О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ь-функциям числовых полей: Дис.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.

2. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

3. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.

4. Хейльброн Х. (-функции и Ь-функции // Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.

5. Кузнецов В.Н. К задаче описания одного класса рядов Дирихле, определяющих целые функции // Вычислительные методы и программирование: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1988.

6. Кузнецов В.Н. К задаче описания рядов Дирихле, определяющих целые функции // Дифференциальные уравнения и теория функций: Меж-вуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.

УДК 511.3+517.5 В.Н. КУЗНЕЦОВ, Е.В. СЕЦИНСКАЯ, В.В. КРИВОБОК

О рядах Дирихле, определяющих целые функции

первого порядка

Рассмотрим ряд Дирихле

то

f{s) = ^ а = а + ^ нт^! = 1. (1)

пь

п= 1

В данной работе дается описание рядов Дирихле (1), определяющих целые функции первого порядка, выраженное в терминах поведения соответствующего степенного ряда:

то

д(х ) = ^ а^п (2)

п=1

в граничной точке г = ние:

1. А именно доказывается следующее утвержде-

Теорема 1. Пусть дан ряд Дирихле вида (1). Тогда следующие условия эквивалентны:

1. /(й) определяет целую функцию с условием роста модуля

|/(й)| ^ с • е|в| 1п|в|+А|в|, где А — положительная константа;

2. соответствующий степенной ряд д(г) определяет функцию, регулярную в точке г = 1.

Доказательству теоремы 1 предпошлем ряд лемм.

Лемма 1. Если ряд Дирихле вида (1) при условии |/(й)| ^ с• б|в| 1п|в|+А|в| определяет мероморфную функцию с единственно возможным простым полюсом в точке й = 1, то при 0 < р < е-(А+1) ряд

00 к

Е«к р

к +

к=—1

где ак = Явв3=—к(/(й) • Г(й)), абсолютно сходится при всех значениях й = 1,0,-1,..., —п,...

Доказательство

Известно, что

(-1)к

Явв3=—к Г(5) = . Тогда утверждение леммы сразу следует из оценки |/(й)| ^ с• б|в| 1п |в|+А|в|.

Лемма 2. Если ряд Дирихле вида (1) при условии а < —а0 определяет мероморфную функцию с единственно возможным простым полюсом в

точке й = 1, то для любого 0 < р < е-(А+1) для функции f (й) • Г(й) имеет место разложение

то к

f (й) • Г(в) = Ф,(в) + р' • £ ОР-,

к=-1

где Фр(й) — целая функция и ак = Яев'=-к^(й) • Г(й)).

Доказательство

Заметим, что ряд

то

ак р

ток

£

к + й

к=-1

сходится в силу леммы 1. Рассмотрим интегральную формулу для Г(й)

то

Г(в)=/

0

сделаем замену переменных £ = nx, получим

то

ГМ = / е^^'-1^ 0

отсюда

то

п-Т0) = / р-пх ^ 0

Умножим обе части равенства на коэффициент ап и просуммируем его

по п = 1, то, получим

оо оо

то то то

£ <^0) = але~пхх'~'1(1х = £

п=1 п=1 0 0 п=1

ар nxx' 1dx

п

Пусть д(г) — степенной ряд, соответствующий ряду Дирихле f (й), то есть

д(г) = Е

то

г) = > " ап£п.

п

п=1

Тогда последнее равенство запишется следующим образом:

00

/ (5) • Г(й) = у д (е—х )ж5—^ж. 0

Разобьем интеграл (3) на два интеграла

р с»

/(а) • !■(.) = / ^^^ + / д= /1 + /„

0р

где 0 < р < е—(А+1), А > 0.

Интеграл /2 равномерно сходится в любой полосе а1 ^ а ^ а2, так как можарируется сходящимся интегралом, не зависящим от й. Действительно,

|/2| =

00 „„ 00 р » р

п=1

с» с с

< ! Ц апе—пх \х8 1| ¿Ж <

р П=1

<

00

£

П=1

ап е

Далее, пусть |ак| = тах |а^|, тогда

¿=1,2,...

00

£

П=1

= |«1е—х + «2е—2х + ... + аке—кх + ... | ^

—кх

00

< |а11е—х + |а21е—2х + ... + |а*|е—кх + ... < |аЛ| ^

П=1

М1 ц е—пх = М1

П=1

1 - е-

Отсюда следует, что

|/2| ^ М

1 е—

X

х

е

х

е

Так как под интегралом x ^ р, то

11

<

1 - е-х 1 - е-р

В итоге получается, что

то то а 1

1121 ^ / е-^0"-1^ = М2ра-^ е"^^ Же <

р р

то и 1

р

Тогда, по теореме Вейерштрасса, о том, что равномерный предел аналитических функций в любой ограниченной области определяет в пределе аналитическую функцию, интеграл 12 определяет целую функцию. Обозначим ее через

00

—х\1

Фр(й) ^ д(е ^

р

р

Рассмотрим теперь интеграл 11 = / д^-1^'-1. Докажем, что при

0

й = 1,0, -1,..., -п,... имеет место разложение

р

ток

I/д^)^ = £ £+;,

0 к=-1

где ак = Яей'=-к(f(й) • Г(й)).

Для доказательства рассмотрим следующую функцию:

р

^р(й) = р' / д(е ^ - £ акР

ток

Р V /=-1 к + й

о к=-1

Покажем, что Нр(й) = 0.

Заметим, что Нр(й) является целой, ограниченной при а < 0 функцией. Кроме того,

Нр(а) -^ 0. (5)

Действительно, преобразуем ^р(й)

1

р

с

/ д(е—х)ж5—— ^^

«к рк 1

р

рЧ Г-^к + й р

0 к= 1 0

= — I д(е х)ж5

00

00

+1 J д(е х)х5 — -1 ^ д(е х)ж5 1 ¿ж — Ц

ск

ак рк

к + й

/(й) • Г(й) ~ акрк 1

р5

к= 1

В результате получаем, что

^р(й) =

й) — -1 Фр(й р5 р

(6)

где

й) = /(й) • Г(й) — ц акрк

р5

к= 1

к + й

Оценим второе слагаемое правой части равенства (6) при а < 0.

-1 Фр(й р5 р

— д (е х )ж5 р5,/

р5

(4) М1 < 1

оо

р

00

(4) <

ра 7 1 — е—

е—'х 1 М{ [ 1

ра

так как

ограниченная функция.

1 — е—х

Таким образом, получаем, что

^ Фр(й р5 р

<

М [ а 1 , X-

— X-—= — • — ра ра а

оо

а=0 ^ ра = ра а

МГ

—1 —с 0.

а

1

х

е

р

В результате имеем

1 т / \ а—т^—оо „ -фр(5) —> 0.

(7)

Рассмотрим теперь функцию ^р(з). Эта функция является целой, так как представляет разность двух целых функций. Оценим поведение ^р(з) при а < 0. Из функционального уравнения для Г(й)

r(s - 1)r(s) = -г

п

sin ns

s ^ Z

следует, что

^p(s)

f (s)n

00 k ak pk

E

psr(s — 1)sinns k + s

k— — 1

Оценим функцию ^p(s) в окрестности точки s = —n радиуса 5 (11 < 5 < 1). Рассмотрим последовательность тп = max |^p(s)|. Эта

последовательность ограничена, более того

| s+n| — S

n—>оо „ Tn —> 0.

(8)

Действительно, в силу условия |f (s)| ^ c • e|s| ln |s|+A|s|, выбора p (0 < < p < e-(A+1)) и ассимптотики для r(s) при a < 0

lnr(s) = is — Mln s — s + ln + O (|s|—1) ^

r(s) « e(s—1)lns—s+O(1),

получаем, что

max

|s+n|—S

f(s)

psr(1 — s)

n

—> 0.

k

ak p

Аналогично оценивается ряд У2 —:—, так как

k—-1 к + s

max

|s+n|—S

k

ak pk

E

k— 1

к + s

max

|s+n|—S

e От- + E

akpk

—J2—1

1 +k

к + s

k> f—1

<

k

1

s

^ max

|s+n|=J

V

E К

J

+ max

|s+n|=J

E

k> J#"1

k + s

Учитывая, что E |ak|pk < ж и k=-i

V n G N max

|s+n|=J

sin ns

< ci,

получаем выполнение (8). А условия (6) и (8) доказывают (5). Покажем теперь, что (й) ограничена в полуплоскости

: а > 1 + £о, где £0 > 0.

Действительно, в этой полуплоскости ограничена функция ^ т к^ .

к=-1 к + й

к

так как этот ряд сходится при о^ < и

-- g(e x)xs 1dx

Ps J

(4) M1 < 1

J 1 - e-

-x • xa 2dx ^

< — • x 2dx < c.

J

0

Отсюда следует ограниченность функции hp(s) в области D1. Покажем, что hp(s) ограничена в полуплоскости

D : а < 1 + ео, где £о > 0.

Выше было показано, что hp(s) ограничена вдоль отрицательной полуоси а ^ 1 + £0. Разбив полуплоскость D2 полуосью в отрицательном направлении на две части и применяя к каждой из этих частей теорему Флагмена—Линделефа об оценке модуля функции в угловой области [1], получаем ограниченность hp(s) на рассматриваемых частях, а значит, и в полуплоскости D2. Таким образом, получаем, что hp(s) = const.

1

р

р

—x

e

Следствие 1. При условиях леммы 2 функция

р

^р(й) = Р' • У д^-1^'-1^ (9)

0

при й = 1, 0, -1,..., -п,... разлагается в ряд

00

^м = £

то к

аРк

5)= ~ г

к + й' к=-1

где а = Де^-к(f(й) • Г(й)).

Лемма 3. Пусть ряд Дирихле вида (1) при условии ^(й)| ^ с• е''1п 1'1+А1'1 определяет мероморфную функцию с единственно возможным простым полюсом в точке й = 1. Тогда в некоторой окрестности нуля выполняется равенство

00 00 ^аке-кх = ^ аxk, к=1 к=-1 где а = Дей'=-к(f(й) • Г(й)).

Доказательство Рассмотрим функцию

р

+ 2) = • [ д^-1^^1^. р

0

Применяя следствие 1, получаем

то к

+2)=5: . (10)

к= 1

Рассмотрим степенной ряд

00 00

£ акxk+2 = x2 £ аxk. (11)

к=1 к=1

Из неравенства ^(й)| ^ с • е1'11п 1'1+А1'1 и того, что Дей'=-кГ(й) = , следует оценка для ак:

а = О (е(А+1)к) .

Значит, ряд (11) сходится при |х| < е (А+1). Таким образом, получаем

00

жк+2 е С [0, р].

к=1

Покажем, что ж2д(е х) е С[0,р]. Действительно,

(4) е х

|ж2#(е-х)| < ж2М1

1 — е-х'

а

ж2е х

1 - е

- е С[0,р].

Легко видеть, что

Р

в+2

Е

чк=-1

ж

к+2 ' • ж5-1^ж =

Р

в+2

Е

чк=-1

ж

к+в+1

¿Ж =

то к

а

Е

к=-1

к + й + 2'

Подставляя это равенство в (10), получим при а > 0

00

9(е-х)ж2 - £

ж

к+2

к=-1

Ж

е-1

¿Ж = 0,

следовательно, выполняется равенство для г е N

3(е"х)х2 - £

ж

к+2

к=-1

жг ¿Ж = 0,

(12)

00

а так как ^ ж +2 е С[0,р] и ж2^(е-х) е С[0,р], то из (12), в силу к=1

полноты {жг}ТО=0 в пространстве С[0,р], получаем, что при ж е [0,р]

00

5(е-х) = Е

ж

к=-1

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1 В одну сторону доказательство теоремы 1 следует из леммы 3. Докажем обратное утверждение этой теоремы. Таким образом, пусть функция

р

р

1

1

р

р

д(е х) в некоторой окрестности нуля радиуса р0 > 0 раскладывается в

ряд

д(е-х) = £

Ск xk.

к=0

Отсюда следует, что при 0 < р< р0 и й = 0, -1,..., -п,... получаем разложение вида

д(е ^ ^ = р' ^

к

' х - скрк

к=0

к +

(13)

00

где ряд £ скрк абсолютно сходится. к=0

В силу (3) и (13) функция f(й) является целой. Из свойств целой

й- 1

функции щ следует, что V к = -1, то функция Г(й)(к + целой и

|й - 11 < с . е1'11п |'| + |'|

|Г(й)| • |к + < С1 е ,

где с1 не зависит от к. Из (13) и (14) получаем

является

(14)

б' -1

д(е "К ^

< с1 • е

|'| 1п |'|+А|'|

(15)

где А = - 1п ро + 1.

При а < 1 + £0 получаем следующую оценку:

00

д(е "К ^

(4)

< М1

оо

1е-

xa-1dx <

00

x

ст- 1

< М2р^ е-" I ^ < Мзра < M4e(A-1)|'|.

(16)

Выполнение условий (15), (16) и (3) дают оценку ^(й)| < с• e|'| 1п теоремы 1 при а < 1 + £0. Очевидно, что эта оценка выполняется и в полуплоскости а > 1 + £0.

р

р

—х

е

Библиографический список

1. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

2. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36, вып. 6.

УДК 539.3+517.4 Т.А. КУЗНЕЦОВА, К.А. БАЕВ, С.В. ЧУМАКОВА

/ Ч__U __U

Спектральный критерии локальной потери устойчивости тонких оболочечных конструкций произвольной конфигурации

В данной статье указан достаточно широкий класс оболочечных конструкций и класс нелинейных моделей, описывающих поведение этих оболочечных конструкций при воздействии различных нагрузок, для которых доказывается спектральный критерий локальной потери устойчивости.

При нагрузках, близких к критическим, то есть близких к тем нагрузкам, при которых наблюдается «прощелкивание» оболочки, в отдельных точках и в малых окрестностях таких точек возникают критические напряжения, в результате которых локально появляются малые вмятины. На языке решений модельной задачи это означает, что в окрестности отдельных точек нарушается однозначность решения нелинейных уравнений. В этом случае говорят о локальной потере устойчивости тонких оболочечных конструкций.

В статьях [1], [2] были получены спектральные критерии локальной потери устойчивости в статическом и динамическом случае соответственно для прямоугольных в плане оболочек. В [3] была указана актуальность решения задачи определения точек локальной потери устойчиво-