Расчёт предельных нагрузок и остаточных напряжений в элементах конструкций Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Труды Международного симпозиума «Надежность и качество», 2018, том 1 УДК 531.3: 681.2.08

Исаков Е.Г., Корольков А.О., Литвинов А.Н.

ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия

РАСЧЕТ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК И ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ

Рассмотрена методика расчета на прочность типовых элементов конструкций, работающих на кручение и изгиб, по предельному состоянию. В отличии от метода расчета по допускаемым напряжениям это позволяет полностью использовать несущую способность элемента конструкции, что приводит к оптимальному проектированию элементов и конструкций в целом, снижению их металлоемкости и себестоимости при обеспечении требуемой прочности. Показано, что при проектировании конструкций по методу предельных нагрузок в элементах конструкций могут возникать остаточные напряжения, которые необходимо учитывать при оценке прочности. Приведен пример расчета предельной нагрузки и остаточных напряжений для трансмиссионного вала. Ключевые слова:

ПРЕДЕЛЬНАЯ НАГРУЗКА, ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, РАСЧЕТ, ТРАНСМИССИОННЫЙ ВАЛ

Введение

Основным методом расчета на прочность при проектировании элементов конструкций различного назначения является метод расчета по допускаемым напряжениям, в соответствии с которым на основании анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) ограничиваются максимальные напряжения в наиболее нагруженных элементах конструкций [1, 2] . Анализ НДС реальных конструкций различного назначения [3, 4] показывает, что при таком проектировании в реальных условиях эксплуатации конструкций их несущая способность, как правило, не исчерпывается. Особенно это характерно для элементов конструкций, в которых распределение полей деформаций и напряжений является неравномерным, что приводит к перегрузке одних и недогрузке других зон (частей) элементов конструкций. Такое НДС имеет место, например, при кручении трансмиссионных валов; изгибе балок, пластин и оболочек, которые являются элементами конструкций различного назначения [1,..., 4]. Таким образом, расчет по допускаемым напряжениям не позволяет полностью оценить истинную несущую способность элемента конструкции и выполнить его оптимальное проектирование.

Для обеспечения оптимального проектирования, необходимо использовать метод расчета, основанный на оценке прочности конструкции по её предельному состоянию, который в последнее время широко внедряется в инженерную практику и позволяет за счет конструкторско-технологических способов повысить несущую способность конструкций [5] . Под предельным состоянием конструкции при этом понимается такое ее состояние, при котором она (или ее отдельные элементы) полностью теряет способность сопротивляться внешним эксплуатационным нагрузкам и не может выполнять свое функциональное назначение.

Метод расчета по предельному состоянию основывается на рассмотрении поведения элемента конструкции под действием внешних эксплуатационных или технологических нагрузок за пределами упругости, когда закон Гука не выполняется. При этом широко используются различные схематизации истинных диаграмм растяжения для материала элемента рассматриваемой конструкции с использованием теории пластичности [6] и применением моделей, описывающих свойства материала:

- жесткопластический; упругопластический;

- упругопластический с упрочнением и др.

При изложении метода расчета используем модель упругопластического материала в соответствии, с которой диаграмма растяжения образца из материала элемента конструкции 1 заменяется схематизированной диаграммой Прандтля 2 (рис. 1). Здесь а, е - нормальные напряжения и относительная деформация соответственно; ат - предел текучести; ОА - зона действия закона Гука; АВ - площадка текучести. В тех случаях, когда элемент конструкции работает на кручение, в его сечении возникают касательные напряжения сдвига т, для которых диаграмма Прандтля имеет вид, аналогичный рис. 1.

Рисунок 1 - Диаграмма растяжения для материала

Замена истинной диаграммы схематизированной диаграммой Прандтля применяется для пластичных материалов. Для хрупких материалов следует применять иные модели схематизации в зависимости от вида реальной диаграммы для материала с учетом теплового режима эксплуатации рассматриваемой конструкции.

1. Расчет по предельному состоянию балки

Рассмотрим поперечный изгиб балки прямоугольного сечения с размерами ЪхЪ, изготовленной из пластичного материала. В наиболее нагруженном поперечном сечении действуют изгибающий момент Мх, под действием которого в сечении возникают нормальные напряжения а. Эпюра нормальных напряжений а по высоте сечения при упругом деформировании показана на рис. 2, в.

Рисунок 2 - Эпюры напряжений при изгибе

Максимальные напряжения достигаются в верхних и нижних волокнах балки и определяются по формуле:

така = Мх/Шх, (1)

где Шх = Ък3/6 - момент сопротивления при изгибе прямоугольного поперечного сечения.

При возрастании величины изгибающего момента Мх в соответствии с диаграммой Прандтля (рис. 1) нормальные напряжения остаются постоянными и равными пределу текучести при растяжении, т. е. тахха = ат. Эпюра этих напряжений показана на рис. 2, г. При этом в поперченном сечении имеет место упругопластический изгиб, и образуются две зоны (рис. 2, д):

- упругая зона 1, в которой а<ат;

- пластическая зона 2, в которой а = ат.

При дальнейшем увеличении изгибающего момента Мх происходит расширение пластических зон 2. Предельное состояние наступит в случае, когда пластическая зона охватит все поперечное сечение. Изгибающий момент, соответствующий этому состоянию, называется предельным изгибающим моментом Мпр.

Предельный изгибающий момент в соответствии с эпюрой нормальных напряжений, представленной на рис. 2, определяется выражением

мпр = ^ = 2°т ¡р/2У<1Р = (2)

где Бх- статистический момент половины площади поперечного сечения Е.

Предельный изгибающий момент в соответствии (2) вычисляется как

Мпр = атШш, (3)

где Шпл = 2БХ - пластический момент сопротивления поперечного сечения.

Так как для балки прямоугольного сечения [1] 5Х = ЪК2/2, то

ШпП = ЪЬ2/4. (4)

Сравним степень увеличения запаса прочности балки при переходе от расчета по допускаемым нагрузкам к расчету по предельным нагрузкам.

При расчете по допускаемым нагрузкам предельно допускаемая величина изгибающего момента определяется из условия тахет = ат, т. е.

Мт = атШх. (5)

Степень увеличения несущей способности при переходе к расчету по предельному состоянию определим параметром

П = МВр/Мт = Швл/Шх. (6)

Для прямоугольного поперечного сечения коэффициент повышения несущей способности с учетом выражений (1) и (4) принимает значение: г| = 6ЪЬ2/АЪЬ2 = 1,5.

Аналогично решается задача и для других типов поперечных сечений балочных элементов, работающих на изгиб.

2. Расчет по предельному состоянию при кручении

При кручении валов сплошного круглого поперечного сечения по допускаемым напряжениям, касательные напряжения т в упругой области распределяются по линейному закону, а их эпюра представлена на рис. 3, а, где М - действующий крутящий момент.

а)

б)

в

Рисунок 3 - Эпюры напряжений при кручении

Опасное состояние вала имеет место при появлении пластических деформаций на внешнем контуре поперечного сечения при выполнении условия:

тахт = тТ, (7)

где тТ - предел текучести материала вала по касательным напряжениям.

Проводя рассуждения, аналогичные п. 1, получим крутящий момент, соответствующий опасному состоянию при расчёте по допускаемым напряжениям:

Мт = ^р, (8)

где Wр = ^кD3/16 - полярный момент сопротивления вала при кручении.

Предельный крутящий момент Мпр определяется выражением:

Мпр = ^р(Пл), (9)

где Wр(пл) = пD3/12 - пластический момент сопротивления при кручении.

На рис. 3 показаны эпюры касательных напряжений в поперечном сечении при различных значениях крутящего момента М:

- М<Мт, всё сечение работает в упругой области (рис. 3, а);

- Мт < М < Мпр, сечение разбивается на две зоны: 1 - упругая зона (т<тТ); 2 - пластическая зона при т = тТ (рис. 3Г б) . Здесь рп - радиус пластической зоны;

- М = Мпр, всё сечение работает в пластической зоне при т = тТ (рис. 3Г в).

Степень увеличения несущей способности вала при переходе к расчёту по предельному состоянию определим безразмерным параметром аналогично

(6):

Пкр = Мпр/Мт, (10)

который с учётом выражений (8) и (9) равен Пир = Мр^р = п0316/12п03 = 1,33.

Таким образом, скрытый запас прочности вала, работающего на кручение, при переходе к расчёту по предельному состоянию составляет Г|кр = 1,33.

3. Расчет трансмиссионного вала по предельному состоянию

В качестве примера рассмотрим вал постоянного сплошного круглого поперечного сечения диаметром D, нагруженный крутящими моментами: тг = 3 т; т2 = т; т3 = 3 т (рис. 4, а); 1г = 21; 12 = 13 = 14 = 1. Материал вала - сталь с модулем сдвига О = 8•104 МПа, пределом текучести ТТ= 140 МПа. Величина крутящего момента т = 0,5 кН • м. Определим предельную грузоподъемность трансмиссионного вала

Вал является статически неопределимым, поэтому при его расчете по методу допускаемых напряжений составляем уравнения совместности деформаций в соответствии с общепринятой методикой [2] и уравнения равновесия, из которых определим реакции в опорах МА = 1.6 т и Мв = 0,6 т. Эпюра крутящих моментов для вала представлена на рис 4, б. Анализ эпюры крутящих моментов показывает,

вала на наиболее нагруженном III участке, кото-

1ротивления Wp =

что наиболее нагруженным является III участок вала, на котором максимальный крутящий момент равен

maxM^ = 2,4 m. (11)

Из условия прочности при расчете по допускаемым напряжениям требуемый диаметр вала принимается равным D = 44 мм.

Выполним расчёт предельного значения внешнего

рассматривая предельное состояние

рым имеет полярным момент сопротивления ^3/16 = п • 443/16 = 1,67 • 104 мм3.

Пластическим момент сопротивления при кручении вала в соответствии с (10) равен Wр(пл) = пкр • Wр = 2,22 • 104 мм3, а предельным крутящим момент (9) равен Мпр = Тт^^^) = 3,11 кН • м.

момента т.

пр '

а)

б)

Рисунок 4 - Эпюра крутящих моментов

Учитывая связь максимального крутящего момента тах М и внешнего момента т (11), получим уравнение для определения предельного значения внешнего момента т„.

"пр •

M = M = 2,4 т,

пр

(12)

Из (12) получаем значение предельного внешнего крутящего момента тпр = Мпр/2,4 = 3,11/2,4 = 1,3 кН • м.

Таким образом, предельный внешний крутящий момент для рассмотренной расчётной схемы вала можно увеличить в n раз по сравнению с заданным п = тпр/т = 2,6.

Проанализируем эпюры касательных напряжений, действующих в поперечных сечениях вала при различных значениях внешнего крутящего момента m. При этом считаем, что вал имеет диаметр D =44 мм, полученный из расчёта на прочность по допускаемым напряжениям. Для этого определим значение внешнего момента тт, соответствующее образованию пластической деформации на внешнем контуре сечения вала на наиболее нагруженном III участке. В соответствии с (8) и (11) получим:

maxM = TtWp = 2,4m^

Таким образом, тт = TTWp/2,4 = 0,97 кН • мм.

Если т< тт, то на всех участках вала maxT < тт и они деформируются упруго. Эпюры касательных напряжений имеют вид, представленный на рис. 3,а.

Если тт<т<тпр, то на третьем участке вала имеет место упругопластическое деформирование с образованием двух зон, показанных на рис 3, б.

Проанализируем НДС на других участках вала при т = тпр, используя расчётную формулу для определения максимальных касательных напряжений

Проведенным расчёт по предельному состоянию позволяет определить величину внешнего крутящего момента, при котором полностью исчерпывает несущая способность вала.

4. Расчет остаточных напряженим При работе элементов конструкцим за пределами упругости после разгрузки в них образуются остаточные напряжения, которые существенно влияют на НДС и несущую способность конструкции при повторных нагружениях. Рассмотрим это на примере трансмиссионного вала.

Пусть на вал демствует крутящим момент Мт <

M<M

и в сечении вала образуются две зоны

(рис. 3, б) . Величина радиуса рп зависит от величины действующего крутящего момента М. Так как разгрузка материала происходит по закону Гука [6]г то при разгрузке в сечении вала имеет место разгрузочные напряжения, эпюра которых является линемном и обратном по знаку эпюре, показанном на рис. 3Г а. При этом максимальные разгрузочные напряжения определяются по формуле

тахтр = -— (13)

Остаточные напряжения тост определяются в любом точке сечения по принципу суперпозицим:

Тост = т + Тр г (14)

текущие значения в произвольном точке

где т и тр

сечения напряженим при нагрузке и разгрузке вала соответственно.

Результирующая эпюра остаточных напряженим является линейно и представлена на рис. 5

т■

max L]

на j -ом участке (j

1, 2, 4) :

1,6тпр^р = 124,5 МПа; тахт2 = 1,4тпр^р = 109 МПа; тахТ4 = 0,6т„р^р = 46,7 МПа.

Так как на 1, 2 и 4 участках при т = тПр величина максимальных касательных напряжений не превышает предела текучести, то на этих участках имеет место упругое деформирование, а эпюры касательных напряженим имеют вид, представленным на рис. 3Г а. При т = тПр, т.е. т = 1,3 кН-м на третьем участке имеет место пластическое деформирование вала по всему сечению, а эпюра касательных напряжений показана на рис. 3, в.

Рисунок 5 - Эпюра остаточных, напряженим

В зависимости от значения момента М, определяющего радиус пластическом зоны рп, остаточные

т=

max Ч

напряжения достигают максимальных значений в точках К1 и К2, где они в соответствии с (14) определяются соотношением:

Т(1)-Т -1ост — TT

W0

(2) _ _ M тост — TT I pn

(15)

где Jp - полярный момент инерции сечения. При повторных нагружениях вала остаточные напряжения складываются с действующими эксплуатационными напряжениями, что, в зависимости от

их знака, приводит к дополнительной разгрузке или догружения в точках К1 и К2 сечения вала, и существенно влияет на его НДС.

Решение задач по определению предельных внешних нагрузок и остаточных напряжений при изгибе и других видах нагружения выполняется аналогично с учётом вида элементов конструкции и их НДС при действии эксплуатационных и технологических внешних воздействий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Юрков, Н. К. Технология производства электронных средств: учебник / Н. К. Юрков. - СПб.: Лань, 2014. - 420 с.

2. Молотников, В. Я. Механика конструкций. Теоретическая механика. Сопротивление материалов / В. Я. Молотников. - СПб.: Лань, 2012. - 544 с.

3. Литвинов, А. Н. Прикладные модели механики гетерогенных структур изделий приборостроения / А. Н. Литвинов, М.А. Литвинов, В. В. Смогунов. - Пенза.: Изд-во ПГУ, 2009. - 320 с.

4. Литвинов, А. Н. Исследование состояния микросборок приборных устройств при тепловых воздействиях / А. Н. Литвинов, О. Ш. Хади, Н. К. Юрков // Надёжность и качество. Труды междунар. симп. в 2-х томах. - Пенза, Изд-во ПГУ, 2017, т.1 - с. 43-46.

5. Мартынов, А. Б. Конструкторско-технологические способы повышения несущей способности сосудов, работающих под давлением / А. Б. Мартынов, А. Н. Литвинов // Надёжность и качество. Труды междунар. симп. в 2-х томах, - Пенза, Изд-во ПГУ, 2015, т.2. - с. 121-124.

6. Самуль, В. И. Основы теории упругости пластичности / В. И. Самуль. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.

УДК 532 + 622.276.1/4(73)

Денисов1 С.В., Лялин2 В.Е., Шушков3 А.А.

1ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», Уфа, Россия

2ФГБОУ ВО Ижевский Государственный Технический Университет им. М.Т. Калашникова, Ижевск, Россия

3ФГБУН Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения Российской академии наук, Ижевск, Россия

ВЕРИФИКАЦИЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ЛИНИЙ ТОКА

В работе приведены аналитические решения частных случаев одномерной многофазной многокомпонентной фильтрации, полученные за счет ряда существенных упрощений основного уравнения. Тем не менее, анализ таких одномерных течений позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтрации смеси флюидов и сопоставить их с результатами лабораторных экспериментов. Случай двухфазной фильтрации несмешивающихся жидкостей представляет первый шаг на пути решения сложной проблемы многофазного движения флюидов без фазовых переходов. Решение этой задачи, впервые предложенного американскими исследователями С. Баклеем и М. Левереттом, не противоречит экспериментальным фактам (при высокой скорости потока) и имеет существенное практическое применение. В частности, решение Баклея-Леверетта позволяет определить среднюю насыщенность в безводный период, рассчитать среднюю насыщенность после прорыва воды и на базе этого получить простую формулу для расчета коэффициента нефтеотдачи. Подобные формулы, вытекающие из точного решения задачи о вытеснении нефти (или газа) водой, применяются при оценочных инженерных расчетах основных технологических параметров разработки нефтегазовых месторождений с использованием процесса заводнения.

Ключевые слова:

МЕТОД ЛИНИЙ ТОКА, МОДИФИКАЦИЯ, КОЭФФИЦИЕНТ НЕФТЕОТДАЧИ

Введение

Предложена методика распределения линий тока между нагнетающими скважинами и гранями блоков их содержащих, которая наглядно показывает области с высокой скоростью фильтрации за счет большего числа линий тока, проходящих через эту область, а с другой стороны позволяет более точно определить долю индикатора для таких областей, которые, как правило, представляют больший интерес для инженеров-нефтяников.

Разработан алгоритм выбора пропущенных блоков, который существенно уменьшил количество обрабатываемых неучтенных при прямой трассировке блоков; последовательность выбора пропущенных блоков определяется их близостью к добывающим скважинам;

Создано программное обеспечение проведения вычислительного эксперимента, позволяющее проводить гидродинамическое моделирование пластовых систем с различными системами расположения скважин и режимами их работы; оно позволило провести сравнительный анализ результатов МЛТ-мо-делирования с результатами, полученными стандартным МКР-симулятором;

1. Верификация модифицированного метода линий тока

1.1. CDC и кривые относительной проницаемости

Типичная кривая капиллярного вытеснения (CDC) была поделена на три зоны, как показано на рис. 1. В областях с преимущественно большими по значению капиллярными числами насыщенности в сеточных блоках характеризовались почти линейными функциями относительной проницаемости и низкими остаточными насыщенностями, в то время как для областей с малыми капиллярными числами устанав-

ливались более искривленные функции относительной проницаемости с высокой остаточной насыщенностью [3-5]. В данной работе для кривых относительной проницаемости применялась модель Кори. В табл. 1 приведены параметры, используемые при построении кривых относительной проницаемости для каждой из зон.

Рисунок 1

Разделение кривой капиллярного вытеснения на зоны

В работе первая зона обозначена как зона с малыми значениями капиллярного числа ( Ыс<10 6 ). В этой зоне используются данные об относительной проницаемости из столбца «Зона 1» в табл. 1. Вторая зона - это зона с промежуточными значениями капиллярного числа ( 10 6 < NN < 104 ) , в которой данные об относительной проницаемости берутся из столбца «Зона 2» в табл. 1. Наконец, третья зона соответствует области с большими

значениями капиллярного числа

( ^ > 10~4 ),

для

которой информация об относительной проницаемости получается из столбца «Зона 3» в табл. 1. Построенные таким образом кривые относительной проницаемости приведены на рис. 2.