Об одном классе интегральных уравнений с частными интегралами и его приложениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 3 (2019). С. 63-78.

УДК 517.956, 517.958

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯХ

Л.Б. МИРОНОВА

Аннотация. Доказаны существование и единственность решения для одного класса систем интегральных уравнений с частными интегралами. Интегральными уравнениями с частными интегралами называют интегральные уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаками интегралов различной кратности. Рассматриваемый в статье класс интегральных уравнений характеризуется тем, что уравнения содержат интегралы как с переменными, так и с постоянными верхними пределами интегрирования. Предварительно доказывается теорема существования и единственности для интегральных уравнений в трехмерном пространстве. Затем аналогичное утверждение доказывается для уравнений с произвольным числом независимых переменных. Указаны некоторые приложения полученного результата. Для гиперболической системы с доминирующими производными второго порядка с тремя независимыми переменными доказаны существование и единственность решения основной характеристической задачи. Основная характеристическая задача для системы уравнений с доминирующими производными второго порядка может рассматриваться как аналог задачи Гурса для гиперболической системы без кратных характеристик. Решение указанной задачи построено в явном виде в терминах матрицы Римана. Матрица Римана определена как решение системы интегральных уравнений Вольтерры. Сформулирована задача с граничными условиями на пяти сторонах характеристического параллелепипеда для указанной системы уравнений с доминирующими производными второго порядка. Путем сведения задачи к системе уравнений с частными интегралами, опираясь на полученные результаты, доказаны существование и единственность решения задачи.

Ключевые слова: интегральное уравнение с частными интегралами, задача с условиями на характеристиках.

Mathematics Subject Classification: 45А05, 45F05, 35L51

1. Введение

В данной статье идет речь об одном классе интегральных уравнений с частными интегралами, то есть уравнений, содержащих неизвестную функцию нескольких переменных под интегралами различной кратности [1] [3], Получены условия безусловной однозначной разрешимости некоторых систем интегральных уравнений (указаний на этот вопрос в литературе автору обнаружить не удалось), которые применяются к решению одной задачи для системы уравнений с частными производными с граничными условиями на характеристиках.

Исследование граничных задач для гиперболических систем представляет значительный теоретический интерес. Различные аспекты теории указанных систем исследовались многими авторами [4]-[11]. В данной статье содержится некоторое развитие результатов работы [12], где был предложен вариант метода Римана для системы дифференциальных уравнений с кратными характеристиками, в терминах матрицы Римана построены

L.B. Mironova, On class of integral equations with partial integrals and its applications.

©Миронова Л.Б. 2019.

Поступила 3 июля 2018 г.

решения задач Коши и Гуреа, а также работ [13]—[14], где метод Римана применяется для исследования задач для одной системы уравнений с двумя независимыми переменными с кратными характеристиками,

2. Однозначная разрешимость одного класса систем интегральных

уравнений

В работе [15] показано, что интегральное уравнение Вольтерра с частными интегралами с непрерывными ядрами и свободным членом

х у

w(x,y, z) — J Ki(x,y,z,a)w(a,y, z) da — j K2(x,y,z,f)w(x,f3, z) df3—

xo yo

z x y

— j K3(x,y,z, j)w(x,y, j) d7 — J J K4(x,y,z,a,f)w(a,f, z) dff da—

zo xo yo

x z y z

— J J K5(x,y,z,a)w(a,y,j) d'y da — J J K6(x,y,z,f,/y)w(x,f,/y)d/ydf3—

xo zo yo zo

x y z

-JIIK,(xv'z,a'37)wia'3'11 dldffda = F(xv'z)' (1)

xo yo zo

a также его n-мерный аналог, имеют единственное решение в классе непрерывных функций, Точнее, справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Если в уравнении

w(xi,...,xn) — ^Yl II Kgi ...qk (xi,...

, xn, aqi , ... , aqk ) X

гл. J J

k—1 Qk,n„.o „o

X41 4k

X w(xl, . . . , xgi-\ , aqi, xqi + \ , ... , xqk — 1, aqk , Xqk + l, . . . , xn) X

x daqk ...daqi = F(xi,...,xn), (2)

Qk,n = {( qi,... , Qk ) | 1 ^ qi < ••• < Qk ^n},

где х0 ^ Хг ^ х\, г = 1,п, д1,..., дк — натуральные числа, (д1}..., ди) Е

к = 1,п, Р — непрерывные функции своих аргументов в соответствующих замкнутых параллелепипедах, то в параллелепипеде П = [х0,х1] х ••• х [х^^х]^ существует единственное непрерывное решение /ш(х1,... ,хп) этого уравнения.

Здесь предлагается обобщение этого результата на несколько более широкий класс систем интегральных уравнений,

1. Трехмерное уравнение. Рассмотрим уравнение

X у

т(х,у, г) — J К^х^, г,а)-ш(а,у, г) da — ^ К2(х,у,г,@)т(х,@, г) df—

Х0 У0

г х У1

— J К3(х,у,г, ^)т(х,у, у) dry — J ^ К12(х,у, х,а, f )т(а,Р, г) df dа—

zo хо уо

х у XI

/ / К13(х,у,г,а, ^)ш(а,1, г) йа — / К21(х,у, г, а, 3)ш(а, 3, г) йай3—

хо 2о уо хо

У ¿1 2 хг

К23(х,у,г, 3,7)"(3,7, %) ¿3 — / К31(х,у, г,а, гу)ш(а,у,7) йай^—

У0 20 20 Хо

2 У1 X У1 21

j К32(х,у,г,3, ^)т(х,3,^) ¿3 — j J J К123(х,у, г, а, 3, 1)'(а, 3,1) ^ ¿3 &а—

20 Уо хо Уо 20

У 21

—/ / / К213(х-у-^а-3- ->)ш(а-3-1)' ^'1а'13—

Уо хо 20

2 Х1 У1

ЧII -О^-3-!)*3^ = Р (х-У-(3)

20 хо Уо

где (х, у, г) Е Б = [хо, х1] х [у0, у-\\ х [г0, г1], х0 < х^ у0 < г0 < ^ь ш = еоЬп^ш1,..., шт), Р = ео1оп(/1,..., /т), Кш — матричные функции размерности т х т (здесь ш — набор индексов). Коэффициенты и правая часть уравнения (3) предполагаются непрерывными в соответствующих замкнутых параллелепипедах. Уравнение (3) кратко запишем в виде

ш — Вш = Р. (4)

Не нарушая общности, можно считать, что х0 = у0 = г0 = 0,

Для матриц А = (а^), где функции а^ заданы на ограниченном замкнутом множестве И, будем использовать норму [16, с, 410]

||А|| = шах> тах | а^ |.

г —' Б

3

Пусть выполняются оценки

х + у + X < 8 в И,

1 + ||К1|| <М, 1 + ||К21| <м, 1 + ||Кз| < м,

У1 21

1 + || / К^31| <м, 1 + Ц ! К^|| < м, 00

Х1 21

1 + ||У К21 с1аЦ <М, 1 + Ц ! К23^Ц < М, 00 Х1 У1

1 + Ц ! ЫаЦ <М, 1 + ||У Ы3Ц < м, 00 У1 21 Х1 21

1 + ||У У К123^3|| <м, 1 + || У У К21з^йаЦ < м, 0 0 0 0

Х1 У1

1 + Ну У Кз^3(!аЦ < м. 00

Докажем, что оператор 5 непрерывен на множестве заданных на И непрерывных векторных функций. Пусть и>1 и и2 — непрерывные векторные функции, заданные на множестве И Тогда, очевидно,

\\Ви1 - Ви2\\ < 12тМ(х + у + г)\\ю1 - и2\\ < \2mMs\\и1 - и2\\.

Ясно, что для любого £ > 0 найдется 6 = е/(12тМв), такое, что из условия Ци^ — и2\ <5 следует \\Ви1 - Ви2\\ < е. Непрерывность оператора В доказана,

В

пнем. Имеем

2

\\В2и1 - В2и2\\ < (12тМ)22К - и2\\,

о &

\\Вки1 - В^2\\ < (12тМ)к-\\и1 - и2\\,

к!

< 1.

(12т М в )к к!

Поэтому является сжимающим оператором при некотором к. В

что некоторая его степень является сжатием, то уравнение

и - Ви = 0

имеет одно и только одно решение [17, с, 82] (которое, очевидно, является нулевым в нашем случае). Но тогда линейное уравнение (4) имеет единственное решение в классе непрерывных векторных функций [18, с, 39],

2. Общий случай. Проведенные выше рассуждения обобщаются на п-мерпое пространство (х1,... ,хп). Рассмотрим уравнение

и(х1,..., хп)

? п— 1

/ •• Ккя!..т (х1,...,хп,ад1,... ,аЯ1 ,аЯк )х

к=1 "о 1=° ф

го

х и(х1, . . . , хп)\хк—ак \хЧ1 —ачл . . . \х„, —а„, х

х ¿адг... с1ад^ак = Р(х1,... ,хп), (5)

= {(11,..., И) \ 1 < 11 <..< ф ^ п,

qi е{1,...,к - 1,к + 1,...,п}, 1 ^ г ^ I].

Здесь (х1,...,хп) € П (множество П определено выше, в формулировке теоремы 1), х° < х^,,,, х®п < хп, и = со1оп(и1,..., ит), Р = colon(f1,..., /т), Кш — матричные

т х т

в соответствующих замкнутых областях, В операторной форме уравнение (5) имеет вид

и - Впи = Р. (6)

Не нарушая общности, можно считать, что х° = О, г = 1,п.

Норма матрицы А = (сщ), где функции а^ заданы на П, определяется соотношением

шах тах \а^\.

Пусть выполняются оценки

п

^^ < в, (х1,...,хп) Е О,

г=1

1 + ЦК,|| <м, 1

11 ХЧ1 Хп

1 + || У У КкЧ1..^аЧ1... <1аЧ11| < м для всех к и (д1,... , д1). 00

Докажем, что оператор Вп непрерывен. Пусть ш1 и ш2 — непрерывные векторные функции, заданные на множестве О. Тогда

ЦВпШ1 — ВпШ2Ц <п2п-1тм(х1 + ••• + хп)Цш1 — ш2|| < п2п-1тм$\\ш1 — ш2||. (7)

Очевидно, из (7) следует, что оператор Вп непрерывен. Далее

2

||В>1 — В>2|| < (п2п-1тм)2-||ш1 — Ш2||,

о &

ЦВкп'1 — В%ш2Ц < (п2п-1тм)к-1|'1 — '21

!

< 1,

(п2п-1тм в)к к\

то есть В^ является сжимающим оператором при некотором к.

Следовательно, линейное уравнение (6) имеет единственное решение в классе непрерывных векторных функций. То есть имеет место

Теорема 2. Если в уравнении (6) все коэффициенты Кш и правая часть Р непрерывны в соответствующих замкнутых параллелепипедах изменения своих переменных, то в параллелепипеде О = [х^0, х\\ х - • •х [х^, х)^ существует единственное непрерывное решение ш(х1,..., хп) этого уравнения.

Система типа Вольтерра (2), где ш, Р — векторы, Кд1...дк — матрицы, является частным случаем системы (6).

Отметим особо, что если речь идет об уравнении (или системе уравнений) типа Вольтерра, то степень гладкости решения будет той же, что и у ядер и правой части этого уравнения (системы) [19, с. 11].

3. Однозначная разрешимость граничных задач для систем

гиперболических уравнений

Укажем на одно приложение теоремы 2.

1. Построение решения основной характеристической задачи для системы в трехмерном пространстве методом Римана. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

ихх = а,1(х,у, г)ух + ^(х, у, г)шх + сл(х, у, г)и+

+(11(х,у, г)у + с 1 (х, у, г)ш + Ь(х,у, г), ъуу = а2(х, у, £)иу + Ь2(х, у, г)шу + С2(х, у, £)и+ , ,

+й2(х,у, г)у + е2(х, у, г)ш + ¡2(х,у, г), 'хх = аз(х,у, г)иг + Ъз(х,у, г)+ сз(х,у, г)и+ + з( х, , ) + з( х, , ) ш + з( х, , ).

XX 7

Считаем, что в замыкании рассматриваемой области V пространства (х, у, г) выполняются включения щ, Ьг € С2, с^ вг, ¡г € С^ г = 1, 3. Решение (8) класса и, V, т € С 1(0), и иУУ; € С(V) назовем регулярным в V, К системе (8) подстановками

u

ехш If а*(а, у, z) daju, v* = ехш If Ъ*2(х, 3, z) df3yi

У0

w* = exp(1 f c*3(x,y, ^ dj^w

сводится система со старшими производными вида

и*хх = а\(х,у, z)u* + Ъ\(х,у, z)v* + с\(х,у, z)w* + d\(х,у, z)u* + +е((х,у, z)v* + f *(х, у, z)w* +g*(х,у, z), < v*yy = а*(х, у, z)u*y + Ь*(х, у, z)v*y + с*2(х, у, z)w*y + d*2(х, у, z)u* + +e2(х,у, z)v* + f 2(х, у, z)w* + д2*(х, у, z), w*zz = а*(х, у, z)u*z + Ь*з(х, у, z)v*z + с3(х, у, z)w*z + d*(х, у, z)u*+ +е3(х, у, z)v* + f 3*(х, у, z)w* + д*(х,у, z).

Сформулируем основную характеристическую задачу, играющую в теории системы (8) ту же роль, какую играет задача Гурса [5] в теории гиперболической системы

ux = а\(х, y)u + Ъ\(х, y)v, Vy = а,2(х, y)u + Ь2(х, y)v.

Основная характеристическая задача. Пусть G = {х0 < х < х\, у0 < у <у\, z0 < z < Z\}. Обозначим через X, Y, Z грани G при х = х0, у = у0, z = Zo соответственно. Требуется найти регулярное в области G решение системы (8), удовлетворяющее условиям

■и(хо,у, z) = pi(у, z), и(х, уо, z) = p2(х, z), w(x,У, zo) = Pз(x, У), (ux - axv - biw)(хо,у, z) = фг(у, z), (9)

(vy - a2u - b2w)(х, yo, z) = Ф2(х, z), (wz - a,3u - Ьзv)(х,у, zo) = фз(х, у),

Рь ф e C(X), P2, Ф2 e С 1(Y), p3, фз e C(Z).

Решение основной характеристической задачи существует и единственно. Действительно, преобразуем (8) к виду

<

ux = щ + a\V + b\w,

Щх = сiu + (di - aix)v + (e 1 - blx)w + fi,

vy = a2u + vi + b2w, , ,

V\y = (C2 - a2y)u + d2V + (e2 - b2y)w + f2, wz = a3u + b3v + w\,

wiz = (C3 - a3z)u + (d3 - b3z)v + e3w + f3.

Обозначим ¿ю = ¿г - а1х, ею = ег - Ь1х, с2о = с2 - а2у, е2о = е2 - Ъ2у, сзо = с3 - а3х, ¿зо = ¿3 - Ь3х. Система (8) с условиями (9) сводится к системе интегральных уравнений

и(х, у, г) = <1(у, г) + /(иг + агь + Ь1ы)(а, у, г)¿а,

хо

х

иг(х, у, г) = ф1(у, г) + /(сги + ¿10ь + е10ы + ¡1)(а, у, г)¿а,

хо

у

ь(х, у, г) = <2(х, г) + /(уг + а2и + Ь2т)(х, 3, г)¿/3,

уо

у

Уг(х,у, г) = Ф2(х, г) + /(С2ои + ¿2У + в2оы + /2)(х,3, z)¿3,

уо х

и)(х,у, г) = <з(х, у) + ¡(ыг + а3и + Ь3у)(х,у,^ч,

20

X

ыг(х,у, г) = ф3(х, у) + /(сюи + ¿зоУ + е3ы + ¡3)(х,y,J)¿J.

(П)

20

Очевидно, что решение (11) существует и единственно в классе непрерывных функций

Ясно, что (11) равносильна основной характеристической задаче (8), (9), Следовательно, справедлива

Теорема 3. Если в замыкании области С выполняются включения а^ Ьг € С2, с^ ¿г, е^ ^ € С1, г = 1, 3, то решение основной характеристической задачи, (8), (9) существует и единственно.

Построим решение основной характеристической задачи в терминах матрицы Римана, Перепишем (10) в векторно-матричной форме

1(И) = Е, Ь(И) = Л1И + Л2И + ЛзИ - ВИ,

и = шк^и, и1,ь, ь1,т,

(12)

Л1

Л3

/1 0 0 0 00 0 0 0 0 00

0 1 0 0 00 0 0 0 0 00

0 0 0 0 00 , Л 2 0 0 1 0 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 0 00

/0 0 0 0 0 0\ 0 1 а1 0 Ь1 0\

00 0 0 0 0 1 0 1о 0 1о 0

00 0 0 0 0 В = 0,2 0 0 1 2 0

0 0 0 0 0 0 2о 0 ¿2 0 е2о 0

0 0 0 0 1 0 аз 0 3 0 0 1

00 0 0 0 1 3о 0 3о 0 3 0

Е = colon(0, ¡1,0, ¡2, 0, ¡3).

Введем матрицу Римана И = colon(R1, И2, И3, И4, И5, Иб),

ИДх, у, г, г], () = (г^1, Гг2, Гг3, г^4, г^), г = 1,6, являются решениями систем

Гц(х, у, г) = ёц - /(С1 Гг2 + 0,2Г\3 + С20П4 + ?

+03г г5 + С30Г гб)(а, у, г)¿а,

где

Гг2(х,У, г) = ёг2 - / Гц(а,у,

а,

П3(х, у, г) = ёг3 - /(а 1 Гц + ¿10г\2 + ¿2П4+

V

+Ь3Гг5 + ¿30Ггб)(х,3, , (13)

у

Гг4(х, у, г) = ёг4 - / Гг3(х,/,

V

X

Пъ(х, у, г) = ёг5 - /(Ь1 Гц + еюг\2 + Ь2П3+ с

+е20Гг4 + е3Ггб)(х, у, ^¿1,

X

Пб(х, у, г) = ёгб - / п5(х, у, 1) ¿1, с

ёц — символ Кронекера, Решения систем (13) при каждом г существуют и единственны в классе непрерывных функций. По первой тройке аргументов (х,у, г) матрица И удовлетворяет сопряженной к (12) системе

Ь*(У) = 0, Ь*(У) = -(УЛ1 )х - (УЛ2)у - (УЛ3)г - УВ.

Справедливо тождество

(14)

ИДИ) = (ИЛ1И)л + (ИЛ2И)у + (ИЛ3И)г,

которое может быть проверено непосредственно.

Вычислим значение И(£ ,г], (), (£ ,г], () € С. Первая строка (14) дает

ГпЬ + г 14/2 + Пб/3 = (гци + Г12и1)х + (т-13Ь + гиЬ1)у + (п5т + г ^1)2, (15)

где г^ = г1у(х,у,г,£,г], (), остальные функции зависят от (х,у, г). Интегрируем (15) по области С1 = {х0 < х < у0 < у < г], г0 < г < (}:

V С

(Гц и + Г12Щ)(£, 3,1, 'П, О ¿7 ¿3-

уо 20 V С

(Гци + Г12Щ)(хо,3, 1, £, V, 0¿1 ¿3+

уо хо ? С

+ (П3Ъ + гиЬ1)(а,г),1,£,г), ()¿1 ¿а-

хо хо

И С

(Г13У + Г14У1)(а, Уо,1,^,Г], (^¿1 ¿а+

хо хо

£ V

+ I/(Г15т + Г 1бШ1 О^/Зйа-

хо уо £ V

- I 5(Г15т + г1&ш1)(а,@, го,С,г1, С)<1/3(1а =

хо Уо

Л! (Г12^1 + 114 ^2 + Г16 ^з)(а,/,1,С,'Ч, 0^(1/3(1^. (16)

Сг

В силу (13)

Г11(£, 3,1, ^Г], О = 11, Г12(£, 3, ^ 'П, О = rlз(а, Г], ^ ц, О =

= rl4(а,v,l,^v, О = т"15(а, 3, С, ^ л, О = rl6(а,3,C,^v, О = о.

Таким образом, (16) принимает вид

V С

У !и(с,/, 1№<Ц3 = 91(С ,4,О

о о

с функцией ,г], (), выраженной через данные (9) и элементы матрицы И., Отсюда

и(^ л 0 = дфс .

Аналогично, из третьей и пятой строк (14) выводим формулы, получающиеся из (16) заменой г^ на г3^ и г^ соответственно. Используя (13), получаем

(с 9292(£О ^ ,, 929з(С^ С) ^, ^ 0 = д£д< , ^, ^ 0 = 9^ ,

где д2(£ ,г], () и д3 (£ ,г], () выражены через условия (9) и элемен ты матрицы И,

2. Существование и единственность решения задачи с условиями на пяти сторонах характеристического прямоугольника. Различные задачи с условиями на сторонах характеристического прямоугольника для системы с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными рассмотрены в [14], В параллелепипеде С = {х0 < х < х1, у0 < у < у1, г0 < г < г1}, рассмотрим одну задачу с граничными условиями на пяти его сторонах X, У, Х1 = {(х,у, г)1х = х1, у0 < у < у1, г0 < г < г1}, У1 = {(х,у, г)1у = у1,х0 < х < х1, г0 < г < г1}. Отметим, что в отличие от рассмотренной ниже задачи, для получения условий разрешимости задач в [14] не требуется применение теоремы 2,

Задача 1. Найти в С регулярное решение (8), удовлетворяющее условиям

и(хо,у, г) = ф1(у, г), (их - а^ - Ь^)(х1,у, г) = х^У, ?),

ь(х, Уо, г) = ф2(х, г), (ьу - а,2и - Ь2т)(х, уъ г) = Х2(х, г), (17)

т(х,у, го) = (х, у), - а3и - Ь3у)(х,у, го) = фз(х, у),

<Р1(у, г) € С\Х), Х1(У, € С 1(Х 1), ^(х, г) € С 1(У), Х2(х, г) € С 1(У1), ^3(х, у),

Мх,у) € С 1(г).

Нам понадобятся формулы для и, щ, V, т, получающиеся при решении основной характеристической задачи методом Римана (здесь и далее дифференцирование компотов):

и(х, у, г) = гц(хо,у, г, х, у, г)и(хо,у, г) + ги(хо,у, г, х, у, г)щ(хо, у, г) +

y

+ J(Tllr,(xo,ß, Z, X, у, z)u(xo,ß, z) + Tl2r1 (xo,ß, z, X, y, z)ul(xo,ß, z))dß+

yo

z

+ j(T'llC(xo,y,l,x,y, z)u(xo,y, ') + Г12С(xo,y,l,x,y, z)Ul(xo,y,"f))d"f+

Zo y Z

+ // (TnvC (xo,ß,',x,y, z)u(xo,ß, уу) + T-12VC (xo,ß,l,x,y, z)Ul (xo,ß, ')) d'dß+

yo zo

X

+ j(nsv(a, yo,z,x,y, z)v(a, yo, z) + гЫг1 (a, yo,z,x,y, z)Vi (a, yo, z))da+

xo

X z

+ 11 ((a, yo,',x,y, z)v(a, yo, ') + rUvc (a, yo ,l,x,y, z) Vl(a, yo, z))dyda+

xo zo

X

+ j(r'l5C(a,y, Zo,x,y, z)w(a,y, zo) + tí6C(a, y, Zo,x,y, z)wl(a,y, Zo))da+

xo X y

+ 11 (rl5Vc(a,ß, zo,x,y, z)w(a,ß, zo) + rl6vC(a,ß, zo,x,y, z)wl(a,ß, zo))dßda+

xo yo

+ J r12(a,y,z,x,y, z) f1(a,y, z)da+

xo

X y

+ /J(rl2v (a, ß, z,x,y, z) fl (a,ß, z) + Tl4V (a,ß,z,x,y, z) f2(a,ß, z) +

xo yo

+r 16v(a, ß, z, X, y, z) fs(a, ß, z))dßda+

+ J J (rl2C (a,У,l,X,У, z) fl(a,У, ■) + Г14С (a,y,уf,x,y, z) f2(a,y, ■) +

xo zo

+Г16С(a, у, уу, X, у, z) fs(a, у, yf))dyda+

X y z

+ // j(r12VC M^V, Z) fl(a,ß, ■)+ rUvC М,ЪХ,у, Z) f2(a,ß, ■) +

xo yo zo

+ rl6Vc(a, ß,l,x,y, z) fs(a, ß, yy))d'dßda; (18)

Ul(x,y, z) = V2l(xo,y,z,x,y, z)u(xo,y, z) + T22(xo,y,z,x,y, z)ul(xo,y, z) +

y

+ j(r-2lV(xo,ß, Z, X, y, z)u(xo,ß, z) + T'22V(xo,ß, z, X, y, z)ul(xo,ß, z))dß+

yo

z

+ J(Г21С(xo,y,l,x,y, z)u(xo,y) + Г22С(xo,y,l,x,y, z)ul(xo, y, ■))d'+

zo

X

X z

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ... 73

У х

+ f f (Г2^С(хо,/,1,х,у, г)и(хо,3,1) + r22vС(хо,/,1,х,у, г)щ(хо,/, 1))с11(1[+

Уо *0

х

^У (r■23v (а, уо,%,х,у, г)ь(а, уо, г) + г 2^ (а, уо,г,х,у, г) Ь1 (а, уо, г))(1а+

хо х х

+ у j (r23vС(а, уо,1,х,у, г)ь(а, уо, 1) + ^с(а, Уо,1,х,у, г)Ь1(а, уо, г))й1йа+

хо о

х

^У (Г'25 С (а,У, ^о,х,у, г)т(а,у, го) + Г26С (а,у, ^о,х,у, г)г»1(а,у, го))<3а+

хо х у

+ / / (Г'2^С (а,/, ^о,х,у, г)т(а,[, го) + ^с (а,/, ^о,х,у, г)т1(а,[, го))<3[<3а+

хо уо

+ у Г22( а,у,г,х,у, г)^(а,у, г)йа+

хо

х у

+ //(^ (а, 3, г,х,У, *) ¡1 (а,/, + ^ (а,[,г,х,у, г) /2(а,[, г) +

хо уо

+т26г1 (а,[, г, х, у, г)¡3(а,[, г))(1[(1а+

+ У J (Г22С (а,У,1,х,У, z) ¡1(а,у,1)+ Г24С (а,У,1,х,У, z) ¡2(а,У,1) +

хо го

+Г26 С (а, у, 1, х, у, г) /з(а, у, 1 ))<!1<1а+

х у х

+ // /(г*** (а,[,1,х,y, г) fl(а,[, 1) + Г2^С г) f2(а,[, 1Н

хо Уо ¿о

+ Г26ПС (а, [,1, х, у, г) ¡з(а,[,1 ^^¿[¿а; (19)

ь(х,у, г) = т 33 (х, уо,г,х,у, г)ь(х, уо, г) + Гз4(х, уо,г,х,у, г) Ь1(х, уо, г)+

х

+ !(г'33£(а, уо, г, х, у, г)ь(а, уо, г) + г 34$(а, уо, г, х, у, г)Ь1(а, уо, г))(1а+

хо

X

^У(г'33С(х, Уо-, 1-, х1 У-, z)v(х, yо, 1) + Г34С(х, Уо-, 1-,х-, У-, z)Vl(х, yо, 1))(11+

о

х X

+ (г33£ с(а, Уо,1,х,у, г)у(а, уо,1) + Г34£с(а, Уо,1,х,у, г) У1(а, уо,1))(1^а+

хо го

У

+ у (г31£(хо,[,г,х,у, г)и(хо,[, г) + г32$(хо,[,г,х,у, г)щ(хо,[, г))й[+ уо

х

х

у z

+ I S(Г3Цс(Xo,ß,nf,x,y, z)u(xo,ß, 7) + 1"32£c(xo,ß,l,x,y, z)u¡(xo,ß, i))drfdß+

Уо zо

У

+ j ( Г-35С (x,ß, Zo,x,y, z)w(x,ß, Zo) + Г36С (x,ß, Zo,x,y, z)w^x,ß, Zo))dß+

Уо X у

+ 11(Г'35Сc(a,ß, zo,x,y, z)w(a,ß, zo) + Г36Цc(a,ß, ¿o,x,y, z)w^a,ß, zo))dßda+

хо уо

У

+ j T34(x,ß,z,x,y, z)¡2(x,ß, z)dß+ Уо

X у

+ J j(Г32(- (a, ß, z,x,y, z) f¡ (a, ß, z) + Г34Ц(a,ß,z,x,y, z) f2(a,ß, z) +

хо Уо

+1"36£(a, ß, z, X, y, z) f3(a,ß, z))dßda+

y z

+ /J(r32C WMV, z) f¡(x,ß, l) + Г34С M^v,z) Î2(x,ß, 7) +

Уо Zо

+Г36С(x, ß, 1, X, y, z) J3(x,, ß, j))djdß+

X y z

+ // I(r32tС(a,ß,l,X,У, z) f¡(a,ß, 7) + Г34,cWMV, z)Í2(a,ß, 7) +

хо уо zo

+ Г36Цc(a, ß, 1, X, y, z) J3(a, ß, j))djdßda; (20)

v¡(x,y, z) = Г 43(x, yo,z,x,y, z)v(x, yo, z) + Г44(x, yo,z,x,y, z)v¡(x, yo, z) +

X

+ j(r43t(a, yo, Z, x, y, z)v(a, yo, z) + r^(a, yo, z, x, y, z)v¡(a, yo, z))da+

хо

z

+ J ( Г43 С (x, yo,l,x,y, z)v(x, yo, j) + Г44С (x, yo,l,x,y, z) v¡(x, yo, j))dj+

о

X z

+ 11 ( r'43iíc(a, yo,l,x,y, z)v(a, yo,l) + r44$c(a, Vo,l,x,y, z) v¡(a, yo,j))djda+

хо zo

У

+ j(r4¡i(xo,ß,z,x,y, z)u(xo,ß, z) + Г42^(xo,ß,z,x,y, z)u¡(xo,ß, z))dß+

Уо У Z

+ 11(Г4Чc(xo,ß,l,x,y, z)u(xo,ß, 7) + Г42Цc(xo, ß,1, x,y, z)u¡(xo,ß, j))djdß+

уо zo

У

+ j(Г-45С(x,ß, Zo,x,y, z)w(x,ß, Zo) + Г46С(x,ß, Zo,x,y, z)w^x,ß, Zo))dß+ уо

X у

+ J J(Г45^(а,3, г0,х,у, г)ы(а,3, го) + г4б^(а,3, ,х,у, г)ы1(а,3, ))¿3¿а+

хо уо

у

+ 5 г44(х,3,г,х,у,г) Ых,3, ^¿3+

уо

X у

+ //(Г42? (а, 3, г,х,У, г) /1 (а,3, г) + г44е (а,3,х,х,у, г) ¡2 (а,3, ?) +

хо уо

+г4б£(а, 3, г, х, у, г)/3(а,3, z))¿3¿а+

у X

+ 1 /(Г42С (X,3,1,X,У, Х) fl(х,3, Г'44С (х,3,Ъх,У, ^ f2(х,3, ^ +

уо ¿о

+Г4бс(х, 3,1, х, у, г)¡3(х,, 3, ^¿^/¿3+

х у х

+ ///(Т42^ Х) ^((1,3, Т'44£С (а,3,Ъх,У, ^ !2 (а,3, ^ +

хо уо ¿о

+ Г4б^с(а, 3,1, х, у, г)/3(а, 3, l))¿l¿3¿а; (21)

ы(х,у, г) = г55(х,у, го,х,у, г)ы(х,у, го) + г5б(х,у, го,х,у, г)т1(х,у, го) +

X

+ ! (Г'55С (а,у, го,х,у, г)т(а,у, го) + г5бц (а,у, го,х,у, г)т1(а,у, zо))¿а+

хо у

+ J(гъъ-п(х,3, ?о,х,у, г)т(х,3, го) + гъб-п(х,3, ¿о,х,у, г)ы1(х,3, zо))¿3+

уо х у

+ I J (Г55^(а, 3, *о,х,у, г)ы(а,3, го) + г5б^(а,3, %о,х,у, г)ы1(а,3, zо))¿3¿а+

хо уо

х

+ / (Г51Ц (хо,у,1,х,у, г)и(хо,у, 1) + Г52Ц (хо,у,1,х,у, г)щ(хо,у,1)^1+

¿о у х

+ ] ] (г51&(хо,3,1,х,у, г)и(хо,3,1) + г52£п(хо,3,1,х,у, г)щ(хо,3, ^¿^3+

уо ¿о

X

^У (г53п(х, уо,1,х,у, г)ь(х, Уо,1) + Г54П(х, уо,1,х,у, г)Ь1(х, Уо,1 ^¿1+

хо

X X

+ 11(Г'53^(а, Уо,1,х,У, Ф(а, Уо,1) + г54£г,(а, уо,1,х,у, г)Г1(а, уо

хо хо

X

^У Г5б(х,y,1,х,y, ¡3(х,У,1 ^1+

хо

X z

+ S 1(Г52С (a,У,У,X,У, z) fl(a,У, У)+ r54í (a,У,У,X,У, z) Î2(a,y, y)+

xo zo

+г56ц(a, у, у, X, y, z) fs(a, y, у))dуda+

y z

+ /J(r52v M^V, z) fl(x,ß, 4+ r'54V Z) f2(x,ß, УН

yo zo

+r56V(x, ß, У, X, y, z) fs(x, ,ß, у))dуdß+

X y z

+ JJ J(r52^ z) fl(a,ß, 4+ r54tv Z) f2(a,ß, УН

xo yo zo

+ гщг,(a, ß, у, x, y, z) fs(a, ß, у))dуdßda; (22)

Wl(x,y, z) = re5(x,y, Zo,x,y, z)w(x,y, zo) + ree(x,y, Zo,x,y, z)wl(x,y, Zo) +

x

+ j ( r65C (a,y, Zo,x,y, z)w(a,y, zo) + reeç (a,y, Zo,x,y, z)wl(a,y, Zo))da+

xo

y

+ J(r-65V(x,ß, Zo,X,y, z)w(x,ß, Zo) + T-66V(x,ß, Zo,X,y, z)Wl(x,ß, Zo))dß+

yo X y

+ 11(T'65Cv(a, ß, zo,x,y, z)w(a, ß, Zo) + neçr,(a,ß, zo,x,y, z)wl(a,ß, zo))dßda+

xo yo

z

+ j ( T'61C (xo,y,y,x,y, z)u(xo,y, у) + Г62Ц (xo,y,y,x,y, z)Ul(xo,y,y))dy+

zo y Z

+ 11(T'6lCv(xo,ß^,x,y, z)u(xo,ß,y) + T-62CV(xo,ß,4,x,y, z)Ul(Xo,ß,у))dydß+

yo zo

z

+ (resv(x, yo,y,x,y, z)v(x, yo, у) + re4V(x, yo,y,x,y, z)Vl(x, yo, y))dy+

zo

X z

J J ( r6s^v (a, yo,y,x,y, z)v(a, yo,y) + re4^v (a, yo,y,x,y, z) Vl(a, yo ,y))dyda+

xo zo

z

^У Г66(x,y,y,x,y, z) fs(x,y, y)dy+

Zo

X z

+ / (r'62C(a,У,У,X,У, z) fl(a,y, уН Г64С(a,y,yí,x,y, z) f2(a,У, yH

Xo zo

+reet(a, у, у, X, y, z) fs(a, y, y))dyda+ + ' (r-62V(x,ß,y,x,y, z) fl(x,ß,y) + r-64V(x,ß,y,x,y, z) f2(x,ß,y)+

y Z

¿v

yo zo

ОТ)

х у г

+Г66Т)(х, 3, у, X, у, £)¡з(х, ,¡3, у))<1уй3+

+ УУ у (Г62ЦТ (a,3,~i,х,y, х) ¡^а^3, ^ + г64^ (а,3,y,х,y, х) f2(а,3,7) +

хо уо го

+ ГбвЦт(а, 3,1, X, у, г)¡3(а, 3, у))с1ус13с1а. (23)

При записи этих формул учтены уравнения (13), г = 1, 6, для компонент матрицы Римана, Для того чтобы свести задачу 1 к основной характеристической задаче, нужно определить недостающие данные иг(хо,у, г) = (их — агь — Ьг1и)(хо,у, г), (х, у0, г) = (уу — а2и — Ь2т)(х, уо, г). Для этого положим в (19) х = хг, а в (21) у = уг. Получаем систему двух интегральных уравнений

у

Г22(хо ,у,г,х\,у, г)щ (х0,у, г) + J г 22) (хо,3 ,*,хг,у, г)щ(хо,3, ¿)<13+

уо

г у г

^У Г22 С (хо,У,1,х\,у, г)щ(хо,У, 7 + У J Г22т)С (хо,3,1,х\,у, £)и1(хо,3,1)<1гу(13+

го уо го

х\ х\ г

^У Г24Т)(а, уо,г,хх,у, г)Ьг(а, уо, г)¿а + ^ J (а, уо,1,хг,у, г)Ьг(а, уо, у)с1ус1а =

хо хо о

= Рп(у, г) + Хг(у, г), (24)

х

г44(х, уо,%,х, ух, г)ьг(х, уо, г) + J г^(а, уо,%,х, уъ г)Гг(а, уо, г)(1а+

хо

г х г

+ ! г44С(х, Уо,1,х, Ух, £)Ьг(х, Уо, + У У Гыцс(а, Уо,1,х, уг, г)Ьг(а, уо, у)(1у(3а+

о хо о

у1 у1 г

+ J гщ,(хо,3,я,х, Уг, г)иг(хо,3, ?)(1>3 + J ^ Г42цс(хо, 3,1, х, Уг, г)щ(хо, 3,1)<1гу(13 =

уо уо о

= Рг2(х, г) + \2(х, г), (25)

функции Ргг, Рг2 известны. Пусть

аг(х,у, г) = ¿го(х,у, г) = ¿2(х,у, г) = 0, сл ^ 0. (26)

Тогда г24т)(х,у,х,^,гц, г) = 0 г22(хо,у,г,хг,у, г) = 0, Из уравнения (24) однозначно определяется иг(хо,у, г) (теорема 2), Подставляя найденное значение иг(хо,у, г) в уравнение

г( х, о, )

рода (при ¿2(х,у, г) = 0 г44(х, уо,г,х, уг, г) = 0), Это уравнение однозначно разрешимо. Таким образом, задача 1 редуцирована к основной характеристической задаче. Аналогично разрешается система (24) - (25) при условиях

сл(х,у, г) = а2(х,у, г) = С2о(х,у, г) = 0, ¿2 ^ 0. (27)

При этом сначала из уравнения (25) определяется ьг(х, уо, г), а затем из (24) — иг(хо, у, г).

Теорема 4. Если аг, Ъг, а2, Ь2, а3, Ь3 € С2(С), сг, с2о, сзо, с1го, с12, с1зо, его, е2о, е3, ¡г, ¡ъ /3 € Сг(С), и выполняется одно из условий (26), (27), то существует единственное 1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Забрейко П.П., Калитвин A.C., Фролова Е.В. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций // Дифференц. уравнения. Т. 34, № 4. 2002. С. 538-546.

2. J.M. Appell, A.S. Kalitvin, P.P. Zabrejko Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations, New York: M. Dekker, 2000. 560 p.

3. Калитвин A.C. Линейные операторы с частными интегралами, Воронеж: ЦЧКИ, 2000. 252Ес.

4. Бицадзе A.B. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений с частным,и производным,и, // Матем. моделирование. Т. 6, № 6. 1994. С. 22-31.

5. Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи, Гурса для одной линейной системы уравнении, с частными производным,и, // Дифференц. уравнения. Т. 18, № 9. 1982. С. 1614-1622.

6. Плещинская И.Е. Об эквивалентности некоторых классов эллиптических и гиперболических систем первого порядка и, уравнении, второго порядка с частными производным,и, // Дифференц. уравнения. Т. 23, № 9. 1987. С. 1634-1637.

7. Жегалов В.И. Задача с нормальными производным,и, в граничных условиях для системы дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем. № 8. 2008. С. 70-72.

8. Воронова Ю.Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнении, с нулевым,и, обобщенными инвариантам,и, Лапласа // Уфимский матем. журнал. Т. 2, вып. 2. 2010. С. 2026.

9. Жибер A.B., Костригина О.С. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка // Уфимский матем. журнал. Т. 3. вып. 3. 2011. С. 67-79.

10. Созонтова Е.А. О характеристических задачах с нормальными производным,и, для системы гиперболического типа // Изв. вузов. Матем. № 10. 2013. С. 43-54.

11. Андреев A.A., Яковлева Ю.О. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений гиперболического типа порядка п с некратным,и, характеристиками // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Т. 21, вып. 4. 2017. С. 752-759.

12. Миронова Л.Б. О методе Римана в Rn для, одной системы с кратными характеристиками // Изв. вузов. Математика. № 1. 2006. С. 34-39.

13. Жегалов В.И., Миронова Л.Б. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частным,и, производным,и, ¡I Изв. вузов. Математика. № 3. 2007. С. 12-21.

14. Миронова Л.Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратным,и, старшими частными производным,и, // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Вып. 43. 2006. С. 31-37.

15. Севастьянов В.А. О методе И.Н. Векуа решения интегральных уравнений типа Вольтер-ра, II Казан, ун-т, 1997. Деп. в ВИНИТИ 24.04.97, № 1373-В97. 9 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

17. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

18. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.

19. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Изд. Казанского математического общ-ва, 2001. 226 с.

Любовь Борисовна Миронова,

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Елабужекий институт, ул. Казанская, 89, 423600, г. Елабуга, Россия E-mail: lbmironovaSyandex. ru