Некоторые дополнительные возможности теории размерностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

МГСУ

УДК 539.3

Г.С. Варданян

ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко

НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Рассмотрен новый подход к выбору основной системы единиц измерения, отличающийся от того, который используется в традиционной теории размерностей. Предложенный способ при исследовании задач механики деформируемого твердого тела существенно расширяет возможности анализа размерностей.

Ключевые слова: p-теорема, единицы измерения, теория размерностей.

1. п-теорема теории размерностей. Теория размерностей применяется при решении различных задач, основными из которых являются: 1) установление эмпирических формул при решении различных задач физики, механики и др.; 2) сокращение количества независимых переменных (автомодельные решения); 3) установление критериев подобия при моделировании различных задач в случае отсутствия основных уравнений этих задач.

Перечисленные задачи решаются с использованием основной теоремы теории размерностей, так называемой р-теоремы, утверждающей, что всякое уравнение

связывающее между собой п = ш+г размерных величин (где т — количество первичных величин с независимыми единицами измерения; г — количество вторичных величин), характеризующих изучаемое явление, может быть представлено в виде зависимости

между г = п-т безразмерными комплексами п. этих величин.

При этом первичными называются величины с независимыми единицами измерения, численные значения которых получаются непосредственным измерением. Величины, размерности которых выражаются через единицы первичных величин, называются вторичными величинами. Физическая величина называется размерной, если ее численное значение зависит от принятой системы единиц измерения. Если же численное значение физической величины не зависит от принятой системы единиц измерения, то такая величина называется безразмерной.

В таком традиционном варианте теория размерностей успешно применяется для решения различных задач. Однако эта теория обладает недостатками, устранение которых позволяет существенно расширить ее возможности.

В р-теореме через т обозначено количество первичных величин х., входящих явно в соотношение (1.1), через единицы которых выражаются размерности вторичных величин у . Если обозначить число независимых единиц, входящих в (1.1) явно или неявно через ш ',то во многих случаях т' = да, но имеются исключения, и в общем случае т' >ш. При этом, чем больше т', тем меньше количество р-комплексов 5, так как 5 = п-т' <п-т = г. (1.3)

В связи с этим при решении задач с помощью анализа размерностей необходимо выбрать максимально возможное количество основных единиц измерения, через которые будут выражаться размерности вторичных величин.

В выражении (1.2) безразмерные комплексы п . выражаются через первичные х . и вторичные у. величины следующим образом:

Уг = /(хр ^ ..., ^ Ур У2, ..., Уг-1)'

(1.1)

пг= ^(п1, п2, ..., пг-1)

(1.2)

вестник 3/2012

Р = .. -т

' хх "2' х °т1

( = 1,2,..., 5), (1.4)

где постоянные а(/ = 1, 2, ..., т) — известные числа, определяющие размерности вторичных величин.

2. Выбор основной системы единиц измерения. В традиционной теории отсутствуют прямые рекомендации о необходимом количестве основных единиц измерения, через которые выражаются размерности вторичных величин. На практике, при исследовании задач механики и физики, как правило, вводятся три основные единицы: единица длины [Г]=Ь, единица массы [т]=М и единица времени Щ=Т. Иногда вместо единицы массы М вводится единица силы [р]=Р. В задачах, связанных с электромагнитными явлениями, чаще применяется система четырех единиц ЬМТ1, где /=[/] — единица тока. В задачах, связанных с процессами тепломассообмена, предпочтение дается системе единиц ЬМТ0_, где ©=[Т] — единица температуры.

Следовательно, традиционная теория размерностей не позволяет однозначно определить количество р-комплексов.

Для устранения указанных выше недостатков построим теорию размерностей, основанную на следующих положениях [1, 2].

П1. В данной системе единиц измерения имеет место взаимно однозначное соответствие между размерными величинами а. и их размерностями [а ]:

а .^[а ]=А..

1 1л 1

П2. Физическая величина а, является безразмерной, если ее размерность равна единице:

[а] = А0 = 1.

П3. Размерность суммы нескольких физических величин равна размерности слагаемых:

[а1 = а2-а3] = [а1] = [а2] = [а3] = А1 = А2 = А3.

П4. Размерность произведения нескольких физических величин равна произведению размерностей сомножителей:

[а1а2] = [а1][а2] = А^.

Положения П2, П3 и П4 известны и составляют основу традиционной теории размерностей. Положение П1 в традиционной теории отсутствует. В результате этого различным физическим величинам может соответствовать одинаковая размерность. Например, в задачах, связанных с движением абсолютно твердых тел в системе единиц ЬМТ угловая скорость и частота имеют одинаковую размерность Т-1. Размерность вращающего момента равна Ь2ММТ~2. Но одновременно это является размерностью для энергии или работы. В задачах механики деформируемого твердого тела геометрическим размерам тела и абсолютным деформациям ставится в соответствие одна и та же единица измерения Ь. Давление, напряжение и модуль упругости имеют одинаковую размерность Ь~1МТ~2 и т.д.

Требование положения П1 можно выполнить увеличением числа т основных единиц измерения до максимально возможного т'. Число основных единиц измерения можно увеличить различными путями. Размерность площади в некоторых задачах может не совпадать с Ь2 и стать независимой единицей измерения. Во многих задачах механики деформируемого твердого тела для перемещения при деформировании можно принять единицу измерения и, не совпадающую с единицей длины Ь. Имеются и другие возможности увеличения числа основных единиц измерения [3].

Согласно (1.3), чем больше число т' основных единиц измерения, тем меньше количество р-комплексов.

Если общее количество величин, характеризующих процесс, только на одну единицу больше основных единиц (5 = п-т' = 1), то согласно (1.2) и (1.4) искомая

вторичная величина определяется через первичные с точностью до постоянного безразмерного множителя зависимостью

у = Сха х?..*?. (2.1)

Этот случай позволяет установить эмпирические формулы при решении различных задач физики, механики и др.

Еще один частный случай, представляющий большой интерес — это случай, когда число определяющих параметров на две единицы больше числа первичных величин (5 = п-ш' = 2) с независимыми единицами измерения. В этом случае из выражений (1.2) имеем

п = Е(п1), (2.2)

т.е. рассматриваемый процесс в координатах (п1, п) описывается единой кривой с уравнением (2.3). Задачи, имеющие такое решение, называются автомодельными задачами.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие эффективность теории размерностей, с учетом введенных выше положений.

3. Решение некоторых задач. Плоский изгиб балки. Балка длиной I и с поперечным сечением Е изгибается под действием некоторой нагрузки. Требуется найти наибольшее значение прогиба V. Прогиб V зависит от модуля упругости Е, длины балки I, момента инерции сечения 3 и наибольшего изгибающего момента М.

V = /(Е, 3МЦ) (3.1)

Представим это выражение в виде степенного комплекса

V = СЕа3а1Ма31а4 (3.2) В механической системе единиц ЬР величины, входящие в (3.2.), имеют размерности

[V] = Ь; [Е] = РЬ2; [3] = Ь4; [М] = РЬ; [I] = Ь. (3.3)

Из равенств (3.2) и (3.3) видно, что в системе единиц измерения ЬР п = 5, а т = 2. Так как г = п-т = 3, то с использованием традиционного варианта анализа размерностей не удастся решить задачу до конца, т.е. не удастся найти эмпирическую формулу для определения искомой величины V. Действительно, для определения показателей а. запишем формулу размерности для V:

Ь = (РЬ-2)а1Ь4а2(РЬ)а3Ьа4 (3.4)

Приравнивая показатели Ь и Р, слева и справа, получим

-2а1 + 4а2 + а3 + а4 = 1; а1 + а3 = 0 (3.5)

Для определения четырех неизвестных величин получили всего два уравнения. Из этой системы нельзя определить неизвестные показатели а1, а2, а3 и а4. Таким образом, анализ размерностей в традиционном варианте не позволяет решить задачу. Это связано с тем, что не выполняется требование утверждения П1.

Попробуем решить эту задачу путем увеличения числа основных единиц измерения до максимально возможного количества. Выше для прогиба V и длины I мы приняли одну и ту же единицу измерения Ь. Однако, прогиб является деформацией, и для него должна быть принята независимая единица измерения V = [V]. Кроме того, размеры поперечного сечения балки также не зависят от ее длины I, поэтому для площади поперечного сечения можно принять независимую единицу измерения [Е] = S Ф Ь2. Следовательно, вместо старой системы единиц, содержащей две независимые величины Ь и Р, теперь имеем новую систему единиц измерения из четырех величин ЬVSP. В новой системе количество величин, входящих в выражение (3.1) (п = 5) превышает количество основных единиц измерения (т' = 4) всего на одну единицу (5 = п-т' = 1). Поэтому анализ размерностей позволит решить задачу до конца.

В новой системе единиц измерения LVSP величины, входящие в (3.1), имеют следующие размерности:

3/2012

[/] = Ь, [V] = У [Е] = РЯ-'ЬУ-1, [Д = 5Ь2, [М] = РЬ. (3.6)

Из этих равенств видно, что требование положения П1 выполняется. В зависимостях (3.6) размерность 5Ь2 для момента инерции получена из определения этой величины, как произведение элемента площади поперечного сечения на квадрат расстояния, а размерность РЗ^ЬУ-1 для модуля упругости как отношение напряжения с размерностью РЗ- к относительной деформации с размерностью ЬУ-1. С учетом (3.6) формула размерности у в новой системе единиц имеет вид У = (Р5-1ЬУ-1)а1(5Ь2)а2(РЬ)а3Ьа4. (3.7)

Приравнивая показатели основных единиц, получим следующую систему уравнений для определения неизвестных показателей а1, а2, а3 и а4:

а1 + 2а2 + а3 + а4 = 0; а1+а3 = 0; а1 = -1; -а + а2 = 0. (3.8)

Решая эту систему, получим

а1 = -1; а2 = -1; а3 = 1; а4 = 2. (3.9)

С учетом (3.9) выражение (3.2) принимает вид

^М2

V = С-. (3.10)

ЕЗ

В выражении (3.10) безразмерный коэффициент С и момент Мзависят от действующей на балку нагрузки и условий закрепления на концах балки.

Например, если рассматривается балка, свободно лежащая на двух опорах, и требуется найти прогиб в центре, то при действии сосредоточенной силы Р в центре, наибольший момент М = Р1/4, при действии равномерно распределенной нагрузки q на всем пролете — М = q/2/8.

Соответствующие значения прогибов согласно (3.10) будут

С Р1ъ С д14

V = С-; V = С-

4 ЕЗ

Из решения этих задач в курсе сопротивления материалов известно, что в первом случае С = 1/12, а во втором — С = 5/48.

Кручение круглого вала с переменным сечением. Рассмотрим вал в форме тела вращения (конус), правый торец которого закреплен, а на вершине действует скручиваемый момент М (рисунок).

Конус под действием крутящего момента на вершине

Задачу рассмотрим в цилиндрической системе координат (г, 9, ¿), при этом ось 02 направим по оси конуса, а г и 9 находятся в плоскости поперечного сечения.

Задача осесимметричная. Будем пользоваться полуобратным методом решения задачи, т.е. зададим перемещения, затем определим деформации и напряжения, и покажем, что при этом удовлетворяются основные уравнения задачи.

Из трех составляющих вектора перемещения отлична от нуля только тангенциальная составляющая и.

Учитывая, что в силу симметрии перемещение и9 не зависит от угла 9 (и9 = и9(г, ¿)), находим, что из шести составляющих тензора деформации отличны от нуля только два:

р _1К-Цц• Р (311)

дг г дг

Таким образом, из всех составляющих тензора напряжения отличны от нуля только лишь тг9 и х02. Из трех уравнений равновесия, записанных в цилиндрических координатах, два первых удовлетворяются тождественно, а третье из них дает

+ + = 0 . (3.12)

дг дz г

Это уравнение можно записать в виде

|(Че) + |(Ч) = 0 . Щ3)

Уравнение (3.13) удовлетворяется, если ввести функцию напряжений ф по формулам

2 дф 2 дф (314)

г тгв=~^~; г т . (314)

дг дг

Чтобы удовлетворить условиям совместности (неразрывности деформации), нужно использовать тот факт, что тг9 и т02 являются функциями перемещения и9. Из закона Гука имеем

^ 0 ^ °г I г11 •; ™

,диь = 0г АГ0 = _1_

дг дг ( г ) г2 дг

т6г = Gete = G^ = Or- |-JL| = __X (3.16)

или

Из этих равенств следует

д ( 1 дф) + д ( 1 дф дг ^ r3 дг J dz ^ r3 dz

д2ф-Здф + д2ф = о. (3.17)

дг r дг cZ

Рассмотрим теперь граничные условия для функции ф Граница боковой поверхности вала свободна от внешних сил. Следовательно, в любой точке A границы осевого сечения (см. рисунок) полное касательное напряжение должно действовать в направлении касательной к границе, а его проекция на нормаль к границе n должна равняться нулю. Отсюда имеем dz dr

ds ds

где ds — элемент границы. Подставляя в это уравнение значения напряжений и x0z из (3.14), получаем

ду dz + ду dr = о, (3.18)

dz ds dr ds откуда следует, что

ф = const. (3.19)

Величину крутящего момента M можно связать с функцией напряжения ф с помощью интегрального граничного условия

вестник 3/2012

М = Г 2пг2т9 dr =2п Г ^ dr = 2лф|* , (3.20)

о 2 о дг

где Я1 — внешний радиус поперечного сечения.

Таким образом, для определения функции напряжений ф мы должны решить дифференциальное уравнение в частных производных (3.17) при граничных условиях (3.19) и (3.20).

Покажем, что эта задача имеет автомодельное решение, и найдем это решение с помощью анализа размерностей. Из рассмотрения задачи видно, что напряжения тг0 и т0г, а следовательно, и функция напряжений ф зависят от крутящего момента М, от угла а и от координат произвольной точки г и г.

ф = ф(М,г,г,а). (3.21)

Эту зависимость приведем к безразмерному виду, для чего представим ее в виде степенного комплекса

ф = СЫа1та22а3 аа4, (3.22)

и вводя в качестве основных единиц измерения единицу силы Р = [р] и единицу длины Ь = [г] = [г], запишем в системе единиц измерения ЬР размерности остальных величин, входящих в (3.22):

[ф] = [г]3[т] = Ь3 • РЬ 2 = РЬ; [С] = 1; [М] = РЬ; [а] = 1.

С учетом этих соотношений, переходя в равенстве (3.22) к размерностям, получим

РЬ = (РЬ)а1Ьа2Ьа3. (3.23)

В этом равенстве, приравнивая степени Р и Ь слева и справа, получим: а1 = 1; а2 + а3 = 0, или а3 = -а2. Подставляя эти значения в (3.22), имеем

Ф = CM a. (3.24)

Учитывая, что а = const; r/z = tgß, выражение (3.24) представим в виде ф = МФф). (3.25)

Обозначив п = ф/M, а п = ß, обнаружим, что задача определения функции напряжений ф при кручении конуса сводится к определению единой функции вида п = Ф(п1). Следовательно, рассматриваемая задача имеет автомодельное решение.

Для нахождения функции Фф) подставим выражение (3.25) в уравнение (3.17). Находим производные функции ф:

dp = м*ш = -Mr ф'(Р); dZ = = - -Mr Ф'(Р);

dr r + z dz r + z

д2ф 2Mrz Mz2 ч d2ф 2Mrz Mr1

—Т =--7 Ф'(Р) +-7 Ф Cß>; —2- =-7 Ф'(Р) +-Г Ф (ß).

dr2 (r2 + z2)) (r2 + z2)) dz2 ( 2 + z2)) w (r2 + z2 )2

Подставляя эти значения производных в уравнение (3.17), получим

Ф! = 3Z. (3.26)

Ф' r

Если учесть, что z/r = ctgß = cosß/sinß, то уравнение (3.26) примет вид

^ = 3C-0Sl. (3.27)

Ф' sin ß

Интегрируя дважды, получим общее решение этого уравнения

ф= CA cos в 1 + C2.

(3.28)

Здесь можно принять С2 = 0, так как добавление постоянной к функции Ф не изменяет величину напряжений.

Подставляя (3.28) в формулу (3.25), и учитывая, что cosa =

Ф = C1M

r 2 + z2

3(r2 + z2 )2 (r2 + z2)

,получим

(3.29)

Постоянную С1 определяем из интегрального граничного условия (3.20), которое дает

C =

3

1 2л ( 2 -3cos a + cos3 a) .

(3.30)

Для определения напряжений тг0 и т02 необходимо значение ф из (3.29), с учетом (3.30), подставить в формулы (3.14).

Библиографический список

1. Варданян Г.С. Аксиоматическая теория размерностей и ее применение в механике деформируемого твердого тела // Тр. междунар. конгресса по применению математики в технических науках (ИКМ). Веймар, 1997. № 1. С. 89—92.

2. Варданян Г.С. Методы подобия и размерностей в механике деформируемого твердого тела // Вестник ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. М., 2009. № 1. С. 19—51.

3. Хантли Г. Анализ размерностей. М. : Мир, 1970. 167 с.

z

z

Поступила в редакцию в феврале 2012 г.

Об авторе: Варданян Гумедин Суренович — доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники РФ, лауреат Государственной премии СССР, главный научный сотрудник, Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций имени В.А. Кучеренко, ОАО «НИЦ «Строительство» (ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко),

109428, Москва, 2-я Институтская ул., д. 6, gsv33@mail.ru.

Для цитирования: Варданян Г.С. Некоторые дополнительные возможности теории размерности // Вестник МГСУ 2012. № 3. С. 43—50.

G.S. Vardanyan

PARTICULAR AUXILIARY FEATURES OF DIMENSIONAL THEORY

New approach to selection of the principal measurement units system, different from the one used in the conventional dimensional theory, is proposed in the article. The new approach expands the capacities of dimensional analysis in the resolution of problems of deformable solid mechanics.

Key words: n-theorem, dimensional theory, measurement units.

References

1. Vardanyan G.S. Aksiomaticheskaya teoriya razmernostey i ee primenenie v mekhanike de-formiruemogo tverdogo tela [Axiomatic Dimensional Theory and Its Application in Deformable Solid Mechanics]. Works of International Congress Devoted to the Application of Math in Technical Sciences (IKM), no. 1, Weimar, 1997, pp. 89—92.

becthmk 3/2012

2. Vardanyan G.S. Metody podobiya i razmernostey v mekhanike deformiruemogo tverdogo tela [Methods of Similarity and Dimensions in Deformable Solid Mechanics]. VESTNIK CNIISK im. V.A. Kucherenko, Moscow, 2009, no. 1, pp. 19—51.

3. Huntley H.E. Dimensional Analysis. Moscow, Mir, 1970, 167 p.

About the author:Vardanyan Gumedin Surenovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Honoured Scholar of the Russian Federation, Awardee of the USSR State Prize, Chief Researcher, Central Scientific Research Institute for Building Structures named after V.A. Kucherenko (V.A. Kucherenko CSRIBS), 6 2nd Institutskaja St., Moscow, 109428, Russia; gsv33@mail.ru.

For citation: Vardanyan G.S. Nekotorye dopolnitel'nye vozmozhnosti teorii razmernosti [Particular Auxiliary Features of Dimensional Theory], Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering], 2012, no. 3, pp. 43—50.