CC BY
37
УДК 539.3
Г.С. Варданян
ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПОДОБИЯ
Рассмотрен метод функционального подобия для моделирования различных физических процессов. С помощью этого метода предложен алгоритм решения некоторых линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, часто используемых в задачах механики деформируемого твердого тела.
Ключевые слова: метод функционального подобия, линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.
1. Понятие о функциональном подобии. Два физических процесса (или явления) называются подобными, если по заданным характеристикам ^ одного (модель)
можно получить соответствующие характеристики ^ другого (натура) умножением
на постоянные коэффициенты К0 (множители подобия).
I = К£. (1.1)
Обычно между постоянными множителями подобия К^ существуют связи, которые называются критериями подобия. С помощью критериев выполняется модель, подобная натуре, и осуществляется пересчет искомых величин с модели на натуру.
Пусть теперь множители подобия К^ не постоянные, а однозначные функции от
независимых переменных ^ рассматриваемого процесса.
Можно установить соответствие между двумя процессами одного класса, при котором по заданным характеристикам ^ одного можно получить соответствующие
характеристики ^ другого с помощью функциональных преобразований
\= К^к(к Ф1). (1.2)
Такое соответствие назовем функциональным подобием (1.2).
2. Установление критериев функционального подобия. В качестве примера рассмотрим дифференциальные уравнения
4 3 2
^ + Р (х + Р + Ж*)^ + Р Ы = 0 (2.1)
Сх4 Сх3 Сх2 ах
^ + Я (х)С1 + *2 (х)^ + Я + Я (х)у = 0. (2.2)
Сх Сх Сх Сх
Установим критерии функционального подобия при переходе от уравнении (2.1) к уравнению (2.2) с помощью преобразований
х = Кх (х)х; у = Ку (х)у. (2.3)
Поставленную задачу можно решить в два этапа. На первом этапе с помощью преобразований
х=х; у= К \ \у=К(х)у (2.4)
Ку Iх)
ВЕСТНИК г/2о12_
от уравнений (2.1) перейдем к уравнению
wf-a wf-awf+aw^0 (2-5>
На втором этапе осуществим переход от уравнений (2.5) к уравнению (2.2) с помощью преобразований
x = Kx (x)x = L (x); y = y. (2.6)
Для перехода от уравнений (2.1) к уравнению (2.5) с помощью преобразований (2.4) выражаем производные dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3 и d4y/dx4 функции y
соответственно через производные dy/dx, d2 y/dx2, d3 y/dx3 и d4 y/dx4 функции y . После некоторых несложных преобразований уравнение (2.1) приводится к виду
0+к <4 к *к >f - к ^ •+3p k +k >f+
+—(4K m + 3K" + 2 K' + p K +—(K iv + P3 K m + P2 K" + P K' + P0 K )y = 0.
dx K^K
Сравнивая это уравнение с уравнением (2.1), получим следующие критерии функционального подобия
4K' + P3K = Q3K; (2.7)
6K" + 3P3K' + P2K = Q2 K; (2.8)
4K+ 3P3 K" + 2P2 K' + P1K = Q1K; (2.9)
KIV + P3 K'" + P2 K" + p K + P0 K = Q0 K. (2.10)
Эти четыре равенства представляют собой критерии функционального подобия дифференциальных уравнений (2.1) и (2.5).
Условие (2.7) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Одно из частных решений этого уравнения будет
1 1 Г(03 - P3 )dx
к = к-1 = е4 JQ3 ^ , (2.11)
а условия (2.8), (2.9) и (2.10) дают три инварианта для уравнений (2.1) и (2.5)
J - BP, - 3P,2 - 12P3 = 8Q2 - 3Q32 - 12Q3; (2.12)
J2 = 4(^2P3 + 4P2 - 6P) + P3 J1 = 4(Q2Q3 + 4Q2 - 6Q1) + Q3 J1; (2.13)
J = 24 (PP3 + 4PP'- 16P0) + 4P2 J1 + 3P3 J2 = (2 14)
= 24 (Q1Q3 + 4Q1 - 16Q0) + 4Q2 J + 3Q3 J2. Эти равенства назовем инвариантами первого рода уравнений (2.1) и (2.5). При известных значениях коэффициентов P (i = 0,1,2,3) эти инварианты можно рассматривать как систему трех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов Q. Следовательно, один из коэффициентов Qi можно задать произвольно. Это обстоятельство позволяет преобразовать заданное дифференциальное уравнение и в некоторых случаях привести его к уравнению с известным решением, или к виду, удобному для интегрирования.
Пусть инварианты J1, J2 и J3 имеют постоянное значение. Принимая в этом случае Q3 = const из равенства (2.12), получим, что Q2 = const, а из равенств (2.13) и (2.14) получим Q1 = const и Q0 = const.
Таким образом, если для некоторого линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами четвертого порядка инварианты J1, J2 и J3 имеют
постоянное значение, то такое уравнение с помощью преобразований (2.4) можно свести к уравнению с постоянными коэффициентами.
Теперь осуществим переход от уравнений (2.5) к уравнению
^ + Л фЦ + Л + Л (Х)^У + Л (Х)у = 0 (2.15)
Сх Сх Сх Сх
с помощью преобразований (2.6). Для этого выразим производные функции у по переменной х до четвертого порядка через производные этой функции по переменной х и подставим в уравнение (2.15). После несложных преобразований получим
с4у 61"+д3V аъу 4ь'ь'"+зь"2 + 3(3ь'ь"+(2V2 С2у
Сх4 V2 Сх^ V4 Сх2
+ ¿'V + 6зь'"+(2ь'+(У су у = 0 V4 Сх V4 у .
Сравнивая это уравнение с уравнением (2.15) получаем, что для их совпадения необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
4
(о = ЛоV ; (2.16)
2
61" + (3и = Л3V ; (2.17)
2 2 2 4!'^" + 3Ь'' + 3(3ИГ + (2V = Л2V ; (2.18)
4
¿IV + (3Г, + (2V + а = . (2.19)
Условие (2.16) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Одно из частных решений этого уравнения при Ло Ф 0 будет
V = х =[4Сх . (2.20)
У Ло
Здесь Ло и (о должны иметь одинаковые знаки.
Исключая из условий (2.17), (2.18) и (2.19) функцию V получим
/ ^ Зео+ 26обз = 3Ло+ 2ЛоЛз . (221)
/ = 2463+ 116з2 - З662 = 24Л3+ 11Лз2 - 36Л2 .
2" лН " ^ ' '
. _ 3662+ 36626з -186363' - 7Q3 -1446,
13
36R + 36R2R3 -18R3R - 7R33 - 144R
(2.23)
Равенства (2.21), (2.22) и (2.23) назовем инвариантами второго рода уравнений (2.5) и (2.15). Эти инварианты также позволяют преобразовать заданное дифференциальное уравнение и в некоторых случаях приводить его к уравнению с известным решением, или к виду, удобному для интегрирования. Здесь тоже если инварианты 11, 12 и 13 имеют постоянное значение, то заданное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами сводится к уравнению с постоянными коэффициентами.
Таким образом, если для некоторого дифференциального уравнения с переменными коэффициентами четвертого порядка инварианты 11,12 и /3 имеют
ВЕСТНИК МГСУ
2/2012
постоянное значение, то такое уравнение с помощью преобразований (2.6) можно свести к уравнению с постоянными коэффициентами.
3. Примеры решения дифференциальных уравнений Пример 1. Требуется решить дифференциальное уравнение
С4 У ^ С3 у „ 2 С2 у з dy ^ 4 —4 + с3х—3 + С2 х2 —2 + с^ — + С0 х4 у = 0.
dx dx dx Сх
Приняв Р3 = С3х; Р2 = С2х2; Р1= С^3; Р0 = С0х4, (2.14), получим
3 =(8С2 - 3С32 )х2 - 12С3;
32 = 3 (8С1 + С33 - 4С2С3) х3 - 4 (8С2 - 3С32) х;
33 = [24 (С1С3 - 16С0) + 9С3 (8С1 + С33 - 4С2С3)] х4 +
+ [48 (6С1 - С2С3) + 4 (С2х2 - 3С3) (8С2 - 3С32 )] х2. Эти инварианты при выполнении условий
(3.1)
согласно (2.12), (2.13) и
С2 — С3; 2 8 3
С, =
С3 16
С0 =
С34
256
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
принимают постоянные значения 3 = 862 - 3&2-1263 =-12С3;
J2 = 2461 -1662 - 46263 - 63 ¿1 = 0;
3 = 24 (6163 + 46/ -1660) + 4623 + 363¿2 = 0. В этих равенствах, приняв 63 = 0, получим
62 =-3 С3, 61 = 0, 60 = т3 С2. 2 16
Следовательно, уравнение (3.1) сводится к следующему дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами d4у 3С3 d2у 3С32 dx4
3 у = 0.
2 ск2 16 При этом согласно (2.11)
(3.6)
С3 Г ^ _Cзk_
у = К(х) = е ~'х = 8 . (3.7)
Общее решение уравнения (3.6) при С3 > 0 имеет вид
у = А1ег'х + А2 еГг х + А3еГ3х + А4ег х, (3.8)
где Г12 =±С3 (3 + 4в); ^ =±^С3 (3 -Тб).
С учетом (3.7) и (3.8) получаем общее решение уравнения (3.1) при выполнении условий (3.2) в виде
_ С3х2
у = е 8 [АхеЛХ + А2еГгх + А3еГ3х + А4еГ4х ).
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера
с 4 V С3 с 3 у С2 с 2 у С1 Су С
СХ
х Сх х Сх х Сх
у
-у = 0.
(3.9)
Нетрудно убедиться, что инварианты J1, J2 и J3, приведенные в (2.12)—(2.14), для уравнения (3.9) не принимают постоянных значений. Проверим, являются ли постоянными инварианты р, I2 и I3 , приведенные в (2.21)—(2.23). Для этого примем
бз = CCl; Q = % Q = % Qo = % (З.10)
x x x x
В результате получим
т 3^0+ 2 R R3 -12 + 2C3 /011Ч
11 =—0 ^JL 3 =-- 3 = const; (3.11)
24R3+11R32 - 36R -24C3 + 11C32 - 36C2
12 =-3-¡=L-^ =-3—==1-^ = const; (3.12)
r _ 36R + 36R2R3 - 18R3R - 7R3 - 144R _
13 _
(3.13)
-72C2 + 36C2C3 + 18C32 - 7C33 -144 C
2 2 3 3 -3-L = const.
Эти три равенства представляют собой систему трех уравнений для определения четырех неизвестных функций *0, *1, *2, *3, поэтому одно из неизвестных функций можно задать произвольно. Принимая в уравнении (3.11)
*0 = С0 , получим *3 =11 = С3 -6 . (3.14)
С учетом (3.14) из уравнений (3.12) (3.13) получим
R = = C2 - 3C3 +11;
R = I1i1112 - 412)-1412 - 813 = с1 _ с2 + 2C3 - 6. 1 1152 123
(3.15)
Следовательно, исходное дифференциальное уравнение Эйлера с переменными коэффициентами при произвольных значениях О,, С1, С2, С3 сводится к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
^ + (С, - 6+ (С2 -3С3 +11)^ + (С1 - С2 + 2С3 - 6+ С0у = 0, (3.16) Сх Сх Сх Сх
при этом
х = Й 60Сх =\— = 1п|х| . (3.17)
1*0 ]х 1
Рассмотрим конкретное уравнение Эйлера
= 0. (3.18)
/4 1 3 2 7 2 3 1 4 ^ ч/
сх х сх х сх х сх х
Чтобы от этого уравнения перейти к уравнению с постоянными коэффициентами, примем
2 3 3 3
63 _ ; 62 _ 2; 61 _ 3; 60 _ 4.
х х х х
Т.е. в этом случае
С3 = 2; С2 =-3; С1 = 3; С0 =-3. (3.19)
Подставляя эти значения в (3.14) и (3.15), получим
ВЕСТНИК г/2о12_
R3 = C3 - 6 = -4; R2 = C2 - 3C3 +11 = 23 3 2 2 3 4 (3.20) R1 = C - C2 + 2C3 - 6 = 4; R = C0 = -3.J
Следовательно, уравнение с переменными коэффициентами (3.18) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами
d4 y . d3 y „ d2 y „ dy „ „
- + + 4^ - 3 y = 0. (3.21)
dx dx dx dx
Решение этого уравнения будем искать в виде y = вш. Характеристическое уравнение имеет вид
А4 -4А3 + 2А2 + 4А-3 = 0. (3.22)
Корни этого уравнения будут
Х1 = 3; X 2 =-1; А3 = 1; X 4 = 1. (3.23)
Следовательно, общее решение уравнения (3.21) имеет вид
y = Ale3x + A2 x + A3 ex + A4 xex. (3.24)
Подставляя в это решение x = ln|x| из (3.16), получим общее решение исходного уравнения (3.18) с переменными коэффициентами
3 A2 I
y = A1x + — + A3x + A4xlnx . (3.25)
x
С целью проверки полученного решения, попробуем решить уравнение (3.18) другим способом, не переводя его к уравнению с постоянными коэффициентами. Теперь решение этого уравнения будем искать в виде
y = xx. (3.26)
Найдем производные
£ = Ax»; ^ = A(A-1)x-2; dx dx
^ = A(A-1)(A-2 )xx~3; = A(A-1)(A-2)(A-3)xx-4. dx dx
Подставляя выражения (3.26) и (3.27) в (3.18), получим А,(А,- 1)(А-2)(А-3)xx-4 + 2А(А- 1)(А-2)x^4 -
- 3А(А- 1)x+ 3Xxx~4 - 3x>-4 = 0. Сокращая это уравнение на x^4 и преобразуя, получим
(А-1)2 (А + 1)(А-3) = 0. (3.28)
Корни этого уравнения совпадают с (3.23), следовательно, общее решение тоже совпадет с выражением (3.25).
Библиографический список
1. Варданян Г.С. Методы подобия и размерностей в механике деформируемого твердого тела // Вестник ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. 2009. № 1. С. 19—66.
2. Варданян Г.С. О решении некоторых линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом функционально подобия // Тр. международного конгресса по применению математики в технических науках (ИКМ). Веймар. 1990. № 4.
Поступила в редакцию в феврале 2012 г.
Об авторе: Варданян Гумедин Суренович — доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники РФ, лауреат Государственной премии СССР, главный научный сотрудник ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко, Центральный научно-исследовательский
(3.27)
институт строительных конструкций имени В.А. Кучеренко, ОАО «НИЦ «Строительство»
(ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко), 109428, Москва, 2-я Институтская ул., д. 6, gsv33@mai1.ru.
Для цитирования: Варданян Г.С. Решение некоторых линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом функционального подобия // Вестник МГСУ. 2012. № 2. С. 91—97.
G.S. Vardanjan
FUNCTIONAL SIMILARITY METHOD APPLICABLE AS A SOLUTION TO SOME LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH VARIABLE COEFFICIENTS
The functional similarity method applicable for the simulation of various physical processes is considered in the proposed paper. A solution to some linear differential equations with variable coefficients is provided. The aforementioned equations are widely used as part of solutions to problems of mechanics of deformable solid bodies.
Key words: functional similarity method, linear differential equations with variable coefficients.
References
1. Vardanjan G.S. Metody podobija i razmernostej v mehanike deformiruemogo tverdogo tela [Similarity And Dimensional Methods In Mechanics of Deformable Solid Bodies]. VESTNIK CNIISK im. V.A. Kucherenko, Moscow, 2009, Issue # 1, pp. 19—66.
2. Vardanjan G.S. O reshenii nekotoryh linejnyh differencial'nyh uravnenij s peremennymi kojeffi-cientami metodom funkcional'no podobija [The Functional Similarity Method Solution for Some Linear Differential Equations with Variable Coefficients]. Tr. mezhdunarodnogo kongressa po primeneniju mate-matiki v tehnicheskih naukah [Works of International Congress on the Application of Mathematics in Technical Sciences], Issue # 4, Weimar, 1990.
About the author: Vardanjan Gumedin Surenovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Honoured Scholar of the Russian Federation, Awardee of the USSR State Prize, Chief Researcher, Central Scientific Research Institute for Building Structures named after V.A. Kucherenko (V.A. Ku-cherenko CSRIBS), 6 2nd Institutskaja St., Moscow, 109428, Russia, gsv33@mail.ru.
For citation: Vardanjan G.S. Reshenie nekotoryh linejnyh differencial"nyh uravnenij s peremennymi kojefficientami metodom funkcional"nogo podobija [Functional Similarity Method Applicable as a Solution to Some Linear Differential Equations with Variable Coefficients], Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, Issue # 2, pp. 91—97.
