Аналог теоремы Даффина-Шеффера для одного класса рядов Дирихле с конечнозначными коэффициэнтами

Кузнецов Валентин Николаевич; Матвеева Ольга Андреевна

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 19. Выпуск 4

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-4-243-251

Аналог теоремы даффина-шеффера для одного класса рядов дирихле с конечнозначными коэффициэнтами

Кузнецов Валентин Николаевич — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной математики и системного анализа, Саратовский государственный технический университет им. Ю. А. Гагарина. e-mail: [email protected]

Матвеева Ольга Андреевна — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского. e-mail: oiga, matveeva. Овдтай. com

Аннотация

Известная теорема, доказанная Доффнным и Шеффером, утверждает, что ограниченность степенного ряда с конечнозначными коэффициентами в некотором секторе единичного круга равносильна периодичности его коэффициентов, начиная с некоторого номера. В работе указывается класс рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, ограниченными в любой полосе правой полуплоскости комплексной плоскости константой, зависящей только от высоты полосы, для которых доказан аналог теоремы Даффина-Шеффера.

Ранее аналог теоремы Даффина-Шеффера был получен авторами для рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами. Методика доказательства этого результата позволила, в частности, решить известную проблему обобщенных характеров, поставленную в 1950 году Ю.В. Линником и Н.Г. Чудаковым.

В данной работе эта методика использована при доказательстве аналога Даффина-Шеффера для указанного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами.

Ключевые слова: аппроксимационные полиномы Дирихле, аналитическое продолжение рядов Дирихле целым образом на комплексную плоскость, условие периодичности, начиная с некоторого номера, коэффициентов ряда Дирихле.

Библиография: 15 названий. Для цитирования:

В. Н. Кузнецов, О. А. Матвеева. Аналог теоремы Даффина-Шеффера для одного класса рядов дирихле с конечнозначными коэффициэнтами // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 4, с. 243-251.

244

B. H. Kv3Hen,0B, O. A. MaiBeeBa

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 4

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-4-243-251

Analogue of the Duffin - Scheffer theorem for one class of Dirichlet

SGF1GS with finite-valued coefficients

Kuznetsov Valentin Nikolaevich — doctor of technical sciences, professor, professor of the department of applied mathematics and systems analysis, Saratov State Technical University. e-mail: [email protected]

Matveeva Olga Andreevna — candidate of physical and mathematical sciences, assistant of the department of computer algebra and number theory, Saratov State University. e-mail: olga. matveeva. 0@gmail. com

Abstract

The well-known theorem, proved by Doffin and Scheffer, states that the boundedness of a power series with finite-valued coefficients in a certain sector of the unit circle is equivalent to the periodicity of its coefficients, starting from a certain number. The paper indicates the class of Dirichlet series with finite-valued coefficients bounded in any strip of the right half-plane of the complex complex plane by a constant depending only on the height of the strip, for which an analogue of DaufEn - Scheffer theorem is proved.

Earlier, an analogue of the DaufEn - Scheffer theorem was obtained by the authors for Dirichlet series with multiplicative coefficients. The method of proving this result allowed, in particular, to solve the well-known problem of generalized characters posed in 1950 by Yu.V. Linnik and N.G. Eccentric

In this paper, this technique is used to prove an analogue of the Duffin - Scheffer theorem for the indicated class of Dirichlet series with multiplicative coefficients.

Keywords: Dirichlet approximation polynomials, analytic continuation of the Dirichlet series to the complex plane, condition for periodicity of coefficients of Dirichlet series.

Bibliography: 15 titles. For citation:

V. N. Kuznetsov, O. A. Matveeva, 2018, "Analogue of the Duffin - Scheffer theorem for one class of Dirichlet series with finite-valued coefficients" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 4, pp. 243-251.

1. Введение

Цель данной работы - для определенного класса рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами доказать аналог известной в теории степенных рядов теоремы Даффина-Шеффера, которая утверждает (см.[1]), что ограниченность в некотором секторе единичного круга степенного ряда с конечнозначными коэффициентами равносильна периодичности, начиная с некоторого места, коэффициентов этого ряда. Легко привести пример ряда Дирихле с конечнозначными, непериодичными коэффициентами, который ограничен в некоторой полосе : 0 < а < те, Щ <ö, (s = а + it). Поэтому в работе изучаются ряды Дирихле с конечнозначными коэффициентами, которые ограничены в любой области: 0 < а < те, Щ < Т, константой, зависящей только от величины Т.

В основе изучения таких рядов Дирихле лежит аппроксимационный подход, разработанный в работах авторов [2]-[7], суть которого заключается в построении полиномов Дирихле, приближающих ряд Дирихле в правой полуплоскости комплексной плоскости и переносе отдельных свойств полиномов Дирихле на ряд Дирихле.

Ранее в работах [8]-[10] авторы получили условие периодичности коэффициентов для определенных классов рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами, выраженное в терминах поведения этих рядов на мнимой оси. В работе [8] получено условие аналитического продолжения ряда Дирихле целым образом на комплексную плоскость. В работах [9] и [10] показаны периодичность коэффициентов таких рядов Дирихле.

В данной работе показано, что основные идеи работ [8]-[10] удается перенести на ряды Дирихле

<х

/(*) = £ £ = и + (1)

1 п

удовлетворяющих условиям:

1 ,ап конечнозначные коэффициенты;

2. сумматорная функция коэффициентов S (х) = ^п>х ап является ограниченной функцией;

3. для соответствующего степенного ряда q(x) = 1 апхп выполняются условия:

• существует конечный предел вида

lim q(x)=ao. (2)

х^1-0

для любого натурального к найдется та кое 0 < 5к < 1, что для всех х € [1 — 5к, 1]

_С

1пк (1—х)

где константа С не зависит от х и к;

|q(x) -ао| -7, (3)

4. ряд Дирихле (1) не имеет нулей при а > ао > 1. Более того, при а > 1 + 5: |/(з)| > С, С

Замечание 1. Условие (3) является более слабым, чем условие существование у ряда д(х) в точке х = 1 односторонней производной вида,

lim q (х) = а1 х^1-о

Замечание 2. Ниже будет, показано, что свойства, 1.-3. обеспечивают, ограниченность ряда Дирихле (1) в любой полосе, т.е. при 0 < ö < ж, |i| < Т :

где константа, С зависит только от Т.

Замечание 3. В дальнейшем, в работе рассматриваются только ряды, Дирихле (1), удовлетворяющих условиям 1.-4-

2. Аппроксимационные полиномы, их свойства

Последовательность полиномов Дирихле Qn(s) называется последовательностью аипрок-симационных полиномов для ряда Дирихле (1), если выполняются условия (см. [6]-[8]) :

1. В любой полосе: 0 < aQ < а < ж, |i| < Т, последовательность полиномов Qn(s) равномерно сходится к функции f(s), определенной рядом Дирихле (1);

2. Пусть еп ^ 0. Тогда для любого еП0 наблюдается такое п\, что при п > И] в полосе 0 < ctq < а < ж, |i| < Т. Выполняется неравенство

где константа С не зависит от п и еП0;

3. Для любой полосы: 0 < ctq < а < ж, |i| < Т, существует такое П], ^то при п > П] нормы полиномов Qn(s) ограничены константы, зависящий только от величины Т.

В работах [4],[6] показано, что в силу условий 1.-3. для рядов Дирихле (1) последовательность аппроксимационных полиномов определяется неоднозначно. В этих работах показано, что для ограниченных коэффициентов рядов Дирихле существует последовательность аппроксимационных полиномов вида

где величина гп, 0 < rn < 1 своя для каждого п.

3. Граничное поведение рядов Дирихле (1)

Отметим, что в силу определения аппроксимационных полиномов функция f (s), определенная рядом Дирихле (1), в любой полосе: 0 < а < ж, |i| < Т ограничена константой, зависящей только от Т.

В работах [4],[6] показано, что функция f (s), определенная рядом Дирихле (1), является непрерывной в широком смысле на мнимой оси. В этом разделе докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Функция f (s), определенная рядом, Дирихле (1), является регулярной на мнимой оси.

Доказательству теоремы предпошлем ряд утверждений, доказательство которых дословно повторяет доказательство аналогичных утверждений, приведенных в работе [9].

|/ Ш <С,

|/(s) - Qn(s)| <С •

(4)

Лемма 1. Для производной т-го порядка аппрокцимационного полинома Qn(s) в полосе: 0 < а0 < а < ж, |i| < Т имеет, место оценка, вида

Qt]is)

< С lnm п,

где константа С зависит только от, величины Т.

Лемма 2. Пусть Qnk(s) - последовательность аппроксимационных полиномов, где пи = kk и где к > 2 - некоторое натуральное. Тогда, в полосе: 0 < а < ж, |i| < Т для, любого m имеет место оценка, вида,

Q(n+i]k(k)(m] - (s) = 0(

. (n + 1)m lnm k

n

1 ln¿ k

где I-любое натуральное, а, константа в символе «О» зависит от, Tul. Рассмотрим разложение функции f (s) в ряд

f (s) = Qnk(s) + (s) - ®nk(s))

n-k

который в силу леммы 2 абсолют,но сходится, при любом s из полосы: 0 < а < ж, |i| < Т. В результате его конечного дифференцирования имеем,

f (m](s) = Q%](s) + ¿2(Qt¡h]k(*) - Q&](*))

(5)

Пк

В силу (5) и леммы 2 получаем, следующее утверждение.

Лемма 3. В полосе: 0 < а < ж, |i| < Т для, любого m имеет место оценка,

f (m](s) = 0(

),

(I - т - 1)п0-т lnt-m к

где к- натуральное, к > 2; I- натуральное, I > т + 1; щ- некоторое натуральное, которое может быть достаточно большим; константа в сим,воле «О» зависят от, Tul. Пусть Ci обозначает наименьшее число, входящее в символ «О» оценки леммы 3. Имеет место (см,. [9]).

Лемма 4. Для константы C¡ выполняется оценка,

Ci <

9(1](х)

с[0,1-е]

где д(х) - функция, определенная степенным рядом,, соответствующим ряду Дирихле (1), £ - положительное число, меньшее, чем 1.

Из леммы 4 "так же как и в работе [9] следует, следующее утверждение.

Лемма 5. Имеет место неравенство

V—1 СI ^ птд / — < ж. I V I!

),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

Доказательство теоремы 1.

Рассмотрим формальный ряд Тейлора

Я*) = П80)+ £ (8 — 80Г,

т!

где 8о лежит на мнимой оси, и покажем, что он имеет ненулевой радиус сходимости К. Так как

- = ЙЫ /{т)(8 о)

К ту т!

то положив в лемме 3 I = т + 2 в силу леммы 5 получим

1 т:— т I т _ — = 11Ш \ -- < Ж,

К т V т!

что и доказывает утверждение теоремы 1.

4. Аналитическое продолжение рядов Дирихле (1) целым образом на комплексную плоскость

В этом разделе будет показано, что в задаче аналитического продолжения рядов Дирихле (1) имеет место тот же подход, что и для рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами, разработанный авторами в работе [8]. А именно при аналитическом продолжении рядов (1) можно воспользоваться основными идеями принципа симметрии Римана-Шварца, изложенными в монографиях [11], [12].

Этот подход позволяет доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Ряд Дирихле (1) продолжается, как целая функция на комплексную плоскость.

Приведем ряд утверждений, предшествующих доказательству теоремы 2.

Лемма 6. Для любого а0 > 1 существует п0, чт,о при п > по производные аппроксимм-ционных полиномов вида (4) не имеют нулей в полуплоскости а > ао. Доказательство.

Свойство 4. рядов Дирихле (1) позволяет утверждать, что частичные суммы Зп(х) ряда Дирихле при п > П1 не имеют нулей в полуплоскости а > ао-

Этот факт позволяет перенести доказательство леммы 4 работы [8] на наш случай и доказать, что аппроксимационные полиномы Qn(s) вида (4) при п > по не имеет нулей в полу-а > ао

Рассмотрим последовательность областей И к, ограниченных контурами Гк, состоящими из участков: Г^ : а = ак, |£| < Т; Гк,2 : ак < а < ак+1,Ь = Тк\ Гк,з : а = ак1, |£| < Тк\ Гк,4 : ак <а < ак1 ^ = —Тк, где ак ^ 1, ак1 ^ ж,Тк ^ ж, при к ^ ж.

Пусть Qnk (в) - последовательность аппроксимационных полиномов вида (4), удовлетворяющих лемме 6, т.е. Qn (в) = 0 при а > ак- В этом случае имеет место

Лемма 7. Отображение w = Qnk(в) является однолистным комфортным отображением области И к на область И к- При этом кон тур Гк отображается в простой жордановый контур ^к, который является границей области Г>к-

Доказательство леммы 7 следует, из результатов о конформных отображениях, приведенных в [12].

Доказательство теоремы 2. Как показано в [8] из результатов Римана о существовании конформного отображения области Г>к на единичный круг с центром в начале координат существует конформное отображение области И к и круг ради уса Кк• Этот факт как и в работе [8] позволяет определить функцию ) аналитическую в любой полуплоскости комплексной

плоскости, и функция /1(5) определяет аналитическое продолжение функции /(,в) на ком-

( )

в силу теоремы 1. Таким образом, теорема 2 полностью доказана.

5. Теорема о периодичности, начиная с некоторого номера, коэффициентов рядов Дирихле (1)

Как уже отмечалось во введении в работе [8] был получен критерий аналитического продолжения целым образом на комплексную плоскость для рядов Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами.

В работе [9] было показано, что этот критерий имеет место для рядов Дирихле, коэффициенты которых определяются значениями неглавных обобщенных характеров.

В работе [10] было показано, что ряды Дирихле, которые определяются неглавными обобщенным характерами продолжаются на комплексную плоскость как целые функции с определенным порядком роста модуля. В работе [13] было доказано, что последний факт обеспечивает периодичность коэффициентов.

Таким образом, результаты работ [8],[9],[10] решают известную проблему обобщенных характеров, поставленную в 1950 году Ю.В. Линником и Н.Г. Чудаковым (см. [14],[15]).

Результат данной работы так же непосредственно связан с результатами работ [8],[9],[10]. В предыдущих разделах было показано, что результаты работ [8],[9] позволили доказать аналитическое продолжение рядов Дирихле вида (1) целым образом на комплексную плоскость.

В данном разделе будет показано, что результаты работы позволяют доказать аналог теоремы Даффина-Шеффера для рядов Дирихле вида (1). Имеет место

Теорема 3. Коэффициенты рядов Дирихле вида (1) являются периодическим,и, начиная с некоторого номера.

Остановимся на основных моментах доказательства теоремы 3. Имеет место

( )

ряет следующему условию

|/(5)| <С31^ 1+4И , (6)

где А и С некоторые положительные константы. Доказательство.

Как было сказано ранее аналитическое продолжения ряда Дирихле (1) в левую полуплоскость комплексной плоскости осуществляется по той же схеме, что и в работе [8]. Поэтому доказательство оценки (6) проводится точно так же как и доказательство соответствующего результата работы [10].

Доказательство теоремы 3.

В работе [13] доказано, что ряд Дирихле с конечнозначными коэффициентами тогда и только тогда определяет мероморфную с единственным возможным простым полюсом в точке 5 = 1 функцию с условием роста модуля.

|/(5 )(а — 1)| <Сз11пИ+4И,

С А

ны, начиная с некоторого номера. Этот результат с учетом леммы 8 доказывает утверждение теоремы 3.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бнбербах Л. Аналитическое продолжение - М: Наука, 1970.

2. Матвеева O.A. Аппроксимационные полиномы и поведение L-функций Дирихле в критической полосе // Известия Сарат. ун-та. Математика, Механика. Информатика — Саратов: изд-во СГУ, 2013, Вып. 4, ч. 2, С. 80 - 84.

3. Матвеева O.A. Аналитические свойства определённых классов рядов Дирихле и некоторые задачи теории L-функций Дирихле: Диссертация на соискание учебной степени к. ф.-м.н. по специальности 01.01.06 - Ульяновск, 2014.

4. Кузнецов В. И., Матвеева O.A. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, Т. 17, Вып. 2, С. 142 - 149.

5. Кузнецов В. И., Матвеева О. А. Аппроксимационные полиномы Дирихле и некоторые свойства L-функций Дирихле // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2017, Т. 18, Вып. 4, С. 196 - 204.

6. Кузнецов В.Н., Матвеева O.A. О граничном поведении одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2016, Т. 17, Вып. 3, С. 115 - 124.

7. Кузнецов В.Н., Матвеева O.A. К задаче аналитического продолжения рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентам как целых функций на комплексную плоскость // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2017, Т. 18, Вып 4, С. 205-2013.

8. Кузнецов В.Н., Матвеева O.A. Граничное поведение и задача аналитического продолжения одного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2018, Т. 19, Вып 2.

9. Кузнецов В.Н., Матвеева O.A. К одной задаче Ю.В. Линника // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2018, Т. 19, Вып 3.

10. Кузнецов В. Н., Матвеева О. А. К проблеме обобщенных характеров // Чебышевский сборник — Тула: изд-во ТПГУ, 2018, Т. 19, Вып 3.

11. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций- М: Наука, 1968.

12. Маркушевич А.Н. Теория аналитических функций - М: Наука, 1967, Т.2.

13. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сёге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки, 1984, Т.36, № 6, С. 805-813.

14. Чудаков И. Г., Линник Ю.В. Об одном классе вполне мультипликативных функций // ДАН СССР, 1950, Т. 74, №2. С. 133-136.

15. Чудаков И. Г. Обобщенные характеры // Междунар. конгресс матиматиков в Ницце -1970. Доклады советских математиков - М.: Наука, 1972, С. 335.

REFERENCES

1. Бибербах Л. Аналитическое продолжение - М: Наука, 1970.