К методу Римана решения одной смешанной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 А. Н. Миронов

К МЕТОДУ РИМАНА РЕШЕНИЯ ОДНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

Для уравнения со старшей частной производной общего вида методом Римана построена формула решения задачи, в которой решение отыскивается в характеристическом параллелепипеде с отсечённым нехарактеристической поверхностью углом, причём на нехарактеристической части границы задаются условия Коши, а на прилегающих к этой части границы характеристиках задаются условия Гурса.

В работе рассматривается уравнение

Ь(ы) = £ аЙ1 Й2..,Йп (хЬ Х2,..., Хп )Ыхй1 хЧ2^и = /(Х1, Х2,..., Хп), (1)

0« qi ,

I=1,2,..., п

аШ1Ш2...Шп = 1, порядок уравнения (1) равен ш = ш1 + ш2 + ••• + шп. Уравнение (1) можно переписать в виде

(11 +12)ы = /(Х1, Х2,Хп), (2)

где Ь1 = дШ I [дХ^Ш1 дх2Ш2... дХШ"), ш1 + ш2 + ••• + шп = ш , оператор Ь2 — линейный дифференциальный оператор с переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из Ь1 отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования. Различные граничные задачи для частных случаев (1) изучались, например, в [1-10].

В статье [11] для уравнения (1) предложен вариант метода Римана решения задачи Коши. Здесь тем же методом строится формула решения задачи, в которой функция ы отыскивается в характеристическом параллелепипеде с отсечённым нехарактеристической поверхностью углом. На нехарактеристической части границы задаются условия Коши, а на прилегающих к этой части границы характеристиках задаются условия Гурса (что даёт основание называть такие задачи смешанными). В случае, когда указанная нехарактеристическая поверхность стягивается в точку, из формулы решения смешанной задачи получаем решение задачи Гурса. Подобные задачи рассматривались в работе [12], предметом исследования в которой являлись уравнения вида (2) с оператором

_ дп

1 дХ1 . . . дХп

1. Сначала изложим необходимые предварительные сведения, касающиеся метода Римана [11]. Считаем, что коэффициенты (1) удовлетворяют включениям а^1^2...щп е С^1^2’.:qn), / е С в замыкании рассматриваемой области Е (областью всюду будем называть открытое связное множество). Класс С(щ1>щ2>...>Щп)(Е) означает существование и непрерывность всех производных дк+12+-+1п!^х11 дХ22...дХ„), и = 0,1,..., , i = 1,2,..., п, на множестве Е. Введём для (1) функцию

Римана Я = Я(Х1, Х2,..., Хп) как решение интегрального уравнения

ХЩ1 ХЩ2 Хщк

Я(Х1, Х2, ..., Хп) + ёгГГ...Г Ра, q2...qЛx1, x2, ..., Хп, , аq2, ..., х

, Х2,..., Хп) + [ [ ... [ Ра1а2-ак (х1, Х2,..., Хп, аа1, аа2,..., аак)-.

к=1 Ок,пУ У У

^к,пр £ £

£ а1 £ а2 £ак

х я(х1, х2, ..., Ха1-1, аqv Ха1+1,..., Хак-1, аак, Хак+1,..., Хп) ^аак... ^аа2^аа1 = 1, (3)

где вторая сумма берется по множеству всех упорядоченных наборов индексов к,п = 1^,q2,•••,ак): 1 ^ а1 < а2 <•••< ак ^ п},

Ш^ -1 Шт -1 Ша -1 к

т-1 / Л _ V V ^ Г l'^^|(Шqi Pqi (

Ра1 а2..ак(Х1, ^^.^ хп, аq1, аq2,..., аак)= 2—1 2—1 "2—1 (-^ = ар1 p2•••pn(xl, x2,...,

Ра1=0 Pq2=0 Pqk =0

к (х -а )^]-Pqj-1

) п ( qj qj

xql-1, аql, xql+1, ..., xqk-1, аqk, xqk+1, "-, хп) [ [

1 (- Pq j - 1)!

}

причём если г = , то р{ = т{. Здесь Х{, а{ е , п ], г = 1,2,п. Пусть П = [£ь щ] х [£2, п2] х ■■■ х

х [£п, Пп] с Е. Известно, что решение (3) существует и единственно в классе С(П) [7, стр. 46]. Как обычно, считаем Я функцией как переменных (Х1, Х2,■■■, хп), так и параметров (£1, £2,■■■, £п), то есть Я = Я(Х1, Х2,■■■, Хп; £1, £2,■■■, £п). Из (3) следует, что Я(Х1,■■■, Хп; Х1,■■■, Хп) = 1.

Рассмотрим конструкции

11 12 1п п

А1112...1п (х1, х2,■■■, Хп; £1, £2,■■■, £п)= ^ ^■"^(—1)г=1 {ат1-*1, т2-$2,..., тп-Х11-Ч Х12-!!2 Ли-п, (4)

51 =0 *2=0 =0 Х1 Х2 п

0 ^ и ^ тг, г = 1,2,..., п.

Всего имеется (т1 + 1)(т2 + 1) ...(тп +1) конструкций вида (4) (как и коэффициентов уравнения (1)), причём Атт2...тп = 0 есть сопряжённое к (1) уравнение Ь*(Я)=0, а А00...0 = Я.

Из уравнения (3) вытекают тождества

А1112..Лп[Х1, х2,..., Хд1-1, £д1, Хд1+1, ..., хдк-1, £Цк, Хдк+1, “., Хп; £1, £2, ..., £п) = 0 (5)

при 1д1 ^ т^1 - 1,..., 1дк ^ т^к - 1, 1г = тг, г = , г = 1,2,..., к. Покажем это. Дифференцируем (3)

11 раз по х1, 12 раз по х2, . . ., 1п раз по Хп, после чего полагаем Хд1 = £д1, Хд2 = £д2,..., х^к = £^к, где

1Й1 ^ тЙ1 -1,..., 1йк ^ тйк -1, а 1г = тг при г = д., г = 1,2,..., к. Тогда

ml-l m2 — 1 mn-1 £m. — p.

RXl1 Xl2 Xln + ^ ■" ( —1)l-1 (ap1 p2...pnR) Xl1+P1—m1 Xl2+P2—m2 In +Pn—mn - 0. (6)

1 2 n 1 2 n

Pl-ml-ll P2-m2-l2 Pn-mn-ln

Ясно, что (6) есть равенство А^.^хь х2,..., хй1-Ъ £Й1, хй1+ъ..., хйк-і, £йк, хйк+і,..., хп; £ъ £2,..., £п) = = 0 (достаточно положить ^ = т1 - р 1, з2 = т2 - р2,..., 5п = тп - рп).

Центральную роль в дальнейшем изложении играет тождество

п

RL(u) —

Е

Pi

(-l)t-l (A

p. smt, Y.PI <L mi, 0slt sl, i-1,2,..., n

Pl P2 •

•PnUx"ml-

l1—p1xm2 — l2—p2 xmn — ln —Pn ^l1 xl2

X!1 X02 •••Xn

(Т)

n

2

n

где рг, т^, Iг — целые неотрицательные числа, справедливое для любой функции класса С(т1>...>тп). В сумме (7) каждое слагаемое встречается лишь один раз и определяется конструкцией Ар1р2...рп (точнее, набором (р 1, р2,..., рп)). Формула (7) строится по следующему правилу. Берётся набор (р\, р2,..., рп), затем определяем набор (Ь, 12,..., 1п) так, чтобы р^_ + 11 ^ т1, р2 + 12 ^ т2, ..., рп + + 1п ^ тп, при этом берутся наибольшие значения /1, 12, . . . , 1п (т. е. = 1, если р{ < т{, ^ = 0, если рг = тг). Эти наборы (рь р2,..., рп), (Ь, 12,..., 1п) однозначно определяют слагаемое из (7).

2. В пространстве Кп рассмотрим поверхность 5 класса Ст, заданную уравнениями

Xl(^1, Ц2, X2(Vl, П-2,

' nn-l)l ' И-n-l),

rank

- Xn (П1, П2,..., Пп-i),

( dx1 dxn

дП1 дП1

dx1 dxn

КдПп-1 дПп-l)

-n 1,

n

(^1,Ц2,...,/1п-1) е О, где О —область пространства Кп-1. Считаем, что 5 в каждой своей точке имеет касательную плоскость, не параллельную ни одной из координатных осей.

Пусть область Б представляет собой характеристический параллелепипед в пространстве (х1, х2,..., хп), образованный при пересечении плоскостей Х[ = х°°, Х[ = х1, х0 < х1, г = 1,2,..., п, усечённый частью 50 нехарактеристической поверхности 5 со стороны угла (х°, х°,..., хп).

Регулярным в области Б решением уравнения (1) назовём решение, непрерывное в Б вместе со всеми входящими в это уравнение производными.

Смешанная задача. Найти регулярное в Б решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим условиям:

0^= и0к, к = 0,1,..., т - 1

(8)

= и^к1, кг = 0,1,..., т{ -1, г = 1,2,..., п,

Х, г

дкі и дхк‘

п — внешняя нормаль к Б; Хі — грани Б при хі = х0. Кроме того, должны выполняться условия согласования дкіи/дхкі є с|б0 и(и Хг|| кі = 0,1,..., ті - 1, і = 1,2,..., п. Считаем, что

иок є Ст-к(Б0), иікі є Ст-т (Хі).

Пусть поле направлений П задано вектором

п( 1і(иі, іЛ2,..., Цп-і), ..., 1п (Ні, П-2,..., Ин-і)), і п \ = 1.

Введём систему координат, связанную с поверхностью Б:

хі = хі (ні, Н2,..., Ин-і) + 1і (Ні, П-2,..., Ип-і)Ип , і = 1,2,..., н, Ип є К.

Поле направлений п не касательно к Б, следовательно существует, обратное преобразование координат Ні = Иі(хъх2,...,хн) класса Ст в окрестности поверхности Б [13, стр. 495].

Отметим, что значения и и её производных на Б определяются по данным (8), поскольку частные производные решения и на поверхности Б по хі, . . . , хп находятся дифференцированием и = и(ні(хі, Х2,..., хн),...,ин(хі, Х2,..., хн)) как сложной функции. Нетрудно заметить, что в силу условий гладкости, налагаемых на поверхность Б и данные смешанной задачи, все частные производные на Б0 до порядка (т - 1) включительно, входящие в уравнение (1), будут непрерывными функциями.

Решение смешанной задачи существует и единственно, так как заменой

V = иХт1 Хт2 Хтп

смешанная задача сводится к интегральному уравнению с частными интегралами относительно функции V, решение которого существует и единственно в классе непрерывных функций. Покажем это. Многообразия Б и Хі (і = 1,2,..., п) могут быть заданы уравнениями Х{ = Оі (хі, Х2,..., Х{ ^, Х{+1,..., хн ). Введём интегральный оператор

Хі

I)ір(хі, Х2,..., Хп) = ^<р{хі, ..., хі-і, а^, Х]+і,..., хп)йа■.

0 і

Тогда

их^1-к1 т-к2...Хт"-кп = 8 (Х1, Х2,..., Хп) + Ік Ік ... П V (ХЬ Х2,..., Хп), (9)

где функция 8(хі, Х2,..., хн), очевидно, определяется по известным значениям частных производных функции и на поверхности Б. Учтём, что

Хі і і

к■ Г (Хі - а і)кі ' )

ІIі V (хі, Х2,..., Хп )^ —(к - ^ v(Х1,..., Хі-і, а і, Хі+1,..., Хп)й а ■.

О

Подставляя (9) в (1), получим интегральное уравнение относительно функции V:

ХЦ1 хЦ2 ХЧ,

V(хі, Х2,..., Хп) + ЕЕ ... I ФЙ1 Й2-Йк{Х1, х2,..., Хп, ац1, ац2, ..., аqtl х

к=1 Qk1n0 0 0

ОЧі 0Ч2 0Чк

х ^хі, х2, ..., хці-і, а^іі хці+і, ..., Хцк-і, аЦк і ХЦк+іі ..., Хп)й а^к...

йаЙ2йаЙ1 = Л(хъ Х21...1 Хп),

тй1 _1 тЧ2_1 т^к_1 к ^ _ а^)тд]-рй. _1

ФУ1Ц2-~Ук{Х1> Х2, ■■■, Хп, ад1, ад2, ■■■, аак) — Е Е - Е аР1 Р2-Рп (хЬ Х2> ■ ■ ■, Хп )П ’ ’

^ ^ ^ -Р1 Р2-Рп^--1’ ц (т _,),

Ра1—° Рй2—° Рак —0 ]—1 д] Ра> 1)-

причём если г — д], то Р{ — т{. Очевидно, что /1 — известная непрерывная функция. Это интегральное уравнение Вольтерра (как и приведённое выше уравнение (3)). Доказательство существования и единственности решения этого уравнения можно провести стандартными для уравнений Вольтерра методами [7, стр. 46], [12], [14].

По известной функции V однозначно восстанавливаем функцию и в области Б, используя известные значения и и её производных на 5°. Ясно, что найденная таким образом функция и является регулярным решением уравнения (1).

Перейдём к построению формулы решения смешанной задачи в терминах функции Рима-на. Проведём через точку М (£ь &,■■■, $п) плоскости х1 — £,1, х2 — $2, ..., Хп — $п. Они отсекают от Б область Б1, граница которой образована указанными плоскостями, а также частями множеств Х^ (г — п) и частью поверхности 5, которую обозначим через 51 (граница Б1 состоит

из многообразий размерности п _ 1).

Обозначим Х1 — грани Б1, лежащие в плоскостях Х{ — х°, Рг — грани Б1, лежащие в плоскостях Х[ — (г — \|2|■■■| п).

Очевидно, что Р1, Р2, . . . , Рп представляют собой (п _ 1)-мерные параллелепипеды, причём

пп

дБ 1 — £ Х} + ^ Рг + 5 ^

г—1 г—1

Ясно, что для решения смешанной задачи достаточно найти значение решения уравнения (1) в точке М. Это достигается путём интегрирования тождества (7) по области Б1 с использованием общей формулы Стокса [15, стр. 246]

к

йх1 л■■■ лйхк — I Е(_1)1 -1 А{ёх1 л■■■ лйх{_1 лйх{+1 л■■■ лйхк^ (10)

Б1 ' дБ1

/к д А л Г к

Е~^~ ЛХ1 л ■■■ л йхк — Е(_!)1 -1 Аг<-

п —1 дХг> *1, г—1

Введём обозначения — {l|2|■■■| п}, 1+к — {(дъ д2, ■ ■■, дп) : {й] : 1 * ] * п} — {l|2|■■■| п}, д1 < д2 <

<■■■< Й1, Й1+1 < Й1+2 < ■ < Й1+к, Й1+к+1 < Й1+к+2 <■■■< йп|,

П

ы)*Рг ( )

ВЙ1 — п \АР1-РпигтЧ1 _РЙ1 _1 ХтЧ2 _РЙ2 _1Ч2 ХтЧп _РЙп _Чп \ ,а , I

°«1<И *1’ I 1а 41 42 ■■■ Чп 'Х‘Ь-ХЯ

г —2,3,■■■, п, Iа1—1, г—1 '

Рг*тг, г—1,2,■■■, п

п

Т. Р1

(_1)г—1 (

В Й1 ■ ■■ йк — Е п \АР1■■■ Рп иХт а1 _Рй1 _1 Хта2 _Рй2 _1 Хтак _Рак _1 Хтак+1 _Рак+1 _1ак+1 Хтап _р ап _1ап

ш г *1, п!1ф ■ ■ ■ ^ дк+1 ■ ■ ■ Хдп > х'аак+1 ■ ■ ■ х ап

г—к+1, к+2, ■■■, п, ]—1 г—]

Iа1 —1, ]—1,2,■■■, к,

Рг*тг, г—1,2,■■■, п

Конструкции ВаЪ:дк, получающиеся перестановкой индексов, совпадают.

Запишем правую часть тождества (7) в дивергентной форме

п дВ

ЯЬ(и) — Ё -!-■ (11)

г—1 дХг

Пусть и — регулярное решение уравнения (1). Тогда, интегрируя (11) по области Б1 и применяя общую формулу Стокса (10) при к — п, получим

Rfdxldx2■■■ dxn — Е (_1)а1_1В д1 dxа2 л-^л dxqn.

Л </ ^,1,1

Б1 дБ1 Уп

Далее, как и при решении задачи Коши [11], заменяем интеграл по множеству дБ1 суммой интегралов по его составляющим. Затем интегрируем по параллелепипедам Рг (г = 1,2,..., п) с учётом тождеств (5). Окончательно получаем

„ %Ч1

п-2 Л Л

ихТ1-1 х^..^-1{М )=Е Л (п - В - 1)! ... Бы (Х1, Х2,..., Хп)

1 2 п в=0

хч0 хч0

ХЧв+1=хЧв+1

Хйв+2 =% йв+2

ИХч ..

Х =е

ХЧп =% Чп

. . . йХд1 ^(-1)41-1 / БЧ1 (хЪ Х2, ..., Хп )Цхч2 А^ • • А АХцп + / Я/ йХ1йХ2... dxn. (12)

Ч1 ^( 1) I БЧ1(Х1, Х2, ..., Хп)(ЛХЧ2 А А иХч,

с1

Сп Х^+51 Б1

Правая часть формулы (12) известна. Интегрируя формулу (12) по области Б1, получим и(М).

3. Рассмотрим применение изложенной выше схемы решения смешанной задачи в трёхмерном пространстве (п = 3).

В данном случае Б представляет собой характеристический параллелепипед в пространстве (хь х2, Х3), образованный при пересечении плоскостей Х1 = х0, Х1 = х^, Х2 = х20, х2 = х2,, х3 = х0, х3 = хЗ, усечённый нехарактеристической поверхностью 5 (задана уравнением хз = в(хь Х2), ^ < 0, з'Х2 < 0) класса Ст со стороны угла (х0, х0, х3).

Смешанная задача. Найти регулярное в Б решение уравнения (1) при п = 3, удовлетворяющее следующим условиям:

дки

дпк

дкг и дхк

= Щк, к = 0,1,..., т - 1,

5 (13)

= иц1, к{ = 0,1,..., т{ - 1, г = 1,2,3,

X, 1

п — внешняя нормаль к 5, XI — грани Б при Х1 = Х0. Кроме того, выполняются условия согласования дк‘и/дхк‘ е с|б0 и(и Хг|| 1^ = 0,1,..., т{ -1 (, = 1,2,3). Считаем, что и0к е Ст-к (5), ик е Ст-тг (Хг).

Проведём через точку М(%1, %2, %з) плоскости Х1 = %1, Х2 = %2, Хз = %з. Эти плоскости отсекают от Б область Б1, граница которой состоит из двумерных многообразий АЕРРБ (часть плоскости х1 = х0), СвСБА (х2 = х!?), СБРТО (х3 = х°), ОТМС (х1 = <1), РРМТ (х2 = <2), ЕСМР (х3 = %3) и АБС (часть поверхности 5).

Положим в (7) Я = Я(Х1, Х2, хз, %1, %2, %з) и запишем правую часть тождества (7) в дивергентной форме

3 дБ-

ЯЬ(и) = £ —^. (14)

г=1 дхг

Пусть и — решение уравнения (1) при п = 3. Тогда, интегрируя (14) по области Б1 и применяя формулы Гаусса-Остроградского и Грина [15, стр. 236, 241], получим

ихт1-1хт2-1хтз-1(М) =2Б12з(Р) + 2Б123С) +2Б12з(Т) - ^ Б12 йхз - ^ Б13 йх2 - ^ Б23 *Х1-

РР+СО РЕ+ТО ТР+СЕ

- ^ Б1 йх2 А йх3 - ^ Б2 йх3 А йх1 - ^ Б3 йх1 А йх2-

АЕРРБ СОСЕА СБРТО

Цъ *х2 а ахз+Б2 ахз а ^+Бз ^ а ^///мм аълъл*. (15)

АБ С Б1

При записи (15) учтены тождества (5). Формулу (15) можно переписать в виде

и%т1 -1 ХГП2~1 хП3~1

(М) = Ф(М), (16)

где функция Ф(М) содержит значения и и её производных на 5 и Хі (і = 1,2,3). Эти значения

могут быть определены из (13). Интегрируя формулу (16) с известной Ф(М) по области Б1

получим и(М).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Солдатов, А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка [Текст] / А. П. Солдатов, М.Х. Шхануков // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 297, № 3. — С. 547-552.

2. Жегалов, В. И. Задача Гурса в четырёхмерном пространстве [Текст] / В. И. Жегалов, В. А. Севастьянов // Диф-ференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 10. — С. 1429-1430.

3. Севастьянов, В. А. Метод Римана для трёхмерного гиперболического уравнения третьего порядка [Текст] / В. А. Севастьянов // Изв. вузов. Математика. — 1997. — № 5. — С. 69-73.

4. Севастьянов, В. А. Об одном случае задачи Коши [Текст] / В. А. Севастьянов // Дифференц. уравнения.— 1998. —Т. 34, № 12. —С. 1706-1707.

5. Жегалов, В. И. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка [Текст] / В. И. Жегалов, Е. А. Уткина // Изв. вузов. Математика. — 1999. —№ 10.—С. 73-76.

6. Жегалов, В. И. Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной [Текст] / В. И. Жегалов, Е.А. Уткина. // Изв. вузов. Математика. — 2001. — № 11.—С. 77-81.

7. Жегалов, В. И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными [Текст] / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов. — Казань: Казан. мат. об-во, 2001. — 226 с.

8. Жегалов, В. И. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных [Текст] / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов // Изв. вузов. Математика. — 2002. — № 5. — С. 23-30.

9. Жегалов, В. И. Об одном уравнении в частных производных четвёртого порядка с тремя независимыми переменными [Текст] / В. И. Жегалов, Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения. — 2002. — Т. 38, № 1. —С. 93-97.

10. Миронов, А.Н. О методе Римана решения задачи Коши [Текст] / А. Н. Миронов // Изв. вузов. Математика.— 2005. —№ 2.—С. 34-44.

11. Миронов, А.Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в К” [Текст] / А.Н. Миронов // Сиб. мат. ж. — 2006. — Т. 47, № 3. — С. 584-594.

12. Севастьянов, В. А. Вариант метода Римана для одного дифференциального уравнения в ”-мерном евклидовом пространстве [Текст] / В. А. Севастьянов: Дисс. . . .канд. физ.-мат. наук. — Казань, 1997.— 127 с.

13. Зорич, В. А. Математический анализ [Текст]: в 2 ч. / В. А. Зорич. —М.: Наука, 1981. —Ч. 1. —544 с.

14. Севастьянов, В. А. Существование и единственность решения одного многомерного интегрального уравнения [Текст] / В.А. Севастьянов. — Казань: Казан. ун-т, 1997. — 6 с. —Деп. в ВИНИТИ 05.06.97.—№ 1848-В97.

15. Зорич, В. А. Математический анализ [Текст]: в 2 ч. / В. А. Зорич.— М.: Наука, 1984. — Ч. 2. — 640 с.

Елабужский государственный педагогический университет, г. Елабуга тіго73@таіі.ги

Поступила 26.04.2007