Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 67-79.

УДК 517.9

ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛАМИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА

А.В. ЖИБЕР, О.С. КОСТРИГИНА

Аннотация. Рассматривается задача Гурса для одного класса нелинейных гиперболических систем уравнений вида

игХу = ¥г(и,иХ,иу), і = 1,2, и = (и1,и2)

с интегралами первого и второго порядка

Ш1(и1,и2,иХ,иХ), Ш2(и1,и2,иХ,иХ,иХх,иХх), (Т)(ш1) = 1)(й2) = 0),

й1 (и1,и2,иу,иу), й2(и1,и2,и1/,и2,иуу,и2уу), (О(й)1 )= Б(й)2)=0).

Получены явные формулы решений задачи Гурса с данными на характеристиках

и1(хо,у) = ф1(у), и2(хо,у) = ф2(у), и1(х,уо)= ф1(х), и2(х,уо)= ф2(х).

Ключевые слова: нелинейные гиперболические системы уравнений, характеристики, задача Гурса.

1. Введение

В работе [1] приведена схема сведения задачи Гурса для интегрируемых гиперболических систем уравнений экспоненциального вида к решению динамической системы. Задачи Коши и Гурса для линейных систем уравнений вида

диг(х) ,ч ,ч ч/ч •

—дх— = агэ(х)Щ(х) + Аг(х), г = 1, 2,... , п,

г 3=1

где х = (х1,х2,... ,х—), исследовались во многих работах (см., например, [2], [3]).

Точные решения задачи Коши и Гурса для систем уравнений

д Пг + 5 (^гз (х,У) + Ьгз(х,у) Іду + Сгз(х,у)и^ = ^г(х,У),г = 1, 2,...,п

дхду

были получены в статьях [4], [5].

В настоящей работе рассматривается задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений

иху Р (и; их ) иу) (иху Р 1 ) 2)

A.V. Zhiber, O.S. Kostrigina, Goursat problem for nonlinear hyperbolic systems with integrals of the first and second order.

© Живер А.В., КостригинА О.С. 2011.

Работа поддержана РФФИ (гранты 10-01-00088-а, 10-01-91222-СТ-а, 11-01-97005-р-поволжье-а). Поступила 15 июля 2011 г.

с интегралами первого и второго порядка

и1(п1,п2,п1х,п2х), и2(п1 ,и2,и1х,и2х,и1хх,и2хх), (0(иу) = О(и2) = 0), й1 (и1,и2,и^у,и‘У), и2(и1,и2,иу,и2у,и1уу,и2уу), (0(01) = 0(и2) = 0). ( )

Здесь 0(0) — оператор полного дифференцирования по переменной х(у).

Отметим, что задача классификации интегрируемых систем уравнений (1), (2) рассматривалась в работе [6]. При этом были получены следующие интегрируемые системы уравнений

и

ху

—х—у

X

Их + аУ

ихиу,

и

у

иХ —у ~У~

+

1

+

1

аХ а2У

ихиу,

1

1

і

2

1 и 1 1 ( 1 ^ \ і 12 2 и 2 2 ( а 1 А 2 12

их у Хихиу + у X + аУ у и их иУ, их у Уих иу + у X + у) и их—гу , X — и1 и2 + ё,2, У — и1 и2 + с2, —+— ё,2 — (а + 1)с2, а

где с — произвольная постоянная, с2, <12, а — ненулевые постоянные.

В статье построены явные формулы решений задачи Гурса для систем уравнений (3),(4) с данными на характеристиках

и 1 (хо,у) — ф1 (У), —2(Хо,У) — ф2(у),

1 2 (5)

и (х,уо)— ф1 (х), и(х,уо) — ф2(х).

2. Решение задачи Гурса для системы уравнений (3)

Построение решения задачи Гурса (3), (5) будем проводить, используя полученное в работе [6] общее решение системы уравнений (3). Это решение, в зависимости от параметра а входящего в правую часть системы, задается следующем образом: при а = 1

и \ А(х) + В (у) В' (у) с

и (Х’У) = (СХ + В(у))2 - СН°(Х) + 0{У)) ~ О'(у)(С(х) + О(у)) + 2

2, ^ А(Х) + В(У) , 1 (г<( \ , А'(Х) С

и (х, у) — + с 1п(С(х) + п(у)) — 7^

(С (х) + О(у))2 'С (х)(С (х) + О(у)) 2’

при а — 1 (с — 0)

1 аА(х) + В (у) В' (у)

и (х,у) —

а(С (х) + О(у))а+1 а° (у)(С (х) + О(у))а

п2(х,у) —

2( А(х) + аВ(у) А' (х)

а(С (х) + О(у))а+1 аС' (х)(С (х) + О(у))а

Таким образом возможны два случая.

І) в случае а = 1, из (б), (5) получаем

ф1 {y> = - cщсы + Dy)) - D-(y)(C(xІН от + 2

ф'2(у) = 2 + cln(CЫ + D(y)) -- A'(xo) c

(C(xo) + D(y))2 K C'(xo)(C(xo) + D(y)) 2’

/ A(x)+ B(y0) ! (ГК ^ , ТЛ( W B' (У0) , c

фl(x) = TnTTjHTf v\2 - c n(C(x) + D(yo)) - ~пч мгі \ л. ni vi" + о-

(C(x) + D(yo))2 D (yo)(C(x) + D(yo)) 2

, , . A(x) + B(y0) л .. A' (x) c

"Mx) = , JL + c‘n(C(x) + D(yo)) - — y J

(С (х) + О(уо))2 ЧУ0" С' (х)(С (х) + О(уо)) 2

Введем обозначения

Ь(у) — А(хо) + В(у)) (і(у) — С(хо) + О(у)) а(х) — А(х) + В(уо), г(х) — С(х) + О(уо),

и будем считать, что

Ь(уо) — а(хо) — 0.

Тогда последнюю систему уравнений можно переписать следующим образом

фі(у) = Ш — с 1п ^ — +

а. < ^ Ь(у) , і м ^ А'(хо) с

ф2(у) — ^^ + с 1п 0(у) —

й(у)2 С' (хо)о(у) 2’

и

, , ^ а(х) ! , ^ В'(уо) , с

ф1(х) — — с 1п г(х) — + - ,

г(х)2 О (уо)г(х) 2

, . . а(х) п . . а' (х) с

ф2(х) — + с 1п г(х) — — -.

г(х)2 г (х)г(х) 2

Из второго уравнения (9) находим, что

А' (хо)

2Г'»)* ' С(хвУ

Полагая в последнем соотношении у — уо, а также учитывая (8), получаем

А^Х° — (ф2(уо) — с 1по(уо) + с) о(уо).

C' (xo) v*0' 2

Следовательно, формула (ІІ) примет вид

Фі(у)+ Ф2(У) - c = --^ф'2(У),

a(x) = (фl(x) + clnr(x) - c) r(x)2 + B'((Уо\ r(x).

V 2/ D (у0)

:іо)

b(y) = {ф2(у) - c‘nd(y) + 2) d(y)2 + C'(xx°)d(y). (11

b(y) = (ф2(у) - c‘nd(y) + 2) d(y)2 - (ф2(У0) - c‘nd(yo) + 2) d(yo)d(y). (12)

2; 2,

Подстановка выражения (12) в первое уравнение (9) дает

<^(у)

* (у)

и следовательно,

Л(у) = £ с _ ф^- ш *у1- <13)

Далее первое уравнение (10) перепишем в виде

В силу соотношения (8), имеем

О (у0!) = - (фЛхо) + с 1п т(х0) - 2) т(х0),

и, поэтому,

а(х) = (фу(х) + с 1пг(х) - 2^ г(х)2 - (фу(х0) + с 1пт(х0) - 2) т(х0)т(х). (14)

Подстановка функции (14) во второе уравнение (10) дает

ф1(х) + ф2(х) + с = - фу(х) т(х),

т (х)

следовательно,

т(х) = т(хо)ещ)(- [ -------- фу(х') , ' dx^\ . (15)

V Л0 с + фу(х)+ ф2(х) )

Из первого уравнения (9) и второго уравнения (10) имеем

В (у) - (-фу(у) + Щ; - сЬГЦу) + с) ГЦу),

О' (у) ( Г1'»’ сЦу)2 2

А'(х) / , . . а(х) . . с . . .

— —ф2(х) +—у—^ + с 1пт(х) - - I т(х).

С' (х) \ т(х)2 2

Поэтому систему уравнений (6) можно записать так:

у / \ а(х) + Ь(у) . . . . . , ,,

и (x, у) = ( ( ч , ,, ч------ с 1п(т(х) + ^ - т(х0)) +

(т(х) + d(y) - т(х0))2

+ т(х)+т- ты (фу(у) - зЦ+с 1п‘‘(у) - 2) + 2

и2 (х'у) = (т(х) %+ Ь%0))2 + с 1п1т(х) + ^ - т{х0)) +

т(х) ( , . . а(х) п . . А с

+ т(х) + <Цу) - тЫ {фф) - тщ2 - с 1п х) + 2) - 2.

Преобразуя последние уравнения, получаем, что решение задачи Гурса (3), (5) при а = 1 имеет следующий вид

и1(х,у) = 'Шф1{у) - ^ +2с ^ ‘У)+ ф2(у0) - с ИНх) + <Цу) - 1)+

т(х) + d(y) 1

+ (ф1(х) + с 1пт(х))т(х)2 - фу(хр)т(х) + (Ф2(у) - с 1пd(y))d(y)2 - ф2(у0)d(y)

(т(х) + d(y) - 1)2 ,

2, ^ т(х)(ф2(х) - ф1(х) - 2с 1п т(х))+ ф1(х0) , т, ^ -П ,

и (х,у) =------------------------------------------------, ч , ,, ч-;-+ с 1п(т(х) + ^ - 1) +

т(х) + d(y) - 1

+ (фу(х) + с Ь т(х))т(х)2 - фу(х0)т(х) + (ф2(у) - с 1п d(y))d(y)2 - ф2(у0 Щу)

(т(х) + d(y) - 1)2 ,

где функции d(y), т(х) задаются формулами (13), (15) при d(y0) = т(х0) = 1.

2) при а = 1 подстановка граничных условий (5) в уравнения системы (7) дает

ф1(у)

ф2(у)

ФЛх)

ф2(х)

аА(хо) + В (у)

В' (у)

а(С (хо) + О(у))а+1 аО> (у)(С (хо) + О(у))а)

А(хо) + аВ (у) А' (хо)

а(С (хо) + О(у))а+1 аС' (хо)(С (хо) + О(у))а

аА(х) + В(уо) В' (уо)

а(С (х) + О(уо))а+1 а°' (уо)(С (х) + О(уо))а

А(х) + аВ(уо) А' (х)

а (С (х) + О(у0))а+1 аС (х)(С (х) + О(у0))а'

Полагая в последних формулах

С (х0) + О (у) = d(y), С (х) + О (у 0) = т(х), А(х0) = В(у0) = 0,

имеем

и

ф1(у)

ФЛх)

В(у)

ад(у)а+1

А(х)

В (у)

ад! (у)(1(у)с В' (уо)

ф2(у) ф2(х) :

г(х)а+1 ад! (уо)г(х)'-

Второе уравнение системы (16) перепишем в виде

В (у)

д(у)а+1

А(х)

аг(х)а+1

А (хо)

аг' (хо)д(у) А' (х)

аг' (х)г(х)с

16)

17)

В(у) — ф2(у)д(у)

а+1

+

А' (хо)

откуда, полагая у

и, следовательно,

уо, получаем, что А' (хо)

аг' (хо)

аг' (хо) —ф2(уо)д(уо)а,

д(У),

В(у) = ф2(уПу)а+1 - МуоЫуоТ^. (18)

Теперь первое уравнение системы (16) с учетом (18) преобразуется следующим образом

а(ф1(у)+ ф2(у)) — ф2 (у)

Решая полученное уравнение относительно функции д(у), находим

^ ф'2(у)

^ ^уо) ехр - I . Д24*' ( » ^

V Ло а(фу(у) + ф2(у))

Аналогично, из (17) определяем вид функции А(х):

А(х) = фу (х)т(х)а+у + В,(,уо\ т(х).

аd (уо)

Так как А(х0) = 0, то, полагая в последнем уравнении х = х0, имеем

В' (уо)

19)

ад' (уо)

— —ф1 (хо)г(хо)а,

и, следовательно,

А(х) — гф1(х)г(х)а+1 — гф1(хо)г(хо)аг(х).

(20)

Подставляя (20) во второе соотношение системы (17), получаем дифференциальное уравнение на функцию т(х)

а(ф1 (х) + ф2(х)) — —ф1 (х) —

г(х)

г' (х)

решение которого дается формулой

т(х) = г(хо)ехр("-[ (1 ф1++, ( )) лЛ . (21)

V 1х0 а(ф1(х) + ф2(х)) )

И наконец, согласно (7), (18)—(21), решение задачи Гурса (3), (5) при а = 1 будет определяться следующим образом

1( ) = _ ф2(У¥(у)а+1 + (а + 1)ф2(у)1(у)ас1'(у) — ф2(уо)^уо)аЛ(у) +

4 Х,У а1'(у)(г(х) + 1(у) — г(х0))а

ф1(х)т(х)а — ф1(хо)г(хо)а . ф2(у)Л(у)а — ф2(уо)Л(уо)

+ г(х) , , ч-------гг~\------1—гГЛ---------+ Л(у)

(г(х) + 1(у) — т(хо))а+1 а(г(х) + 1(у) — т(хо))а+1

ф1 (х)т(х)а+1 + (а + 1)ф1(х)т(х)ат' (х) — ф1(хо)т(хо)ат (х) ат (х)(т(х) + 1(у) — т(хо))а ф1(х)т(х)а — ф1(хо)т(хо)а , ,, ,ф2(у)Л(у)а — ф2(уо)Л(уо)а

(22)

и2(х,у) = —

а(т(х) + 1(у) — т(хо))а+1 (т(х) + 1(у) — т(хо))а+1

Поскольку т(хо) = 1(уо), то из (19), (21) следует, что формулы (22) не зависят от постоянных т(хо), 1(уо). Теперь, полагая в (19), (21), (22) т(хо) = 1(уо) = 1, получаем решение исходной краевой задачи (3), (5) при а = 1.

а

3. Решение задачи Гурса для системы уравнений (4)

В этом параграфе рассматривается задача Гурса (4), (5). Общее решение системы уравнений (4), в зависимости от параметров входящих в правую часть системы, задается следующим образом ([6]): при а = —1 и с2 + 12 = 0

и1(х,у) = (+ X(хЛ е-А(х)-В(у)-Х(х)¥(у),

\У (у) )

и2(х,у) = —С2^Х[(х)+ г(у)) еА(х)+В(у)+Х(х)¥(у);

(23)

при а = —1 и с2 + 12 = 0

п1(х,у)

и2(х,у)

2(12

X (х)

с2 + Л2 Х(х)У (у) + с й{у )У' (у)

й (у)

X

х (X(х)У (у) + с) °2+л2

2С2

й (х)

У (у) й' (х)

с2 + 12 X (х)У (у) + с й (х)Х' (х)

х ^(х)У (у) + с) ^ Щу) ,

X

где

с=

с2 + 12

а при а = — 1

, і и (х, у) = — (А(у) — (1 + а)Б(у)Б(х) — (1 + а)Е(х)) і+“ х

х тг^ ■ ш (А (у) — (1+а)Б (у)п(х)),

г\ а

и (х, у) = (А(у) — (1 + а)Б(у)Б(х) — (1 + а)Е(х)) і+а х

Ч Е'(х)

X Б(у) + —1 '

(25)

Б' (х)) '

Поэтому возможны три случая.

1) при а = —1 и с2 + 12 = 0, подстановка граничных условий (5) в решение (23) дает

ф1(у) = (ВШ+ XЫ) е-А^-Х^(у),

ф2(у) = —12 ( Рх)+ У (у)) вА(хо)+В(у)+Х(хо)Г (у), фЛх) = ^X(х)) в~А(х)-В(уо)-Х(х)¥(уо),

ф2(х) = —4 (^Ар(ххГ)+ У(уо)) вА(х)+В(уо)+Х(х)¥(уо).

Полагая в последней системе

А(хо) = X (хо) = В (уо) = У (уо) = 0, (26)

будем иметь

ф1(у) = ^е-*>\ Му) = —ь(ХМ + уЦеш, (эт)

фі(х) = ^Б(у0) + х(х)^ е-А(х), ф2(х) = —(12ХМеА(х). (28)

Второе уравнение (27) запишем в следующем виде

ф 1„\в-В(у) А1'хо)

у Ш = — Т2 Ше х.ы.

откуда, в силу (26), получаем, что

А' (хо) _ 1 , , ч

X' (хо) 12

и, следовательно,

У (у) = — -г- Ф2(у)в-В(у) + 1 ф2(уо). (29)

12 12

Учитывая формулу (29), нетрудно показать, что первое уравнение системы (27) приводится к виду

В' ^ — 1 ф1 (у)ф2(у^ = — 1ФМШ,

откуда, согласно (26), имеем

р ( ч Г фі(у)ф2(у) , (30)

Б(у) = А ( ( \----Тйу. (30)

Jyo ф1(у)ф2(у) — а-2

Далее первое уравнение системы (28) перепишем в эквивалентной форме

X (х) = ф1(х)вА(х) — ,

У (уо)

откуда, как и выше, получаем, что

X (х) = ф1(х)вА(х) — ф1(хо). (31)

Подставляя (31) во второе уравнение (28), приходим к уравнению

А' (х)(ф1(х)ф2(х) + 12) = —ф[ (х)ф2(х),

и, следовательно,

Мх) = _ Г ф1 (х)ф2(х) 1х (32)

П Хо ф1(х)ф2(х)+ 12 ■ ( '

Таким образом, решение задачи Гурса (4), (5) при а = —1 и с2 +12 = 0 дается формулами (23), (29)-(32).

2) в случае а = —1 и с2 + 12 = 0, учитывая граничные условия (5) и решение (24), получаем

” ]й(у)

Му') =

2І2 Х (хо) * (у) V

С2 + І2 Х (хо)у (у) + с *(у)У' (у)) 1

2С2 у (у) *' (хо) \

С2 + І2 Х (хо)У (у) + с * (хо)Х' (хо))

2І2 Х (х) *' (уо) \

С2 + І2 Х (х)У (уо) + с *(уо)У' (уо))

2С2 у (уо) *' (х) \(

* (х0у

ф2(у) = („ "Гл ■ „ — ) (Х (хо)у (у)г с) ^ ■

^ *(уо)

ф1(х) = („ , Л ■ ^ТТГ^ТТГ^— — т?„.. \ ) ^(х)У (уо) + с) С2+"2 й х)

ф2(х)^с2 + 12 ■ X(х)У(уо) + с — й(х^' (х)) ^(х)¥(Уо) + с С2+'2 \У(у0), или, полагая X(хо) = У(уо) = 0, имеем

, , ч йй (у) ^

Ф1(у) = — й (хо)У(у) с'

ф,(у) = (Лс2_ , УШ____________й' (хо) \ с^ й(хо)

С2 + І2 С *(х0)Х' (х0) ) й(у)

ф1 (х) ={^.ХШ — _ *' Ь) ' \ с ^ ^

С2 + І2 С й(уо)У' (уо) ) *(х) ’

, , ч *' (х) -*Ь_

ф2(х) = — ш( \ V'! \ СС2+"2 .

*(уо)Х (х)

Поскольку С2 + 12 = 2с, то последние соотношения можно переписать в виде

, , ЧлУ, ч * (у) ^

ф1(у)у(у) = — С ^ •

/ / \*(у) - 2Л2 с2 *' (х0)

ф2(у) т„ , Ч С С2+"2 = —у (у) —

и

* (хо) С2 * (хо)Х' (хо)’

*(х) _ 2с2 12 . . IV'(у0)

ф1(х)ї^—с с2+^2 = —Х (х) —

Ж(уо) С2 ' й(уо)У' (уо)

, / ч^', ч *' (х) -2*2-

ф2 (х)Х (х) = —7^—Гс С2+"2 .

(33)

Из второго уравнения (33) имеем

ч С2 ^ , ч *(у) -*' (хо) у(у) = — ф2 (у) т^г-тс С2+"2 +

сД й (хо) й (xо)X' (хо)/'

Подставляя в последнее равенство у = уо, находим

й' (хо) . . лЙ(уо) - ^

- —ф2 (уо)тхг, Ч с С2+"2 ,

й(хо)Х'(хо) Г2КУо й(хо)

и, следовательно,

у (у) =1 (ш йй§)) — Ыу) Щхоу)С ■ (35

Теперь, в силу (35), первое уравнение системы (33) примет вид

й' (у) Му')

* (хо) С2* (хо)

(ф2(у)^^г(у) + ЬЫ*' (у))

или

й (у)( 1 + ф‘(у>ф2(уЛ = — ШШ Щу).

с2 с2

Из полученного уравнения найдем функцию й(у) :

й(у) = йы ехр (- £ с2 ф+шш1у) ' (36)

а из формулы (35) определим У (у) :

у >»=ж, (<• >у>~* (■ /; с^шук, 1-)—«»>) с “■ '»7,

Далее из первого уравнения системы (34) имеем

с2 ( I ( \ й(х) - 2с2 й' (уо)

Х (х) = — фі(х)^— С “2+^2 +

12 V й(уо) й(уо)У’ (уо)

или, как и выше, полагая х = хо, находим, что

ч 1 Л , ч *(х) , . . *(хоЛ -^2-

Х(х) = 12 і*і(х)ЩЮ) -фіМщ^)с■

(38)

Тогда второе уравнение системы (34) примет вид

й' (х) ф2(х)

(фі(х)*(х) + ф\(х)* (х))

или

и, следовательно,

й(уо) І2Й(уо)

фі (х)ф2(х)\ ф[ (х)ф2(х)

*' (х) ^1 + —

12 1

* (х),

2

й(х) = й(хо)ехр(— [ ) 1х\ (39)

V Ло 12 + ф1(х)ф2(х) )

Из уравнений (38), (39) определим функцию X(х) следующим образом

2^2

Х (х) = (фі(х) ЄХ^ / 1 ) 1х} — фі(хо)) с “2+^2 . (40)

І2Й(уо)\ \Ло 12 + фі(х)ф2(х)

Для удобства записи, формулы (36), (37), (39), (40) перепишем в виде

жад = у (у) = й!f0)ф(■-)•

*(х) = *(хо)ф(х), Х(х) =

* (уо)

где

(42)

Ф(у) = ехр( — Г Ф1 Ш'2(у) 1у

V Ло с2 + ФМЫу)

- 1 / - \ 2с2

= — (ф2(у)ф(у) — ф2(уо)) сС2+"2 ,

■ВД^р (— /х , ф+ ф?*'2^ <Ь;

хо 12 + ф1(х)ф2(х)

1 2^2

Ф(х) = — (ф1(х)Ф(х) — ф1(хо)) сс2+^2 . 12

Нетрудно показать, что формулы (24), в силу (41), примут вид

и1(х у) = ________Ф'(у) )

( ,у) V с2 + 12 Щх)Щу)+ с Ф(у)Щ' (у))

- 2с2 Ф(у)

х (Щ(х)Щ(у)+ с) С2+^2 щх) ,

и2(х у) = ( 2с2 ^________Ф'(х) ) х

и (х,у) V с2 + 12 Щ(х)Щ(у) + с Ф(х)У (х))

/ т / N Т ✓ N N 2Л2 Ф(х) х (Ъ(х)Ъ(у) + с) С2+^2 .

ФЫ

Следовательно, решение задачи Гурса для системы уравнений (4) при а = —1 и с2 +12 = 0 дается формулами (43), (42).

3) в случае а = —1, из уравнений (25), (5) имеем

1

Ф1(у) = — (А(у) — (1 + а)В(у)Б(хо) — (1 + а)Е(хо)) 1^“ х х тт» ■ Вщ (А' (у) — (1+а)В (у)Б(хо)),

(43)

ф2(у) = (А(у) — (1 + а)Б(у)0(хо) — (1 + а)Е(хо)) і+а ( Б(у) + ЕЕ}'Х°)

Б' (хо)

фі(х) = — (А(уо) — (1 + а)Б(уо)Б(х) — (1 + а)Е(х))-^ х

Е' (х)

ф2(х) = (А(уо) — (1 + а)Б (уо)Б(х) — (1 + а)Е (х))-^ ( Б(уо) + Бх

или, полагая B(y0) = D(x0) = О, получаем

і a Co і

ф1(У) = - (A(y) - (1 I a)E(xo)) ^а —— ■ В,Г7-)A (У). 1 I а В (У) ф2(У) = (A(y) - (1 I a)E(xo))-т+а (В(-) I

D' (xo),

(1(x) = - (A(yo) - (1 I a)E (x))-J+a ) (A' (-0) - (1 I a)B' (-0)D(x))

1 I a В (yo) v /

а E' (X)

Ф2(x) = (A(-o) - (11 a)E(x)) 1+~

Б' (х)

Последнюю систему уравнений можно переписать в виде

фі{у) = — ШС2, ш = Щ {т + Ш)), (44)

= — аС2 (А ы — (1 + 0^(„М = — БО (45)

(1 + а)а(х)Б (уо) Б (х)

где

а і

Ь(у) = (А(у) — (1 + а)Е(хо)) і+а , а(х) = (А(уо) — (1 + а)Е(х)) ^а . (46)

Из второго уравнения (44) находим

Б ® = — Ш ■

Поскольку Б (уо) = 0, то

Ш)=фг(-о)ь(-о)

и

Б (у) = ф2(у)ь(у) — ф2(уо)ь(уо). (47)

Теперь, первое уравнение (44), с учетом формулы (47), примет вид

ь (у)(фі(у)ф2(у) + с2) = —ф2(У)Ь(У), откуда находим функцию Ь(у)

и ) и ) ( Г ф1(У)ф2(У) л \

ь{y2 = ьыехр( - j dy)

(48)

Подставляя последнюю формулу в первое уравнение (46) и формулу (47), получаем

А(у) = ЬМ exp (-f Ф+ \ ) dv) + (1 + a)E(xo)’

V a J yo c2 + ф1{у)ф2{у) )

ВЫ = ЬЫ (фм exp (- £ С2 +^{V)dy)- «ы).

Далее первое уравнение системы (45) запишем следующим образом:

= _ А' (уо) + а(х)ф1(х)

() (1 + а)В' (у0)+ ас2 ,

откуда, учитывая, что D(x0) = 0, находим

DX) = a(x)Mx) - a(x0)^1(x0) (49)

ас2 ас2

Тогда второе уравнение (45) примет вид

( MxM'2(x) +1) = - ViMMx) a(x).

V ас2 J ас2

и, следовательно,

a(x) = a(xo) exp (- Гdx

V Jxo ас2 + ф^^^)

Учитывая последнее соотношение, а также, что

А(уо) = E (xo)(1 + а) + a(xo)1+a, из второго уравнения (46) и формулы (49) получаем

E (x) = E (xo) + a(xo)'+“ - a(xo)1+° exp (- fX (1 + dx

1 + a 1 + a \ JXo ас2 + ф1^)ф2^)

л a(x0) ( ф ( , ( Г ф1 (Х)ф2(Х) d) Л

D(x) =------- фi(x) ex^ - ------dx) - 1 .

0-02 V V Jxo ac2 + 1pi(x)lp2(x) J J

Замечая, что Ь(у0) = a(x0)a, формулы (48), (50) перепишем в виде

А(у) = a^o)1^®^) + (1 + a)E(xo), В(у) = a(xo)a^(v),

N N a(xo)1+a a(xo)1+a , _, , , , „, , (51)

E(x) = E(xo) +----—---------—---------P(x), D(x) = a(xo)Q(x),

1 + a 1 + a

где

m = exp 1 - — Г ф1(у)ф2(у) dy

a X0 с2 + ф1(у)ф2(у)

Q(x) = — (ip1(x)P(x) - 1) .

ас2 V /

Теперь, с учетом (51), формулы (25) примут вид

1 1 u (x, у) = - (Ф(у) - (1 + a^^Q^) + P(x) - 1) 1+“ х

х ■ Щу) (ф'(у) - (1 + ^ (y">Q(x)) ,

о _ а

u2(x, у) = (Ф(у) - (1 + a^^Q^) + P(x) - 1) 1+a х P' (x)

(50)

ф(у) = ф2(у)ф(у) 1+“ - ф2(Уo),

P( (x (1 + «)ф1 (x)Mx) d) (52)

P (x) = exp - ------ dx 1

V Jxo ас2 + iV1(xm(x)

(53)

х — (1+ (х)}'

Итак, решение задачи Гурса для системы уравнений (4) при а = —1 вычисляется по формулам (53), (52).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лезнов А.Н., Шабат А.Б. Условия обрыва рядов теории возмущений // Интегрируемые системы. БФАН СССР. 1982. С. 34—44.

2. Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, вып 9. С. 1614—1622.

3. Жегалов В.И., Миронова Л.Б. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частными производными // Изв. вузов. Матем. 2007. Т. 3. С. 12—21.

4. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. О задаче Гурса для гиперболической системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, № 3 (21). С. 136—144.

5. Воронова Ю.Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2, № 2. С. 20--26.

6. O.S. Kostrigina and A.V. Zhiber Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic systems of equations // J. Math. Phys. 52, 033503 (2011); doi:10.1063/1.3559134 (32 pages).

Анатолий Васильевич Жибер,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Ольга Сергеевна Костригина,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]