О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

Л. Б. Миронова

О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУКРАТНЫМИ СТАРШИМИ ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Для системы с двукратными старшими частными производными с двумя независимыми переменными вводится матричный аналог функции Римана. В терминах этой матрицы строится решение задачи с граничными условиями на сторонах характеристического угла. Методом редукции к указанной характеристической задаче исследуется разрешимость задач с граничными условиями на трех и четырех сторонах характеристического прямоугольника.

В работах [1-3] изучены задачи Коши и Гурса для системы уравнений

ды 2

-Г1 = ^а,к(хЪ Х2)Ык + Шъ X—), 1 = 1,2 (1)

дхг к=1

в частности, в [1] выведены формулы интегрального представления решений (1), позволяющие установить их структурные свойства.

Здесь разрабатывается вариант метода Римана для более сложной системы

|ыхх = а1( х у К+ь1( х у)ы+с1( х уР+Ж х у X

^уу = а2( х У )ыу + Ь2 (^ У)ы + с2 (^ У > + /2( ^ УХ являющийся развитием идей из [4, 5]. В отличие от [4], компоненты матрицы Римана определяются как решения некоторых интегральных уравнений. Подобным образом для одного уравнения функции Римана ранее вводились в [6-15].

Считаем, что в замыкании рассматриваемой области Б плоскости (х, у) выполняются

2 1 1 включения а1, а2 е С , Ь1, Ь2, с1, с2, /1, /2 е С . Решение (2) класса ы, V е С (Б), ыхх, ууу е С (Б)

назовем регулярным в Б.

К системе (2) подстановками

ы* = ехр

Г 1 х

1 г *

> — J а1(а, у)ёа

2

V хо

V* =

2 / ь2( х, р^р

2

V уо

(3)

сводится более общая система

\ы*хх = а1(x, у)ы* + Ь1*(x, У>1 + с*(x, у )ы* + 4(х у + /1 (x, У), ^уу = а2( X, у)ыу + Ь2( х,у)^Е + с2( х,у )ы + ^2( х,у )v + /1( х,у). Основная характеристическая задача. В области О = {х0 < х < х1, у0 < у < у1} найти регулярное решение (2), удовлетворяющее условиям

ы( xо, у) = Ф1(у), (ы -)(хо, у) = Ф2( у); v(х Уо) = У1(x), оу - а2ы)(x, Уо) = У2(х)

где Фl(У), Ф2(У) е с1([Уо,У1]х У1(x), У2(х) е с1([xо,х 1]).

Назовем данную задачу основной, поскольку к ней могут быть редуцированы другие предлагаемые в настоящей статье задачи.

Существование и единственность решения сформулированной задачи следует из возможности преобразовать (2) к виду

ых = ы1 + а^

ы1х = ь1ы + +/1

vy = а2ы + v1

2М_Г

V у = Ь2оы + c2V + /2,

где с1о = с1 - а1х, Ь2о = Ь2 - а2у, откуда в силу (3) следует система интегральных уравнений

(4)

u( x, y ) = j1 ( y ) + J (ux + ay )(a, y )d a,

x0

x

u1( x y) = Ф 2( у ) + J (b1u + C10V + ЛХ« y)d a

x0

y

v( x, y) = y1( x) + J (a2u + v1)( x, b)d b,

y0

j

V 1(x У) = У2(x) + J (b20u + C2V + f2)(x,P)dP-

У0

Решение (5) существует, единственно и принадлежит классу и, V е С1(0), ихх, ууу е С(О),

что может быть доказано методом последовательных приближений ([16, с. 59], [17, с. 245-249], [18, с. 77-79]). Очевидно, эта система эквивалентна основной характеристической задаче. 1. Перепишем (4) в векторно-матричной форме

ЬЦ) = ЬЦ) ° Аих + Виу - Си, и = со1оп(и, и1, V,у1), (6)

(10 0 0^ (0 0 0 0^ (0 1 а1 0 ^

A =

0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B =

0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1

C =

Ь 0 ew 0

a2 0 0 1

Vb20 0 С2 0y

F = colon(0, /1,0, /2).

Введем матрицу Римана Я = оо1оп(Яь Я2, Я3, Я4), где векторы Я, (х, у, X, ц) = (га, Г 2, Г3, Г 4) (1 = 1,2,3,4) являются решениями систем

Г,1(x,У) = di1 - JФ1П2 + a2Г3 + b20ri4)(a, y)da,

r 2( x, y) = di 2 — J Г1(a, У)d a

x

(7)

3(XУ) = 8,3 - |(а1гИ + С10Г,2 + С2Г4)(х,Р№ Г4(x,у) = 8,4 - |г,з(x,Р^P,

ц ц

8 у — символ Кронекера. Решения для (7) существуют и единственны в классе непрерывных

функций. Очевидно, что Я по первой паре аргументов удовлетворяет сопряженной к (6) системе

Ь *(¥) = 0, Ь *(¥) °-¥хА - ¥уВ - ¥С. Имеет место легко проверяемое тождество

RL(U ) = ( RAU ) x + ( RBU ) y.

(8)

Построим теперь в терминах элементов матрицы R решение основной характеристической задачи. Для этого в области G возьмем произвольную точку M(X, h) • Вычислим значение U(X, h) • Первая строка (8) дает

r12f1 + r14f2 = (r11u + r12u1)x + (r13V + r14V1) y , (9)

где r j = r1 j ( x, У, X, h), остальные функции зависят от ( x, y ). Интегрируем (9) по прямоугольнику G1 ={x0 <x<X„ У0 <y <h}:

JJ (r12f1 + r14f2)(x, У, x, h)dxdy = J (r11u + r12u1)(x У, x, h)dy — (r13V + r14V1)(x, У, X h)dx,

G1 Г

Г — граница G1 . Отсюда

h X X

J (r11u + r12U1)(X,У, x, h)dy + J (r13V + r14V1)(x,h, X, h)dx = J (r13V + r14V1)(x, Уo, x, h)dx +

x0 x0 h

+ J (r11u + r12u1)(x0,У,x,h)dy + JJ(r12f1 + r14f2)(x,У,Xh)dxdy. (10)

У0

У0

В силу (7)

ТлС^У,Х" ° 1, г 12(Х,у,^" = Г13(X,пХ" = г14(XЛХ" ° 0. (11)

В правой части (10) стоит известная функция я^Х, п) (если, конечно, известны Г1у, У = 1, 2,3, 4). Окончательно получаем

и(Х П) = Я1Л (Х П) = Г11(хо, Л Х Л)и( хо, П) + г12(X0, Л Х Л)и1(хо, П) +

Х

+1 (г13л (<« Уо, Х ЛМ« Уо) + г14л(<« Уо, Х Л)т1(<« Уо №« +

Л0

h x

+ j (lih( P.x hM x0. P) + r12 h ( X0,P' X, h)ui(x0, P))dP+ j r12 (00, h.X h) fiС00, h)da +

Уо x0

X h

+ j j (ri2h(a,P,X,h)fi(a,P) + ri4h(a,p,X,h)/2(0,P))dPda. (12)

X0 y0

Здесь (и далее) дифференцирование компонент матрицы Римана по X и h означает дифференцирование по последней паре аргументов. При записи (i2) учтено, что ^(a, y, x,y) ° 0 . Аналогично

X X h

j r33v( x, h x, h)dx = j (r33v + r34vi)( x У0, x, h)dx + j (r3 iu + r32u1)( X0, У, x, h)dy +

X0 x0 y0

+jj ( r32 fi + r34 f2)( ^ У, X, h)dxdУ,

Gi

откуда, обозначая правую часть равенства через g2(X, h), получаем

v(X h) = g2X(X, h) = r33(X, У0, x, hMi У0) + r34(X Уо, x, h)vi(X, У0) +

X

+ j (r33x(a, У0, x, ПМ00, У0) + r34x ((0, У0, x, h) vi ((0, У0))d a +

+ j (r3ix ( x0, P, X, h)u( x0, P) + r?2x ( *0, P, X, h)u i( x0, p))dp+ j ^(X, P, X, h) f2 (X, P)d P +

У0

X h

j j (r32x(a,P,X,У)fi(a,P) + r34X(a,P,X,h) /2(0,P))dPda. (i3)

У0 У0

X h

+

Х0 У0

Здесь учтено, что г32(х, р, х, у) ° 0.

Формулы (12), (13) дают искомое решение основной характеристической задачи. Приведем еще формулы для и-^, т^, которые понадобятся в дальнейшем:

и1 (Х Л) = г21( Xо,Л x, Л)и( Xо, Л) + г22(Хо,Л x, Л)и1(Хо, Л) +

Х

+ I (г23 Л (<« Уо, Х ЛМ« Уо) + Г24л (<« Уо, x, Л)т1(<« У +

h

+

j (r2ih (x0, p, x, h)u(x0, P) + r22h (x0, p, x, h)ui (x0, P))dP + j r22 (0, h X, h)fi (0, h)da +

x0

X h

j j (r22h(a,P,X,h)fi(a,P) + Г24h(a,P,X,h) /2(0,P))dPda; (i4)

У0

X h

+

x0 У0

v1(X h) = r43(x, Уо, x, ПМ^ У0) + r44(X, Уо, x, "О» ^ife У0) +

X

+ j (r43X (0, У0, x, h)v(0, У0 ) + r44X (0, У0, x, h)v1(0, У0 ))da -

■I 'I

+ | (>41Х (, Р, X, Л)и(Хо, Р) + г42х(Хо, Р, X, ЛМ(Х0, Р))# + { Г44(X, Р, X, Л)/2(X, РУР +

Уо Уо

X л

+11 (^ (а, Р, X, Л)/1(а, Р) + Гщ (а, Р, X, Л)Л(а, Р¥Р ¿а. (15)

Х0 уо

2. Рассмотрим далее задачи для характеристического прямоугольника О = { Х о < Х < Х1, Уо < у < У1}, в которых граничные условия заданы на трех сторонах.

ЗАДАЧА 1. Найти в О регулярное решение (2), удовлетворяющее условиям и(у) =Ф1(уХ (их -fl'lV)(xо,у) = Ф2(У);

(16)

Оу - а2и)(x, Уо) = У1(x), v(x, У1) = С(х)

где Фl(y), Ф2(У) е cl([Уо,Уl]), У1(x), С(х) е С1([xо,Х1]).

Исследуем разрешимость задачи 1 путем сведения ее к основной характеристической задаче. Для этого, очевидно, требуется по данным (16) получить у( х, Уо) = у(х).

Если положить в (13) X = х, у = У1, то получится интегральное уравнение для определения у(х) с известной х) е С1([хо,х1]):

х

Г33(x, Уо, х У1 Ж х) + | Гщ(a, Уо, х У1 МаУа = р1( х) + С( х). (17)

хо

Если г33(х,Уо,х,У1) Ф о, то (17) — интегральное уравнение Вольтерра второго рода, его решение существует, единственно и, очевидно, принадлежит классу С1([хо,х1]). Следовательно, в этом случае задача 1 сводится к основной характеристической задаче. Достаточным для этого условием будет с2(х, У) > о в О . Действительно, согласно (7)

V

г33(х y, х Л) = 1 - | С2 (^ Р)г34(Х, р, Х, Л№

Л (18)

У

Г34 (х, У, х, Л) = Г33 (х, Р, х, л)^ Р.

Л

Отсюда г34УУ(х,У,х,ц) = с2(х,у)г34(х,У,х,ц), г34(х,ц,х,ц) = о, г34у(х,ц,х,ц) = -1. Получаем для г34(х,У,х,ц) обыкновенное дифференциальное уравнение вида 2"(У)-д(У)2(У) = о, д(У) > о. Известно [19, с. 164], что произведение 22' не убывает. В силу начальных условий г(ц) = о, 2 (л) = -1, слева от точки у = ц выполняется условие 2(У) > о . Следовательно, %(х, Р, х, У) > > о при Р< У . Из (18) получаем

VI

г33 (Х, Уо, Х, У1) = 1 +| С2 (Х, Р)г34 (x, р, Х, У1)^Р> о ,

Уо

что и требовалось. Нами доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если а1,а2 е С2(О),Ь1,Ь2о,с1о,с2,/1,/2 е С1 (О),с2(х,у) > о в О, то существует единственное решение задачи 1.

ЗАДАЧА 2. Найти в О регулярное решение (2), удовлетворяющее условиям

и( у ) = Ф1( у X (их- а^)(xо, у ) = Ф2( у );

у( x, Уо) = У1(хХ Уу(x, У1) = Х(хХ

где Фl(У), Ф2(У) е c1([Уо,Уl]), У1(х) С(х) е Сl([x0,х1]).

Разрешимость задачи 2 снова установим путем сведения её к основной задаче. Сопоставляя (15) и (12), получаем для определения У1( х, уо) уравнение

г44(X Уo, х, УОМXУо) + |(г44X(а' У0' X У1) +а2(X У1)Г14Л (а У0'X ЛЖС«"' Уо^а = ^2(х) + Х((19)

Х0

где р2(х) е С1(["о,Х1]).

ТЕОРЕМА 2. Если аъа2 е С2(0), Ь1,Ь20,с10, с2,/1,/2 е С1^), с2(х,у) > 0 в G, то существует единственное решение задачи 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ¿2(х, у) > 0 в Б, то решение (19) существует, единственно и принадлежит классу С1([х0,х1]). Достаточно показать, что в этом случае г44(х,у0,х,у1) Ф 0. Действительно, согласно (7)

у

г43(х, у, х, л) = | с2( х, Р)г44(х,Р, х, "л)й?р, л

У

г44 (х, у, х, л) = 1 -1Г43 (х, р, х, л)^р, л

следовательно, г44уу (х, у, х, л) = с2(х, у)г44( х, у, х, л), г44(х, л, х, л) = 1, г44 у (х, л, х, л) = 0. В силу условия с2(х,у) > 0 получаем, что г44(х,у,х, л) не возрастает при у <л [19, с. 164], то есть г44(х, у, х, л) > 1 при у < л. Поэтому г44(х, у0, х, у1) > 1. Теорема доказана.

Задачи, получающиеся из рассмотренных выше путем перемены ролями независимых переменных, рассматривать не будем.

3. Перейдем теперь к рассмотрению задач, в которых граничные условия заданы на всех сторонах G.

ЗАДАЧА 3. Найти в G регулярное решение (2), удовлетворяющее условиям и(^у) = ф!(уХ (их - ^Х^у) = Ф2(у); х,уо) = У1(x), оу -а2и)(XУ1) = У2(хХ

где Ф1(уХ Ф2(у) е с1([Уo, Уl]), У1(x), У2(х) е с1([xo, х1]).

Для редукции этой задачи к основной нужно определить недостающие данные и1(xo,у) = (их -alv)(x0,У), vl(x,уо) = Оу - а2и)(Xуо). Положим в (14) х = xl, л = у , а в

(15) — л = у1, Х = х. Получаем систему интегральных уравнений

у

г22 (х0, У, x1, у)и1(х0, у) +| Г22л (x0, р, x1, у)и1(Х0, р)^р +

уо

х1

+ | Г24л(a,Уo,xl,уМ(a,уо^а = ^11(у) +Ф2(у), "0 (20)

X

г44(X Уо ,X ум(X Уо) + | Г44Х (а Уо , X у1) (а уо^ а +

у1

+

I Г42Х (Х0, р, X у1)и1(X0, р)^р = ¥12 (х) + У2(x),

уо

где функции рп е С1([у0,у1]), е С1([х0,х1]) известны.

Пусть а1(у) = с10(у) = с2(у) ° 0, Ь1(" у) > 0 . Тогда ^y, л) ° 0, г22(Xo, У, X1, у) Ф Ф 0 . Из первого уравнения (20) однозначно определяется и^"о,у). Подставляя найденное значение и1(х0, у) во второе уравнение (20), получаем для определения У1(х, у0) интегральное уравнение Вольтерра второго рода (при с2(х, у) ° 0 будет выполняться условие г44(х, у0, х, у1) Ф Ф 0). Это уравнение однозначно разрешимо. Таким образом, задача 3 редуцирована к основной характеристической задаче.

Аналогично разрешается система (20) при условиях Ь1(х,у) = а2(х,у) = Ь20(х,у) ° 0, с2(х,у) > 0 (сначала из второго уравнения определяется ^(х,у0), а затем из первого — и1(х0,у)). Поэтому верна

ТЕОРЕМА 3. Если а1,а2 е С2(О),Ь1,Ь20,с10,с2,/1,/2 е С^О) и в О выполняется одно из условий

а1(х у) = с10(х у) = с2(х у) ° 0 Ь1(х у) > 0 (21)

Ь1(х у) = а2(х у) = Ь20(х у) ° 0 с2(х у) > 0 (22)

то решение задачи 3 существует и единственно. Сформулируем еще две задачи.

ЗАДАЧА 4. Найти в О регулярное решение (2), удовлетворяющее условиям

и(х0, у) = Ф1(у), их(х1, у) = Ф2(у); у(ху0) = У1(х), (уу -а2и)(ху1) = У2(хх

где Ф1(У), Ф2(у) е с1([уо> уЛ У1(хХ У2(х) е с1([х0' х1]).

Значение у(х, у) из уравнения (13) подставим в (14) и положим Х = х1, л = у , а в (15) возьмем л = у1, Х = х . Получим систему

у

г22 (х0' у, х1' у)и1(х0 ' у) +| (г22л (х0' Р х1' у) +а1(х1 ' у)г32Х (х0' Р х1' у))и1(х0' №Р +

ус

х1

+ | (г24л (а' уо' х1' у) + а1(х1' у)г34Х (а' уо> х1' у))у1(а' уо ^а +

хс

+ а1( х1' у )г34( х1' уо' х1' у) х1' уо) = Р21( у) + Ф2 (у)' (23)

х

г44(х уо' х у1 >1(х уо) +| Г44Х(а' уо 'х у1 )у1(а' уо^ а +

х0

у1

+ | Г42Х (х0'Р' х' у1)и1(х0'Р)^р = Р22 (х) + У (х).

ус

ЗАДАЧА 5. Найти в О регулярное решение (2), удовлетворяющее условиям

и( хс у) = Ф1( у)' их(х1' у) = Ф2( у); у( х уо) = У1( х), Уу(х у1) = У2(х)'

где Ф1(у)'Ф2(у) е с1([у0'у1])' У1(х)'У2(х) е с1([х0'х1]).

Используя формулы (12)-(15) приходим к системе

у

г22 (х0' у' х1' у)и1(х0' у) +| (г22л (х0'Р' х1' у) +а1(х1' у)г32Х (х0'Р х1' у))и1(х0'Р)^Р +

ус

х1

+ | (г24л (а'уо' х1' у) + а1(х1' у)Г34Х(а' уо' х1' у))у1(а' уо^а +

х0

+ а1(х1' у)г34(х1' уо' х1' у)У1(х1' уо) = ^31(у) + Ф2(у)' (24)

(24)

х

г44(х'у0' х'у1)у1(х' у0) + | (г44Х (а' у0'х' у1) +а2(х' у1)Г14л (а' у0' х' у1))У1(а'уо^а +

х0

у1

+ | (г42Х (х0'Р'х' у1) + а2 (х' у1)г12л (х0'Р' х' у1 ))и1(х0'Р)^Р +

у0

+ а2(х'у1)г12(х0'у1' х'у1)и1(х0'у1) = Р32(х) + У2(х). Рассуждая относительно (23) и (24) так же, как и в случае системы (20), приходим к следующему утверждению.

ТЕОРЕМА 4. Если a1,a2 е C2(G), ôj,ô20, c10,c2, /1, /2 е CX(G) и в G выполняется одно из условий (21), (22), то решения задач 4 и 5 существуют и единственны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бицадзе А. В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений в частных производных // Матем. моделирование, 1994. — Т. 6, №6. — С. 22-31.

2. Чекмарев Т. В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения, 1982. — Т. 18, № 9. — С. 1614-1622.

3. Чекмарев Т. В. Системы уравнений смешанного типа. — Н.-Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т, 1995. — 199 с.

4. Holmgren E. Sur les systems lineaires aux derivees partielles du premier ordre // Arkiv for matematik, astronomy och fysik, 1910. — Band 6, N. 2. — P. 1-10.

5. Бурмистров Б. Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе / Тр. семинара по краевым задачам. — Казань: Казан. ун-т, 1971. — Вып. 8. — С. 41-54.

6. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса / Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. — Новосибирск: Ин-т матем. СО АН СССР, 1990. — С. 94-98.

7. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения, 1996. — Т. 32, № 10. — С. 1429-1430.

8. Севастьянов В. А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика, 1997. — № 5. — С. 69-73.

9. Севастьянов В. А. Об одном случае задачи Коши// Дифференц. уравнения, 1998.— Т. 34, № 12.— С. 1706-1707.

10. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1999. №10. С. 73-76.

11. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей частной производной // Изв. вузов. Математика, 2001. — № 11. — С. 77-81.

12. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. — Казань: Казан. мат. об-во, 2001. — 226 с.

13. Жегалов В. И., Миронов А. Н. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика, 2002. — № 5. — С. 23-30.

14. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения, 2002. — Т. 38, № 1. — С. 93-97.

15. Миронов А. Н. О методе Римана для одного уравнения четвертого порядка со старшей частной производной // Вестник СамГТУ: Сер. матем. — Вып. 22. — Дифференциальные уравнения и их приложения, № 2. 2003. — С. 190-194.

16. ЗабрейкоП. П., Кошелев А. И. и др. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968. — 448 с.

17. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука. 1971. — 512 с.

18. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 712 с.

19. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. — М.: ИЛ, 1953. — 346 с.

Поступила 10.04.2006 г.

УДК 517.962.2 А. В. Минайло

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

Исследуются условия сохранения устойчивости решений при переходе от систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) к разностным в случае, когда правые части ОДУ являются обобщенно-однородными функциями. Произведена оценка скорости стремления решений к началу координат. Исследовано воздействие на систему нестационарных возмущений. Доказан консерватизм, в смысле сохранения условий устойчивости, при переходе от возмущенных дифференциальных уравнений к разностным.

Введение. Уравнения в конечных разностях широко применяются для описания динамических систем, состояния которых измеряются в дискретные моменты времени. К таким системам относятся, например, системы управления с дискретными регуляторами [1]. Разностные уравнения являются основным математическим аппаратом при изучении нелинейных импульсных систем [2]. Численное решение уравнений различных типов также приводит к замене непрерывных систем дискретными [3]. Но переход от непрерывных уравнений к разностным может повлечь существенное изменение свойств решений системы. При таком переходе нередко нару-