Научная статья на тему 'Об условиях разрешимости граничных задач в квадратурах для гиперболических систем второго порядка'

Об условиях разрешимости граничных задач в квадратурах для гиперболических систем второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
72
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СИСТЕМА / ЗАДАЧА ГУРСА / ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА / РАЗРЕШИМОСТЬ В КВАДРАТУРАХ / ФАКТОРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЯ / HYPERBOLIC SYSTEM / GOURSAT PROBLEM / BOUNDARY VALUE PROBLEM / SOLVABILITY BY QUADRATURES / FACTORIZATION OF EQUATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Созонтова Елена Александровна

В данной работе рассматриваются граничные задачи для гиперболических систем второго порядка со старшими частными производными uxy, vxy и uxx, vyy. Целью исследования является отыскание достаточных условий разрешимости рассматриваемых задач в квадратурах. Предлагается способ отыскания решения указанных задач в явном виде, основанный на факторизации уравнений исходных систем. В результате в терминах коэффициентов этих систем получено по 14 условий разрешимости в квадратурах каждой граничной задачи.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On solvability by quadratures conditions for second order hyperbolic systems

In the present work we consider boundary value problems for second order hyperbolic system with higher partial derivatives uxy, vxy and uxx, vyy. The aim of the study is to find sufficient conditions for solvability of the considered problems by quadratures. We proposed a method for finding explicit solutions for the mentioned problems based on factorization of the equations in the original systems. As a result, in terms of the coefficients of these systems, we obtain 14 conditions for solvability by quadratures for each boundary value problem.

Текст научной работы на тему «Об условиях разрешимости граничных задач в квадратурах для гиперболических систем второго порядка»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 135-140.

УДК 517.956.3

ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ В КВАДРАТУРАХ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Е.А. СОЗОНТОВА

Аннотация. В данной работе рассматриваются граничные задачи для гиперболических систем второго порядка со старшими частными производными иху, vxy и ихх, vyy. Целью исследования является отыскание достаточных условий разрешимости рассматриваемых задач в квадратурах. Предлагается способ отыскания решения указанных задач в явном виде, основанный на факторизации уравнений исходных систем. В результате в терминах коэффициентов этих систем получено по 14 условий разрешимости в квадратурах каждой граничной задачи.

Ключевые слова: гиперболическая система, задача Гурса, граничная задача, разрешимость в квадратурах, факторизация уравнения.

Mathematics Subject Classification: 35L51, 35L53, 35G45 1. В работах [1, с. 62-67; 2, 3] с различных точек зрения изучалась система, имеющая в векторно-матричной форме вид

иху + Аих + Виу + Си = F.

В частности известно, что для нее является однозначно разрешимой задача Гурса. Здесь предлагается для определенного частного случая способ отыскания решения той же задачи в квадратурах путем факторизации каждого из уравнений, которые оказывается удобным рассматривать в формах

иху + а\их + b\uy + с\vy + d\u + e\v = 0, (1)

vxy + a,2Ux + b2vx + C2Vy + d2U + e2V = 0. ()

Для реализации проводимых рассуждений достаточно предполагать, что в рассматриваемой области D = {х0 < х < Х\, у0 < у < у1} выполняются включения

а\, а2, Ъ2 Е С(1'0), h, di, d2 е Сdi, d2, еъ е2 е С(0'0). (2)

Также предлагается аналогичный подход к исследованию некоторой характеристической задачи для системы со старшими частными производными ихх, vyy.

Задача 1. В области D найти регулярное решение системы (1), удовлетворяющее условиям

и{хо,у) = tpi (y), и(х,у0) = фl{x), (з)

V(Xo,y) = <р2 v{x,yo)= ^2(x). ()

При этом предполагается, что ф1, ф2 Е С 1(Х), ф1, гф2 Е С 1(Y) (X, Y — стороны характеристического прямоугольника D при х = х0, у = у0 соответственно) и выполняются условия согласования

V1(У0) = Фl(Xo), V2(У0) = Ф2(Х0). (4)

E.A. Sozontova, On solvability by quadratures conditions for second order hyperbolic systems.

© СозонтовА Е.А. 2016. Поступила 7 августа 2015 г.

Попытаемся найти такие функции а\, 0]_, 71, чтобы первое уравнение (1) имело вид

(-§-у + а1)(их + 0щ + 71^) = 0. (5)

Произведя указанные в (5) действия, убеждаемся, что совпадение (11) с (5) имеет место, если выполняются тождества

Ь1у + а1Ь1 — ¿1 = 0, С1у + ацс! — е1 = 0, и при этом

«1 = аь 01 = 61, 71 = С1. (7^

Аналогично получаем, что если имеют место тождества

Ь2х + Ь2С2 — е2 = 0, (

6)

то второе уравнение (1) представимо в виде

^ + а2)(Щ

(£ + «2)(% + р2и + 72^) = 0,

где

«2 = С2, 02 = «2, 72 = &2. (9)

Таким образом, задачу 1 можно редуцировать к следующим трем задачам

т1У + «1^1 = 0, Wl(х,уо) = ф1Х + Р1Ф1 + 71^2, (10)

™2х + «2^2 = 0, ^2 (Хо,у) = ^2у + ^2 <Р1 + Ъ'^2, (11)

{

их + 01и + 71^ = т1, уу + @2и + 72^ = ^2,

'12)

и(Хо,у) = <fl(У), У(Х,У0) = ф2(х). (13)

Задачи (10)-(13) следует решать последовательно, начиная с первой из них. Функции вычисляются непосредственным интегрированием, причем в случае задачи (10) х рассматривается как параметр, а в случае задачи (11) в качестве параметра выступает у. Таким образом, остается решить задачу Гурса (12)—(13), которая является однозначно разрешимой [4]. Для отыскания условий ее разрешимости в явном виде мы воспользуемся возможностью редукции системы (12) к двум уравнениям вида

©ху + авх + Ьву + с© = ¡, (14)

которые получаются путем исключения из рассматриваемой системы одной из искомых функций. При выполнении неравенства 71 = 0, эквивалентного в силу (7)

С1 = 0, (15)

приходим к (14) для © = и. При этом коэффициенты уравнения даются формулами

а = 72 — (1п 71)у, Ь = 01, с = 01У + ^172 — 0211 — А(1п 71)^, (16)

f = 'Ш1У + 72^1 — 71^2 — ^(1п >у1)у. ( )

При выполнении неравенства 02 = 0, равносильного вследствие (9)

«2 = 0, (17)

приходим к (14) для © = V с коэффициентами

а = 72, Ь = 01 — (1п 02)х, С = 12х + 0112 — 0211 — 72(1п 02)х, / = Ы2х — 02Ы1 + 0^2 — Ш2(1п 02)X.

Решение и(х,у) первого уравнения, выведенного при 71 = 0, позволяет вычислить функцию у(х,у) из первого уравнения в (12). Аналогично, при 02 = 0 по известному решению

18)

V второго уравнения функция и определяется из второго уравнения (12). Однако, для отыскания © = и или © = V к условиям (13) необходимо из (3) добавить еще значения

и(х,уо) = ■фl(x), ь(х0,у) = ^2(У) (19)

и условия согласования (4). Понятно, что первые (вторые) соотношения в (13) и (19) есть граничные условия задачи Гурса для первого (второго) уравнения вида (14). При этом для получения решения исходной задачи 1 достаточно построить решение хоть одной из указанных задач Гурса.

Известно [5, с. 172; 6, с. 14], что решения сформулированных задач Гурса записываются через соответствующие функции Римана, причем для последних имеются [6, с.15—16; 7, 8] различные случаи их построения в явном виде. В только что указанных источниках обеспечивающие эти случаи условия представлены в терминах следующих соотношений:

1) ах + аЬ — с = 0;

2) Ьу + аЬ — с = 0;

3) ах = Ьу, с — ах — аЪ = (х)^о(у) = 0;

4) Ьу — ах = ах + аЬ — с = = 0; (20)

5) ах — Ьу = Ьу + аЬ — с = £2(х)т(у) = 0;

6) тах — Ьу = тЬу — ах = (т — 1)(аЬ — с);

7) - = , [<х)+ ^ (У) = 0.

Здесь Щ € С1 (к = 0, 2), 8, I, т € С2, причем т зависит только от одной из переменных (х,у) и не принимает значение 2. В остальном указанные функции произвольны: то есть в соответствующем классе должны найтись функции, при которых перечисленные соотношения выполняются. Коэффициенты а, Ь, с имеют гладкость, обеспечивающую возможность выполнения записанных формул. Классы гладкости задаются на замкнутых множествах определения соответствующих функций. Каждого из тождеств 1)—2) и наборов 3)—5) достаточно для получения явного вида функций Римана. Формулами же 6)—7) следует пользоваться совместно: при выполнении набора 6) функцию Римана можно построить, когда левая часть хотя бы одного из соотношений 1), 2) имеет вид а, указанный в 7). Иными словами, имеется по семь вариантов условий разрешимости в квадратурах каждой из двух полученных задач Гурса. Для всех вариантов виды функций Римана можно найти в [6]—[8]. Понятно, что общее количество вариантов обсуждаемой разрешимости равно 14.

Используя формулы (7), (9), (16), (18), запишем 1)—7) через коэффициенты системы (1). Начнем с первой задачи Гурса, связанной с неравенством (15):

1) Ь2Х — Ь1У — (1псл)Ху + а,2С1 = 0;

2) а2 = 0;

3) Ь2Х — Ь1У — (1псл)Ху = 0, Ь1У — Ъ2Х + (1псл)ху — а,2С1 = Со(х)^о(у) = 0;

4) 2[(1псл)Ху — Ъ2Х + М = а2сл, (1псл)ху — Ъ2Х + Ь1У = ^1(х)щ(у) = 0; (21)

5) Ь2Х — Ь1У — (1псл)ху = а2С1 = £2(х)щ(у) = 0;

6) т[Ь2Х — (1псл)Ху] — Ь1У = тЬ1У — Ь2Х + (1псл)ху = (т — 1)(а2С1 — );

7) ^ = , ^(х) + Ь(^(^(У) = 0,к = 1 2.

В последней строке нужно считать а1, а2 равными левой части тождеств 1), 2) соответственно. Кроме того учтем, что для обеспечения возможности реализации соотношений (20) необходимо повысить гладкость коэффициентов системы (1) и функций <Рг, Фг (г = 1, 2). Пусть теперь щ,...,е1 € С ¡2'2), фг € С2 (г = 1, 2). Тогда справедлива

Теорема1. Пусть при выполнении тождеств (6), (8) и неравенства (15) или удовлетворяется одно из тождеств 1), 2) совокупности (21), или существуют такие функции

т, Ск, (к = 0, 2), , (к = 1, 2) указанных выше классов, что для совокупности (21) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3) - 5), либо вместе с тождеством 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций а1, а2. Тогда задача 1 разрешима в квадратурах.

Аналогами формул (21) для второй задачи Гурса (отвечающей условию (17)) являются

1) сх = 0;

2) - Ъ2х + Ъ\у - (1п а2)ху + а2с\ = 0; 3) Ь2х - Ьху + (1па,2)ху = 0, -а,2С1 = £з(х)т(у) = 0; 4) Ъ\у - Ъ2Х - (1па,2)ху = а,2С\ = & (х)щ(у) = 0; (22)

5) 2[(1п а,2)ху + Ь2Х - Ьху] = а2СХ, (1п а2)ху + Ь2Х - = ^ь(х)^5(у) = 0;

6) тЪ2Х + (1па,2)Ху - Ь1у = т(Ь\у - (Ьа2)ху) - Ь2Х = (т - 1)(а2СЛ - Ь2Х);

7) ^ = , ^(Х) + (У)]8*(Ж(У) = 0,к = 3, 4

В последней строке а3, а4 равны соответственно левой части тождеств 1), 2) совокупности (22).

Таким образом, имеет место

Теорема 2. Пусть при выполнении тождеств (6), (8) и неравенства (17) или удовлетворяется хоть одно из тождеств 1), 2) совокупности (22), или существуют такие функции т, ^, (к = 3,5), ^, (к = 3,4) указанных выше классов, что для совокупности (22) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3) - 5), либо вместе с тождеством 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций а3, а4. Тогда задача 1 разрешима в квадратурах.

2. Применим теперь описанный выше алгоритм для отыскания условий разрешимости в квадратурах следующей задачи

Задача 2. В области Б = {х0 < х < х1, у0 < у < у{\ найти регулярное решение системы

ихх + а\их + ЪгУх + с\и + = 0, (23)

Ууу + а2Щ + Ь2Уу + С2и + ¿2У = 0, () удовлетворяющее условиям

и(Хо,у) = ^l(y), и(х,уо) = фl(x), (24)

(их + Ь1ь)(хо,у) = <Р2(у), (ъу + а.2и)(х,Уо) = -ф^(х), ( )

где , Е С 1(Х), ф1, ф2 Е С 1(у). Гладкость коэффициентов системы (23) определяется включениями

а.1, Ь1 Е С(1>°\ а,2, Ь2 Е С(0>1\ С1, С2, &1, &2 Е С(0'0). (25)

Система (23) изучалась, например, в работах [9], [10]. В частности, в [9] получено решение задачи 2, записанное в терминах матрицы Римана. Целью нашего исследования является получение условий разрешимости задачи 2 в квадратурах.

Непосредственными вычислениями можно убедиться, что первое уравнение (23) пред-ставимо в виде

если выполняются тождества

и при этом Аналогично, если

(-§- )(их + рт + ци) = 0,

0>1х - С1 = 0, (26)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ъъ: - ¿1 = 0, (26)

р1 = си, ъ = Ь1. (27)

а2у - С2 = 0, (28)

02у - а-2 = 0,

то второе уравнение (23) можно записать в виде

(дду, Ж + Р2и + Ъу) = 0,

где

02 = а>2, 12 = Ь2. (29)

Таким образом, задача 2 редуцируется к трем задачам вида

1^1х = 0, W1 (Хо,у) = ф2 + 01^1, (30)

т2у = 0, т2(х,уо) = Ф2 + 12Ф1, (31)

{

их + 01и + 11У = (32)

Ьу + 02П + 12Ь = т2, ( )

и(х0,у) = ^l(y), у(х,уо) = ф1(х). (33)

Задачи (30)-(33) следует решать последовательно, начиная с первой из них. Функции из (30), (31) вычисляются непосредственным интегрированием, причем в случае задачи (30) х рассматривается как параметр, а в случае задачи (31) в качестве параметра выступает у. Задача (32)-(33), как известно из п.1, редуцируется к двум задачам Гурса для уравнения (14). Причем, при выполнении неравенства

Ъ1 = 0 (34)

приходим к (14) для в = и с коэффициентами (16), а при

а2 = 0 (35)

приходим к (14) для в = V с коэффициентами (18). Условия разрешимости указанных задач Гурса определяются соотношениями (20). Используя формулы (16), (18), (27), (29), запишем эти соотношения в терминах коэффициентов системы (23). Для первой задачи Гурса, связанной с неравенством (34), имеем

1) Ь2х - а1у - (1п Ь1)ху + а2Ь1 = 0; 2) а2 = 0;

3) Ь2х - а1у - (1пЬ1)ху = 0, а1у - Ь2х + (1пЬ)ху - а2Ъ1 = £о(х)щ(у) = 0;

4) 2[(1п Ь)ху - Ь2х + а1у] = а2Ъ1, (1п Ь^ху - Ь2х + а1у = £1(^1 (у) = 0; (36)

5) Ь2х - а1у - (1пЬ1)ху = а2^ = &(х)щ(у) = 0;

6) т[Ъ2х - (1пЬ1)ху] - а1у = та,1у - Ь2х + (1пЬ)ху = (т - 1)(а2&1 - а1у);

/ /

7) ^ = , [^(х) + 4(у)К(х%(у) = 0, к = 1, 2.

В последней строке нужно считать а1, а2 равными соответственно левой части тождеств 1), 2) совокупности (36). Кроме того, необходимо повысить гладкость коэффициентов системы (23) и функций <рг, фг (г =1, 2). Пусть теперь аг,... Е С(2'2), фг Е С2 (г = 1, 2). Тогда справедлива

Теорема 3. Если наряду с выполнением тождеств (26), (28) и неравенства (34) или удовлетворяется одно из тождеств 1), 2) из (36), или существуют такие функции ш, , Щ (к = 0, 2), $к, 1к (к = 1, 2) указанных выше классов, что для совокупности (37) либо выполнена одна из трех групп соотношений 3) - 5), либо вместе с тождеством 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций а1, а2, тогда задача 2 разрешима в квадратурах.

Аналогами формул (36) для второй задачи Гурса (отвечающей условию (35)) являются:

1) Ь = 0; 2) а,1У - Ъ2Х - (1п а2)ху + а,2Ь = 0; 3) Ь2Х - а,1у + (1па,2)ху = 0, -а,2Ь = £з(х)щ(у) = 0; 4) а,1У - Ъ2Х - (Ьа2)ху = а^Ь = ^(хУПЛУ) = 0; (37)

5) 2[(1па2)ху + Ь2Х - а,1У] = а,2Ь1, (1па,2)ху + Ь2Х - а^ = ^ь(х)^5(у) = 0; 6) тЬ2Х + (1па2)ху - а1у = т(агу - (1п а,2)ху) - Ь2Х = (ш - 1)^1 - Ъ2Х);

7) ъ = , ^(х) + ^(У)]8*(Ж(У) = 0,к = 3,4

где а3, а4 равны соответственно левой части тождеств 1), 2) совокупности (37). Таким образом, имеет место

Теорема 4. Если наряду с выполнением тождеств (26), (28) и неравенства (35) или удовлетворяется одно из тождеств 1), 2) из (37), или существуют такие функции т, Ск, Щ (к = 3, 5), , (к = 3,4) указанных выше классов, что для совокупности (37) либо выполнена одна из трех групп соотношений! 3) - 5), либо вместе с тождеством 6) имеет место представление 7) для одной из двух функций а3, а4, тогда задача 2 разрешима в квадратурах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. БицадзеА.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

2. ЖиберА.В., Михайлова Ю. Г. Алгоритм построения общего решения п-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа и краевые задачи // Уфимск. матем. журн. 2009. Т. 1. № 3. С. 28-45.

3. Воронова Ю. Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Уфимск. матем. журн. 2010. Т. 2. № 2. С. 20-26.

4. ЧекмаревТ. В. Решение гиперболической системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями // Изв. вузов. Математика. 1959. № 6. С. 220-228.

5. БицадзеА.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.

6. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань, 2001.

7. Жегалов В. И. К случаям разрешимости гиперболических уравнений в терминах специальных функций // Неклассические уравнения математической физики Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С. 73-79.

8. Жегалов В. И., СарвароваИ. М. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах // Изв. вузов. Математика. 2013. № 3. С. 68-73.

9. Миронова Л. Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2006. Вып.43. С. 31-37.

10. Жегалов В. И., Миронова Л. Б. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частными производными // Изв. вузов. Математика. 2007. № 3. С. 12-21.

Елена Александровна Созонтова,

Елабужский институт КФУ,

ул. Казанская, 89,

423600, г. Елабуга, Россия

E-mail: sozontova-elena@rambler.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.