CC BY
33
74 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2013. № 6(107)
УДК 517.956
О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
© 2013 Е.А. Созонтова1
В работе исследованы характеристические задачи для системы гиперболического типа с тремя независимыми переменными. С помощью метода Римана и теории интегральных уравнений получены условия однозначной разрешимости поставленных задач.
Ключевые слова: гиперболическая система, метод Римана, характеристическая задача.
Рассмотрим в области О = {хо < х < х\, уо < у < У1, хо < х < х\\ систему
дифференциальных уравнений
( иху + Л1их + Б1иу + С1и + В±У + Е1Ш = Еь < Ууг + Л2Уу + БУ + С2У + Ои + Е^Ш = (1)
[ Шхг + ЛзШг + БзШх + СзШ + п3и + Е3У = Ез,
где Лг, Бг, Сг, Ог, Ег, Ег являются функциями переменных х, у, х, причем
Лг, Бг € С1, Сг, Ог, Ег, Ег € С (г = 1, 3).
Данная система является одним из частных случаев систем с доминирующими частными производными, изучению которых посвящены статьи [1—5]. В настоящей статье доказаны существование и единственность решения задачи, являющейся аналогом задачи Гурса [1; 2] для системы уравнений (1), а также получены условия однозначной разрешимости характеристических задач с граничными условиями на четырех, пяти и шести гранях характеристического параллелепипеда. Отметим, что задачи для гиперболических уравнений с доминирующей частной производной с условиями на всех характеристиках рассмотрены в работах [6; 7]. В статье [3] подобные задачи рассмотрены для гиперболической системы с кратными доминирующими производными, где были получены достаточные условия на коэффициенты системы типа тождеств и неравенств, обеспечивающие существование и единственность решения. Как будет показано ниже, подобные условия для системы (1) не требуются.
Преобразуем уравнения системы (1) к виду
(иу + Л1и)х + Б1(иу + Л1 и) + (С1 - Л1Б1 - Л1х)и + ОхУ + Е1Ш = Еи У + Л2У)у + Б2У + Л2У) + (С2 - Л2Б2 - Л2у)У + В2и + Е2Ш = Е2,
(Шх + ЛзШ)г + Б3(Шх + Л3Ж) + (Сз - Л3Б3 - Лз2)Ш + Б3и + Е3У = Ез.
-'-Созонтова Елена Александровна ([email protected]), кафедра математического анализа, алгебры и геометрии Елабужского института Казанского (Приволжского) федерального университета, 423600, Российская Федерация, г. Елабуга, ул. Казанская, 89.
Введем обозначения
и + Л-\_и = и^, А\х + — С\ = Н\,
Уг + А2У = УЬ А2у + А2В2 — С2 = Н2,
+ А3Ш = Шь Азг + А3В3 — С3 = Н3,
которые позволяют записать систему (1) в виде
Шх + АзШ = Шг,
и1х + В1и1 — ни + В1У + Е1Ш = Е1, иу + Аги = иг,
У1у + В2У1 — Н2У + В2и + Е2Ш = Е2,
Уг + А2У = У1,
, Ш1г + ВзШ1 — НзШ + Взи + ЕзУ = Ез.
Далее с помощью подстановок
у х
и = и ехр(— / А1(х,Ь, г)А), и1 = и1 ехр(— / В1(Ь, у, г)А),
Уо хо
г У
У = V ехр(— / А2(х,у,1)А), У1 = У1 ехр(— / В2(х,Ь, г)&),
го уо
х г
Ш = техр(— / Аз(Ь,у, г)&), Ш1 = т1 ехр(— / Вз(х,у,1)А)
хо го
система (2) приводится к виду
тх = а1т1,
(2)
п\х = а\п + Ьіу + + /1,
Пу = в2П\,
У!у = а2П + Ь2У + С2Ю + /2, = ЗзЬі,
= ази + Ьз'и + ез'о + /3,
(3)
где
в1 = ехрЦ Аз(Ь, у, г) А — / Вз(х, у, Ь)&), а1 = Н1 ехр(/ В1(Ь, у, г)А — / А1(х, Ь, г)&),
хо го хо уо
х г
Ъ1 = —В1 ехр(/ В 1(1, у, г)д& — / А2 (х, у, 1)й1),
хо го
С1 = —Е1 ехр(/(В1 — Аз)(г,у,г)А), /1 = Е1 ехр( / В1(Ь,у,г)А).
хо хо
Остальные переменные коэффициенты определяются аналогичным образом.
Задача 1. Найти в области О регулярное решение системы (3), удовлетворяющее условиям
и(х,уо,г) = фі(х, г), у(х,у,го) = ф2(х,у), т(хо,у,г) = фз(у,г),
иі(хо, у, г) = ф±(у,г), Уі(х,Уо, г) = Ф2(х, г), ші(х,у, го) = фз(х,у),
(4)
где фз, ф1 € С1 (X), ф1, ф2 € С 1(У), ф2, фз £ С1 ^) (X, У, 2 — грани характеристического параллелепипеда Ох = хо, у = уо, г = го соответственно).
Докажем существование и единственность решения задачи 1. Проинтегрируем первое и второе уравнения системы (3) в пределах от хо до х, третье и четвертое — в пределах от у о до у, пятое и шестое — в пределах от го до г. Получим систему интегральных уравнений
w(x, у, z) = фз(у, z) + /(siwi)(a, y, z)da,
Xo
X
ui(x, у, z) = ^i(y, z) + f (aiu + biv + ciw + /i)(a, у, z)da,
Xo
у
u(x, у, z) = ^i(x, z) + / (s2Ui)(x, в, z)dfi, yo
у
vi(x, у, z) = Ф2(x, z) + / (a2U + b2V + C2W + /2)(x, в, z)dp,
yo
z
v(x, у, z) = Ф2(x, у) + /(s3Vi)(x, у, j)dj,
zo
z
wi(x, у, z) = ^(x, у) + /(ази + Ьзv + C3V + /3)(x^, j)dj.
Решение системы (5) существует и единственно в классе непрерывных функций [8, с. 59]. Таким образом, справедливо утверждение
Теорема 1. Если в замыкании области С выполняются включения «1, «2, «з € С^С), аг, Ъг, вг, / € С (С) (г = 1,3), то решение задачи 1 существует и единственно.
Для дальнейшего изложения нам потребуются формулы решения задачи 1, записанные в терминах матрицы Римана [1].
Запишем систему (3) в векторно-матричной форме
где
A
C
Li (U) = F, Li (U) = AUx + BUy + CUz - DU,
w 0
ui fi
U = u ,F = 0
vi f2
v 0
wi f3
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 , b 0 0 1 0 0 0
= 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 1 0 0 ,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Si
0 0 0 0 0 0 ci 0 ai 0 bi 0
0 0 0 0 0 0 D = 0 S2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 c2 0 a2 0 b2 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 S3 0 0
0 0 0 0 0 1 c3 0 a3 0 b3 0
Введем матрицу Римана R = colon (Ri, R2, R3, R4, R5, Re), где векторы Rifa^, z,£,n,C) = (r*i, r*2, r*3, г*4 ,ri5,Tie) (i = 1, 6) являются решениями систем уравнений
Тц(х,у,г Т'і2(х,у,г,І, п,С Гіз(х,у,гп,( тц(х,у,г,£, п,С П5(х,у,г,£, п,С Пб(х,у,г,£, п,С
= 5ц - /(е1Гі2 + С2ГІ4 + езГі6)(а, у, г, п, С)ва, а
X
= &І2 - /&Гіз)(а, у, г, п, С)Ла, а
У
= діз - /(аіГі2 + а2Гі4 + азГіб)(х, в, г, £, п, С)№,
п
= §і4 - /(взГі5)(в, у, г, £, п, С)іїв, п г = ді5 - /(ЬіТі2 + Ь2Ті4 + ЬзТіб)(х, у, Ч, £, п, С)^п,
с
г
= діб - /(віТіі)(х, у, ч, £,, п, С№, с
(6)
где 5ц — символ Кронекера. Матрица К по первым трем аргументам удовлетворяет системе
Ь*(У) = 0, Ь*(У) = -АУх - ВУУ - СУг - ВУ
и имеет место тождество
ЕЬ(и) = (КАи )х + (КВи )у + (КСи )г. (7)
Распишем первую строку в (7)
тиЬ + ги/2 + т 1б1з = (тцт + т12П1)х + (т^зч + ги'и^у + (т15у + т^ю^г.
Интегрируя данное соотношение по области б = {хо < х < £, уо < у < п, хо < г < С,} и учитывая, что
т11(£,в,1,£,пЛ) = 1 т12(£,в,1,£,пЛ) = 0,
Т1з(а, п, 1, П, С) = 0, ти(а, п, 1, П, С) = 0,
т15(а, в, С, €, П, С) = 0, т16(а, в, С, €, П, С) = 0,
получим следующее интегральное уравнение
п С п С
/ / т(^,в,7)йв&1 =/ $(тцт + тищ)(хо, в,7,€,П,С)dвdY+
Уо го уо го
€ С € п
+ / 1(т1зч + тыУ1)(а,уо,7,£,П, С)4,а^ +/ /(т15у + ттт1)(а,в, го,£,п,()dаdв+
хо го хо уо
€ п С
+ // I (т 12/1 + т 14/2 + т1б/з)(а, в,7,£,П,()dаdвdY■
хо уо го
(8)
Продифференцируем соотношение (8) по переменной п. Учитывая, что т12(а,п,^Х,П,С) = 0, т14(а,п,Ч,£,п,С) = 0, получим
С с
/ = I (гцУ})(хо,п,7,£,,пХ №+
^0 20
п С £ С
+ // (гиу-ш + П2пи1)(х0,р,7,£,ц,с)йрй7 +$ / (г^и + т14пУ1)(а,уо,^,^,П,С)ЛоЛ^+
Уо 20 ^0 20
£ £ п
^ / (Г15V + Гl6Wl)(a,ц,zo,£,ц,Z)йа /(г1бпV + Г1бпьл)(а, в, го,^,п,С)dad|3+
хо хо Уо
£ С £ п С
+ / S(гl6fз)(a,n,Y,^,V,C )dad'y + / / / (г12п /1 + Г14п /2 + Г1бп /э)(а, в,1,^,П,С )da.dвdY■
хо 20 хо Уо 20
+£/p»p(z ‘fi ‘x ‘Oz ‘(j ‘»)(ТШ,?59^ _|_ J J _|_ g/p(z ‘fl ‘x ‘Oz ‘g/ ‘ж)(ТШ,?9^ _|_ a^d) f +
>
X
р
и
о
ч
К
нСЗ
X
сг
о
о\
р
со
о
X
р
X
ё
К
+
+
-з
+
р
jo
в
5s
'К
р
а-
~Сь
а-
->
+
+
-з
+
Р
в
5s
*N>
'К
Р
а-
~Сь
+
+
сі
+
р
*N>
о
в
*N>
'К
р
а-
~Сь
+
+ +
Р
5s
в
*N>
'К
р
а-
->
+
£
+
Р
о
В
*N>
'К
р
а-
->
+
сі
+
Р
*N>
о
В
5s
*N>
'К
Р
+
+
в
5s
2s
+
3^
в
5s
*N>
'К
~Cfc
а-
->
+
£
+
Р
о
*s>
В
*N>
'К
Р
+
2s
в
5s
'К
+
+
7й
в
5s
'К
~Сь
+
О ~1 °
s Н о
50 - Й
4
и аХ f ~ 1Ґ х <^£2, о ~ ъ и сз л а ^ х о У~Ч£
“<i
оо
о
и
*<
X
р
rD
К
X}
со
•і й со
^ Я
1Г>3
-3 ^ 8 ^ ° 'Ц я s3 о
В
^ (Ъ
III к
CD ^
* I (Trv rD
X
Д X
P О Sc
H
- <T\
X
s
H
Сґ
Cd
<r\ P hQ X ~
£» ГН
tq
+ /А2(х,Р^^Р +//(Г44( Ї2)(х,в,^,х,у,г)йвй^+
У0 У0 г0
х У х У г
+ / /(г42£ А )(a,|3,z,x,y,z)dad|3 + // / (П2$с Л + г44£( f2 + r4в^zfз)(a, Р,у,х,у, z)dadpdy,
х0 У0 х0 У0 г0
(11)
У г
у(х,у^) = у(х,у^о) + f (г55п v)(x,@,zo,x,y,z)d@ + f (Г51£ w + г52£ иі )(хо,у,у,х,у^^у+
У0 г0
У г г
+ / 1(г51£пw + Г52£пиі)(х0,/3,7,х,у^№№7 + / (г5зщи + Г54пVI)(х, у0, у, х, у, z)dy+
У0 г0 г0
х г х
+ / /(Г53ІПи + Гз4£пVl)(a,yo,Y,x,y,z)dadY + / (г55£V + r5в^Wl)(a,y, zо,x,y, z)da+ х0 г0 х0
х У У г
+ / / (Г55£пV + Г56ЇПWl)(a,в,zo,x,y,z)dadв +/ / (г54УА2)(х,/3,7,х,у^№^7+
х0 У0 У0 г0
х г
+ / /(Г52£Аі + Г54£Ї2 + Г56£fз)(a, у, у, х, у, z)dady+
х0 г0 х У г
+ / I /(Г52£УЛ + Г54£пА2 + r5вivfз)(a,в,■y,x,y,z)dadвd■y,
У
Wl(x,y, X) = Wl(x,y, Zo) + Гв5 (х, у, Z0,x,y, z)v(x, у, zo) + / (Гб5п V + Гввщ Wl)(x, в, zo,x,y, z)dв+
У г
+ У (г61£У} + г62£и^(хо,у, у, х, у, +/ / (гєі(пw + Г62ІПUl)(xo, в,Y,x,y,z)dвdY+
г0 У0 г0 г х г
+ / (гвзпи + Гб4пVl)(x,yо,Y,x,y,z)dY +/ / (гвз£пи + г64^пVl)(a,yо,Y,x,y,z)dadY+
г0 х0 г0 х х У
+ / (гв5£ V + Гвв£ Wl)(a,y,zо,x,y,z)da + / / (гв5£у V + гвв£п Wl)(a,в,zо,x,y,z)dadв+
х0 х0 У0 г х г
+ / Аз(х,у,ч^ч + / / (гвв$ fз)(a,y,y,x,y,z)dady+
х0 г0 х У г
+ //(Гб4п /2)(х,в,у,х,у,г^^у +//Л'Г62$П ь + Гб4£п f2 + гвв^ fз)(a, в,у, х,у, г)йайрйу.
У0 *о Х0 У0 го
(12)
Задача 2 (с условиями на четырех характеристиках). Найти в области О регулярное решение системы (3), удовлетворяющее условиям
п(х,у0,г) = ф1(х,г), п1(х1,у,г) = ич(у,г),
ю(х,у,г0) = ф2(х,у), ь1(х,уо,г) = ф2(х,г), (13)
т(хо,у,г) = фз(у,г), Ю1(х,у,г0) = фз(х,у),
где фз € С 1(Х), ф1, ф2 € С1(¥), ф2, Фз € С 1(Ё), ш1 € С 1(Х1).
Будем исследовать разрешимость задачи 2 путем сведения ее к задаче 1. Для этого по данным (13) необходимо получить П1(х<о,у, г) = ф1(у,г). Положим в (10) х = х1, получим следующее интегральное уравнение:
пі(х0,у,г) + / Т22С(х0,у,у,хі,у, г)пі(х0,у,у)3,у+
*0
У
+ / Т22п{хо,в,г,х1,у,г)п1 (хо,в,г)<1в+ (14)
У0
У *
+ / 1'т22пС (хв,в,7,хі,у,г)п1 (х0,в,у)3вйу = ¥1(у,х)+ ш1(у,х),
Уо *о
где
Еі(у,г) = - Т2і(хо,у,г,хі,у,г)иі(хо,у,г) + / (Т2іс-ш)(хо,у,у,хі ,у,г)Лу+
\ г0 У г х
+ $ (Т2іпк:)(хо, в, г,хі,у, г)Лв +/ / (Т2іпс™)(х0, в,у,хі,у, г)ЛвЛу+
У0 г0 У0
х і
+ / (Т23п и + Т24п Уі)(а,уо , г,хі,у, г)Ла+
Х0 х і г
+ / /(т23пси + Т24г,сУі)(а,у0,у,хі,у,г)йайу+
Х0 г0
х і х і у
+ / (Т25СV + Т26(иіі)(а,у, г0,хі,у,г)йа +/ / (т25Усу + Т2вУст)(а, в, го, хі,у, г)ЛаЛв+
Х0 Х0 У0
х і х і у х і г
+ / /і(а,у, г)Ла +/ / (т22У/і)(а, в, г,хі,у, г)ЛаЛв +/ / (Т2вс/з)(а,у,у,хі,у, г)ЛаЛу+
Х0 Х0 У0 Х0 г0
х і У г )
+ // І(т22пСЇі + Т24пСЇ2 + Т2впСїз)(а, в,1, хі,у, г)ЛаЛвЛ^
2
Х0 У0 г0
О-
Уравнение (14) является уравнением Вольтерра второго рода для определения пі(хо,у, г), решение которого существует и единственно в классе непрерывных функций [9] (функция Гі(у,г) известна). Таким образом, задача 2 свелась к задаче 1, и, следовательно, справедливо утверждение
Теорема 2. Если в замыкании области О выполняются включения «і, в2, вз Є С і(О), аі, Ьі, ві, /і Є С (О) (і = 1,3), то существует единственное решение задачи 2.
Задача 3 (с условиями на пяти характеристиках). Найти в области О регулярное решение системы (3), удовлетворяющее условиям
и(х,у0,г) = фі(х, г), пі(хі,у,г) = ші(у,г),
у(х,у,г0) = ф2(х, у), VI(х,уі,г)= ш2(х,г), (15)
т(хо,у,г) = фз(у,г), юі(х,у,г0) = фз (х,у),
где фз Є СЛ(Х), фі Є Сі(У), ф2, Фз Є Сі(Е), ші Є Сі(Х~і), и2 Є Сі(Ті).
Исследовать задачу 3 будем так же, как и задачу 2, путем ее редукции к задаче 1. Для этого по данным (15) определим пі(х0,у, г) = фі(у,г), v1(x,y0,z) = = ф2(х,г). Положим в (10) х = хі, в (11) — у = уі. Получим систему двух интегральных уравнений
иі(хо,у,г) + / Т22С(хо,у,у,хі,у,г)иі(хо,у,у)Лу + / Т22Щ(хо, в,г,хі,у,г)иі(хо,в,г)Лв+ г0 У0
У г х і
+ / / Т22у( (хо, в, 7, хі, у, г)иі(хо, в, у)ЛвЛу + / Т24п (а,уо,г,хі,у,г)уі(а,уо,г)Ла+
У0 г0 Х0
х і г
+ / / Т24Ус (а,уо,7,хі ,у,г)уі(а,уо,у)ЛаЛу = Гі(у,г)+ ші(у,г),
Уі(х,уо,г) + / Т44£(а,уо,г,х,уі,г)уі(а,уо,г)Ла +/ Т44С(х,уо,у,х,уі,г)уі(х,уо,у)Лу+
Х0 г0
х г х і
+ / І Т44£( (а,уо,у,х,уі,г)уі(а,уо,у)ЛаЛу + / Т42$ (хо, в, г,х,уі, г)иі(хо, в, г)Лв+
Х0 г0 У0
У і г
+ / І Г'42£С (хо,в,7,х,уі,г)иі (хо ,в,7)ЛвЛ7 = Е2(х,г) + щ(х,г),
где
Е\(у,г) = - Т2і(хо,у,г,хі,у,г)т(хо,у,г) + f (т2іс 'ш)(хо,у,у,хі,у,г)йу+
\ 20 У У 2
+ $ (Г2іпиі)(ха,в,г,хі,у,г)йв +/ / (т2ілс™)(хо, @,у,хі,у, г)йвйу+
У0 У0 20
х і х і 2
+ / (г23пи)(а,у0,г,хі,у,г)йа +/ /(г2зУси)(а,у0,у,хі,у,г)йайу+
Х0 Х0 20
х і х і У
+ / (Г25СV + Т26(№і)(а, у, го, хі,у, г)йа +/ / (г25УсV + т2впс№і)(а, в, ?о,хі,у, г)йайв+
Х0 Х0 У0
хі хі У X і 2
+ / /і(а, у, г)йа +/ / [т22Щїі)(а, в, г,хі,у, г)йайв +/ / (г2в{їз)(а,у,у,хі,у,г)йайу+
х 0 х 0 У0 Х 0 20
хі У 2 \
+ // І(т22пС їі + Т24пС Ї2 + Т2впсїз)(а, в, 7, хі ,у, г)йайвйу ,
Р2 (х, г) = - Т4з(х,уо,г,х,уі,г)и(х,уо,г) + / (т4з5и)(а,уо, г,х,уі, г)йа+
0
У і х і 2
+ $ (т4і£ш)(хо,в,г,х,уі,г)йв +/ / (т4іц w)(xо, в,7,х,уі, z)dвdY+
У0 У0 20
2 2
+ /(т4зс и)(х,уо,у,х,уі,г^у +/ / (т4зк и)(а,уо,у, х,уі, z)dady+
20 0 20
У і Х х і
+ $ (т45СV + т4вс•Ші)(х,в,го,х,уі,г^в +/ / (т45£Су + т4в^сWl)(a,в,zо,x,yl,z)dadв+
У0 0 У0
У і Уі 2 Уі + / Ї2(х,в,г^в +/ / (т44( f2)(x,в,7,x,Уl,z)dвdy +/ / (т42^ fl)(a,в,z,x,yl,z)dadв+
У0 У0 20 Х 0 У0
У і 2
+ ///(т42£сїі + т44ісЇ2 + т4в£С fз)(a, в, 7, х, уі, z)da.dвd^ .
Решение данной системы (и,1(хо,у,г), ю\{х,уо,г)) существует и единственно в классе непрерывных функций [8, с. 59]. Итак, задача 3 редуцируется к задаче 1 и, следовательно, сраведливо утверждение
Теорема 3. Если в замыкании области О выполняются включения 31, Я2, вз € С 1(О), аг, Ьг, сг, /г € С (О) (г = 1,3), то решение задачи 3 существует и единственно.
Задача 4 (с условиями на шести характеристиках). Найти в области О регулярное решение системы (3), удовлетворяющее условиям
и(х,у0,г) = ф1(х,г), уЛ(х1,у,г) = Ш1(у,г),
у(х,у,г0) = ф2(х, у), У1(х,у1,г) = ш2(х,г), (16)
т(хо,у,г) = фз(у,г), т1(х,у,г1) = шз(х,у),
где ф1 € С1(У), ф2 € С 1(Ё), фз € С 1(Х), ш1 € С 1(Х1), ш2 € С 1(У~1), ^ € С 1(Ё1).
Для исследования разрешимости задачи 4 по данным (16) необходимо определить и1 (хо,у,г)= ф1(у,х), У1(х,уо,г) = ф2(х,г), ■Ю1(х,у,х0) = фз(х,у). Для этого положим в (10) х = х1, в (11) — у = у1, в (12) — г = г1. Получим систему трех интегральных уравнений
Ul(xo,y,z) + f r22Z(xo,y,Y,Xl,y, z)ul(xo,y,y)dy+
zo
У У z
+ f r22n(xo, в, z,Xl,y, z)ul(xo,e,z)de +/ / r22V((xo, e,Y,Xl,y, z)ul(xo, e,l)dedy+
Уo Уo zo
Х і
+ f Г24п(a, yo,z,Xl,y,z)vl(a,yo,z)da+
Хo
Хі z Х і
+ / f r24v((a,yo,Y,Xl,y,z)vl(a,yo,Y)dadj + f r26z(a,y,zo,Xl,y, z)wl(a,y, zo)da+
xo zo xo
Хі Х
+ f f r26nZ(a^yZoyXuy^^^a^, zo)dadв = Fl(y,z)+ &l(y,z),
Х0 Уo
X
vl(x,yo,z)+f r44%(a,yo, z,x,yl, z)vl(a,yo, z)da+ xo
z x z
+ f r44Z(x,yo, Y, x, yl, z)vl(x, yo, y)dy + f f 7-44^(a,yo,Y,x,yl, z)vl(a,yo,Y)dady+
zo xo zo
Х і
+ f r42%^o^^^^l^^l(xo,в,z)dв+
Уo
Х і z Х і
+ / J r42%Z (xo,в,Y,X,Уl,z)Ul(xo,в,Y)dвdY + f r46Q (X,в, Zo^^l^^^X^, Zo)^^^
Уo zo Уo
Х Х і
+ / f r46%z(a, в, zo, x, yl, z)wl(a, в, zo)]^]^ = F2(x, z) + ^(x, z),
Хo Уo
У
wi(x,y,zo)+ f r66n(x,в,zo,x,y,Zl)wl(x,в,zo)dв+
Уo
Х Х У
+ / r66%(a,y,zo,x,y,zl)wl(a,y,zo)da + f f r66£VЫ,в, zo,x,y,Zl)wl(a,в,zo)dadв+
Хo Хo Уo
z і
+ J r62% (xo,y,y,x,y,Zl)ul(xo,y,y)dy+
zo
У z і z і
+ J f Г62іп(xo,в,Y,x,y,Zl)ul(xo,в,Y)dвdy + f nS4V(x, yo,Y,x,y, Zl)vl(x,yo,y)dy+ Уo zo zo
Х z і
+ f f r'64£v (a,yo,Y,x,y,Zl)vl(a,yo,y)dady = Fg(x,y)+ ш3 (x,y),
xo zo
где
Fl(y,z) = - r2l(xo,y,z,xl,y,z)w(xo,y,z) + f (r2lZ w)(xo,y,Y,Xl ,y,z)dy+
zo
У У z
+ f (r2lvw)(xo, e,z,Xl,y,z)de +f f(r2lvtw)(xo,e,Y,Xl,y,z)dedy+
У0 У0 zo
х і х і z
+ f (r23V u)(a,yo,z,Xl,y,z)da +f f (r23Vc u)(a,yo,y,Xl,y,z)dady+
xo xo zo
х і х і У
+ / (r25Zv)(a,y,zo,Xl,y,z)da +f f(r25Vcv)(a, в, zo,Xl,y, z)dade+
xo xo Уo
х і х і у х і z
+ f fl(a,y,z)da + / f (r22V fl)(a, в, z, Xl, y, z)dadв + / f (r26Z f3)(a,y,y,Xl,y,z)dady+
xo xo yo xo zo
x і У z \
+ // f(r22Vcfl + r24Vc f2 + r26Vc f3)(a, в, Y, Xl, y, z)dadвdy ,
xo yo zo
(х, г) = - Т4з(х,уо,г,х,уі,г)и(х,уо,г) + / (т4з£и)(а,уо,г,х,у1,х]йа+
\ хо
У 1 У 1 2
+ У (т-41£У})(хо, |3,z,x,y1,z)d|3 +/ / (Т41£(т)(хо, в, у, х, уі,
У0 У0 20
2 х 2
+ / ^з^^х^о^^^і^^у + Jf(т4з$cu)(a,yо,y,x,yl,z)dady+
2о хо 2о
У 1 х У 1
+ / (т45С у)(х,в,го,х,уі,г^в +/ / (т45^с у)(а, в, го,х,уі ,z)dаdв+
Уо хо Уо
У 1 У1 2 х У1
+ / f2(x,в,z)dв +/ / (Т44С f2)(x,в,У,x,yl,z)dвdy +/ / (Т42$ fl)(a,в,z,x,yl,z)dadв+
У0 У0 20 хо уо
х У 1 2
+ ///(Т42КЬ + Т44ІС f2 + Т46£С fз)(a, в,Y,x,yl, z)dadвdy ,
Ез(х,у) = - ^(х^^о^^^^у^^^о) + / (Т65Пу)(х,в^о,x,y,Zl)dв+
Уо
21 У 21
+ § (т6l£w)(xо,y,y,x,y,Zl)dy +/f(т6ltvw)(xо,в,7,x,y,Zl)dвdy+
2о Уо 2о
21 х 21
+ / Тз^^х^о^^^^^у +//(т6зsvu)(a,yо,y,x,y,Zl)dady+
2о хо 2о
х х У
+ / (Т65$у^а^^о^^^^а +/ / (тбв$пу)(а, в, zо, х, у, Zl)dadв+
хо хо Уо
21 х 21 У 21
+ / fз(x, у, y)dy +/ /(т66£ fз)(а,y,y,x,y,Zl)dаdy +/ / (т64У f2)(x, в,У,х,у, Zl)dвdy+
хо 2о Уо 2о
х У 21
х у г 1 \
+ // I (Г62$ПЬ + Г644ПЬ + Г'66£Г1 fз)(a, в,y,x,y,z1 )йайвйу .
х0 У0 г0 )
Функции (у, г), Р2(х,г), ¥%(х,у) известны.
Решение данной системы (и\(хо,у,г), у\(х,уо,г), •ш\(х,у,го)) существует и единственно в классе непрерывных функций. Таким образом, задача 4 редуцируется к задаче 1, и справедливо утверждение
Теорема 4. Если в замыкании области О выполняются включения 31, в2, вз € С1 (О), аг, Ьг, сг, /г € С (О) (г = 1,3), то существует единственное решение задачи 4.
Литература
[1] Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 9. С. 1614-1622.
[2] Миронова Л.Б. О методе Римана в Кп для одной системы с кратными характеристиками // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2006. № 1. С. 34-39.
[3] Миронова Л.Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными // Вестник СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. 2006. Вып. 43. С. 31-37.
[4] Жегалов В.И., Миронова Л.Б. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частными производными // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2007. № 3. С. 12-21.
[5] Жегалов В.И. Задача с нормальными производными в граничных условиях для системы дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Сер.: Математика. 2008. № 8. С. 70-72.
[6] Уткина Е.А. Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 4. С. 400-404.
[7] Уткина Е.А. Задачи Дирихле для одного трехмерного уравнения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2010. № 2. С. 84-95.
[8] Интегральные уравнения / П.П. Забрейко [и др.]. М.: Наука, 1968. 448 с.
[9] Севастьянов В.А. О методе И.Н. Векуа решения интегральных уравнений типа Вольтерра / Деп. в ВИНИТИ. 1997. № 1373-В97. 9 с.
Поступила в редакцию 18/V/2013; в окончательном варианте — 18/V/2013.
ON CHARACTERISTIC PROBLEMS FOR ONE HYPERBOLIC SYSTEM IN THREE-DIMENSIONAL SPACE
© 2013 E.A. Sozontova2
We consider characteristic problems for a hyperbolic system with three independent variables. Using the Riemann method and theory of integral equations we obtain conditions of one-valued solvability for this problems.
Key words: hyperbolic system, Riemann method, characteristic problem.
Paper received 18/V/2013. Paper accepted 18/V/2013.
2Sozontova Elena Alexandrovna ([email protected]), the Dept. of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Elabuga Institute of Kazan Federal University, Elabuga, 423600, Russian Federation.
