Задачи сопряжения для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 1(21)

УДК 517.956.6

А. Сопуев, Н.К. Аркабаев

ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Доказано существование единственного решения задачи сопряжения для линейных псевдопараболических уравнений третьего порядка с двумя линиями изменения типа.

Ключевые слова: сопряжения, псевдопараболические уравнения, краевые условия, функции Римана, интегральные уравнения.

1. Постановка задачи

В области Б , ограниченной отрезками прямых

х = 0, у = -Ь1, х = £, у = И, х = -^, у = 0 (£,£1,И,Н1 >0), рассмотрим задачи сопряжения для уравнений

А(и) = иххх- иху + а1их+4м = 0 (х у) 6 А; ()

Ь2(и) = ихху + а2ихх + ь2иху + с2их + й2Ыу + е2и = 0,(X,у) 6 Б2 '; (2)

Ь3(и) = ихуу + а3иху + Ь3иуу + с3их + а3иу + е3и = 0, (^ у) 6 D3, (3)

где аг-, , Ь}-, с^, е, I = 1,3, ] = 2,3, - заданные функции, а Б1 = Б п (х >0, у >0),

Б2 = Б п (х >0, у < 0), Б3 = Б п (х <0, у > 0).

Уравнения (1) - (3) представляют собой канонические виды линейных уравнений третьего порядка по классификации работы [1]. Такие уравнения часто называются псевдопараболическими по характеру свойств решений [2, 3]. Частные случаи рассматриваемых уравнений встречаются при изучении

поглощения почвенной влаги растениями [4].

Пусть Сп+т означает класс функций, имеющих производные дг+:!/дхгду* (г = 0,1,...,п;* = 0,1,...,т) .

Относительно коэффициентов предполагаем следующее:

а1,4 6 С (Б1), а2 6 С (Б 2) п С2+0(Б2), Ь2 6 С (Б 2) п С1+1 (Б2),

а3 6 С(Б3) п Сы (Б3), Ь3 6 С(Б3) п С0+2 (Б3), (4)

с} 6 С(Б1) п С'+0 (Б}), 6 С(Б1) п С“+1 (Б}), е} 6 С(Б1), ] = 2,3.

Задача 1. Найти функцию

и (х, у) 6 С(Б]) п [См(Б1) и С2+\Б2) и Си 2(Б3)] п С3+0, I = 1,2,3,

удовлетворяющую уравнениям (1), (2) и (3) в областях Бх, Б2 и Б3

соответственно, краевым условиям

и (-^1, у) = Ф:(у), и (I, у) = Ф2 (у),0 < у < И ; (5)

и(0,у) = %1 (у), их (0, у) = Х2(у), -И\ < у < 0; (6)

и(х,0) = у1(х),иу (х,0) = у2(х), -1Х < х < 0 (7)

и условиям сопряжения

и(х, -0) = и(х, +0), иу (х, -0) = иу (х, +0), 0 < х < £; (8)

и (-0, у) = и (+0, у), их (-0, у) = их (+0, у), 0 < у < И, (9)

где фг (у), хг (у), уг- (х) (г =1,2) - заданные гладкие функции, причем

Ф1 (у) 6 С2[0,И],ф2 (у) 6 С'[0,И],

Хг (у) 6 С1 [-И,0],уг (х) 6 С1 [-^,0] (г = 1,2);

Ф1 (0) = У1 (-^1), У1 (0) = Х1 (0), у 2 (0) = х; (0), у; (0) = Х2(0), у2(0) = Х2(0).

(10)

(11)

Уравнения (1) - (3) в совокупности с условиями сопряжения (8) и (9) являются уравнениями смешанного типа с двумя линиями изменения типа в области Б [5]. Задачи сопряжений для уравнений второго порядка с двумя линиями изменения типа рассмотрены в работах [6-8]. Методом функции Римана изучены краевые задачи для уравнения вида (2) в работах [9, 10]. Построение функции Римана и корректные краевые задачи для дифференциальных уравнений со старшими частными производными рассмотрены в работах [11-15].

Введем следующие обозначения:

и(х, -0) = и(х, +0) = т1(х), иу (х, -0) = иу (х, +0) = v1(х), 0 < х < £ ; (12)

и(-0, у) = и (+0, у) = Т2(у), их (-0, у) = их (+0, у) = V2(y), 0 < у < И, (13)

где т1 (х), т2 (у), v1 (х), v2 (у) - пока неизвестные функции.

2. Представление решения задачи 1 в области Б2

Рассмотрим в области Б2 задачу Гурса для уравнения (2) с условиями (6) и

и(х,0)= т1(х),0 < х < £. (14)

Решение этой задачи представим через функции Римана [9, 10]. С этой целю рассмотрим тождество

*

иЬ2(и) -иЬ2(и) = [ии^л + и^и + а2ии^ -(а2и)^и + (

+Ь2 иип + с2 ии]^ - [и^и^ + (Ь2 и)^ и - й2 ии]п,

где I* (и) = -О^ + а о)щ + (Ь2 и)^ - (с2 0)5 - (й?2 + е2 и.

*

Пусть Б1 (х, у) - произвольная точка области Б2. Интегрируя равенство (15) по области Б** ={(х,у):0< 5 < х,у < п <0}, имеем

Ц"[(и£2(и)-и1^2(и)]ё^ёп = | [и^и^ + (Ь2и)^и -й2ии]<^ +

Б* дБ* (16)

+[ии^п + и + а2 ии^ - (а2 и)^ и + Ь2 иип + с2 ии]ёп.

Пусть и(х, у; 5, п) - является решением задачи Гурса

4(и) = 0,(5,п) 6 Б*, (17)

о(х, у; 5 п) =х =0, 05 (х, у; 5 п) ^=х = ехр

Ч

|а2( х, t )dt

и(х, у; 5 п)|п=у=е1(х, у; 5) 0 <5< х,

где 91 (х, у; 5) - решение следующей задачи Коши:

у <п< 0; (18)

(19)

(х,у; 5,у) - [*2 (5, у)и(х, у;5,у)]^ + d2 (5,у)и(х,у; |, у) = 0,0 < I < х,

(20)

и(х у; 5 У) |5=х = 0 и5(х, у; 5 У) |5=х = 1

Задача (17) - (19) решается эквивалентным сведением к интегральному уравнению Вольтерра вида

и( х, у; 5, п) = 5- х +

5 п 5 п

+|В(5, п, 5)и( х, у; s, пС + |а2 (5, t )и( х, у; 5, t )dt + |ds |С (5, s, t )и( х, у; s, t )dt, (21)

х у х у

где B(5, п, s) = Ь2^, п) -(5-s)d2(s, п), C (5, s, t) = -с2^, t) + (5-я)е2(я, t), которое допускает единственное решение из класса C2+1 (£>*) •

Тогда из (16) получим представление решения задачи 1 в области D2:

х

и( х, у) = 05 (х, у; х, 0)т (х) +1Д (х, у; 5)т (5)d 5 +

У

+{[ B1 (х, у; п)Х (п) - и( х, у;0, п)х2(п) + C1 (х, у; п)х 2 (п) + El (х, у; п)х (п)]d п,

(22)

где Д (х,у; 5) = -и>55 (х, у;5,0) + Ь (5,0)и(х,у; 5,0)] - d2(5,0)u(х,у; 5,0),

B (х, у; п) = и (х, у;0, п) - Ь2(0, п)и( х, у;0, п),

С (х, у; п) = -а2 (0, у )и( х, у;0, п),

Е (х, у;п) = [а25 (0,п) - ^ (0, пи(х, у;0, п) + а2 (0, п)«5 (х,у; 0, п).

Из (22) нетрудно получить соотношение между т1 (х), и v1 (х), полученное с помощью области D2:

х

V] (х) = (х, 0; х, 0)т (х) +1А!у (х, 0;5)хг (5)d5 + gl (х), (23)

0

где й (х) = В1 (х, 0,0)Х; (0) - и( х, 0;0,0)х2 (0) + С1 (х, 0,0)Ь (0) + Е1 (х, 0,0)Ь (0).

3. Соотношение между тх( х) и у1( х), полученное с помощью области Л1

Интегрируя уравнение (1) в пределах от 0 до х имеем

■ - иу = ю(у) - а1 (х, у)и + | с/х (5, у)и (5, у)С5 + Т0(х, у),

С (5, у) = а15 (5, у) - С (5, у), Т0 (х, у) = а1 (0, у)т2 (у) - т^ (у).

Отсюда переходя к пределу при у ^+0, получим соотношение между т1 (х) и v1 (х):

х

т”(х) - v1 (х) = ю(0) - а (х, 0)т1 (х) + р1 (5,0)т1 (5)С5 + Т0 (х, 0). (25)

0

4. Определение т1( х)

Исключая v1( х) из соотношений (23) и (25), приходим к уравнению

х

т;'( х) = ю(0) - а (х)т1 (х) +1Д (х, 5)Т1 (5)С 5 + й^1 (х), (26)

0

где ^(х) = й1(х) + Т0(х,0), а1 (х) = -а1(х,0) + и5у (х,0;х,0),

Д( х, 5) = 4(5,0) - А1у (х,0; 5).

Отметим, что для т1 (х) выполняются еще следующие краевые условия:

т (0) = Х1 (0), т; (0) = Х2 (0), Т1 (*) = Ф2 (0). (27)

Интегрируя дважды уравнение (26) и используя при этом первые два условия из (27), имеем

Т1( х) ю(0) х2 + Га^ х, 5)т1 (5)С 5 + й2( х), (28)

20

х х

А2(х, 5) = <21(5)(х - 5) + Г(х -1) А1 (t, 5)dt, й2 (х) = Х1 (0) + х2 (0)х + {(х -1) Й1 (t^.

5 0

Отсюда, воспользовавшись третьим условием (27), находим

® (0) = 4 [Ф2 (0) - Й2 (*)] - -2- ГА2 (1,5)Т1 (5)С 5.

I2 12 ‘

Подставляя это в значение (28), имеем

х 2 I

Т1 (х) = йз (х) + ГА2 (х, 5)Т2(5)С 5 - ^2 ГА2 (I,5)Т1 (5)С 5, (29)

1

где йз (х) = Й2 (х) + — [Ф2 (0) - Й2 (£)] х .

I2

Обращая вольтеровскую часть уравнения (29), получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

I

тД х) = й (х) + {Я1( х, 5)Т1 (5)С 5, (30)

0

л ( х \

где Я1( х, 5) = -—

х2 +|^1( х, t У 2 dt

А(4 5),

й (х) = йз (х) +1^1 (х, 5) йз (5)С 5.

Если 1Ь <1, (31)

то уравнение (30) имеет единственное решение, здесь Ь = тах |Я1(х, 5)|.

0< х, 5<^

5. Представление решение задачи 1 в области Б3

В области D3 рассмотрим задачу Гурса для уравнения (3) с условиями (7) и

и (0, у) = т2(у),0 < у < И , решение которого с помощью функции Римана

представимо в виде

у

и(х, у) = wц (х,у; 0,у)т2 (у) +{А2 (х,у; п)т2 (п)Сп +

0

х

+{[ В2 (х, у; 5)у ; (5) - wх, у; 5,0)у 2(5) + (32)

+С2 (х, у; 5)у 2 (5) + Е2 (х, у; 5)^ (5)]С 5,

где

А2 (х, у; 5) = -Wпп (х, у;0, п) + к (0, п)w(х,у;0,п)]л - С3 (0, п)w(х, у;0, п),

В2 (х, у; 5) = wл (х, у; 5,0) - aз(5,0)w(х, у; 5),

С3 (х, у; 5) = ->3 (5,0) w( х, у; 5),

Е2 (х, у; 5) = ^ (5,0) - С3 (5,0)]w(х, у; 5,0) + Ь3 (5,0^ (х, у; §, 0).

Здесь w(х, у;5, п) - функция Римана, определяемая как решение следующей задачи:

Ь* ^) = + (а3w)5Л + (Ь3w)лл - (С3w)5 - (dзw\ + е3w = 0,

(5,п) е D* ={(5,п): х < 5 <0,0< п < у},

м'Сх,у;5, п) |л=у = ° ^ (х у; 5, п) |л= у = ехР

, х <5< 0, (33)

w( х у; 5, п) |5=х = 92( х, у; пХ

где 92(х, у; п) - решение задачи Коши:

wлл (х, у; х, п) - а (х, п)w(х, у; х, п)]л + С3(х, п)w(х, у; х, п) = 0,0 < п < у,

м>(х,у;х,п) |л=0 = 0,^(ху;х,п) |п=0= 1

При выполнении условий (4) решение задачи (33) существует и единственно. Используя первое условие (5) и учитывая, что Wл(-А,у;0,у)>0, из (32)

получим

У

Т2 (у) = У (х) + {#2 (у, п)т2 (п) С п, (34)

где

н2(. у,п)=, т( х)=.

-{ф1 у)+

wл (-^1, у;0, у) wц (-^, у;0, у)

0

{[В2 (-^1, у;5)у; (5) - w(-^l, у;5,0)у2 (5)+С2 (-А, у;5)у 2 (5)+Е2 (-^, у;5)^1 (5Ж5}.

-^1

Определив т2 (у) из (34), однозначно находим решение задачи 1 в области D3 по формуле (32). Тогда из (32) можно определить v2(у) = их (0,у).

6. Решение задачи 1 в области Л1

Выписывая решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее условиям

их (0, у) = V2 (у), и (£, у) = Ф2 (У),0 < у < И, и (х,0) = Т1(х),0 < х < £, из (24) имеем

У У

и( х, у) = - ]0( х, у; 0, п> 2 (п)С п - {О5 (х, у; £, п)Ф2 (п)С п +

0 0

£ £ У

+{о(х, у; 5,0)т (5)С5 - {с5{о(х, у; 5, пЖп) - а (5, п)и(5, п) +

0 0 0

5 _

+{ С1(:, п)u(t, п)dt + Т0(5, п)]С п,

где

0( х, у; 5, п) =

2'V п( у -п)

X 1ехР

(х -5 + 4п1)2 4( У -п)

+ехр

(х + 5 + 4п1) 4( У -п)

ехр

(х-5-21 + 4п£)

ехр

(х + 5- 21 + 4п£)

4( У-п) ] Ч 4( у-п)

Представим полученное решение в виде

У I У

и( х, у) = - {м (х, у, п)ю(п)С п + {с 5 (х, у; 5, п)и(5, п)С п + 71 (х, у), (35)

0 0 0

где

м (х, у, п) = {о (х, у; 5, п)С 5, ^( х, у; 5, п) =

0

£

= а (5, пО(х,у;5,п) - С (5,п){О(х,у;t,п)dt,

0

£ У

71(х,у) = {б(х,у;5,0)тД5)С5 - {о(х,у;0,п)v2(п)Сп-0 0

у £ у

- {о (х, у; I, п)Ф2 (п)С п - {с 5 {т (5, п)С п.

0 0

1

+

Используя условие и (0, у) = т2( у), из (35) имеем

е е

{м(0,у, п)ю(п)^П = Г) (у) + ^5{К (0, у; 5, п)и(5, Ч)Лп,

(36)

0 0

где г (у) = -Т2 (у) + Т (0, у) . Представим М (0, у, п) в виде

2 „2

М(0,у,П)=“^ { е s ds + {д(у,5,п)^5, л/тс

где <?(у, 5, п) =

2'V п( у -п)

(5 - 4и1)2 4( у -п)

+ ехр

(5 + 4<)2

4( у -п)

2у/ п( у -п)

(5+21 - 4и1)2 4( у -п)

+ ехр

(5-21 + 4и1)2 4( у -п)

Здесь ' - означает отсутствие члена суммы при п = 0 .

Нетрудно заметить, что ИтМ(0, у, п) = 1. Поэтому, дифференцируя уравнения

у

(36), получим

і у

ю( у) + {Му (0, у, пМп^ п = Г (у) + ^ 5{К у (0, у; 5, п)и (5, п)d п.

0 0 0

Обращая это уравнение, найдем ю(у):

I у

ю (у) = г(у) + ^5 {к2 (у, 5, п)и (5, п^п,

где

(37)

к 2 (у, 5, п) = к1у (0, у; 5, п) + {Я( у, г )Ки (0, г; 5, п^г, г( у) = г0 (у) + {(у, п)г0 (п^ п,

п0

Я(у,п) - резольвента ядра - Му (0,у,п). Исключая ю(у) из (35) и (37), получим интегральное уравнение типа Вольтерра

і у

и(х, у) = Т (х, у) + {d 5{к (х, у; 5, п)и(5, п^ п,

0 0

где К(х, у; 5, п) = К (х, у; 5, п) - {М(х, у, г)К2 (г, 5, п^г, Т(х, у):

(38)

= Т (х, у) - {м (х, у, п)г (n)d п.

В силу свойств функций К (х, у; 5, п) и Т (х, у) уравнение (38) допускает единственное непрерывно дифференцируемое решение.

Таким образом, доказана

Теорема. Если выполняются условия (4), (10), (11) и (31), то задача имеет единственное решение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев Т.Д., Попелек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 10. С. 1734-1745.

2. Colton D. Pseudoparabolic equations in One Space variable // J. Differential Equations. 1972. № 12. P. 559-565.

3. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. V. 63. № 1. P. 77-81.

4. НахушевА.М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.

5. СмирновМ.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 296 с.

6. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного параболо-гиперболического уравнения // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1984. № 3. С. 29-34.

7. Сопуев А. Краевые задачи для параболо-гиперболического уравнений с двумя линиями изменения типа // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1989. № 4. С. 31-37.

8. Исломов Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями и плоскостями вырождения: автореф. дис. ... докт. физ.-мат. наук.: 01.01.02. Ташкент, 1995. 32 с.

9. Шхануков М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка: дис. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. Нальчик, 1985. 225 с.

10. Жегалов В.И., Уткина Е.А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1999. № 10. С. 73-76.

11. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казан. матем. об-во, 2001. 226 с.

12. Жегалов В.И. О случах разрешимости гиперболических уравнений в квадуратурах // Изв. вузов. Математика. 2004. № 7. С. 47-52.

13. Уткина Е.А. Об одном уравнении в частных производных с сингулярными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 2006. № 9. C. 70-67.

14. Миронов А.Н. К методу Римана решения одной смешанной задачи // Вест. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. № 2(15). С. 27-32.

15. Тихонова О.А. Понижение порядка и решение в квадратурах дифференциальных уравнений со старшими частными производными: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань, 2010. 17 с.

Статья поступила 21.12.2011 г.

Sopuev A., Arkabaev N.K. INTERFACE PROBLEMS FOR LINEAR PSEUDO-PARABOLIC EQUATIONS OF THE THIRD ORDER. Existence of the unique solution of the interface problem for linear pseudo-parabolic equations of the third order with two lines of type change is proved.

Keywords: interface problems, linear pseudo-parabolic equations, boundary conditions, Riemann functions, integral equations.

SOPUEVAdahimjan (Osh State University)

E-mail: [email protected]

ARKABAEVNurkasym Kylychbekovich (Osh State University)

E-mail: [email protected]