CC BY
106
Механика сред с зависящими от вида напряженного состояния свойствами
Е.В. Ломакин
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, 119991, Россия
Проведен анализ результатов экспериментальных исследований деформирования неоднородных материалов, содержащих микротрещины, поры, включения и другие особенности структуры. Исследована зависимость деформационных свойств материалов от условий нагружения, выявлены общие закономерности и некоторые особенности их поведения. Сформулированы определяющие соотношения для описания упругого и упругопластического деформирования сред, чувствительных к виду напряженного состояния. Предложены новые постановки задач в тех случаях, когда традиционные не могут быть использованы, и получены решения некоторых задач.
Mechanics of media with stress-state dependent properties
E.V. Lomakin
M.V. Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia
The paper analyzes experimental findings on the deformation of heterogeneous materials that contain microcracks, pores, inclusions and other structural singularities. It is found how the deformation properties of the materials depend on loading conditions, general mechanisms and some peculiarities of their behavior are revealed. Constitutive equations are formulated for elastic and elastic-plastic media with properties sensitive to the stress state type. New approaches to the solution of problems are proposed in the cases when conventional approaches cannot be used. Solutions for certain problems are obtained.
1. Введение
Одно из фундаментальных направлений развития механики деформируемого твердого тела заключается в разработке математических теорий деформирования и разрушения сложных сред, к которым, прежде всего, относятся неоднородные среды, содержащие микротрещины, поры, включения, армирующие элементы и другие особенности структуры. Экспериментальные исследования механических свойств сред, содержащих различного рода неоднородности структуры, свидетельствуют о зависимости макросвойств данных сред от вида нагружения или вида деформирования. Это связано с тем, что поведение микронеоднородностей существенным образом зависит от характера внешних воздействий. Кроме того, в данных средах процессы сдвигового и объемного деформирования взаимосвязаны. Одним из проявлений этой взаимосвязи может быть
объемное расширение среды при действии сжимающих напряжений. Данные свойства проявляются у горных пород, бетона, огнеупорных керамик, чугуна, конструкционных графитов, некоторых композиционных материалов и многих других.
Таким образом, для рассматриваемых сред нет единых диаграмм зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций, а также между гидростатической компонентой напряжений и объемной деформацией, инвариантных к виду нагружения.
Использование классических подходов к описанию деформирования сред, обладающих такими свойствами, не представляется возможным. Сформулированы соответствующие определяющие соотношения для описания нелинейно-упругого и упругопластического деформирования рассматриваемого класса сред, в рамках которых определены условия единственности решения
© Ломакин Е.В., 2007
краевых задач и проведен анализ соответствия между теоретическими зависимостями и экспериментальными данными.
Показано, что некоторые традиционные постановки краевых задач и соответствующие методы их решения не могут быть использованы. В частности, это относится к задачам продольного сдвига, кручения, механики разрушения. Сформулированы новые постановки и получены решения ряда задач, на основе которых установлено, что в условиях действия касательных напряжений величина объемной деформации вблизи отверстий и других концентраторов напряжений может быть сравнимой с величиной деформации сдвига. При этом зависимость деформационных свойств сред от вида напряженного состояния существенным образом влияет на распределение напряжений и деформаций в твердых телах.
На основе решения задач механики разрушения исследована зависимость коэффициентов интенсивности напряжений от чувствительности деформационных свойств материалов к виду нагружения. Обнаружено раскрытие трещин при действии касательных напряжений и на основе данного эффекта предложен возможный механизм, объясняющий объемное расширение среды при действии сжимающих напряжений.
2. Зависимость механических свойств материалов от вида нагружения
При построении определяющих уравнений для сред, механические характеристики которых зависят от вида напряженного состояния, необходим соответствующий анализ экспериментальных данных, способствующий выявлению общих для различных материалов закономерностей. Такой анализ позволяет установить, какие параметры вида напряженного состояния необходимо использовать при формулировке определяющих уравнений.
Задание трех инвариантов тензора напряжений полностью определяет напряженное состояние с точностью до поворота главных осей в пространстве [1]. Главные компоненты тензора напряжений можно выразить через среднее напряжение 0 = 1/3 аи, интенсивность напряжений о0 = .,^233/', где Бу = Оу -о5у — девиатор напряжений, и угол подобия девиаторов напряжений 0 [1], который определяется соотношением cos30 = = 9Бш/(2о30) где Бш = — третий инвариант
девиатора напряжений. Угол 0 непосредственно связан с параметром Лоде
^а= 2 21^1 -1 = -Тз^(0 + я/ 3). (1)
°1 °3
Вид напряженного состояния определяется соотношением между тремя главными напряжениями, и поскольку таких соотношений только два, то и параметров вида напряженного состояния в общем случае только два [2, 3].
В качестве таких параметров может быть выбрано отношение среднего напряжения а к интенсивности напряжений а0, которое обозначим £, = о/о0, и угол подобия девиаторов напряжений 0. Следует отметить, что напряжение а характеризует среднее нормальное напряжение в точке сплошной среды, а О0 — значение среднего касательного напряжения в той же точке [4]. Таким образом, параметр £, характеризует в среднем соотношение между нормальными и касательными напряжениями и определяет в среднем вид напряженного состояния, а параметры 0 и цст — отклонения от этого среднего значения. Введение в определяющие уравнения двух параметров £, и 0, как правило, неоправданно в аналитическом плане, так как существенно усложняет расчеты. Часто достаточно точные результаты можно получить, характеризуя вид напряженного состояния в среднем, т.е. используя только параметр Данный параметр использован при описании экспериментальных зависимостей и построении определяющих уравнений.
Зависимость механических свойств рассматриваемых сред от условий нагружения можно проиллюстрировать на основе результатов экспериментальных исследований поведения различных горных пород, приведенных в [5]. Эксперименты проводились при пропорциональном нагружении сплошных цилиндрических образцов в условиях действия осевой сжимающей нагрузки и бокового давления. При этом во всех испытаниях параметр Лоде (1) имел постоянное значение ^ст = 1 для различных видов напряженного состояния. На основе приведенных в [5] значений напряжений и деформаций можно построить обобщенные диаграммы зависимости между интенсивностью напряжений а0 и интенсивностью деформаций £0 = ^2/3е^е^, где еу = £у -—1/3 е5у — девиатор деформаций; £ = £й — объемная деформация [6]. На рис. 1 различными точками отмечены экспериментальные значения интенсивности на-
о0, МПа 200
100
о
Рис. 1. Обобщенные диаграммы деформирования талькохлорита для разных условий пропорционального нагружения. Диаграммы соответствуют одноосному сжатию Ъ, = -0.333 (1), -0.407 (2), -0.464 (3), -0.637 (4), -0.808 (5), -1.02 (6)
Рис. 2. Обобщенные диаграммы деформирования белого мрамора: % = -0.333 (1), -0.407 (2), -0.464 (3), -0.55 (4), -0.63 (5), -0.79 (6), -1.39 (7)
пряжений о0 и интенсивности деформаций е0, соответствующие разным условиям пропорционального нагружения образцов талькохлорита плотно стью 2.91 г/см3 и пористостью 0.21 %. Сплошными линиями показаны аппроксимирующие кривые с использованием степенной функции. В качестве характеристики диаграммы о0 -е0 для каждого вида пропорционального нагружения может быть использован параметр £, = о/о0 , который в условиях пропорционального нагружения имеет постоянное значение. Диаграмма 1 соответствует одноосному сжатию с параметром £, = 0.333, диаграммы 2-6 —трехосному сжатию с разными соотношениями между осевой силой и боковым давлением.
На рис. 2 приведены экспериментальные данные для белого мрамора, который имеет плотность 2.71 г/см3 и пористость 0.92 %. На рис. 3 приведены экспериментальные значения о0 и е0 для известняка и соответствующие им обобщенные диаграммы деформирования. Аналогичные диаграммы можно привести для различных горных пород, например песчаника, диабаза и других. Общее свойство данных горных пород заключается в отсутствии единой диаграммы зависимости между интенсивностью напряжений и интенсивностью
Рис. 4. Диаграмма зависимости между средним напряжением и объемной деформацией в условиях одноосного сжатия
деформаций. Кроме того, в процессе деформирования наблюдается нелинейная зависимость между объемной деформацией £ и средним напряжением а. На рис. 4 приведены диаграммы изменения объемной деформации в условиях одноосного сжатия. Диаграмма 1 построена на основе результатов испытаний образцов талькохлорита, 2 — известняка, 3 — мрамора. Из данных диаграмм видно, что в условиях одноосного сжатия среднее напряжение а и объемная деформация е могут иметь разные знаки. Таким образом, в условиях сжимающих напряжений возможно объемное расширение материала.
На рис. 5 приведены обобщенные диаграммы деформирования чугуна СЧ15-32 [2], построенные на основе результатов испытаний трубчатых образцов при совместном действии осевой нагрузки и крутящего момента [7]. Испытания проводились при пропорциональном нагружении в условиях плоского напряженного состояния. Деформации измерялись в направлениях действия главных напряжений. Диаграмма 1 соответствует одноосному растяжению, 3 — чистому сдвигу, 6 — одноосному сжатию.
Рис. 3. Обобщенные диаграммы деформирования известняка: \ = = -0.333 (1), -0.407 (2), -0.658 (3), -0.808 (4)
Рис. 5. Обобщенные диаграммы деформирования чугуна СЧ15-32: % = 0.333 (1), 0.232 (2), 0 (3), -0.064 (4), -0.126 (5), -0.333 (6)
Рис. 6. Обобщенные диаграммы деформирования графита АРВ: \ = = 0.333 (1), -0.333 (2), 0 (3), 0.666 (4)
На рис. 6 приведены обобщенные диаграммы деформирования графита АРВ, полученные на основе испытаний трубчатых образцов в условиях плоского напряженного состояния [8] при пропорциональном изменении главных напряжений. Кривая 1 соответствует одноосному растяжению, 2 — одноосному сжатию, 3 — сдвигу, 4 — равномерному двухосному растяжению. Аналогичные диаграммы получены для графита ВПП. Наблюдается значительное расхождение диаграмм, соответствующих разным условиям пропорционального нагружения, и этот эффект обнаруживается у широкого класса материалов.
3. Определяющие соотношения деформационного типа
Уравнения связи между деформациями и напряжениями для рассматриваемого класса сред в случае нагружения можно построить на основе подходов нелинейной теории упругости или деформационной теории пластичности с учетом изменяемости свойств материалов и других отмеченных выше эффектов. Модели упругого поведения материалов предполагают потенциальность соотношений между деформациями и напряжениями. При этом выражение для потенциала должно включать в себя, как частный случай, потенциал для классического линейно упругого тела. Из выражения для потенциала, как частный случай, должны также следовать соотношения для классического нелинейно упругого тела с линейно упругим изменением объема или классические соотношения деформационной теории пластичности.
Этим требованиям можно удовлетворить, представив потенциал в виде [6]:
Ф = 1/2 (А + В^2 )^02 + [1 + к©]£ (Ст0). (2)
Первая часть выражения (2) представляет собой потенциал для классического линейно упругого тела
Ф = 1/2( А + В^2)^0, % = а!а0,
где А = (1 + у)/2Е, В = 3(1 - 2у)/Е. В случае потенциала, представленного выражением (2), соотношения между напряжениями и деформациями имеют следующий вид [6]:
ЭФ
^ + [1 + к©]-^
B +
К© g(Сто)
(3)
Штрихом обозначено дифференцирование по параметру I
При к(£) = 0 соотношения (3) совпадают с определяющими соотношениями для нелинейно упругого тела, свойства которого инвариантны к условиям нагружения или к изменению вида напряженного состояния, при этом объемная деформация пропорциональна среднему напряжению.
Функция g(00) характеризует нелинейность обобщенных диаграмм деформирования. Соотношения (3) существенно упрощаются, если принять степенную зависимость g(а0) = ко^/п, которая достаточно хорошо аппроксимирует экспериментальные диаграммы и находит широкое практическое применение. Тогда зависимость (3) между деформациями и напряжениями можно представить в виде:
е у = 3/2[ А + \£)к ап0-2]Бу +
+1/3[ B + A©k а0~2]а8,
(4)
МО = 1 + к(^) -к,(0^/ п, Л(^) = к'(0/М.
Из соотношений (4) можно получить выражения для интенсивности деформаций и объемной деформации:
= [ А + Х ©к^-2
„п-2
']°о>
е = [ B + A(£)k а0“2]а
(5)
(6)
Функции А,(£.) и Л(£) связаны соотношениями
Л + ^2 Л = 1 + к,
Х' + ¥ Л' = (п - 2)£Л.
Из выражений (5) следует зависимость между объемной деформацией, интенсивностью деформаций и интенсивностью напряжений
£ =
B + A(Qk а0~2 A + M£)k aJ5“2
(7)
Таким образом, при к(£) Ф const объемная деформация и интенсивность деформации не могут изменяться независимым образом.
Для произвольных видов напряженного состояния параметр £, может принимать значения всей числовой
оси от -те (равномерное трехосное сжатие) до те (равномерное трехосное растяжение). Для того чтобы конечным значениям напряжений соответствовали конечные значения деформаций, произведения А(0^0_1 и Л(^)аП“2 должны быть ограничены. В случае равномерного трехосного напряженного состояния конечность деформаций обеспечена, если функции А(0 и Л(£) изменяются не быстрее, чем
МО ^ С1Т1,
л(0 ^ С2Г2 (^±~).
(8)
Для большинства материалов в условиях равномерного трехосного сжатия наблюдается практически линейная зависимость между средним напряжением и объемной деформацией. Это условие выполняется при
Л(^“(п~2) ^ 0 (^ —).
Рассматривая случай чистого сдвига (£, = 0), заключаем, что представление функции А(0 в виде ряда не должно содержать отрицательные степени
Определяющие соотношения (3) и (4) должны обеспечивать единственность решения краевых задач. Достаточным условием единственности решения является выпуклость потенциала (2). В случае степенной функции g(^0) эти условия имеют вид:
А + [(п - 1)МО -^'(0]ка£"2 > 0,
В + [Л(^) + ^Л'(^)]кап-2 -
[Л'(^)кст;
п-2 -|2
(9)
■> 0,
А + [(п - 1)М0 -&'Ш<~2
1/2 (А + В%2 )о§ + [МО + ^2Л(^)]к^п/п > 0.
При слабой нелинейности обобщенных диаграмм деформирования при пропорциональном нагружении в определенном диапазоне деформаций они могут быть аппроксимированы соответствующими линейными диаграммами. Примерами таких слабо нелинейных зависимостей могут служить диаграммы деформирования конструкционных графитов, приведенные на рис. 5. Тогда вместо серии криволинейных диаграмм можно рассматривать серию прямолинейных диаграмм. Такая линейная аппроксимация в значительной степени упрощает решение практических задач. В рамках такого приближения потенциал деформаций для неклассического упругого изотропного материала с зависимостью свойств от вида напряженного состояния может быть получен из потенциала (2), принимая зависимость g(о0) в виде степенной функции с показателем п = 2. Тогда можно ввести функцию
С(0 = [1 + к(Ш А+в^2)-1.
Для потенциала деформаций из (2) получим следующее выражение [9]:
В случае, когда С(0 = 0, потенции (10) совпадает с потенциалом деформаций для классического линейноупругого тела.
Соотношения между деформациями и напряжениями, определяемые на основе (10), (£у = дФ/дОу) могут быть представлены в виде:
гу = 3/2[А + ю(0]Бу +1/3[В + ОД]а5у, (11)
ю(0 = -1/2( А + в^2)СШ+ ас (О,
ОД = 1/2 (А + В^2)С '(О/^ + ВС (О-
Функции ю(£), Й(£) и их производные связаны соотношениями
ю+^2Й = (А + В^2)С,
о>' + 120.' = 0.
На основе (11) можно получить зависимости между интенсивностью деформаций и интенсивностью напряжений, а также между объемной деформацией и средним напряжением:
£0 = [ А + ю(0М),
е = [В + Й(^)]а.
Из (13) непосредственно следует взаимосвязь процессов сдвигового и объемного деформирования
в+ОД,
(12)
(13)
£ = -
-^0-
(14)
Ф = 1/2[1 + С(0К А + В¥)а20
(10)
А + ю(0
В условиях пропорционального нагружения параметр вида напряженного состояния £, постоянный и соотношение (14) устанавливает пропорциональную зависимость между объемной деформацией и интенсивностью деформаций. При этом коэффициент пропорциональности зависит от условий нагружения или от вида напряженного состояния, которое реализуется при нагружении.
Несмотря на нелинейность соотношений (11) для них справедлива теорема Клапейрона. Потенциал деформаций Ф согласно выражению (10) представляет собой однородную функцию второй степени от компонент тензора напряжений и по теореме Эйлера об однородных функциях
°у Ъу =°у дФ/д°у = 2ф- (15)
Условия выпуклости и положительной определенности потенциала (10), обеспечивающие единственность решения краевых задач, устанавливают следующие ограничения на функции ш и й [10]:
А + ю+^2(В + Й) > 0,
А + ю-^ю/> (А + ю)2(А + В^2 +ю+^2Й)_1.
Соотношения (11) можно разрешить относительно напряжений. Для этого вводится параметр вида деформированного состояния у = 0, представляющий со-
бой отношение объемной деформации к интенсивности
деформаций. Используя (14), легко получить соотношение, связывающее параметры £, и у:
В + &©,
у=.
А + ю©
Таким образом, при известной функции С© параметр £, можно выразить через у и получить зависимость ^ = /(У)- Тогда упругий потенции может быть представлен в виде:
и = 1/2[1 +л( у)](1/ А + у VЯ)4
Л(У) = [/ (У)/ А + У2/2(4)/В](1/ А + у 2/В)"1,
1 + /1(У) = А2 {1 + й/ (У )]}/ ®2/ (У)],
1 + /2 (У) = В2{1 + а/ (у)]}/^2[/(У)]-
Зависимость напряжений от деформаций определяется дифференцированием выражения (17) по Єу:
°у = 2/3 У(У )% + ^ (У)є5у, (18)
нелинейности диаграмм g (о0), необходимо также определить функцию вида напряженного состояния к©, которая характеризует чувствительность деформацион-
(16) ных характеристик материалов к виду нагружения. Данная функция определяется наиболее простым образом, когда g(а0) аппроксимируется степенной зависимостью. Тогда второе соотношение (4) можно рассматривать как уравнение для нахождения функции к©. В этом уравнении функция X = (е0 - Аа0)/к<5^ харак-
(17) теризует расхождение обобщенных диаграмм а0 -е0 для разных видов пропорционального нагружения. Интегрируя второе соотношение (4) на основе определенной из экспериментов функции А©, находим:
¥(У) = -1/2
'1 у2 ^ —+ — А В
V у
л'(У)У + —[1 + Л(у)], А
1
Л'(У )У_1 +- [1 + Л(У)]
В
Л 1 У 2 ^
Т(у) = 1/2 - + ^-' А В
V У
Наиболее простое выражение для потенциала деформаций получается при линейной функции ш© = = С^, для которой при интегрировании второго уравнения (12) определяем функцию й© = С/\. В этом случае выражение (10) для потенциала имеет вид:
Ф = 1/2 ( А<^1 + 2Со0о + Во2).
На основе (11) получаем следующие соотношения между деформациями и напряжениями:
гу = 3/2(А + СЩ + 1/3(В + С/1)аЬу. (19)
Воспользовавшись выражениями (16)-(18), можно получить разрешенные относительно напряжений определяющие соотношения:
и = 1/2(Вє0 -2Сєє0 + Ає2)(АВ- С2)_1, а у = [2/3 (В - Сі)ву +
(20)
+(А - С/у)е8у ](АВ - С2)
2\-1
4. Определение материальных функций, сравнение с экспериментом
Возможности предложенного подхода к описанию деформирования рассматриваемого класса сред можно проиллюстрировать на основе сравнения теоретических зависимостей с результатами экспериментальных исследований поведения различных горных пород, приведенными в [5]. При описании деформирования материалов с использованием зависимостей (3), (4), кроме констант упругости А и В, которые выражаются через модуль упругости и коэффициент Пуассона, и функции
1 +
к® = А©-01^§^+СоО
Функцию Л© можно определить из соотношения (6). В результате получим
Ґ \
Л® =
■да* Со
п-2
(21)
Константа А определяется по начальному наклону обобщенных диаграмм, приведенных на рис. 1-3. Константу В можно определить по начальному наклону диаграмм зависимости объемной деформации е от среднего напряжения а (рис. 4) или на основе начального значения коэффициента Пуассона. Константа С0 может быть определена по диаграмме зависимости е от а для произвольного вида пропорционального нагружения. Согласно соотношениям (6), функцию к© можно определить как на основе диаграмм а0 - е0, так и а - е.
При определении функции g (а0) можно исходить из обобщенной диаграммы о0 - е0 для произвольного вида пропорционального нагружения, например одноосного сжатия (£, = -0.333), и по отношению к ней определять отклонения диаграмм. Тогда можно принять Я(-0.333) = 1.
Представленные на рис. 1-3 экспериментальные кривые хорошо аппроксимируются степенной зависимостью g'(o0) = коп0~1 с показателем п - 1 = 3. В табл. 1 приведены значения констант А и В, а также коэффициента k для трех типов горных пород: 1 — талько-хлорит, 2 — мрамор, 3 — известняк.
Функцию А© можно определить по расхождению диаграмм а0 -е0 при постоянном значении е0 - Аа0, проводя прямую, параллельную начальному наклону диаграмм. Согласно ограничениям (8), для функции А© может быть предложена следующая аппроксимация:
Таблица 1
№ А ■ 105, МПа-1 В ■ 105, МПа-1 к ■ 109, МПа-1
1 1.1 2.85 1.532
2 1.4 6.1 2.46
3 2.7 8.1 5.97
Таблица 2 Таблица 3
% -0.333 -0.407 -0.464 -0.637 -0.808 -1.02 % -0.333 -0.407 -0.464 -0.63 -0.79 -1.39
X 1 0.76 0.58 0.38 0.33 0.211 X 1 0.612 0.26 0.18 0.08 0.044
Л -1.698 -1.267 -0.8025 -0.3521 -0.1745 -0.086 Л -3.38 -1.59 -0.5 -0.305 -0.102 -0.0026
МО = Е А^ + ое(К> (22)
ш=0
Тогда из (21) и (22) следует, что
п-2 ты
Л(0 =Ъ—А£п~1 +
ш—\ п ш
+ ает¥ £---------------®-----------
ш=1 (п - 1)(п - 2)...(п - ш)
+ С0^я-2, (23)
(п - 1)!
где £;(х) — интегральная показательная функция. Нетрудно проверить, что при этом условия (8) выполняются. Для рассматриваемого случая сжатия горных пород экспоненциальная функция в выражении для А(0 хорошо описывает экспериментальные зависимости, но в общем случае, когда £, меняет знак, не вполне приемлема. Это связано с тем, что интегральная показательная функция, входящая в выражение для функции Л(0, имеет особенность при нулевом значении аргумента. При описании свойств материалов во всем возможном диапазоне изменения параметра £, вместо экспоненциальной функции в выражении (22) может быть использован арктангенс, который при интегрировании в формуле (21) для функции Л© не имеет особенности [11].
В табл. 2 приведены экспериментальные значения функции А(0 для талькохлорита, определенные по диаграммам, представленным на рис. 1.
Аппроксимируя эти данные гладкой функцией, получим следующие значения коэффициентов в выражении (22): Аш = 0, а = 2.105, Р = 2.255. График функции А(0 соответствует диаграмме 1 на рис. 7. На основе этих значений можно построить аппроксимирующие теоре-
тические обобщенные диаграммы деформирования, которые показаны на рис. 1 сплошными линиями. В третьей строке табл. 2 приведены также значения функции Л(£), рассчитанные по формуле (23). Поскольку при равномерном всестороннем сжатии зависимость между средним напряжением и объемной деформацией практически линейная, то в (23) следует положить С0 = = 0. На рис. 8 показаны экспериментальные точки и расчетные диаграммы зависимости между гидростатической компонентой напряжений а (среднее напряжение) и объемной деформацией е, полученные на основе (5) и (23). Обозначения диаграмм и экспериментальных точек соответствуют тем видам пропорционального нагружения, для которых построены диаграммы, приведенные на рис. 1. Диаграмма 7 соответствует линейноупругому поведению материала с податливостью объемному деформированию В = 2.85 • 10-5 МПа-1. Приведенные на рис. 8 экспериментальные данные и расчетные диаграммы демонстрируют достаточно хорошее соответствие между расчетными и экспериментальными зависимостями.
Более наглядные результаты получаются при анализе экспериментальных данных для мрамора. В табл. 3 приведены экспериментальные значения функции А(0 и расчетные значения функции Л(^), полученные на основе данных, представленных на рис. 2.
Функцию МО можно аппроксимировать зависимостью (22) с коэффициентами А = 0.01256, А1 = = 0.0564, А2 = 0.0456, а = 6.56, Р = 5.7. Этой аппроксимации соответствует кривая 3 на рис. 7. На рис. 2 сплошными линиями показаны обобщенные диаграммы, рассчитанные на основе значений функции МО, представленной выражением (22). При определении
Рис. 7. Графики функций Х(^) для разных горных пород: талькохлорит (1), известняк (2), мрамор (3)
Рис. 8. Зависимость между средним напряжением и объемной деформацией для талькохлорита
о, МПа
0.004 -0.002 0 0.002 0.004 -8
Рис. 9. Зависимость между средним напряжением и объемной деформацией для белого мрамора
функции Л(£), также как и в предыдущем случае, константа С0 в выражении (23) равна нулю, поскольку при равномерном трехосном сжатии мрамора диаграмма зависимости объемной деформации е от среднего напряжения а практически линейная. На рис. 9 показаны экспериментальные точки и расчетные диаграммы зависимости между объемной деформацией и средним напряжением. Обозначения диаграмм соответствуют тем же значениям параметра что и на рис. 2. Расчетные диаграммы объемного деформирования, соответствующие значениям £, = -0.79 и -1.39 также достаточно хорошо соответствуют экспериментальным данным, но на рис. 9 не нанесены вследствие значительного различия в масштабе.
При исследовании поведения функции Л(0 на конечном интервале изменения параметра £, может быть использован интерполяционный полином некоторой степени 5:
МО =ХАш0”. (24)
ш=0
В табл. 4 для известняка приведены значения МО, определенные на основе экспериментальных данных (рис. 3), а также значения функции Л(0, рассчитанные на основе формулы (21).
Интерполяционный полином (24) третьей степени имеет следующие коэффициенты: А = 8.214, А1 = = 39.421, А2 = 64.81, А3 = 34.97. Данной аппроксимации соответствует кривая 2 на рис. 7. Для определения константы С0 в выражении (21) можно воспользоваться диаграммой 2 на рис. 4, соответствующей одноосному сжатию известняка. Вычисляя с помощью этой диаграммы и соотношения (5) значение Л(-0.333) и приравни-
Таблица 4
-0.333 -0.407 -0.658 -0.808
к 1 0.54 0.36 0.211
Л -3.58 -0.972 -0.138 0.02
-о, МПа
200 " —*4
3
100
2 Г У 1 1111_
0.004 0 0.008 0.016 -8
Рис. 10. Зависимость между средним напряжением и объемной деформацией для известняка
вая его значению, полученному на основе формул (21) и (24) при £, = -0.333, находим С0 = 55.53. На рис. 10 показаны экспериментальные значения объемной деформации и среднего напряжения для разных видов нагружения и соответствующие расчетные диаграммы зависимости объемной деформации от среднего напряжения. При этом наблюдается достаточно хорошее соответствие между расчетными и экспериментальными зависимостями.
Более точного соответствия можно достичь, если учесть зависимость от вида напряженного состояния не только нелинейных деформационных свойств материалов, но и начальных упругих свойств рассмотренных горных пород.
В некоторых случаях традиционные методы решения краевых задач для рассматриваемых сред не могут быть использованы и возникает необходимость в новых формулировках краевых задач.
5. Особенности деформирования сред в условиях продольного сдвига
В классической постановке задачи о продольном сдвиге призматического тела или антиплоской деформации (рис. 11, а) предполагается, что перемещения
^1 — и 2 — 0, и3 — и3 (%1, Х2 ). (25)
Покажем, что предположение (25) для рассматриваемых сред не может быть использовано. Допустим, что поведение среды описывается определяющими соотношениями (18). Если считать, что перемещения определяются выражениями (25), то всюду в теле параметр вида деформированного состояния у = 0, т.к. объемная деформация е = 0. Тогда из (18) следует, что
°11 =°22 =°33 ^л'^)/^А),
°12 = 0 °13 = (26)
023 = 2/3 V (0)623,
где
е13 = и3д/2’ е23 = и3,72’ е0 = 27(% + е23 V3'
*2
1 ь
-1 -1 —■a 1
Рис. 11. Продольный сдвиг призматического тела (а), поперечное сечение тела с отверстием (б)
Подставляя выражения (26) в уравнение равновесия Оу j = 0, получим из первых двух уравнений:
Л'(0)еед = 0, л'(0)ес,2 = 0. (27)
При этом из третьего уравнения следует, что перемещение u3 представляет собой гармоническую функцию переменных x1, x2, как в классической теории упругости. В общем случае "n(0) + 0, поэтому из уравнений (27) получаем, что е0 = const. Это возможно только в случае однородного деформированного состояния. При этом, если хотя бы в одной точке границы тела напряжения о11 и о22 равны нулю, то всюду в теле интенсивность деформаций е0 также должна быть равна нулю, что невозможно, так как Е0 = 1 + м3,2)/3 •
Таким образом, классическая постановка задачи о продольном сдвиге в рамках соотношений (18) несправедлива. Этого следовало ожидать, поскольку сдвиговые деформации непосредственно связаны с объемной деформацией и продольный сдвиг вызывает перемещения в других направлениях. При рассмотрении более общих определяющих соотношений (3) или (4) может быть получен аналогичный результат.
Рассмотрим возможное поле перемещений в задаче продольного сдвига, которое позволяет удовлетворить всем уравнениям с учетом особенностей поведения сред, чувствительных к виду напряженного состояния. Поскольку нагрузка распределена вдоль оси х3 равномерно, то естественно предположить, что перемещения являются только функциями координат x1 и х2: u1 = u1( x1, x2), u2 = u2( x1, x2),
( \ (28)
u3 = u3( xi, x2 )• v 7
Нетрудно убедиться, что перемещения (28) тождественно удовлетворяют уравнениям совместности деформаций, при этом только одна компонента тензора деформаций е33 = 0. Вычисляя деформации на основе выражений (28), затем напряжения с использованием соотношений (18) и подставляя их в уравнения равновесия, получим систему нелинейных уравнений относительно перемещений щ (i = 1, 2, 3) [12]. При решении данной системы уравнений использован метод последовательных приближений. Определены условия сходимости данного метода. В частности, для определяющих
соотношений (20) достаточное условие сходимости метода последовательных приближений имеет вид:
max 7(2CVАВ)(1 + 2Ay2/B) <X<1.
Проведены расчеты для призматического тела квадратного поперечного сечения, содержащего круговой или эллиптический канал. На рис. 11, б изображено поперечное сечение данного стержня. На поверхностях x2 =±1 приложено касательное напряжение СТ23 =Т. Контур отверстия свободен от напряжений. На боковых гранях граничные условия следующие:
°п = °12 = °13 = 0 при x1 = ±1,
СТ12 = СТ22 = 0 ° 23 = Т при x2 = ±1.
При расчетах использованы определяющие соотношения (20).
На рис. 12, а показано распределение напряжений по оси x1 при относительных значениях характеристик материала В/A = 5/3, С/A = 0.5: кривая 1 соответствует распределению касательного напряжения ст23 / Т, 2 — <з221 т, 3 — ст33/т. Остальные компоненты тензора напряжений малы по сравнению с приведенными. Сплошные линии соответствуют круговому отверстию, пунктирные — эллиптическому с отношением полуосей b]a = 1/2. Нормальные напряжения ст22 и а33 сжимающие и соответственно среднее напряжение сжимающее.
На рис. 12, б приведено распределение относительной сдвиговой деформации е23/тА и относительной объемной деформации е/тА вдоль оси x1 в случае кругового отверстия. В отличие от классического решения задачи антиплоской деформации для линейно-упругого или пластически несжимаемого материала тела, в данном случае объемная деформация отлична от нуля и сравнима с величиной сдвиговой деформации. Полученные результаты свидетельствуют о том, что при продольном сдвиге возможно объемное расширение материала в условиях, когда среднее напряжение сжимающее.
6. Решение задач кручения
Исследования кручения как упругих, так и упругопластических стержней обычно основываются на гипотезах Сен-Венана, согласно которым, если ось x3 направлена вдоль оси стержня, а x1 и x2 лежат в плос-
Рис. 12. Распределение напряжений вблизи отверстия (а): <^2з/т (1),
°22
/т (2), а33 /т (5); распределение деформаций (б): £23/(тА) (1),
£/(А (2)
(31)
кости поперечного сечения, то компоненты перемещения выражаются следующим образом: u = -axx, щ = ax,xi,
1 2 3’ 2 1 3’ (29)
u1 = 9(xt, x2, a).
Исследуем возможность применения данных гипотез в задачах кручения стержней из материалов, поведение которых описывается, например, соотношениями (20). Согласно (29) объемная деформация е = 0, интенсивность деформаций
Ё0 = 2Д/3( Ё123 +e2з)1/2,
е13 = 1/2 (—ax2 +ФД), (30)
е23 = 1/2 (ax1 +Ф>2).
Таким образом, всюду в стержне параметр вида деформированного состояния у = 0. Согласно соотношениям (20) компоненты тензора напряжений определяются выражениями (26). Из уравнений равновесия о„ = 0 находим
Ч,j
Л(0)е0д = 0, л'(0)е0,2 = 0,
Ф,11 +Ф.22 = 0.
Поскольку в общем случае "n(0) отлично от нуля, то из (31) следует, что всюду в стержне интенсивность деформаций е0 = Л = const. Это условие может быть выполнено, если предположить, что деформации е13 и е23 постоянны в поперечном сечении стержня. Тогда из (30) следует, что ф12 = а и ф21 = -а. Равенство этих производных возможно только в том случае, если угол кручения a = 0, т.е. кручение не происходит.
Рассмотрим другой случай, когда деформации в сечении стержня непостоянны. Удовлетворяя условию е0 = Л, можно положить Е13 = Х cos Р, е23 = Х sin Р, где Р = Р(x1, x2); X = л/3 Л/2. Согласно выражениям (30) получим два равенства:
-ax2 +ф 1 = 2Х cos Р, ax1 + ф 1 = 2Х sin р.
Вычисляя с помощью (32) производные ф 11 и ф 22 и подставляя их в последнее уравнение (31), а также используя условие ф12 =Ф21, получим систему уравнений в частных производных для функции Р(x1, x2):
- sin РР1 + cos PP2 = 0,
cos РР д + sin PP 2 = a/X. (33)
Из уравнений (33) находим
Рд = (a/A,)cos Р, Р2 = (a/A,)sin p.
Вычислим производные
P12 =~Ysin PP 2 =_vrsin2 P,
А Л
P 21 =Ycos PP 1 =vrcos2 P-л x
На основе последних выражений убеждаемся, что равенство производных Р12 и Р21 невозможно, т.е. в
(32)
случае непостоянных деформаций £13 и е23 в сечении стержня удовлетворить уравнениям (31) не представляется возможным.
Следовательно, при анализе кручения стержней из материалов, деформационные свойства которых зависят от вида напряженного состояния, гипотезы Сен-Венана не могут быть использованы без соответствующей корректировки. Это связано с тем, что в рассматриваемых материалах сдвиговые и объемные деформации взаимосвязаны. Поэтому при определении перемещений будем исходить из общей постановки, в которой учитывается поворот сечения и, дополнительно, зависимость от пространственных координат [13]: и1 = -ах2 х3 + ^1 (х1, х2, х3),
и2 = ах1х3 + у 2 (х1, х2, х3), (34)
из = ¥з(*1, х2, хз).
Некоторые свойства функций ^г- (х1, х2, х3) можно установить, воспользовавшись условиями совместности деформаций. В результате получим следующие выражения для перемещений:
и1 = -ах2х3 - У 2к1 х3 + ф1 (х1, х2),
= ax1x3 -1/2k2xj +ф2(x1, x2),
(35)
из = (ко + к х1 + к2 х2) хз +Фз( х1, х2).
Таким образом, согласно (35) определению подлежат три функции фг- из уравнений равновесия а у у = 0. Коэффициенты к1 в выражениях (35) определяются из условия равновесия торцевых сечений или кинематических условий на концах стержня, например в случае стесненного кручения. Для определения коэффициентов к имеем три условия для осевой силы Р и изгибающего момента М1 относительно оси х1 и момента М2 относительно оси х2, которые определяются выражениями:
{ аз^ = Р, | аззх2ё5 = М1,
5 5 (36)
|аззх^5 = М 2,
5
где 5 — площадь поперечного сечения стержня.
Для стержня с поперечным сечением в виде вытянутого прямоугольника получено аналитическое решение [13]. В случае стесненного кручения, когда расстояние между торцевыми сечениями не меняется, к0 = к1 = = к2 = 0 и для перемещений получаем следующие формулы:
u1 = -0x2x3 + 2kx1 x2, u2 = ax1x3 + k(x2 - x12),
u3 = -ax1 x2, где коэффициент к связан с углом кручения а:
V3 [k-V к2 - 36 ^
k = а-
-(к-К~-
36
К = (В + 9 А)/ С.
При этом в стержне возникают осевая сжимающая сила Р и изгибающий момент М1.
При рассмотрении свободного кручения стержня формулы для перемещений получаются отличными от (37). В этом случае к0 = 0, к1 = 0, к2 = 2к. При этом компоненты перемещения имеют вид:
и1 = -ах2 хз + 2кх1 х2,
и2 = ах1хз +к(х^ -х2 -х|),
из = -ах^ + 2кх2 хз, где коэффициент k пропорционален углу кручения а: С
к =
а.
Найденные решения являются приближенными, поскольку при их получении пренебрегли конечностью размера сечения стержня в направлении длинной стороны прямоугольника и граничные условия на коротких сторонах сечения удовлетворялись в интегральной форме.
7. Решение задач о трещинах
При решении задач о трещинах в условиях плоского напряженного состояния можно использовать функцию напряжений Эри. На основе определяющих соотношений и уравнения совместности деформаций можно получить нелинейное уравнение в частных производных, которому должна удовлетворять функция напряжений [11, 14]. Сформулированные определяющие соотношения для сред, чувствительных к виду напряженного состояния, таковы, что получаемое на их основе уравнение для функции напряжений позволяет применить метод разделения переменных и получить асимптотическое решение вблизи вершины трещины.
Рассмотреть все полученные решения задач о трещинах не представляется возможным, поэтому остановимся только на некоторых результатах, полученных при решении задач в условиях плоской деформации. Для упрощения расчетов и установления характерных закономерностей рассмотрим определяющие соотношения (20). Для других видов определяющих соотношений результаты отличаются количественно.
Рассматриваемые среды относятся к физически нелинейным, но для них не могут быть использованы обычно принимаемые при решении задач о трещинах условия несжимаемости или линейно-упругий закон сжимаемости, поскольку сдвиговая и объемная деформации связаны соотношением (14). Введение функции напряжений Эри также не позволяет упростить получение решения задачи плоской деформации, так как в параметр £, и соответственно в определяющие соотношения (11), (18) входит напряжение агг и его не удается выразить в явном виде через напряжения агг и оее
при использовании полярной системы координат с началом в вершине трещины.
При построении асимптотических решений в условиях плоской деформации можно исходить из соответствующих представлений для компонент тензора деформаций. Для определяющих соотношений (11), (18)—(20) справедлива теорема Клапейрона (15), потенциалы напряжений и деформаций совпадают и сингулярную часть решения вблизи вершины трещины можно искать в виде [15]:
е„. = КЕг-V2 ^1(0),
еее= КЕ г-^2 *2(0), (38)
е* = КЕ г-V2 *з(0).
Зависимость от г определяется требованием ограниченности энергии деформации при интегрировании по любому контуру, окружающему вершину трещины. Согласно соотношениям (19), (20) и (38) асимптотические выражения для напряжений вблизи вершины трещины имеют вид:
^гг = Каг_1/2 &гг (0Х аее = Каг"1/2аее (0Х
°г0 = Каг“1/2аг0 (0Х а= Каг“1/2а(0).
(39)
Коэффициент Кст может быть выражен через коэффициент КЕ. В задаче о трещине в поле растягивающих напряжений
К = АВ С кст. Е 2(А + 1/9 В) а
(40)
В задаче о трещине в поле сдвига
КЕ = з/2 (АВ - С2 )В _1 Кст. (41)
Коэффициенты КЕ и Кст в выражениях (38)—(41) вычисляются с помощью инвариантного интеграла. Значения данных коэффициентов приведены в [15].
Обратим внимание на один интересный результат, полученный при решении задачи о трещине в поле сдвига. В результате решения задачи установлено, что в отличие от решения для линейно-упругой среды перемещение ие не равно нулю на поверхности трещины. Наряду со сдвигом берегов разреза относительно друг друга происходит раскрытие трещины, возрастающее с ростом чувствительности материала к виду напряженного состояния. Контур раскрывшейся трещины показан на рис. 13. Уравнение контура может быть задано параметрически:
х(г, ±я) = -г -иг (г, ± я), у(г, ±я) = -и0 (г, ± я), где г — полярный радиус. Кривые представлены в безразмерных перемещениях:
х = (Атм )“2 х/1, у = (Атм)“2 у/1, г = (Ахм )“2 г/1. Рассматриваемая окрестность вершины трещины до деформации соответствует отрезку -80 < х < 0, у = 0. Кривые 1-3 соответствуют значениям С А = 0.1 (1), С А = = 0.3 (2), С А = 0.6 (3). Данный результат принципиаль-
Рис. 13. Раскрытие трещины в поле сдвига: С А = 0.1 (1), 0.3 (2), 0.6 (3)
но отличается от известных решений, согласно которым в условиях сдвига раскрытие трещины равно нулю.
8. Заключение
На основе анализа результатов экспериментальных исследований деформирования различных материалов, свойства которых зависят от условий нагружения, выявлены общие закономерности и некоторые особенности их поведения.
Сформулированы определяющие соотношения деформационного типа для описания упругого и упругопластического деформирования рассмотренного класса сред. Определены условия, обеспечивающие единственность решения краевых задач. На основе сравнения теоретического описания с результатами экспериментальных исследований продемонстрировано соответствие теоретических зависимостей экспериментальным данным.
Сформулированы новые постановки задач и предложены методы их решения в тех случаях, когда традиционные не могут быть использованы. Получены новые решения ряда задач, позволившие выявить особенности напряженно-деформированного состояния в телах, чувствительных к виду напряженного состояния.
При решении задач о трещинах обнаружено раскрытие трещин при действии касательных напряжений. На основе данного результата можно заключить, что если одновременно с касательными напряжениями приложить сжимающее напряжение не слишком большой величины, нормальное к плоскости трещины, то в этих условиях также будет происходить раскрытие трещины. Данный эффект можно принять в качестве одного из возможных механизмов, объясняющих наблюдаемое в экспериментах объемное расширение некоторых неоднородных материалов при действии сжимающих напряжений.
Представленные решения краевых задач получены в рамках деформационных определяющих соотношений. Определяющие уравнения теории пластического течения дилатирующих сред, пластические свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также решения различных задач предельного равновесия приведены в [3, 16, 17].
Литература
1. РаботноеЮ.Н. Ползучесть элементов конструкций. - М.: Наука,
1966. - 752 с.
2. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление
которых зависит от вида напряженного состояния // Изв. АН СССР. МТТ. - 1980. - № 4. - С. 92-99.
3. Ломакин Е.В. Зависимость предельного состояния композитных и полимерных материалов от вида напряженного состояния. I. Экспериментальные зависимости и определяющие соотношения // Механика композитных материалов. - 1988. - № 1. - С. 3-9.
4. Ноеожилое В.В. О физическом смысле инвариантов, используемых
в теории пластичности // ПММ. - 1952. - Т. 16. - № 5. - С. 615619.
5. Стаерогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород. -М.: Недра, 1979. - 301 с.
6. Ломакин Е.В. Определяющие соотношения деформированной теории для дилатирующих сред // Изв. РАН. МТТ. - 1991. - № 6. - С. 66-75.
7. ЛеоноеМ.Я., ПаняееВ.А., Русинко КН. Зависимость между дефор-
мациями и напряжениями для полухрупких тел // Инж. журн. МТТ. - 1967. - № 6. - С. 26-32.
8. Березин А.В., Ломакин Е.В., Строкое В.И., Барабаное В.Н. Сопротивление деформированию и разрушение изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния // Проблемы прочности. - 1979. - № 2. - С. 60-65.
9. Ломакин Е.В., Работное Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. -
1978.- № 6. - С. 29-34.
10. Ломакин Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. АН СССР. МТТ. -
1979. - № 2. - С. 42-45.
11. Белякоеа Т.А., Ломакин Е.В. Упругопластическое деформирование дилатирующей среды вблизи вершины трещины в условиях плоского напряженного состояния // Изв. РАН. МТТ. - 2004. - № 1. -С. 109-118.
12. Ломакин Е.В., Злочееский Д.А. Особенности деформирования материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, в условиях продольного сдвига // Машиноведение. - 1986. - № 4. -С. 47-51.
13. Ломакин Е.В. Кручение стержней с зависящими от вида напряженного состояния упругими свойствами // Изв. РАН. МТТ. -2002. - № 4. - С. 30-38.
14. Ломакин Е.В. Деформирование дилатирующей среды вблизи вершины трещины в условиях плоского напряженного состояния // Изв. РАН. МТТ. - 1996. - № 5 - С. 99-109.
15. Lomakin E. V, Beliakova T.A. Plane strain crack problems for elastic materials with variable properties // Int. J. Fracture. - 2004. - V. 128. -No. 1. - Р. 183-193.
16. Ломакин Е.В. Пластическое течение дилатирующей среды в условиях плоской деформации // Изв. РАН. МТТ. - 2000. - № 6. -С. 58-68.
17. Ломакин Е.В., Федулое Б.Н. Пластическое деформирование полос из материала с зависящими от вида напряженного состояния свойствами // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. - 2007. - № 4 (54). - С. 263-279.
Поступила в редакцию 23.07.2007 г.
