ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛАМИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 2 (2023). С. 20-30.

УДК 517.9

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛАМИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Ю.Г. ВОРОНОВА, А.В. ЖИБЕР

Аннотация. Рассматривается проблема Гурса, посвященная классификации нелинейных гиперболических уравнений второго порядка интегрируемых методом Дарбу. В работе исследуется класс гиперболических уравнений с ^-интегралом второго порядка, сводящихся дифференциальной подстановкой к уравнениям с ^-интегралом первого порядка. Следует отметить, что уравнения Лэне содержатся в классе рассматриваемых нами уравнений. В работе приведен у-интеграл второго порядка для второго уравнения Лэне и найдена дифференциальная подстановка, связывающая это уравнение с одним из уравнений Мутара.

ламп первого порядка и х-интегралами третьего порядка. Получены три условия, при выполнении которых уравнения данного класса обладают интегралами первого и третьего порядка. Найден вид таких уравнений и получены формулы для х- и у-интегралов. Также в статье приведены дифференциальные подстановки, связывающие уравнения Лэне.

х

становки.

Mathematics Subject Classification: 35Q51, 37К60

1 15 И К. (К1III к

Для полной классификации нелинейных гиперболических уравнений

иху = f(x,y,u,ux,uy)

необходимо провести классификацию уравнений специального класса, которые не были исследованы в работе [1], а именно следующих уравнений:

_ р-^ч , д /—

Uxy — Ux +

Рч

Рч

(1.1)

Здесь р q — функции переменных х, у, и, а р — переменных х, у, u, uy. Так, в 1926 г. Лэне построил два уравнения (см. [2]-[4])

и.

xy

Uxy —(+ Ux + ^

\и — х и — у J и — X

(и + Y )2 + Uy + (и + Y )у/(и + F )2 +

Uy

\/ux + uX uX

и — х л/(и + Y )2 +

(1.2)

(1.3)

Y = Y(у), обладающие ^-интегралом второго порядка w = w(x,y,u,uy,uyy) и х-интегралом третьего порядка w = w(x,y,u,ux,uxx,uxxx) (Dw = 0 Dw = 0). Здесь D (соответственно, D) — оператор полного дифференцирования по х (соответственно, по у).

Yu.G. Voronova, A.V. Zhibbr I, On a class of hyperbolic equations with third-order

integrals.

© Воронова Ю.Г., Жибер А.В. 2023. Поступила 13 сентября 2022 г.

У

У

y

Отметим, что уравнения (1.2) и (1.3) содержатся в классе уравнений (1.1). Действительно, при

1 1 1

р =--1--, <р = 1п иу

и — х и — х и — у

уравнение (1.2) совпадает с уравнением (1.1), а при

р = д =-, ю = 1п

и — X

(и + У ) + у/ иу + (и + Г )2

уравнение (1.1) переходит в (1.3).

В работе [5] доказано следующее утверждение:

Лемма 1.1. Если уравнение (1.1) обладает, у-интегралом второго порядка, то функция ф не зависит, от, переменной х.

Следовательно у-интеграл представим в виде

IV = И г + /3 (х, у, г)

и поэтому дифференциальная подстановка

г = (р(у,и,иу) — к(х,у,и), р = Ъи, (1.4)

решения уравнения (1.1) переводит в решения уравнения

ОЬ г + Бр = 0. (1.5)

Приведем дифференциальные подстановки (1.4), уравнения (1.5) и интегралы для уравнений Лэне (см. [2]-[4]). Дифференциальная подстановка

г = 1п-Ъ.--(1.6)

(и — х)(и — у)

связывает уравнение (1.2) с уравнением Мутара

2 — У)гхег + 2 Уравнение (1.7) обладает ж-интегралом третьего порядка

гху +-¿(х — у)гхег + -ег = 0. (1.7)

Гхх Т,

Тогда уравнение (1.2) имеет ж-интеграл вида

_ ^Гр . !У> I !У>3

XXX 01 X 1 XX + >х /1П\ ■ =---^2--. (1.8)

у

^ = + г, (1.9)

где

иХх их +

2(их + у/щ?) и — х

IV = ^ — ^ + — ^ + 1

\и — X и — у/

2 \и — х и — у / и — у

Дифференциальная подстановка

~и + ¥ (у) + л/иу + (и + У (у))2

= 1п

и — X

(1.10)

решения уравнения (1.3) переводит в решения уравнения

в

Гху — ^ К (X + У(У))]=0. (1.11)

Уравнение (1.11) обладает ж-интегралом третьего порядка (1.8), а уравнение (1.3) интегралом (1.9), т.е. совпадает с ж-интегралом уравнения (1.2).

22 ю.г. воронова, а.в. жибер

Также найден у-интеграл уравнения (1.3) в виде uyy I _ u + Y

W i_

2uy\ sjuy + (u + Y)2 )

+ (u + Y)2 + (u + Y )^Uy + (u + Y )2 (u + Y)2 + 2uy + Y'

+ U +

u — ж yjuy + (u + Y)2

Целью данной работы является описание уравнений (1.5), обладающих ^-интегралом первого порядка и ж-интегралом третьего порядка.

2. Ж-ИНТЕГРАЛЫ уравнения (1.5)

Исследуем уравнение (1.5), обладающее ж-интегралами третьего порядка. Сделаем замену v —у u, Р — —р. Тогда уравнение (1.5) перепишется в виде

DDu = Dp, р = р(ж,у,п). (2.1)

Для удобства изложения материала введем обозначения

ui =ux, u2 =uxx, ..., ui =uy, u,2 =uyy, ----

w = u1 — p.

Пусть W = W(ж,y,u,ui,u2,us) — ж-интеграл уравнения (2.1). Из выражения

Dw = Wy + Wu • ui + WU1 • Dp + WU2 • D2p + WU3 • D3p = 0, (2.2)

ясно, что Wu = 0. Известно, что если существует интеграл порядка п, п > 2, то можно считать, что последний является линейным по старшей переменной. Положим

W = А(ж, у, u1,u2) • u3 + В(ж, у, u1,u2).

Выражение (2.2) перепишется в виде

А (pu • u3 + 3puu • uiu2 + 3u2 • Pux + uf • Puuu + 3u2 • Puux + 3ui • Pxxu + Pxxx) + DB = 0

ИЛИ

DA + PuA = 0, (2.3)

A (3puuuiu2 + 3u2Pux + ufpuuu + 3u2fpuux + 3uiPxxu + Pxxx) + DB = 0. (2.4)

А = А( ж, )

ДИМ, что

A

P = — A •u + Е(ж, y).

С помощью замены u = v + Я(ж, у), где — ^Q + Е — Qy = 0, мы получаем уравнение

DDv = D (а(ж, у) • v), (2.5)

в котором а(ж, у) = —

Теперь перейдем к случаю, когда А = А(ж,у,щ), Aui = 0. Из выражения (2.3) дифференци-

ui

DAui + 2Aui •Pu = 0 и учитывая, что DA + puA = 0, будем иметь

DA 1DAU1

Pu =--=---1,

А 2 Au1

т.е.

Din % = 0.

A2

ж

Au

—ui = а(ж), а(ж) = 0. A2

Откуда получаем, что

а (х)

А =

их + Ь(х, у)'

Можно считать, что а(х) = 1, а замена и ^ и — [ Ь(х, у)йх, позволяет представить А в виде

А =1.

их

Из равенства (2.3) находим, что рх = 0, т.е. в данном случае имеем

А = —, Б1)и = Бр(у,и). их

Осталось рассмотреть случай, когда А = А(х,у,их,и2), Аи2 = 0. Дифференцированием выражения (2.3) по переменной находим, что

!)Аи2 + 2Ри ■ Аи2 =

Откуда имеем

И А 11)Аи2

Ри~ - 2

А 2 Аи2

Тогда

А =-гт-V. (2.6)

и2 + Ь(х,у,их)

А

Рии ■ и2 + 2их ■ Рих + Рхх + Ъу + Ьиг - Ир — Ри ■Ь = 0. (2.7)

их

2рии ■ их + 2рих + ИЬи1 = 0.

Далее

ИЬихихих + 2Ри ■ Ьихихих — 0. Если Ъихихих = 0, то Ри = — ^ЙЬ Ьихихих- А т.к. ри = —1)\иА, то

И (\п-— ^Ы Ьихихих) = 0

V и2 + Ь 2 )

и следовательно есть интеграл второго порядка, что противеречит предположению, что порядок

х и и и = 0

Ь= | ■иХ + ■их + 5, (2.8)

где а, 7, 5 — функции переменных х и у. Подставим функцию (2.8) в уравнение (2.7). Получим равенства

Рии + От + а ■ Ри = 0, (2.9)

2рих + Ъ + а ■ рх = 0, (2.10)

Рхх + $у + 1 ■ Рх — Ри = 0. (2.11)

Решение уравнения (2.9) дается формулой

р = — -Се - 2и — ауи + к(у), (2.12)

а а

при а = 0.

Если а = 0, то рии = 0, ри = ^(х, у) и

И А + ! ц.йу^ = 0,

х

Таким образом, если функция А = А(х,у,их,и2), то верны формулы (2.6), (2.8), (2.9)—(2.12).

и = @(у) ■и + у(х, у).

24 ю.г. воронова, a.b. живер

После несложных преобразований, получим уравнение (и ^ и)

Ш)и = Б(еи + й(х, у)), где р = еи + й(х, у). Тогда условия (2.9)^(2.11) примут вид

а = —2, 6 = 0, 7ху = —7 ■ Ъ, йх = ]ру. Доказано следующее утверждение.

х

Ш = А(х, у, щ,и2) ■ и3 + В(х, у, щ,и2). Тогда выполнено одно из условий

Ау

А = А(х, у), р = а(х, у) ■и, а = —-у, (2.13)

А

А =—, р = р(у,и), (2.14)

и

А =—1—-, Ь = —и2 р = еи + й(х,у), (2.15)

и2 + 1

1ху = -1 ■ Ъ, йх = ^у.

При выполнении условий (2.13) —(2.15) выполнено равенство (2.3) и обратно, условие (2.3) сводится к одном,у из (2.13), (2.14), (2.15).

Далее рассмотрим уравнение (2.4) в случае (2.13):

А ■ (3и2 ■ ах + Зщ ■ ахх + аххх ■ и)+1)В = 0. (2.16)

и2

3 ах ■А + ИВи2 + а ■ Ви2 =0,

И)Ви2и2 + 2а ■ Ви2и2 - 0.

ах = 0 ах = 0 В = В( х) х

Ш = А ■ иь Также Ви2 = 0, иначе ах = 0.

Ви2 и2 = 0

В = а(х,у,щ) ■ и2 + Р(х,у,щ). (2-17)

После подстановки (2.17) в выражение (2.16) получим соотношения

3 А ■ ах + а ■ а + ау + аи ( ах ■ и + а ■ и ) = 0,

А ■ аххх + а ■ахх + ах ■ $иг = 0, (2.19)

ЗА ■ ахх ■иг + 2а ■ах ■иг + Ру + ■а ■иг = 0. (2.20)

ах = 0 аи = 0 а = а( х, )

3 А ■ ах + а ■ а + ау = 0.

Из (2.19) находим

Р =--(А ■ аххх + а ■ ахх) ■ иг + 7(х, у). (2.22)

ах

— а

Тогда выражение (2.20) примет вид

д

ЗА •ахх + 2а • ах - тг-д

ш 7у = 0. Так как W = Аиз + аи,2 + ß, то можно считать, что 7 = 0.

Из уравнения (2.23) находим а в виде

— (Ааххх + аахх)

ах

1 (Ааххх +аахх)

ах

(2.23)

(б ахх - (^X) -А

а = ---т-^-, (2.24)

2ах - (tf) 1

0

знаменатель 2ах — ^^f^ = 0 так как иначе существует х-интеграл второго порядка W = a(U2 — О^иА.

\ ах /

Итак, из (2.21), (2.22) и (2.24) следует, что х-интеграл третьего порядка в случае, когда BU2U2 = 0, можно представить в виде

_и ( ЕЕ . . аххх i

W = е ■ [из — —— (axU2 — axxUi)--иН ,

V Fax ах J

где bv = а, Е = 6ахх — ( F = 2ах — ( ) и выполняется условие

V ах ) v Уах ) v

где к(х) — произвольная функция. Теперь, пусть BU2U2 = 0. Тогда

Е

-— 3 Ьх + к(х) = 0, F

D\nBu2u2 = —2а = 2 А

(2.25)

или

B

U2U2

= ф) ■ А2

или

B =

7(х)а2и2 + е(х, у, и, и{)и2 + ^(х, у, и, щ),

2

7 = 0. Далее,

W = Аиз + 2a2u2 + еи2 + Ц.

и исполузуя замену 7 ■А ^ А, интеграл можно переписать в виде

Ш = Аиз + 2а2п2 + еи2 + ц, где е, ц — функции, переменных ж, у, и, щ. Таким образом

А2 2

В = + еи2 + ц. Теперь запишем условие (2.16) для функции В (2.26). Получим соотношения

£и = 0, ци = 0, А ахх + ^и±ах — 0

3 А ах + 2 А2ахи\ + еу + еи1аи\ + еа = 0,

х х х х х + Ци-1 х

3 А аххи\ + 2е ахи\ + цу + ци1аи\ = 0.

ах = 0

.2 ахх с/ \

£ = —А ■-■ и\ + д(ж, у),

ах

а из (2.29)

(ахх\ А 2 (л аххх . ахх гА , / \

- -тти1 — [А-+-5)U1 +7(х, у).

ах J 2 V ах ах J

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

26 ю.г. воронова, а.в. живер

В силу (2.31), (2.32) соотношения (2.28), (2.30) перепишутся в виде 3 А ах + у + а = 0,

2А2ах — (а2 ' — 2аА2 ^ = 0, (2.34)

ах ах

ЗАахх + -ахд — (А^ + )' — ((А^ + )=0, (2.35)

ах ах

ах ах у ах ах

2 1

2 А ахх + —

(^АУ! +а (^АУ = 0, (2.36)

ах ах

у

7у = 0. Можно считать, что 7(х) = 0. После несложных преобразований, соотношения (2.33)^(2.36) можно представить в виде

3 А ах + у + а = 0,

ах

ах

(ахх \

ах )у

ах х х

6 ахх

ах

у

Но, если 2ах — I аж£- I = 0, то исходное уравнение (2.1) имеет х-интеграл второго порядка

\ах / у

Ш = А (у,2 — аа^иЛ, а = — Так как мы ищем х-интеграл третьего порядка, то данный случай

а

- I ^.у

ахх \ ~ ^

ч а-х _

не реализуется.

Перейдем к рассмотрению случая (2.14). Уравнение (2.4) запишется в виде

Зриии2 + и2Риии + Ву + Ви± (РиУЛ) + Ви2 (РиУ'2 + Риии2) = 0. (2.37)

и2

Зрии + ИВи2 + Ри ■ Ви2 = 0. (2.38)

Если Ви2 = 0, тогда рии = 0, т.е. р = а(у)и + Р(у). В этом случае существует х-интеграл первого порядка Ш = 7 (у) ■ щ, где 7' + 7 ■а = 0. Теперь, пусть Ви2 = 0 Ви2и2 = 0, т.е.

В = а(х, у, и\) ■ и2 + Р(х, у, и\).

Выражение (2.37) примет вид:

Зрии + ау + а^РиЩ + ари = 0, (2.39)

и\риии + ариии2 + = 0. (2.40) и

Ьа^ + 2ри ■аих =0.

аи = 0 а = а( х, )

Зрии + ау + а ■ ри = 0. (2-41) Решение уравнения (2.41) дается формулой

р = —ау ■и — З ^^ ■ е- 1аи + р(х, у). а а

Далее, так как рх = 0, то имеем либо

к = 0, ау = 5(у), р = р(у), а

р = —5(у) ■и + /л(у), (2.42)

либо

ау

к = к(у)=0, — = 6(у), а = а(у), р =/л(у), а

0

р = —6(у) ■ и — 3ОЦ ■ е-*аи + ц(у). (2.43)

В случае (2.39), (2.40), (2.42) существует ж-интеград первого порядка Ш = 7(у) ■ их- А в случае (2.39), (2.40), (2.43) существует ж-пптеград второго порядка Ш = ^ + Щу^ ■ их. Таким образом, данные случаи не реализуются. Если аи1 = 0, то

Б 1п аи1 +2ри = 0

или

1)1паи1 + 21)1пих = 0.

Откуда

а = — £-^ + 7(ж, у). (2.44)

их

Теперь (2.39), с учетом (2.44), примет вид

3рии + 7у + 7Ри = 0. (2.45)

Так как рх = 0, то 7 = 7(у). Уравнение (2.45) совпадает с (2.41) (а ^7). Значит данный случай также не реализуется.

И, наконец, рассмотрим случай, когда Ви2и2 = 0. Из уравнения (2.38), дифференцированием и

1)Ви2и2 + 2Ри ■ Ви2и2 - 0

или

Б 1п Ви2и2 + 21) 1п и\ = 0.

Откуда

После подстановки (2.46) в (2.37), имеем

(3 + 2 а) ■ рии + (Р + Щ0и1) ■ Ри + Ру = 0, (2.47)

и1 ■ Риии + 7у + Ри ■их ■ 7и1 + Рии ■и1 ■ Р = 0. (2.48)

Тогда £ (Р + ихРиц) = 0, иначе Рии = 0 п Ви2 = 0. Найдем

Р = £(ж, у) + ^

их

Р у = 0

(3 + 2а(ж)) ■ рии + е(ж, у) ■ Ри + £у = 0. Если 3 + 2а = 0 то е = 0 и Р = Теперь рассмотрим (2.48):

и2х ■ Риии + 7у + 7и1 ■их ■ Ри + Рии ■их ■б = 0.

При 5 (ж) = 0 имеем

Рии = схРи + с2, Римм = ахРи + а2, Сг = Сг(у), аг = аг(у), г = 1,2. Так как ри = 0, то с\ = ах, схс2 = а2 и

Рии = Сх Ри + С2, Риии = фи + СхС2. (2.49)

После подстановки (2.49) в равенство (2.48), получим следующие соотношения

7и1 = — с\их — сх 5, 7у = — схс 2и\ — с25их. Откуда следует, что с'х = с2. Тогда

/ 2 /

Рии = Сх Ри + ^х, Риии = Сх Ри + Сх Сх.

В этом случае уравнение (2.1) обладает ж-интегралом второго порядка Ш = — сх(у) ■ их-Т.е. данный случай нам не подходит.

28 Ю.Г. ВОРОНОВА, А.В. ЖИВЕР

Пусть 5(х) = 0, тогда Р = 0 и соотношение (2.48) примет вид

+ 1у + 1иг _ 0

Риии + 2 + ■ Ри — 0.

и2 и

Тогда

^ = р(х, у), Ц = к(х, у), (2.50)

и и2

Риии + к(х, у) + р(х, у) ■ Ри = 0. Так как рх = 0, то рх = 0 и кх = 0. № (2.50) следует, что К = 2к, 7 = ^уи2 и

Риии + Ку) ■ Ри + (у) = 0.

х

Ш = из — З ■ (V + КШ ■и2. и - 2 ■ и 2 ■ 1

Далее, пусть З + 2а = 0. Тогда из уравнения (2.47) получим, что

Рии + к(у) ■ Ри + к(у) = 0. Из соотношений (2.51) находим К (у) = к(у)- Данный случай не реализуется так как уравнение (2.1) обладает х-интегралом Ш = — к(у) ■ и\.

И, наконец, рассмотрим последний случай (2.15). Сделаем замену

В = А ■ С,

тогда, в силу (2.3), ИВ = А ■ (ИС — еи ■С) и уравнение (2.4) примет вид

З еи ■ щи2 + и\ ■ еи + -ххх + ИС — еи ■С = 0. (2.52)

Откуда

ИСи2и2 + & ■ Си2и2 = 0. (2.53)

Если Си2и2 = 0, то есть С = а(х, у, щ) ■ и2 + Р(х, у, щ), из соотношения (2.52) получим равенства

З и + и ■ аи = 0,

и3 + а ■и2 + щ ■Рщ — Р = 0, (2.55)

ау + аи1 ■ -х = 0, (2.56)

йххх + а ■ йхх + Ру + Ри\ ■ йх —

0.

а

а = —Зи\ + З ^У йх(х, у)йу. А из уравнений (2.55), (2.57) нетрудно получить, что

Р = — е ■ и"2 + к(х, у) ■щ,

где

йххх . о йхх I 7 / \ 7

К = —+ З-у- ■ йх(х, у)йу, а также выполнено соотношение

х

х

1_ ( „ .ч -

и2 —и2 —

Ш = — Зии + — +З1л*х

при этом

йху + 2й ■йх = е(у) ■ йх.

Остался случай, когда Си2и2 = 0. Из равенства (2.53) находим, что

((ж)

Си2и2 — .7)

и2 + Ь

Ф) = 0.

Тогда

С = (р(ж) ■ ((и2 + Ь) ■ 1п(и2 +Ь) — и2) + а(ж, у, их)и2 + Р(ж, у, их). Подставим последнее выражение для С в уравнение (2.54), получим, что ((ж) = 0, противоречие. Таким образом, данный случай не реализуется. В итоге доказана следующая

ж

первого порядка Ш = их — р, то реализуется один из следующих трех случаев:

1) р = а(ж, у) ■и, Ш = еь^(из — (ахи2 — аххих) — их

где Ьу = а, Е = 6ахх —

-ш—^ ^^ 2 ^^ хх х/ х ] }

е ах мх )

( ххх ) , Е = 2ах — ( ) и выполняется условие (2.25).

ах у х ах у

2) Риии + ц(у) ■ Ри + \ц'(у) = 0, Ш = ^ — 3 ■( Щ + ^ ■и2,

2 их 2 их 2

3) р = еи + й(ж, у), йху + 2й ■йх = е(у) ■ йх,

Ш =-- (из — 3ихи2 — -^иЛ + 3 [ йх (ж, у)йу,

и2 —и2 — йх ) ]

где ц(у), е(у) — произвольные функции.

3. Дифференциальные подстановки уравнений Лэне (1.2), (1.3) В данном параграфе рассмотрим дифференциальные подстановки, связывающие уравнения

их

( иг иг \ иг

--1--их +--\/их

и — ж и —

*>х * V и,х •

и ж и и ж

Данное уравнение дифференциальной подстановкой

иг

= 1п

(и — ж)(и — г)

сводится к уравнению Мутара:

ООг = -0 [ег(х — ж)] .

А второе уравнение Лэне

Уху = 2 (у + У)2 + уу + (у + У)^(У + У)2 + ъ дифференциальной подстановкой

"и + У (у) + л/щ + (у + У (у))2

л/йх + V х Ух

и — ж ^(у + У )2 +■

= 1п

ж

сводится к уравнению

00)8 = 0 [е3(ж + У(у))]. Покажем, что уравнения (3.6) и (3.3) связаны между собой. Положим

* = —У (у),

тогда

8(ж, у) = д(ж, г).

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

у

30 ю.г, воронова, a.b. ж ив ер

Уравнение (3.6) перепишем в виде:

qXz = D

Положим lnY'(y) = a(z),

(z — x)eq-lnY'(y) r = q — a(z) + ln2. (3.7)

Тогда получаем уравнение (3.3)

rxz = 2D [^(z -x)\ ■

Далее, подставим (3.2) в выражение (3.7)

ln 7-^-г = q- lnY' + ln 2,

(и — x)(u — z)

заменим z = —Y(y), тогда

2(x -u)(u + Y)'

С учетом (3.5), получим

uy _v + Y (y) + y/vy + (v + Y (y))2

(3.8)

2(х — и)(и + У (у)) V — х

х их х у

Получим соотношение

уйх+1 = л/йх+1 ,зд)

и — х V — х ' '

Таким образом, получили что уравнения (3.1) и (3.4) связаны дифференциальной подстановкой (3.8), (3.9).

иУ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.В. Жибер, В.В. Соколов. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. 56:1, 63-106 (2001).

2. О.В. Капцов. Методы интегрирования уравнений с частными производным,и // М.: ФИЗМАТ. HIT. 2009.

3. О.В. Капцов. О проблеме классификации Гурса // Программирование. 2, 68-71 (2012).

4. М.Е. Laine. Sur l'application de la méthode de Darboux aux équations s = f(x, y, z,p, q) // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 182, 1127-1128 (1926).

5. A.B. Жибер, A.M. Юрьева. Гиперболические уравнения лиувиллевского типа специального класса // Дифференциальные уравнения, Математ. физика. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. ВИНИТИ РАН, Москва. 137, 17-25 (2017).

Юлия Геннадьевна Воронова,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: mihaylovaj @mail. ru

Анатолий Васильевич Жибер, Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: zhiber@mail.ru