СИММЕТРИИ И ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ $u_{xy}=e^{u+v}u_y$, $v_{xy}=-e^{u+v}v_y$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 3 (2013). С. 20-27.

УДК 517.9

СИММЕТРИИ И ЗАДАЧА ГУРСА ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ нху = eu+vну, vxy = —eu+vvy

Ю.Г. ВОРОНОВА, А.В. ЖИБЕР

Аннотация. Описаны высшие симметрии и построено общее решение для гиперболической системы уравнений. Также получена явная формула решения задачи Гурса.

Ключевые слова: симметрии, задача Гурса, интегралы.

Mathematics Subject Classification: 35L53, 76M60, 58J70

1. Введение

В работе [1] рассматривалась зависимость решения задачи Гурса для экспоненциальной системы уравнений

а^ — элементы матрицы Картана простой алгебры Ли,

от параметров т\,... ,тг, входящих в краевые условия (1.2). Была предложена схема построения решения данной задачи с использованием высших симметрий, допускаемых системой уравнений (1.1). Приведены примеры сведения к замкнутой системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работах [2]—[4] для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа построено общее решение и приведен алгоритм построения решения краевых задач. В статье [5], используя симметрийный подход, построено точное решение задачи Гурса для нелинейных скалярных гиперболических уравнений лиувил-левского типа.

В настоящей работе рассматривается система уравнений

у которой det(H • K\) = 0, ord(Hi,Ki) = 1, и цепочка обобщенных инвариантов Лапласа обрывается на втором шаге (см. [6]), где H1, K1 - главные инварианты линеаризации системы (1.3). Описаны высшие симметрии и построено общее решение системы уравнений

(1.3), которое позволяет получить точное решение задачи Гурса.

Yu.G. Voronova, A.V. Zhiber, Symmetries and Goursat problem for system of equations

u — u v — — v

U’xy ° V xy V'

© Воронова Ю.Г., Жибер А.В. 2013.

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-97005-р-поволжье-а, 13-01-00070-а) и ФЦП (соглашение №8499).

Поступила 17 июля 2013 г.

r

(І.І)

при xy = 0,

(І.2)

(І.З)

2. Симметрии Для удобства изложения материала введем обозначения

и = их, и2 = ихх, ... ,У\ = ^х, ^2 = vxx, ... ,

и1 — иу, и2 — иуу, . . . , — 'Уу, ^2 — 'Ууу, ....

В работе [6] показано, что система уравнений (1.3) имеет интегралы первого и второго порядка

ш = и1 — у1 — еи+* и ш = и1У1, , .

V = и2 — и1у1 — ви+ьи1 и V = и2 + ■)1 — и1, (. )

такие, что Вш = 0, I)V = 0, Вш = 0, ВЖ = 0, где В, В — операторы полного дифференцирования по х, у соответственно.

Определяющая система для высших симметрий системы уравнений (1.3) имеет вид

ВВр = еи+*Вр + еи+и1 (р + д), (2 2)

ВВд = —еи+*Вд — еи+*,и1(р + д). ( . )

В силу формул (2.1), симметрии системы уравнений (1.3), зависящие от переменных и, V, и1, у1 ,... , можно искать в виде

р = р(и, V, v1, ш, V, ш1, Ш1,...), д = д(и, у,у1 , ш, V, ш1, Ш1,...).

Вычислим Вр, Вд, ВВр, ВВд и подставим в систему (2.2). Далее, приравняем выражения при и1, V!, получим следующую систему уравнений

Ври = еи+* (р + д),

В (р* — еи+>^1) = 2еи+* (р* — еи+>^1) , (2 3)

Вди = —2еи+* ди, (2.3)

В (д* — еи+*д*1) = — еи+* (р + д).

Из второго и третьего уравнения системы (2.3) следует, что

р* — еи+>*1 =0, ди = 0.

Далее, складывая первое и четвертое уравнение системы (2.3) и интегрируя полученное равенство по и, получим следующее выражение для р:

р = —д*и + еи+*д*1 + Си + Л^, v1, ш, V,...), (2.4)

здесь Л^, v1, ш, V,...) — произвольная функция, а С — произвольная постоянная. Осталось подставить найденную функцию р во второе и первое уравнение системы (2.3), откуда найдем вид функций р и д, а именно:

р = (В + и1)а — Ь, д = v1а + Ь, (2.5)

здесь а(ш, V, ш1, Ж1,...), Ь(ш, V,ш1, Ж1,...) — произвольные функции.

Далее симметрии, зависящие от переменных и, V, и1, й1,..., можно искать в виде

р = р(и1, ш, IV, гй1, Iй1,...), д = д(и1, гй, IV, гй1, Iй1,...).

Сделаем в системе уравнений (1.3) замену переменных

и + V = и, и — V = V.

Тогда система уравнений (1.3) эквивалентна следующей системе

^жу є «у,

(2.6)

здесь новые переменные и, V, для удобства, опять обозначим через и, г. Тогда линеаризованная система (см. (2.2)) примет следующий вид:

ББр = еи(Б д + гір), ( )

ББд = еи(Бр + и1р). ( . )

Интегрируя второе уравнение системы (2.7) по у, получим следующую систему уравнений, эквивалентную предыдущей

ББр = еи(Б д + гір), (28)

Бд = еир. ( . )

Решение системы уравнений (2.8) будем искать в виде:

П П

р = ^Рк/д = ^дк/(29) к=0 к=0

здесь /(к)(у) = ,0(к)/(гу,ж,гУі,ї¥і,...).

Далее подставим функции (2.9) в систему уравнений (2.8) и приравняем коэффициенты при одинаковых производных. Получим систему уравнений, эквивалентную системе (2.8), а именно

Бдк = еирк, к = 0,1,...,п,

ББро = еи(Б до + г і ро), (2 10)

ББрк + Б(рк-і) = еи(Б дк + дк-і + гда), к = 1, 2, ...,п, (. )

Бр„ = в“д„.

Рассмотрим случай, когда п = 0. В данном случае система (2.10) примет следующий вид:

ББро = еи(Б до + V і ро),

Бдо = еиро, (2.11)

Бро = еидо.

Во втором уравнение системы (2.11) заменим гі = \fu\-4гу, получим следующее урав

нение

(до)и^и? - 4гу = ро.

Продифференцируем данное уравнение по и1, при этом выражая (р0)и1 из третьего уравнения системы (2.11), получим

((док(и2 - 4^ - «ідо)^ = 0

или

(до)и1 (и? — 4ш) — и1до = А(ш, V,...), (2.12)

здесь А(ш, V,...) — произвольная функция. Уравнение (2.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого можно представить в виде:

А

до — —тти1 + В\ и1 — 4ш, (2.13)

4ш V

где В(ш, IV,...) — произвольная функция.

Далее подставим выражения для д0 (2.13) во второе и первое уравнение системы (2.11) и найдем, что ро, до имеют следующий вид

р0 = и1В(ш,1У,...), д0 = V1 В(гй,!У,...). (2.14)

Теперь рассмотрим случай, когда п = 1 в системе (2.10). В данном случае система уравнений (2.10) перепишется в виде

Вуо = еиро, (2.15;

= е“рі, (2.16;

ВВро = е“(Вуо + иіро), (2.17;

ВВрі + Вро = е"(Вді + уо + ®іРі). (2.18;

Врі = е”'5і. (2.19

Уравнения (2.16) и (2.19) совпадают с уравнениями системы (2.11), следовательно р и 41 находятся как и выше, и имеют вид

А /--------- А /--------

р1 = и1В — —— л/и? — 4Ш, ч1 = — — и1 + Вл/и? — 4Ш. (2.20)

4ш V 4ш V

Продифференцируем уравнение (2.19) по у, получим

11р1 = еи(1ч1 + Й1^1). (2.21)

Вычтем из уравнения (2.18) уравнение (2.21), и после несложных преобразований получим

1р0 = е“(® + А(Ш,Ж,...)). (2.22)

Продифференцируем равенство (2.22) по у и вычтем из него уравнение (2.17), найдем выражение для р0:

ро = — (1А + ^1^0 + М1А). (2.23)

V!

Выражение для р0 (2.23) подставим в уравнение (2.15) и заменяя г1 = \Ju\-4W, получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка на функцию до, а именно:

М1 1А и1А

(д0)М1 = п?---7“^ д0 + 1?-7^ + ^2-----.

и? — 4ш м — 4ш и? — 4ш

Решение данного уравнения можно представить в виде

1А

Ч0 = — и^—г— А + ^/и1 — 4ш, (2.24)

4ш V

где Я = Я(Ш, Ж,...) - произвольная функция. Подставим выражение (2.24) в равенство (2.23), откуда найдем р0

- 1а _ „ ,

Р0 — — ^1—7—+ м Я. (2.25)

4ш

В итоге получили, что система уравнений (2.15)—(2.19) имеет решения вида (2.20), (2.24),

(2.25). Из формул (2.9) следует, что симметрии системы уравнений (2.6) имеют следующий

вид

р = (—61 + Г“Я)/ + (Ó — «О(226)

ч = (—Г<1 4^- — А + ®1Я) / + (—4^и1 + 1/?- <2-27)

С учетом формул (2.14), симметрии (2.26), (2.27) можно представить в виде

р = — Ю, ч = 4С + — 1С, (2.28)

здесь О = — 1 А/. Напомним, что найденные симметрии (2.14), (2.28) заданы в новых переменных и, V. Возвращаясь к переменным и = и+у, V = у, получим следующее представление для симметрий системы уравнений (1.3)

р = и 1 ВО + й!В + 2О, д = —V11 ВО + V1B — 2О. (2.29)

3. Построение общего решения

С использованием высших симметрий (2.5), (2.29) задача интегрирования системы уравнений (1.3) сводится к следующей динамической системе (см. [1]):

Г т ди = (В + и^ф1 — ф2 = и1_1 Вф1 + и1^2 +_2ф1, тIV = Vlф1 + ф2 = —V!1Вф1 + Vlф2 — 2Ф1,

Т |Ц1 = и-,?/;1

Т |т р и1ф , (31)

тЦТ1 = — V1ф1, _ (3. )

т Цт1 = еи*+^ и1 -И Вф1 + е“+" и1^2, т ^ = е“+" V14 Вф1 — е“+" V1ф2,

будем предполагать, что функции ф1 = ф^ж), ф2 = ф2(ж), ф1 = ф^у), ф2 = ф2(у).

Первое и второе уравнения системы (3.1) представляют собой уравнения в частных производных первого порядка относительно функций и, V, соответственно. Решения данных уравнений можно представить в виде

Г Ф2 ? ^ \ ( Ф2

—^ж + В(^у), ■у = — у ф

здесь В (а, у), О(а, у) - произвольные функции, через а обозначено выражение

Г ^ж

а = 1п Т + у фг-

Далее подставим найденные функции (3.2) в систему (3.1), получим систему уравнений на функции В и О

В. = -б#-1

ОУ

О. = — Вф1-1-

и = — 1пф1 + — ^ж + ї(а,у), V = — —^ж + С(а,у), (3.2)

їаа = ^+с саа = 1

С учетом (3.3), (3.4), уравнения (3.7), (3.8) можно переписать в виде

Ї / +5 /•

Jaa с

- + ф2їу + 2Ф1, г (3.3)

+ ф2Су — 2ф\ (3.4)

ї = +с ї уа — ° -*• у ^ (3.5)

= — е^+сС уа — ° ^У) (3.6)

51 Ъ+^ )■ (3.7)

їу— ф2Су) ■ (3.8)

/ +й

аа = е /+^ (3.9)

#аа = — Є/ +5 #а,

где / = В — 2аф1, $ = О + 2аф1. Вычтем из первого уравнения системы (3.9) второе уравнение и проинтегрируем полученное равенство по а, тогда

/а — #а = е/+9 + С1 (y), (3.10)

здесь С1(у) - произвольная функция. Далее умножим первое уравнение системы (3.9) на 9а, второе уравнение - на /а и сложим полученные выражения, откуда найдем

С2(У) (311)

9а = -^—, (3.11)

/а

здесь С2(у) - произвольная функция. Подставим найденную формулу для 9а (3.11) в уравнение (3.10), получим

9 = — / + 1п (/О2 — С1/а — С2) — 1п /а- (3.12)

Возвращаясь к системе уравнений (3.9), с учетом формулы (3.12), первое уравнение можно переписать так

/аа = /а — С/ — С2-

Правая часть данного выражения представляет собой полином второй степени, разложим его на множители

Ла = (/а — а)(/а — в),

а, в - произвольные функции от у. Интегрируя данное уравнение найдем функцию /, а именно

а

/ =-------- [(а — в)а + 7] — 1п [1 — ежр{(а — в)а + 7}] + 5(у), а = в, (3.13)

а — в

/ = аа — 1п(е — а) + к(у), а = в, (3.14)

здесь а(у), в (у), т(у), 5(у), е(у), к(у) - произвольные функции.

Теперь подставим найденные формулы (3.13), (3.14), (3.12) в уравнение (3.5). Получим следующие соотношения

1. при а = в

в' + 2^ = 0, а = в + с, 5' + = 0, (3.15)

а—в

где с - произвольная постоянная,

2. при а = в

а' + 2Dф1 = 0, ае' + к' = 0. (3.16)

Далее подставим функции (3.13), (3.14), (3.12), с учетом условий (3.15), (3.16) в уравнения (3.6), (3.3), (3.4), получим верные тождества. Таким образом решение системы уравнений

(1.3) можно представить в виде (3.2), где функции В = / + 2аф1, О = 9 — 2аф1 находятся из соотношений (3.13), (3.14), (3.12), а именно при а = в:

1 л I \ 1 1 \ а5' / 5' \

и = 1п Ф (ж) + ф2(ж)-----------1п 1 — ежр{а-------} + 5,

1 а' а'

, , , , а5' / , . г 5', \

V = — ф2(ж) + (а----------------------) +-1п а — (а — 1)ежр{а-} — 5,

а' а' а'

при а = в:

и = 1п ф1(ж) + ф2(ж) — 1п(е(у) — а) + к(у), (3.17)

— 02 (ж) — 1п

-(а — є(у)) + 1 є'

— к(У^ (3.18)

здесь (ж) = , Ф2(ж) = |Г, е(у), к(у), а(у), 5(у) - произвольные функции.

4. Точное решение задачи Гурса Рассмотрим задачу Гурса для системы уравнений (1.3):

и |у=о= 1пр(ж), V |у=о= 1пд(ж), и |ж=о= 1пр(у), V |ж=о= 1пд(у). Положим в решение (3.17), (3.18) у = 0, т = 1, получим

и |у=о= 1пр(ж) = 1п + 02 — 1п(е(0) — Ф1) + к(0),

V |у=о= 1п д(ж) = —Ф2 — 1п ния (4.

найдем функцию ф1(ж):

к'(0)

(ф1 — е(0)) + 1 ) — к(0)-

(4.1)

(4.2)

(4.3)

|у=о Г2 “ \е'(0)

Сложим выражения (4.2) и (4.3), и проинтегрируем полученное равенство по ж, откуда

1

Ф1 (ж) = е(0) — ( — + |— — С21 е0” ?

здесь постоянные —1 = е(0) — ф1(0), —2 = .

Далее из выражения (4.2) найдем вид функции ф2(ж), а именно:

(4.4)

Ф2 (ж) = 1п

(д(0)

Зф2(о)+к(о) _

1)

- I

+ 1

— 1п д — к(0).

Теперь положим в формулах (3.17), (3.18) ж = 0:

и |х=о= 1пр(у) = 1п(0) + Ф2(0) — 1п(е — Ф1 (0)) + к,

V |х=о = 1п д(у) = — ф2(0) — 1п [ (01(0) — е) + 1 ) — к.

к'

(4.5)

(4.6)

(4.7)

Сложим равенства (4.6), (4.7), тогда получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции е(у), решая которое найдем

ч -1

Ф1(0)

е(у) = ф1(0) + ф1(0) I / др'^ +

Тогда к(у) находится из выражения (4.6) и имеет вид

-1

(4.8)

к(у) = 1пр — ф2(0) — 1п 1 др'^£ + р(0)е ф2(о) к(о)

(4.9)

Далее воспользуемся условием согласования. Положим в решение (3.17), (3.18) ж = 0, у = 0, получим следующие соотношения:

Ф1(0) = р(0)д(0)-1(1 — -1-2), (4.10)

02(0) + к(0) = — 1п (д(0)(1 — -1-2)) - (4.11)

Теперь подставим найденные функции (4.4), (4.5), (4.8), (4.9) в решение (3.17), (3.18) и,

учитывая условия согласования (4.10), (4.11), в итоге получим следующее представление

решения задачи Гурса (1.3), (4.1), а именно:

и = 1п

р(ж)р(уЖ°)

р(0)д(0) + / р'д<У£ (1 — ежр{/рд^£}) оо

е

у

V = ln

q(x)q(y)p(0)exp{/pqd£}

o

У x

(Pi — / Pid£)(exp{/pqd^} — І) + p(0)q(0)

oo

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лезнов А. Н., Шабат А. Б. Условия обрыва рядов теории возмущений //Интегрируемые системы БФАН СССР. Уфа. 1982. С. 34-44.

2. Жибер А. В., Михайлова Ю.Г. Алгоритм построения общего решения п-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи // Уфимский математический журнал. 2009. Т. 1. №3. С. 28-45.

3. Воронова Ю. Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лалпалса // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2. №2.

С. 20-26.

4. Жибер А. В., Михайлова Ю.Г. О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лалпалса // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007. Т. 13. №4. С. 73-82.

5. Воронова Ю. Г. Построение решения задачи Гурса для нелинейных гиперболических уравнений с интегралами первого и второго порядка // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых учёных. Уфа, БГУ. 2012. Т. 1. С. 51-58.

6. Гурьева А. М. Метод каскадного интегрирования Лапласа и нелинейные гиперболические системы уравнений // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук. 2005. 172 с.

Юлия Геннадьевна Воронова,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Анатолий Васильевич Жибер,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]