О рядах Дирихле, определяющих мероморфные функции с определенным порядком роста модуля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Отсюда получаем, что Ь2(в,ф3, К/к) — целая функция. Согласно мероморфности Ь-функции Артина этот факт доказывает целостность данной Ь-функции.

Замечание. Используя подход, описанный выше для случая неабе-лева расширения к С К с группой Галуа О, порядок которой равен произведению двух различных простых чисел, для Ь-функции Артина в случае «толстого» характера ф, можно получить представление вида

(5) п ^(з,Хг,К/К2) п Ьь(в,х^,К/К)

Хг =Х0 Хз =Х0

«••*'К/к)=- ъ (в) •

где к С Кг С К, Оа\(К/Кх) = Н, [Н] = р2; к С К2 С К, Оа\(К/К2) = = Нг, [Нг]= рг.

Отсюда, используя известное разложение для дзета-функции Деде-кинда ZK(в) и наряду с мероморфностью Ь-функции, следует целостность самой Ь-функции Артина.

Библиографический список

1. Хейльброн Х. (-функции и Ь-функции // Алгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М. : Мир, 1969. С. 310—347.

2. Ленг С. Алгебра. М. : Мир, 1968.

УДК 511.3

В. Н. КУЗНЕЦОВ, В. В. КРИВОБОК, О. А. МАТВЕЕВА, Е. В. СЕЦИНСКАЯ

О рядах Дирихле, определяющих мероморфные функции с определенным порядком роста модуля

Рассмотри ряд Дирихле

то

1(в) = Е ПИ в = а + гг, = 1, (1)

и степенной ряд с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле (1):

то

д(г ) = ^ а^. (2)

п= 1

В данной работе доказывается

Теорема 1. Пусть степенной ряд (2) определяет функцию д(г), для которой точка г = 1 является полюсом к-го порядка. Тогда ряд Дирихле (1) определяет функцию /(в), аналитически продолжимую на комплексную плоскость, как мероморфную функцию с возможными простыми полюсами в точках в = 1, 2,..., к, модуль которой удовлетворяет слудующему условию роста

Ц (_п)| = 0(еп 1п п+Ап),

где Л—некотрая положительная константа.

Обратно, пусть ряд Дирихле (1) определяет функцию /(в), аналитически продолжимую на комплексную плоскость как мероморфную функцию с возможными полюсами в точках в = 1, 2,... ,к, модуль которой удовлетворяет следующим условиям роста:

|/(_п)| = 0(еп 1п п+Ап), где Л — некотрая положительная константа.

|/(в)Г(в)| = 0(е-^1), 0 < а < 2, ^ а ^ *ь

где константа зависит от а0 и а1.

Тогда степенной ряд (2) определяет функцию д(г), для которой точка г =1 является либо регулярной, либо полюсом порядка не выше к.

Доказательству теоремы 1 предпошлем ряд лемм.

Лемма 1. Пусть /(в) — целая функция, определенная рядом Дирихле, модуль которой удовлетворяет условию роста модуля

Ц(в)Г(в)| <Св-^1, -ао ^ а ^ аь (3)

где постоянные С и а зависят только от величин а0 и а1. Тогда при х > 0 для п-й производной функции

1 />с+гто

д(х) = ^(в)Г(в)х-(в, с > ао, (4)

с г 00

имеет место представление

(_1)п />С1+гто

д(п)(х) = ^ /(в - п)Г(в - п)(в - п + 1)... (в - 1)х-5(в,

2П и с1-гто где с1 = с + п.

Доказательство

В силу условия (3) интеграл (4) можно продифференцировать по переменной х. Тогда

+гто

/(в)Г(в)(-в)(-в - 1)... (-в - п + 1)х-5-п(в =

1 пс+гто

= 2П с-гто

(-1)п пс1+гто

с1 -гто

с + п.

/(в - п)Г(в - п)(в - п + 1)... (в - 1)х 5 (в,

Г 1 1то

Лемма 2. Последовательность функций {-> является

1г + п) п=к+1

полной в пространстве регулярных внутри и непрерывных на границе круга радиуса Я < к + 1 функций с равномерной нормой.

Доказательство

В работе [1, с. 261] показано, что последовательность функций

Г 1 ^ то

0 ^ у ^ 2п,

- ак\к=1

замкнута в пространстве С*[0, 2п) 2п-периодических функций, тогда и только тогда, когда расходятся следующие два ряда:

то то /

£ (1 -к |*) и £ 1 -

к=1 к=1

1

а-к

где

к г =

|£|, если |£| < 1,

1, если | ^ 1. Отсюда сразу получается утверждение леммы 2.

Лемма 3. Пусть 7д — дуга полуокружности с центром в точке в = 0 радиуса Я:

п 3

в = Явг^, - < у < - п.

2 2

Тогда при 0 < х < 1 и |в0| < Я имеет место оценка

x

s — so

-ds

yr

= O

| ln x|

Доказательство Обозначим через d0 = min |s — s0|. Тогда

s^y r

X

s — so

ds

Y R

3n

<

X

s — so

R

ds ^ I x—R cos *dp do

Y R

2 2 = R i xRcos<4p < 2R i xR(1—п" W = *R

do J do J ndo

-П o

xRtdi =

4R ndo

eRt ln xdt =

4R

ndoR ln x

Rt ln x

=O

| ln x|

Лемма 4. Пусть /(в) — целая функция, определяемая рядом Дирихле (1), модуль которой удовлетворяет условию роста

|f(s)r(s)| = O(e—a|t|), —ao ^ а ^ ai,

1

2

1

1

1

1

o

где константа зависит от величин а0 и аг.

Тогда у соответствующего степенного ряда д(г) вида (2) существуют конечные радиальные производные

lim g(n)(x) = an, n = 0,1, 2,...

ж-» 1—0

Доказательство Рассмотрим обратное преобразование Меллина

д(е-ж) = — f (s)r(s)x-sds,

«У С £00

где

g(e-xx) = £ an е-пж.

n=1

Покажем, что существуют односторонние производные вида lim |g(n)(e-x)| = ßn, n = 0,1,2,... В силу леммы 1 для g(n)(e-x) имеем следующее выражение:

g (n)(e-x) = ^n(s)x-sds,

где ^n(s) = f (s - n)r(s - n)(s - n + 1)... (s - 1).

В силу (5) для функций ^n(s) будет выполняться оценка такого же вида. Тогда, применяя метод контурного интегрирования, получаем:

1 Г ci+гто 1 г k

' ' 4 " * ' s)x-sds \ л y(n)xj

2 . , ^п(в)х 5(в = -Л-г I ^п(в)х 5(в + £ 7^(п)х^', (7)

2пГ Jс1-гто 2пг «/7 ^=0

где 7 — контур, состоящий из дуги полуокружности с центром в точке в = 0 и радиуса Я и соответствующих бесконечных участков мнимой оси.

В этой формуле

7?(п) = Явв^-^п(в), ; = 07к, к < Я < к + 1. (*)

Обозначим контур дуги полуокружности через 7я, а оставшийся участок через 71. Тогда

/ фп(в)х = фп(в)х в<в + / фп(в)х 3<Лв. Оценим второе слагаемое в этом представлении:

(8)

фп(в)х

'71

< с I в-аЧг = С1в-аК < е, при Я ^ Яд. (9)

—аЯ

'Я

Оценим первое слагаемое:

фп(в)х

1к

Обозначим

<

к (п)

/ [^п(в) - Е в+7 ]х"*<в+ / Е тЬ^-'*1

к (п)

т

Фп(в) = ^п(в) - ^

к (п)

^ =0

в + з

(10)

Ясно, что функция Фп(в) регулярна внутри и на границе круга радиуса Я с центром в точке в = 0. Тогда в силу леммы 2 существует выражение вида

Тм,п(в) = Е

с

(п)

Я <к<Ж

в + к

для которого выполняется оценка

тах |Фп(в) - Тм,п(в)| < е. «€7 к

(11)

Тогда в силу (9), (11) и леммы 3 окончательно получаем оценку вида: при 0 < х < 1

Фп(в)х 3<в

'1я

<

(Фп(в) - Т*,п(в)]х 8<в

1я

+

Тм,п(в)х 3<в

'1я

<

< е1 |х-|<в + £ |скп)|

'1п

Я <к<К

'7л

х-

в + к

<в <

с

1п х

Отсюда следует, что

Фп(в)х 8<в —> 0, при х ^ 0.

(12)

7л

оо

Опять же, по лемме 3, имеем

г JL Y(n)

Е — ]x-sds —> 0, при x ^ 0. (13)

Лл j =0 s + j

В силу (10), (12) и (13) получаем

/ ^n(s)x-sds —^ 0, при x ^ 0,

JlR

что вместе с формулами (6) и (7) дает следующее выражение

lim g(n)(e-x) = (-1)nYon) = вп, n = 0,1, 2,... (14)

Последнее равенство завершает доказательство леммы 4.

Замечание. Как следствие леммы 4, получаем следующее выражение для односторонних производных функции g(e-x) :

lim g(n)(e-x) = вп = f(-n), (15)

которое получается на основании формул (*) и (14).

Лемма 5. Пусть у степенного ряда (2) существуют конечные радиальные производные вида

lim g(n)(x) = an, n = 0,1, 2,... (15)

Тогда функция f (s), определяемая рядом Дирихле (1), аналитически продолжима на комплексную плоскость как целая функция.

Доказательство

Ясно, что существование радиальных производных вида (16) равносильно существованию односторонних производных функции g(e-x) :

lim g(n)(e-x) = вп, n = 0,1, 2,... (17)

Итак, пусть существуют односторонние производные вида (17). Тогда по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано будем иметь

g(e-x) = в0 + в1Х + ... + n xn + Rn(x),

П- »

где

Яп(х) = 0(1) при 0 < х < 1.

х

Заменим интегральное представление для функции I(в):

1 [то

I(в) = Щ уо д(е~х)ха~1<х =

1 [1 1 [то

д(в~х)ха-1(1х + д(е-х)х5-1(х. (18)

Г(в)Л ^ У Г(вЬ 1

Так как

то

пх

а„в

п=1

лто то

ха-1(х < / б-пх)ха-1(х < с,

1

то второе слагаемое в формуле (18) определяет целую функцию. Рассмотрим первое слагаемое:

1 ^ (во + Ах + ... + впхп)х5-1(х + /1 Яп(х)хп+5-1(х =

о п! ' Г(в) Л -п

Г(в) Л ' ^ • • • п! 7 Г(в) Л хп

1 Е к^+Т) + ^(в),

Г(в) к=о к!(в + к)

где ^(в) — функция, регулярноя в полуплоскости а > -п. Таким образом, первое слагаемое в (18) определяет функцию, регулярную в полуплоскости а > -п. Так как п было произвольным числом, то утверждение леммы 5 полностью доказано.

Доказательство теоремы 1

Пусть степенной ряд д(г) имеет в точке г =1 полюс к-го порядка. Тогда при 0 < х < р

то к л то

Ак.—г

:е-х)=£ А„хп =£ + £ Апхп,

п= к п= 1 п=о

то

где ряд £ Апхп сходится в некоторой окрестности нуля.

п=о

то

Рассмотрим интегральное представление

1 fж 1 f р k A

f(s) = Щ l g<e-x>xs-1'ix = r(S) l £ A^xS-ldx+

1 />р то i />то

(£ Anxn)xs-1dx + —— g(e-x)xs-1dx =

i(s) Л n=0 i(s) Л

r(s) VE Srn + fi(s)+f(s).

00

(19)

Здесь функция g1(x) = ^ Anxn имеет в точке x = 0 конечные ради-

^0

альные производные любого порядка, и, следовательно, как следует из доказательства леммы 5, функция f1(s) определяет целую функцию. Как следует из доказательства леммы 5, и функция f2(s) определяет целую функцию.

Следовательно, функция f (s) продолжима на комплексную плоскость как мероморфная функция с возможными простыми полюсами в точках s = 1, 2,..., k. Покажем, что

|f (-n)| = O(en ln n+An), (20)

где A — некоторое положительное число. В силу замечания к лемме 4

f1(-n) = lim g(n) (x) = Д^

то -

и в силу того, что степенной ряд ^ Пxn сходится в некоторой окрестного n'

сти нуля радиуса р, то этот ряд определяет в этой окрестности функцию g1(x). Условие (20) будет иметь место в случае A < — ln р + 1.

Для функции f2(s) при а < 0 и A< — ln р + 1 получается следующая оценка:

1 /*то то c г то то x

f2(s)| = jf(S)i Ур (gMe-">"-1dx < g e-kf(/-1dx <

с се(А—, ,, , , ,

< с па < —_< се!5!1пИ+АМ

- |Г(в)|Р < |Г(в)| < с1е •

Таким образом, для функции /(в) имеет место оценка вида

|/(-п)| = 0(еп 1п п+Ап),

где А — некоторая положительная константа, что и завершает доказательство первого утверждения теоремы 1.

Обратно, пусть для функции /(в), определенной рядом Дирихле (1), выполняются условия теоремы 1.

Рассмотрим интегральное представление

пС1+гто

д(е—х) = /(в)Г(в)ж-5¿в, а > к.

«/ С1— ¿то

В результате сдвига контура интегрирования до мнимой оси, что возможно в силу условия роста модуля функции /(в) при |£| ^ то, получаем

пто к А

/¿то

f (s)r(s)x—sdx + ^ n

iTO n=1 x

где второе слагаемое — это сумма вычетов подынтегральной функции в точках s = 1, 2,... ,k.

Далее, рассуждения, приведенные при доказательстве леммы 4, показывают, что функция

/¿то

f (s)r(s)x-sdx

¿то

имеет односторонние производные в точке x = 0 вида

lim gjn)(x) = ßn. В силу замечания к лемме 4 имеем

ßn = f (-n).

Отсюда в силу ограничения на порядок роста модуля |f (— n)| степенной ряд

А

п!

п=0

сходится в некоторой окрестности нуля. Таким образом,

то А то о

д(е-ж) = V — + V ^х™

^ ' ^ п! '

п=1 п=0

где второе слагаемое — это степенной ряд, сходящийся в некоторой окрестности нуля, то есть д(е-х) в точке х = 0 имеет полюс, порядок которого не выше, чем к. Следовательно, и степенной ряд д(г) в точке г =1 имеет полюс порядка не выше, чем к, что и завершает доказательство теоремы 1.

Библиографический список 1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М. : ОГНЗ, 1947.

УДК 511.3

В. А. Матвеев

О поведении рядов Дирихле с обобщёнными характерами

на оси сходимости

Рассмотрим ряд Дирихле

то

/(*) = £ Л(п)/пя, 5 = а + И, (1)

п=1

где ^(п) — обобщённый характер Дирихле, т.е. конечнозначная мультипликативная функция натурального аргумента, обладающая свойствами: