А. М. ВОДОЛАЗОВ, В. Н. КУЗНЕЦОВ

Аппроксимационный критерий периодичности конечнозначных функций натурального аргумента

Рассмотрим ряд Дирихле

/(*) = £ TT- ' = " + W

n—1

где h(n)~ конечнозначная функция натурального аргумента, для которой ограничена сумматорная функция вида

S(s) = $>(п) = <?( 1). (2)

п^х

В этом случае имеет место

Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:

1) h{n)~ периодическая функция, начиная с некоторого номера;

2) существует последовательность полиномов Дирихле {T„(s)}, которая для любого а в полуплоскости о > <г0 > 0 равномерно сходится к f(s) со скоростью O(ja), где g > 1 и где константа не зависит от cq.

Доказательство

Пусть h(n)~ периодическая функция. Рассмотрим соответствующий степенной РЯД

00

S(«) = £>(»)*"■ (з)

П=1

В силу периодичности коэффициентов ряд (3) можно представить в виде

1=1 Ч=0 1 2

где к- период. В силу (2) ^ И(1) = 0. Отсюда из условия (4) получаем, что функция (=1

д(г) регулярна в точке г = 1.

Ясно, что в случае нечетного к эта функция регулярна и в точке г — -1. В случае четного к рассмотрим функцию /11(771) = (—1 )т~1И{т). Бели к > 2, то она является неглавным характером Дирихле, и модуль характера равен кх =НОК[/с, 2]—к, к

следовательно, (I) = 0. А это гарантирует регулярность д(г) в точке 2 = -1.

1=1

Функция д (г) будет регулярной внутри эллипса с фокусами в точках ±1 и полуосями ± д > 1- По теореме Бернштейна [1], функцию д(г) можно приблизить на отрезке [-1,1], а следовательно, на отрезке [0,1] полиномами Рп(х) со скоростью О(^), где в > 1-

Таким образом, для функции д(х) существует последовательность полиномов Рп(х), приближающих функцию д(х) на отрезке [0,1] со скоростью

Так как

оф, е>1.

Я(х) = Чп)х">

(5)

(6)

т.е. з(0) = 0, и

|9(0) - Р„(0)| ^ шах |д(х) - Р„(®)| < -

х€[0Д] 0

1^1 <

9(*) ~ £

< |9(х) - Рп(х) + 4П)| < ~ дп

2с

Значит, можно считать, что

Рп(х) = £

(7)

В силу (5) функция д{е~х) допускает на полуоси [0, оо) приближение полиномами Рп(е~х) со скоростью

0(1), в > 1. (8)

Рассмотрим последовательность полиномов Дирихле 1п(з), отвечающих полиномам вида (7)

" г(п)

Т»М = ЕТГ- * = * + (9)

В силу преобразования Меллина ряды (1) и.(3) и полиномы (7) и (9) связаны следующими соотношениями:

1 Г°°

/(') = / 9(е~х)х'-Чх, а > О,

Г(з) к

Tn(s) = J-т / Pn(e~x)x'~1dx, a > 0. 1 Jo

Оценим разность |/(s) - T„(s)| при a > a0 > 0:

(H)

|/(s)-T„(e)| =

Г(

1 f°°

ГТ / [g(e-x) - Pn{t-*)}x'-xdx

w J o

|Г(.

Оценим I\

1 pan -j roo

щ Jo №'*) - Pn(e-X)\x°~4x + \9(e~x) - Рп(е-Х)\х°~4х =

= Л + h ■

h =

|г(*)|

pan i pan

e"(an)a

^ c-

a"Qncf

Здесь мы воспользовались формулой Стерлинга для Г(в). Функция <р(о) — достигает максимума при Сто = от, и поэтому получаем

L<c

(еап)т = _с_ < 1 (cm)an+10n ап д ^ в"

e~Xz\eXx(g(e~x)—Pn(e~x))\x"~ldx,

при 0 < а < 1п(р) и gi > 1. Оценим /2:

1 Г°° 1 Г

где 0 < А < 1. Как показано выше j(0) = Pn(0) = 0, следовательно, |еЛ*(з(е-*) - Яв(в-))| = ¿X-I)x\(g(e-X) ~ Д.(«-))| <

< се(,Л_1)1 < —, при х € [ст, оо). Oí

Здесь мы воспользовались тем, что

|а(х) - р„(х)| = И

t=l k=i

EW-E

cí-v-1

|fc(i) - 4'

k= 1 *=1 при X +0.

Воспользовавшись формулой Стирлинга для T(s), имеем

h^C-

„a roo

с—-— / e~Xlx"~ldx.

Интегрируя по частям получаем

Г

е"Хап[ап)а Ае~Ла"(ап)|Т+1 а а(а + 1)

^к -Хапг у+к е-ь°п(ап)<> \ап

. _|---— * '—---1----=-1—^-(1 н---1-----1-

а(а + 1)... [с + к) а а-1-1

(Аа")к | ..■)^е"ЛП,(ап)'сЛо»=(ал)' ,

откуда

(а + 1)... (<г + *)

се1Т(ап)"

и <

Функция ф(е) = е достигает максимума при ст0 = а п. Следовательно,

(ест)™ = _с_ £ 1

(ап)т+1ё% ап 02 " вз'

при 0 < а < 1п02, где ¿>3 > 1 и константа не зависит от а0, что и доказывает утверждение теоремы 1 в одну сторону.

Обратно, пусть последовательность полиномов Дирихле {Т„(5)} в полуплоскости а > а0 > 0 равномерно сходится к f(s) со скоростью 0(~), где д > 1 и где константа зависит от сто-

Рассмотрим обратное преобразование Меллина:

1 />6+100

д(е~х) = — / ГМ/МаГ^, Ь > 1, I > 0.

27™ Л-;<х>

Имеем

Jcтo—ioo ^ I х ^ —оо

С учетом этого неравенства оценим величину — Рп(е_1)|, где Рп(е~х) =

1-1 /»6+гоо 2« Л-гоо

Таким образом, при любом х > 0 полиномы Р„(е-1) приближают функцию на полуоси [г,оо) со скоростью О(^), д > 1, где константа зависит от х и растет как величина у, Ь > 1. Следовательно, функцию д(х) на отрезке [0,1], х < 1 можно приблизить полиномами Р„(х) со скоростью 0(~г), в > 1, где константа зависит от х и растет как величина ^ , 6 > 1.

Рассмотрим последовательности отрезков Jn = [0,1 - На

отрезке 1/71+1

(п + 112Ь 1

|9(а) - Р„(х)| < < сЛ, в1>1. (12)

в {?!

При этом константа Ci не зависит от n, a Qi не зависит от п. Рассмотрим ряд

eso

£(Рп+1 - Р„). (13)

П=1

Покажем, что ряд (13) сходится равномерно на отрезке [0,1]. В силу (12) на отрезке Л+1 имеет место оценка

\\Рп+1(х) - Pn(x)\\j„+l Л>1. (14)

0i

Покажем, что для полиномов степени n + 1, оценка, имеющая место на отрезке J„+1, сохраняется с точностью до константы на отрезке [0,1].

Действительно, в [2,с.90] показано, что если Qn(y) — произвольный полином степени не выше п и

max |<5„(у)| ^ L,

то

тал |<ЭпЫ1 < AL,

где А — абсолютная константа.

Рассмотрим линейное преобразование

У + 1

Оно переводит отрезок [-1,1] в отрезок [0,1], а отрезок [—1,1 — в отрезок J„. Если обозначить Qn(y) — Рп(х), то наше утверждение сразу следует из приведенного выше результата.

Таким образом, из (14) получаем

||P„+i(x) - РпМНм 01 > 1- (15)

01

В силу (15) имеем

||ff(x)-Pn(x)||,„+t = I|(3(х)-Рк+*(х)) + ..- + (Рп+1(*)-Р„(*))|| + ^ g.

É?1 01 01

Переходя к пределу при к —у оо получаем, что Р„(х) приближает д(х) на отрезке [0,1] со скоростью O(jj)i Pi > li что обеспечивает регулярность функции g(z) в точке z = 1 (по этому поводу см., например, [1]). Доказательство утверждения теоремы 1 следует из известной теоремы Сеге [3] относительно рядов с конечнозначными коэффициентами . Таким образом, теорема 1 полностью доказана.

Остановимся на некоторых следствиях доказанной теоремы. Во-первых, имеет место

Теорема 2. Пусть h{n) - конечнозначная функция натурального аргумента, для которой ограниченна сумматорная функция S(x). Тогда следующие условия эквивалентны:

1) коэффициенты Ь(п) периодичны, начиная с некоторого номера;

2) функция /(я), определенная рядом Дирихле (1), является целой функцией, удовлетворяющей следующему условию роста модуля в отрицательных точках:

где А — некоторая положительная константа;

3) существует последовательность полиномов Дирихле {Т„(5)}, которая в полуплоскости а > 0 равномерно сходится к /(а) со скоростью 0(—г), где д > 1 и где константа не зависит от о.

В работе [4] доказана эквивалентность условий (1) и (2), что в силу теоремы 1 доказывает утверждение теоремы 2.

Следующее утверждение является непосредственным следствием теоремы 2.

Теорема 3. Пусть h(n)~ неглавный обобщенный характер. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) h(n)- характер Дирихле;

ОО

2) ряд Дирихле f(s) = определяет целую функцию с условиями роста

п-1

модуля в отрицательных точках вида (16);

3) существует последовательность полиномов Дирихле {^'„(s)}, которая в полуплоскости о > 0 равномерно сходится к f(s) со скоростью О(^), где g > 1 и где константа не зависит от о.

Далее, для L-функций Дирихле имеет место следующее утверждение:

°° ( )

Теорема 4. Пусть L(s) = ^ — L-функция Дирихле, где х{п) ~ неглав-

ный характер Дирихле модуля то = 3,4,5,6,8,10. Тогда существует последовательность полиномов Дирихле {ТЦя)}, которая в полуплоскости о > 0 равномерно сходится к Ь(в) со скоростью О(^г), где д > I и где константа не зависит от а. Более того, для любой замкнутой ограниченной области И комплексной плоскости существует такая подпоследовательноть {Т„к(8)} полиномов Дирихле, которая равномерно в области С сходится к Ь-функции Дирихле.

Предварительно докажем следующее утверждение:

Лемма. Для коэффициентов полиномов Чебышева

!/(-n)| < CeMtoW+^W,

(16)

Доказательство

верна следующая оценка:

I4n)| 0П2\ где ¿>2>g + l>0, т.е.

Доказательство

Известно, что

To(i) = 1, 7\(х) = 1х - 1, Т2(х) = 4х2 - Зх и имеет место рекуррентное соотношение

Т„(х) = 2хГп^(х) - Т„_2(х) . Для коэффициентов получаем

ск — z4-l ск При п = 1, 2 оценка имеет место, далее индукцией

lei"'! $ + Qn~22k = 2квп~2{в + 1) < 2V ,

что доказывает лемму.

Доказательство теоремы 4

Если /i(n) неглавный характер Дирихле модуля т, тогда

оо п-1

регулярна в полосе \Imz\ < sin ^ = b, где е = 1, если т нечетное, и е = 2, если т четное.

Рассмотрим эллипс с фокусами в точках ±1, I > 2 и малой полуосью b = sin Обозначим его D. Функция g(z) регулярна внутри D.

Сжатие по оси х = Rez в I раз переводит эллипс D в эллипс Dv с фокусами ±1 и малой полуосью Ь = sin ^, сумма полуосей Qi — b + v^l + Ь2 при т = 3,4,5,6,8,10, 01 > е > Обозначим д{х) = р(х), где х = f, тогда д регулярна в Вь и по

теореме Бернштейна

Pi

где константа с зависит от д и Du и не зависит от п. Для полиномов Р„(х) известно представление

п

Р„(х) = ]>>*Т*(х) , fc=о

где Тк полиномы Чебышева и < Следовательно,

¿ í о.

Рассмотрим полиномы Дирихле P„(s), отвечающие Р„(

ад = Ё«4тл«). fc=0

где

C"i гг(к) _ Ст

при т = 0 полагаем = Оценим -Рп(з):

_ п _" 1 _ к_ ю~(готпк

пади < Е * сЕз Е *

к- 0 к=0 т—О

к=0 т=0 к=0

Здесь мы воспользовались оценкой:

т~"2т _ А т"7 2т А 2^

2-, [т - т, < С< тГ < С5.

т=0 т=0 1 т=0 ^

где / = /1/2 > 2 и ¿1 > 1, ¿2 > 2.

Функция непрерывна при т^ 1 и стремится к нулю при гтг +оо, значит ограничена константой, зависящей только от ст. В результате мы получим, что при ст > Сто > полиномы Р„(«) равномерно ограниченны:

пади < с,

где константа С зависит только от Сто.

По теореме 1 полиномы Дирихле Р„(з) равномерно сходятся к £(/г, в) при ст > > ст0 > 0 со скоростью 0(-р:)■

Множество функций (Р„(з)} является равномерно ограниченным в любой ограниченной замкнутой области В комплексной плоскости, и , следовательно, по теореме Монтеля (5] является компактным множеством. Тогда существует подпоследовательность полиномов Дирихле {Рп,(5)}> равномерно сходящаяся внутри В к некоторой регулярной функции.

Ясно, что при ст > 0 последовательность {Рп,(я)} сходится к ¿-функции. Для завершения доказательства теоремы 4 достаточно рассмотреть область £>и которая содержит область £> и подобласть с условием ст > 0.

Из результатов теоремы 4 мы получим:

Теорема 5. Пусть к — неглавный характер Дирихле модуля т = 3,4,5,6,8,10,

тогда

\Щ,о + И)\ = 0(1),прио> 1/2.

Доказательство

Из теоремы 4 следует, что

|i(M-Awi = o(i)

равномерно в полуплоскости ст > сто > 0 с константой, независящей от ст. Более того, Pn(s) равномерно ограниченны в этой полуплоскости, значит,

ь(М) = р„(в) + оф = о(1)

и константа абсолютна при а ^ 1/2.

Библиографический список

1. Даугавет. И.К. Введение в теорию приближения функций.Л.:Изд-во ЛГУ, 1977.

2. Малоземов В.Н. Совместное приближение функций и ее производных.Л.:Изд-

во ЛГУ,1973.

3. Бибербах Л. Аналитическое продолжение.М.:Наука, 1967.

4. Кузнецов В Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т.36, N6.

5. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.:Наука, 1967. Т.1.

УДК 511.3

В. Н. КУЗНЕЦОВ, Е В. СЕЦИНСКАЯ, В В. КРИВОБОК

О граничном поведении степенных рядов, отвечающих L-функциям Дирихле числовых полей

Пусть к — нормальное расширение поля рациональных чисел Q, a L — абеле-во расширение Галуа поля к с группой Галуа G. Рассмотрим ¿-функцию Дирихле, отвечающую расширению к С L,

а ^ ' п=1

Известно (1|, что степенной ряд g(z), соответствующий L-функции (1)

сю

= (2) П—1