Решение задачи кручения конуса с-использованием анализа размерностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КРУЧЕНИЯ КОНУСА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ

Юрьев Р.В.

Общее решение задачи о кручении круглого вала переменного диаметра принадлежит Мичеллу (J, H. Michell, Proc. London. Math. Soc. 31, 141 (1899)). Решение в цилиндрических координатах впервые дали Рейсснер и Венгаль (H. Reissner, G. J. Wennagel, J. Appl. Mech. 17, 275-282 (1950)). Позже решение было опубликовано в работах многих известных инженеров, таких как Ван Цзи-Де, Тимошенко С.П., Дж. Гудьер и т.д. Но во всех работах функция напряжения была подобрана, а не строго определена. В настоящей работе с помощью анализа размерностей получено точное аналитическое решение данной задачи.

Рассмотрим кручение круглого вала переменного диаметра, парами сил, приложенными по торцам. Задачу будем решать в напряжениях. Для тел вращения удобно пользоваться цилиндрическими координатами r, в, z. Примем, что ось z совпадает с осью вращения вала. Пренебрегая объемными силами, уравнения равновесия Навье имеют вид:

1 Эх„п Эх^ + Qr -р9 dz r

for

dr Эх

rz

dr Эх

+ —

_rÖ_

эе

= 0,

1 Эх,

r8

dr

r

1

+ -

r

8z

эе

Эап

dz Эх,

= 0,

(1)

8г

dz

2х„,

= 0.

Э8 01 г

Воспользуемся полуобратным методом (Сен-Венана), допустим, что для настоящей задачи и = н> = 0. Покажем, что решение, в основе которого лежит такое допущение, будет удовлетворять дифференциальным уравнениям (1) и граничным условиям. Тогда на основании теоремы о единственности решения задач теории упругости следует, что сделанные вначале допущения являются корректными и что полученное решение представляет собой точное решение задачи о кручении. Это допущение отличается от допущения принятого в теории кручения круглого вала постоянного диаметра, тем, что тангенциальные перемещения уже не будут пропорциональны их расстоянию от оси; таким образом, радиусы поперечного сечения в результате деформации искривляются. В силу осевой симметрии, перемещение V не может зависеть от угла в и будет функцией только от г и г. Тогда из соотношений Коши получаем:

£ = £ = £ = у = 0,

r 8 z I zr '

dv

dv

Из формул закона Гука следует:

Y re = -, , Yez = -, .

dr r dz

°r = ^e = ° z = V = 0

nidv v л ^ ndv

= G(----), % = G

(2)

(3)

' dr г г dz

Заметим, что единственные компоненты напряжений хг9 и х9г, отличные от нуля, не зависят от

угла в. Поэтому первые два уравнения (1) тождественно удовлетворяются, а третье уравнение принимает вид:

d^a + 9xâL + 2х^ = 0 dr dz r

Его можно записать в следующей форме:

d_ dr

(r 2 Xre ) + ^ (r2 Tez ) = 0.

(4)

(5)

111

rz

+

+

+

r

v

Очевидно, это уравнение тождественно удовлетворяется, если ввести функцию напряжений щ, зависящую от г и г такую, что:

или

Эу 2 - = r т„

дг 9

1 Эу

ду 2 = "r т"

dz

1 Эу

г2 дг '

(6)

Чтобы определить функцию напряжений надо обратиться к уравнению совместности. Решая совместно уравнения (3) и (6), находим:

д (V^ _ 1 Э^ Э (V^ _ 1 Э^ дг У г) г3 Эг ' дг У г) г3 дг Дифференцируя первое равенство по г, а второе - по г и вычитая одно из другого, получаем следующее уравнение совместности:

э2у _ з э^ + э> = 0

дг2 г дг dz2

(7)

Найдем условие на контуре для функции щ. Так как боковая поверхность вала свободна от внешних нагрузок, то результирующее касательное напряжение должно быть направлено по касательной к контуру осевого сечения, а его проекция на нормаль N к контуру должна равняться нулю. В соответствии с этим имеем:

тг9 cos(NЛ г) + x9z cos(Nлz) = 0.

С другой стороны,

cos( N А г) = —, ds

. dr cos(N z) = —, ds

где ds - элемент дуги контура. Подставляя выражение (6) получаем:

Э^ dг + Э^ dг _ о

дг ds дг ds

откуда

d у

ds

= 0,

или

у = const на контуре.

Величину крутящего момента можно вычислить, определив момент касательных усилий

0z

(8) в

поперечном сечении:

a a

М = [т9гг(2nr)dr = 2п Г^-dr = 2n[yi(a,z)-у(0,z)]. j - J Э?"

(9)

где а - внешний радиус поперечного сечения.

Таким образом, крутящий момент легко получить, если известна разность между значениями функций на внешней границе и в центре поперечного сечения.

Если вал имеет коническую форму, то на контуре имеет место зависимость:

, 2 ^2 2,1/2 = С°5 Р ,

(г + г)

где в - угол наклона образующей конуса.

Заметим, что отношение в левой части равенства, является величиной постоянной. Поэтому любая функция этого отношения будет удовлетворять условию на контуре (8).

Уравнение (7) с граничным условием на контуре (8) полностью определяет функцию напряжений щ, по которой можно получить напряжения, удовлетворяющие уравнениям равновесия, условиям совместности и условиям на боковой поверхности вала. Однако получить строгое математическое решение уравнения (7) практически невозможно.

Известно, что методы теории подобия и анализа размерностей могут быть применены для таких задач, как уменьшение числа независимых переменных, установление геометрических и физических соотношений, установления законов моделирования и ряда других.

Анализ размерностей позволяет в определенных случаях получить точные частные решения сложных задач математической физики. Эти решения выражаются через решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Важным здесь является то, что необязательно иметь математическую формулировку задачи. При решении задач с помощью аппарата анализа размерностей

2

r

применяется п - теорема, которая устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные переменные и функцией в безразмерной форме.

п — теорема: Число безразмерных комплексов равно числу всех физически размерных величин, существенных для процесса, за вычетом числа первичных величин; иначе: всякое уравнение, связывающее между собой п = т + г размерных величин (где т — количество первичных величин, г — количество вторичных величин), характеризующих изучаемое явление, может быть представлено в виде зависимости п — т безразмерными комплексами этих величин.

Задача решается по следующей схеме: определяется тип задачи и выбирается система размерностей; составляется перечень величин, существенных для процесса; по п - теореме определяется число критериев - комплексов и их структура. При этом принципиальное значение имеют два момента: выбор системы размерностей и составление перечня существенных величин.

Воспользуемся анализом размерностей для нахождения общего вида щ, и тем самым сведем уравнение (7) к обыкновенному дифференциальному уравнению. В задаче удобно использовать систему единиц Ь,Р (Р - размерность силы), поскольку время не существенно для данной задачи. Определим количество первичных и вторичных величин, от которых зависит искомая функция напряжений щ. Легко видеть, что щ будет зависеть от величины крутящего момента, приложенного на торце вала, и координат г и г. Таким образом, количество первичных величин т = 2 (Ь, Р), а количество величин существенных для процесса п = 4 (г, г, Мкр, щ). Получим п - т _ 2, тогда из п - теоремы следует, что уравнение (7) можно представить в виде зависимости 2 безразмерных комплексов.

Определим размерности выбранных величин. В принятой системе единиц измерения они имеют

вид:

[г] = [г] = Ь, [Мкр] = РЬ

Для определения размерности функции напряжений щ воспользуемся выражением (6):

М=м.

га _ -гт'

По определению напряжение - это отношение силы к площади напряжений размерность запишется в виде:

_Р

Ь

Тогда получим:

[щ] = РЬ.

Зная размерности всех величин, мы можем составить два безразмерных комплекса:

м рь

щ ■ ■ ■

поэтому для касательных

М

Г_ Т РЬ ,

[ м , ]

рь

г Г„1 [г 1 ь Л

"2=-г • [те2]=й=ь=1

Согласно п - теореме уравнение (7) можно представить в виде:

щ = Сф(я2)

или

¥ = смкрф| ^

У

(10)

где С - безразмерная постоянная.

Таким образом, с помощью анализа размерности и п - теоремы нам удалось определить, что функция напряжений прямо пропорциональна крутящему моменту и зависит от отношения координат г и г. Дальнейшее исследование зависимости (9) уже не связано с анализом размерностей.

г

Введем новую переменную t =— . Подставим выражение (9) в уравнение (7), предварительно

г

преобразовав частные производные:

аг г г аг

£ _ СМ.У«) [ - ^

г аг

2СМ г , СМ г2 , -+-

СМ „ „ 3 см , , 2 СМ г , СМ у- „

г

г г

Умножим на обе части уравнения (10) на г и разделим на СМкр , получим:

(1 +г2) ф" +1 2г - 3] ф' = 0.

(11)

(12)

Уравнение (12) - однородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, решение которого не вызывает затруднений. Решая уравнение (12), окончательно получим:

Ф = Сх

Ф = С1

Л

1

1

3(1+г2 ) (1+г2 )

3 (г2 + г2 )3'2 (г2 + г2 )1-

у = СМкр Ф = Сз Мкр

3 (г2 + г2 )3/2 (г2 + г2

(13)

Постоянную С3 можно определить, подставив функцию (13) в уравнение (9); тогда получим:

3

С =

2п(2-3ео8Р + ео83 р) .

Таким образом, зная функцию напряжений, находим касательные напряжения Тг0 и из выражений (6):

'гб =

V = -

С Мкр г г

(г2 + г2 )5/2 С,Мкрг-(г2 + г)3/:

(14)

Приведенное решение называется автомодельным решением. Такое решение обладает весьма важным свойством - автомодельностью. Оно заключается в том, что распределение всех характеристик в таких задачах в "автомодельных координатах" £ ц подобны, т.е. получаются одно из другого преобразованием подобия ц = Ф{%) (представляются единой кривой).

Автомодельные решения представляют собой всегда решения вырожденных задач, в которых входящие в задачу критерии принимают нулевые или бесконечные значения, так что, как правило, автомодельные решения отвечают сингулярным начальным или краевым и т. п. условиям.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Варданян Г.С. Андреев В.И. Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. - М., АСВ, 1995.

2. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. - М., государственное издательство физико-математической литературы, 1959.

3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М., Наука, 1975.

4. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. Учеб. пособие для студентов вузов. - 2-е изд., перераб. - М., Высш. школа, 1982.

5. Варданян Г.С. Основы теории подобия и анализа размерностей. Учеб. пособие. - М., типография МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1977.

6. Варданян Г. С. Применение теории подобия и анализа размерностей к моделированию задач механики деформируемого твердого тела. Учеб. пособие. - М., типография МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1980.

7. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М., Наука, 1967.