Распределение значений обобщенных характеров и гипотеза Н. Г. Чудакова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.3

A.M. ВОДОЛАЗОВ, В Н. КУЗНЕЦОВ

Распределение значений обобщенных характеров и гипотеза Н.Г. Чудакова

Известная гипотеза Н.Г. Чудакова [1]; [2]; [3] утверждает, что функция натурального аргумента h(n), удовлетворяющая следующим условиям:

1) h(n) - конечнозначная функция;

2) h(n) - вполне мультипликативная функция;

3) h(p) ф- 0 почти для всех простых р;

4) S(x) = ¿2 h(n) = O(l),

п^х

является периодической функцией, то есть характером Дирихле.

Характер h(n), удовлетворяющий условиям гипотезы Н.Г. Чудакова, называется обобщенным характером.

В данной работе изучаются вопросы распределения значений обобщенных характеров и их взаимосвязь с гипотезой Н.Г. Чудакова.

Как и в случае характера Дирихле, множеством ненулевых значений обобщенного характера является некоторая группа корней к-ой степени из единицы. Поэтому рассмотрим класс таких обобщенных характеров, для значений которых выполняются следующие условия:

для любого натурального п существует характер Дирихле Хп такой, что

h( 1)=Х„(1), М 2) = х„(2), ... h(n) = Хп(п). (1)

Замечание X. Есть основания надеяться, что условия (1) будут иметь место для любого обобщенного характера.

Для таких обобщенных характеров имеет место

Теорема 1. Пусть h(n) неглавный обобщенный характер, удовлетворяющий следующим условиям:

1) последовательность

5(1) + 5(2) + ... + 5(п)

оп =---——,

п

где S(k) = h{n), сходится;

2) модули тп характеров Хт определенных условиями (1), удовлетворяют следующему условию медленного роста:

mi ,

—- —> 0 при п —► оо. (2)

Тогда для любого е > 0 существует такая 6 - окрестность точки 1 = 1 и такое п0, что для некоторого п ^ п0

Ы*)-0х.(*)1 <£, те [1-5,1]. (3)

Замечание 2. Как следует из задачи 87 первого отдела [4] при выполнении условия (1) теоремы 1 существует предел вида

хПш09н(х)-

Поэтому неравенство (3) имеет место в точке х = 1.

Замечание 3. Условие (1) теоремы 1 имеет место, например, для обобщенных характеров с ограниченной сумматорной функцией второго порядка, т. е.

52(х) = £>(п) = 0(1).

Действительно, в силу задачи 87 первого отдела [4], ит ап = ит ——- = 0.

Доказательству теоремы 1 предпошлем следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть х(п) ~ последовательность характеров Дирихле, модули которых тп удовлетворяют условию (2). Тогда на отрезке [0,1]

НЭхпМ -«ГпООНсМ 0 при га-Уоо,

Л ,„<,) = &(») + *<«) +- + п

где Зк(х) - частная сумма к-го порядка степенного ряда

оо

9хп(х) = Х^Хп(т)хт.

т=1

Доказательство

В силу периодичности Хп, степенной ряд дХп(х) является рациональной функцией

тп оо

Хп(1) + • • ■ + хт"-1Х(тп) Рт„( т)

-----= т-

Яшп(х)

Запишем дх„(х) в виде

ГОп-1 ГПп~ 1 00 / \ к

i=l х 1=1

Коэффициенты а^ имеют вид

О; '

1

а> П(а; -

Л«

где а0 = 1, 01 = еь ..., ат = £т_1, здесь Ек = е ">» - корень т„ степени из единицы. В разложении на простейшие дроби мы учли, что

¿к,(1) = х(1) + х(2) + ...хЮ = о

Тогда

т„~ 1 1/-1 , ^к тп„—1 , . т„-1

5„(х) = а;

а, ( '1-1 (г)')

4)

Из полученного равенства имеем

тп-1 п

Отсюда получаем

(-4)

"Ет

а,

»0-4)

т„-1

9хЛх) -°п{х) -Х- ]П

1 а» И г)1

( 1 -

т„-1

э

п - х)2

1 'ч?-* — хп)х2

Т).

Из равенства (4) следует оценка

т„-1

1<?11(«.-*)а1

- тп — 1

-И

п. ^—'

2тп/2

Рассмотрим

Д - <ц| = 2т*-1 Ц

I . и ~ »)"■.

81П--—

Для оценки используем следующий факт. Пусть к — [п/2] 1п(зт ^...зт 4=) _ 1фт »)+-+]о(ип

(4)

7Г 7Г л7Г I ^ 7Г

—(1п(вт— )4-----Ь1п(зш—)) ж / 1п(8шж)Жс = — — 1п2,

ТЬ ТЬ ТЬ £

2»--11 Г ж = с,

тп4

|5х»(*) - < дай 1е[0;1],

что и доказывает утверждение леммы 1.

Доказательство теоремы 1

В силу условия (1) теоремы 1 и непрерывности функций Зй(х) и а„(х) в точке 1 = 1 имеем: для любого { > 0 существует такая 6 - окрестность точки х = 1 и такое по, что для некоторого п > п0

¡дн(х)-а„(х)1<^, хе [1-5,1]. При этом пусть п такое, что

\вхЛх)-о„{х)\<е-, [0,1].

Последнее условие обеспечивает лемма 1. Тогда для х € [1 — 5, 1] для данного п имеем

Ы®) - < М*) - + - ап(х)| < е,

что и доказывает утверждение теоремы 1.

В связи с теоремой 1 встает важный вопрос о скорости приближения функции дь.(х) функциями в некоторой окрестности точки х = 1. Этот вопрос, в частно-

сти, связан с порядком гладкости функции 5л(х) в точке х = 1, что, в свою очередь, связано с возможностью аналитического продолжения ряда Дирихле:

/(8,/1) = У)^, з = а + и

1—' п

П=1

целым образом в полуплоскость а > —п. Основной же вопрос, который здесь встает, заключается в следующем: при каких условиях на поведение модулей ш„ возможно приближение функции 5л(х) в окрестности точки х = 1 рациональными функциями 9хп[х) С этой целью приведем доказательство следующих утверждений.

Обозначим через Ел(д(х)) величину наилучшего приближения непрерывной на отрезке [0; 1] функции д(х) алгебраическими полиномами степени, не превосходящей п. Имеет место

Теорема 2. Пусть Хп ~ последовательность характеров Дирихле, модули которых, тп, удовлетворяют условию

п > 4тп 1п(т„).

(5)

Тогда величина Еп{хп(х)) стремится к пулю при п -> оо.

Доказательство

Рациональная функция дх„(х) регулярна в точке х = 1, и при тп > 2 регулярна в точке х = —1, для этого рассматривают характер Хп(к) = Хп(к){—I)*"1. Поэтому 9х*(х) регулярна в эллипсе Ьдо с фокусами в токах х = ±1 и суммой полуосей р0 > 1-В качестве аппроксимирующих полиномов для функции дХп(х) рассмотрим последовательность полиномов, полученных по схеме, описанной в ¡5] при доказательстве теоремы Бернштейна:

N

pN{x) =

к-1

где Тп(х) полиномы Чебышева.

Повторяя рассуждения, приведенные в [5] при доказательстве теоремы Бернштейна, получаем оценку

Еп{дхЛх)) ^ Еп ыл](дх^х)) ^ 2Ме

Рй-l-e (ре - <г)"' где ро > 1, а е - некоторая положительная величина, и где

Мс = max [ffx„ (г)|,

а Ьщ-с — эллипс, с фокусами в точках х = ±1 и суммой полуосей р0' - е > 1 и Так как

/ \ _ Pmn„i

9xAZ} ~ 1 + г + .., + г-»Л'

ТО

тпп-1 т„-1

max |9x„(*)l ^ max ¡Рт„(г)| < £ I6-!'1 + —« е £ tI «

Z€.Li00-c lTLn ~ ^

< ;"i,.(m„ - 1) < т2

. 1 _ е ^ J_ "V

Следовательно,

Л " - т.

*Cfa.<x>) < ^ * -SL, (6)

' * е™« тп

что и завершает доказательство теоремы 2.

Принимая во внимание, что оценка (6) в некотором смысле близка к наилучшей (она мало отличается от наилучшей в пространстве Ь2(0,1)), можно сделать вывод о

том, что никакой метод суммирования частичных сумм ряда 7'„(з1, «2, • • •, не позволит аппроксимировать функцию <?л(х) в окрестности точки х = 1 рациональными функциями дХп(х), полученными из условия (1), со скоростью, превышающей О (~). Тем самым, такая аппроксимация не обеспечивает достаточной гладкости функции дь(х) в точке х = 1 (что видно из оценки (6)).

Несмотря на этот факт, аппроксимация теоремы 1 позволяет, при некоторых дополнительных условиях на поведение функции дь(г) в окрестности точки 2 = 1, получить периодичность характера Л(п).

Пусть обобщенный характер Л(п) удовлетворяет условиям теоремы 1. Более того, будем считать, что а(п) стремится к <?/,(х) со скоростью о и дополнительно

£-0. (7)

п

Рассмотрим степенной ряд вида

дп{х) = з„(х)[1 + х + ... + !"•-'] - Рт„_ 1(1), (8)

где дх„ (х) = --- .

' 1 + х + ... + х"1"-1

Пределы вида

^Пт^Лх) (9)

существуют и равны нулю. Действительно, имеем

5п(х)

9h(x)-gx „(х) =

l + x + .-. + x"1"-1'

Отсюда, как следствие теоремы 1 и условия (8), получаем, что пределы вида (9) существуют, и они стремятся к нулю.

Более того, из теоремы 1 следует, что для любого е существует п0, что для некоторого п > «о существует такая <5„ - окрестность точки х = 1, что имеет место оценка

Ы*)1<е. х 6 [1 - <5„, 1]. (10)

При дополнительных условиях на поведении функции gtДх) удается доказать периодичность характера h(n). Имеет место

Теорема 3. Пусть обобщенный характер h{n) удовлетворяет условию (7), и пусть для функций д„(х) вида (8), удовлетворяющих условию (10), частичные суммы ряда 5n,t(x) также удовлетворяют этому неравенству в некоторой окрестности точки х = 1, начиная с некоторого номера, т. е. при k ^ ко

|Sn,*(x)|<£, х е [1 - <5,1], (11)

Тогда h(n) - характер Дирихле.

Доказательство

Пусть dl, £¿2,..., d„ - все различные значения, которые принимает обобщенный характер. Обозначим

(¿о = min \dj - (12)

Обозначим также

оо

9п(х) = £а<">х\ к=1

Ясно, что при к > к0

4"> = h(k) + h{k - 1) + ... + h{k - m„ + 1). (13)

Рассмотрим

d0

E< 4-

В силу (7) существует такое п > По, что для <?п(х) имеет место оценка

ы*)|<|, хе [1-5,1].

Тогда, в силу (11), при к ^ к0

|S„,t(x)| < *€(l-i,l). (14)

4 '

Из условия (14) получаем: для всех к ^ fco и всех х 6 (1 — <5,1)

Отсюда получаем, что для всех к ^ к0

ак х I < 2

< % (15)

Условия (13) и (15) позволяют в нашем случае применить рассуждения, приведенные в [6] при окончании доказательства теоремы Сеге, и доказать периодичность h(k), начиная с к^ ко- Тогда характер h(n) будет либо периодичным, либо может отличатся от периодичного на конечном множестве простых. В последнем случае, как показано в [7], [8] он не будет обобщенным характером. Это и завершает доказательство теоремы 3.

Остановимся на условиях (11) и покажем, что эти условия имеют место для любого характера Дирихле /г(п). Действительно, если Л(п) - первообразный характер модуля то, то в последовательности (1) в качестве Хп будут выступать характеры модулей т„, где т0|тп. В этом случае ряд дп(х) является полиномом (это видно на основании представлении (8)). Следовательно, последовательность частичных сумм стабилизируется, и выполняется условие (11) теоремы 3.

Докажем один упрощенный аналог известной теоремы Даффина и Шеффера [6], имеющей место для степенных рядов с конечнозначными коэффициентами. В отличии от этой теоремы мы не требуем ограниченности степенного ряда в некотором секторе единичного круга, а накладываем ограничение на поведение функции д„(х) в действительном направлении. Имеет место

Теорема 4. Пусть при некотором п степенной ряд

fc=О

в некоторой окрестности точки х = 1 имеет ограниченные в совокупности частичные суммы 5w(9n(x)). Тогда h(n) - обобщенный характер.

Доказательство

Рассмотрим степенной ряд вида

9n{z) = 9n(z)(z - г,)(z - z2),

где zlt z2 - сопряженные комплексные, лежащие на единичной окружности, и такие, что |zi — Z21 - достаточно малая величина. Обозначим

Rn-u(x) = SN(gn(x))(x - zi)(x - z2) = SN(gn(x))(x2 - ax + ß).

Тогда

n+2

Я„+2(*) = £ь<п)х', где 6<n>=a£>2-aa£nJl+/?a<n). k=0

В силу условий теоремы

|Äjv+2(x)| < е для всех х 6 [1 - S, 1] и N > N0. Отсюда получаем

|МП)-«4ПЛ + 4-)21<2е (16)

для всех k > N0.

Последнее условие позволяет доказать периодичность h(n). В этом случае проходят рассуждения, приведенные в конце доказательства теоремы Сеге [6] о периодичности конечнозначных коэффициентов степенного ряда, которые показывают периодичность функции h{п), начиная с некоторого места. Из условия ограниченности сумматорной функции

¿?(х) = $>(")

71^1

следует периодичность h{n) при всех п [7]; [8].

Библиографический список

1. Чудаков Н.Г., Родосский К.А. Об обобщенном характере // ДАН СССР. 1950. Т. 73.

2. Чудаков Н.Г., Лин ник Ю.В. Об одном классе вполне мультипликативных функций // ДАН СССР. 1950. Т. 74, N 2.

3. Чудаков Н.Г. Обобщенные характеры // Тр. Междунар. конгресса советских мат. в Ницце. Ницца 12-20 июня 1970 г. М.: Наука, 1972.

4. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978. Ч. 1.

5. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций.Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.

6. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967.

7. Глазков В. В. Характеры мультипликативной полугруппы натуральных чисел // Исследования по теории чисел. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1968. Вып.2.

8. Глазков В В. О распределение значений характеров // Исследования по теории чисел. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1966. Вып.1.

УДК 519.17, 519.6, 519.7

В.Е. ФИРСТОВ Алгебраические аспекты игры в домино

1. В общем случае набор домино порождается множеством D = {0,1,...,п}, из которого формируется множество £>'2' = {{i,j} : i, j g D}, где не исключается случай i = j, описывающий "дубли". При п = 6 множество Dсодержит 28 элементов, что совпадает с количеством фишек в классическом наборе домино.

Отображение Dl2> -> F2 ñ2 по правилу {i,j} (d, г), где F2 = {(d, г) : d = г+ +j, г = тах(г, j)}, определяет инъекцию, отображающую набор домино в декартову плоскость.

Отображение О'2' —► I)2 позволяет строить из элементов D2 конечные композиции вида

• ■ • (»li¿l)(»2iÍ2)(»J. h) ■•••«•• -jl = ¿2, Í2 = ¿3 ■ ■ ■ , как это имеет место в известной популярной игре в домино. Если при этом M'(ü2) - свободный моноид над D2, a L(D2) - множество всех композиций вида (1), то L{D2) С M'(D2) и, следовательно, L[D2) - некоторый формальный язык, который регулярен и распознаваем [1¡. Поэтому всякая партия в домино, по описанным выше композициям, сводится к построению некоторого слова языка L(D2) с учетом соответствующих стратегий.